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TEMA 1 Electrónica digital. Circuitos
combinaciones. Álgebra de Boole
1. Introducción
• Un circuito combinacional es aquel que en cada instante presenta un estado de salida que depende únicamente del estado de sus entradas.
• Una señal analógica es aquella que puede tomar infinitos valores para representar la información. En cambio en una señal digital se utiliza solo un numero finito de valores.
• Ejemplo de señal analógica. La señal de lectura de una cinta video. Ejemplo de señal digital: las señales de telegrafía que usan el código Morse. Los circuitos digitales son aquellos que comunican y procesan información de tipo digital.
2. Sistemas de numeración y códigos. Sistema binario
• Conversión de Binario a Decimal:
El número 11010,11 en base 2 es:
1x24 +1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 + 1x2-1 + 1x2-2 = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 + 0,5 + 0,25 = 26,75
El número 26,75 en base decimal
Conversión de Decimal a Binario:
El número 37 en base decimal es:
37 en base 10 = 100101 en base binaria
Pueden añadirse tantos ceros delante
como nos sean necesarios
Sistema Hexadecimal • Conversión de Hexadecimal a Decimal:
El número 3A1 en base 16 es:
3x162 + (A)10x161 + 1x160 = 768 + 160 + 1 = 929
El número 929 en base decimal
Conversión de Decimal a Hexadecimal:
El número 3571 en base decimal es:
3571 en base 10 = DF3 en base hexadecimal
Sistema hexadecimal-binario
• Conversión de Hexadecimal a Binario:
El número 15E8 en base 16 es:
15E8= 0001,0101,1110,1000 =0001010111101000 en base binaria
Conversión de Binario a Hexadecimal:
El número 11011010110110 en base binaria es:
11,0110,1011,0110 = 36B6 en base hexadecimal
Códigos binarios
• Dentro de los códigos vinarios, los más utilizados son los códigos BCD ( Decimal Codificado en Binario)
• Para codificar un número decimal cada una de sus cifras se representa por separado.. El número de bits necesarios para representar cada cifra es de cuatro, por lo que tenemos 16 combinaciones distintas.
• El más utilizado es el código BCD natural, que emplea las diez primeras combinaciones, pero también existen otros códigos. El código Aiken emplea las cinco primeras y las cinco últimas combinaciones, y el exceso tres, que no toma ni las tres primeras ni las tres últimas sino las 10 restantes.
Sistemas de numeración en complemento a 2
Este es un sistema que nos permite representar números binarios de forma negativa, en donde el MSB (Bit mas Significativo) es el bit del signo.
• FORMA COMPLEMENTO A 1
El complemento a 1 de un numero binario se obtiene cambiando cada 0 por 1 y viceversa. En otras palabras, se cambia cada bit del numero por su complemento.
• FORMA COMPLEMENTO A 2
El complemento a 2 de un numero binario se obtiene tomando el complemento a 1, y sumándole 1 al bit menos significativo. A continuación se ilustra este proceso para el numero 1001 = 9
Cuando se agrega el bit de signo 1 al MSB, el numero complemento a 2 con signo se convierte en 10111 y es el numero equivalente al - 9.
3. Algebra de Boole
• Desarrollado a mediado del siglo XIX por el ingles George Boole, cuyo objetivo era representar las formas de razonamiento lógico.
• El algebra de Boole maneja dos variables: verdadero o falso, cero y uno, abierto y cerrado, encendido o apagado,... Esta variables se llaman booleanas.
• En el algebra de Boole aplicada a los circuitos digitales se pueden distinguir dos tipos de lógica o niveles, que establece una correspondencia entre los niveles de tensión y los elementos de información binaria.
• 1.Lógica positiva: al nivel de tensión mas elevado se le asigna el estado 1 y al nivel de tensión mas bajo se le asigna el estado 0
• 2.Lógica negativa: La asignación es a la inversa. Nivel mas alto, estado 0 y nivel mas bajo, estado 1
3. Algebra de Boole. Definiciones.
Función lógica: Toda variable binaria cuyo valor depende de una expresión algebraica formada por otras variables binarias que están relacionadas entre sí por las operaciones + y *.
Tabla de verdad: se utiliza para reflejar la ecuación y el comportamiento de las distintas operaciones y circuitos lógicos. Está constituida por dos zonas diferenciadas. La zona de entrada y la zona de salida.
3. Propiedades postulados y teoremas del algebra de Boole.
4. Operaciones lógicas básicas
• Funciones Símbolos
Suma (OR):
S = a + b
Multiplicación
(AND):
S = a · b
Negación (¯):
S = ā
b a S = a+b
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
b a S = a·b
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
a S = ā
0 1
1 0
Símbolos
antiguos
Puertas lógicas
• Interruptores
Suma (OR): S = a + b
Multiplicación (AND): S = a · b
Negación (¯): S = ā
Más funciones lógicas
• Funciones Símbolos
Suma negada
(NOR):
Tabla de verdad
Multiplicación
negada (NAND):
OR exclusiva
(EXOR):
b a
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
b a
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Símbolos
antiguos
baS
baS
baS
baS
b a
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
baS
baS
babaS ··
Más puertas lógicas
Suma negada (NOR):
baS
Multiplicación negada (NAND):
baS
OR exclusiva (EXOR):
baS
5. Obtención de la función lógica a partir de la tabla de verdad
• A partir de la tabla de verdad podemos obtener la función lógica de dos modalidades distintas: – Primera forma canónica o suma de productos o MINTERMS
– Segunda forma canónica o productos de sumas o MAXTERMS
La primera forma canónica se obtiene sumando todos los productos lógicos que dan salida 1, asignando al estado 0 la variable inversa y al estado 1 la variable directa.
Para deducir la segunda forma canónica se observan las combinaciones que hacen S = 0 y sustituyendo en cada una de ellas el valor cero por una variable directa y el valor uno por su expresión inversa. (Se empiezan a contar al revés !!!!)
Funciones lógicas
cbacabaS )(
Función lógica
a b c S
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
Tabla de verdad
cbacbacbacbaS
Por Minterms
Se puede obtener de dos formas, como
suma de productos (Minterms) o como
producto de sumas (Maxterms).
Por Maxterms
)()()()( cbacbacbacbaS
S=Σ(1,3,4,7)
S=π(1,2,5,7)
Simplificación por propiedades
cbacbacbacbaS Función lógica
)()( bbcaccbaS
11 cabaS
cabaS
Propiedad Distributiva, agrupamos términos en parejas con el mayor
número posible de variables iguales.
Ley del complementario
Elemento neutro
Mapas de Karnaugh Dos variables Tres variables Cuatro variables
Mapas de Karnaugh • El número dentro del recuadro indica el equivalente decimal de la combinación
correspondiente. El lugar que ocupan estos números depende del peso que toman las variables .
• Los cuadrados correspondientes a los términos canónicos que forman parte de la función se indican mediante un 1 y los correspondientes a los términos que no forman parte de ella se dejan en blanco. En caso de que existan combinaciones con términos indefinidos( x), se representarán como más interesa: 1 o 0.
• Para obtener la expresión más sencilla, es necesario realizar el mínimo número de agrupaciones con el mayor número de unos posibles ( 2,4,8) que formen parte de cuadrados adyacentes. No hay que olvidar que la tabla es cerrada.
• El procedimiento para agrupar los unos será el siguiente: 1. Se toman todos los unos que no pueden formar parte de un grupo de dos por no ser adyacentes con ninguno.
2. Se forman los grupos de dos unos que no puedan formar parte de un grupo de cuatro.
3. Se toman los grupos de cuatro que no puedan formar parte de un grupo de ocho.
4. El proceso se detiene cuando se cubran todos los unos.
5. Un 1 puede estar incluido en tantos grupos como sea necesario.
Simplificación por Karnaugh • Ejemplo:
a b c S
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
1.-Tabla de verdad 2.- Mapa de tres variables de S
3.- Agrupamos unos
cbabacaS
4.- Función obtenida
5.- Función más
simplificada
cbabcaS )(
Implementación con puertas
babaS
Función Función implementada con puertas de
todo tipo
Implementación puertas de todo tipo
cbabcaS )(
Función Función implementada con puertas de
todo tipo
Puertas NAND -NOR
• Las puertas NAND y NOR se conocen también como puertas universales debido a que todas las funciones lógicas se pueden construir con ellas.
• Para poder realizar una función determinada utilizando sólo este tipo de puertas debemos aplicar los teoremas de Morgan tantas veces
como sea necesario.
Funciones sólo NAND • Teorema de Morgan
baba
baba
babaS
Función
babaS
1.- Doble inversión
)()( babaS
2.- Aplicar teoremas de
Demorgan
3.- Implementar con NAND
Funciones sólo NOR • Teoremas de Morgan
baba
baba
babaS
Función
1.- Doble inversión
2.- Aplicar teoremas de
De Morgan
3.- Quitamos doble inversión
babaS
)()( babaS
4.- Implementar con NOR
)()( babaS
Otro ejemplo NAND Función
cbabcaS )(
1.- Doble inversión
cbabcaS )(2.- Aplicar teoremas de
Demorgan
cbabcaS )(
3.- Doble inversión del paréntesis
cbabcaS )(
4.- Aplicar teoremas de
Demorgan en paréntesis
cbabcaS )(
5.- Quitamos doble inversión
cbabcaS )(
Implementación con NAND
Otro ejemplo NOR
Función
cbabcaS )(
1.- Doble inversión
2.- Aplicar teoremas de
Demorgan
3.- Quitamos doble inversión
cbabcaS )(
cbabcaS )(
cbabcaS )(
Implementación con NOR
Resolución de problemas
• Pasos a seguir:
1.- Identificar las entradas y salidas
2.- Crear la tabla de verdad
3.- Obtener la función simplificada
4.- Implementar la función con puertas de
todo tipo, puertas NAND y puertas NOR
Enunciado de un problema lógico
• Máquina expendedora de refrescos
Puede suministrar agua fresca, agua con
limón y agua con naranja. Pero no puede
suministrar nunca limón solo, naranja sola,
ni limón con naranja solos o con agua.
La cantidad de cada líquido sale cuando se
activa la electroválvula correspondiente, Sa
(agua), Sl (limón), Sn (naranja), Y está
activada la salida general (ST), y se
encuentra el vaso en su sitio (V).
Tenemos tres pulsadores Pa (agua), Pl
(limón) y Pn (naranja). Deben pulsarse uno
o dos según lo que deseemos.
Identificar entradas y salidas
• 1.- Identificar las entradas y salidas
Entradas, serán los pulsadores Pa, Pl, Pn y el sensor
que detecta la presencia del vaso V.
Pulsador pulsado será “1” y no pulsado será “0”
Salidas, serán todas las electroválvulas sobre las
que hay que actuar, Sa, Sl, Sn y ST.
Cuando la electroválvula en cuestión valga “1”
permitirá que salga la cantidad de líquido necesario
Tabla de verdad • 2.- Crear la tabla de verdad
Entradas Salidas
V Pa Pl Pn ST Sa Sl Sn 0
0
0
0
0 0
0
0
0
0
0
1
0 0
0
0
0
0
1
0
0 0
0
0
0
0
1
1
0 0
0
0
0
1
0
0
0 0
0
0
0
1
0
1
0 0
0
0
0
1
1
0
0 0
0
0
0
1
1
1
0 0
0
0
1
0
0
0
0 0
0
0
1
0
0
1
0 0
0
0
1
0
1
0
0 0
0
0
1
0
1
1
0 0
0
0
1
1
0
0
1 1
0
0
1
1
0
1
1 1
0
1
1
1
1
0
1 1
1
0
1 1 1 1 0 0 0 0
Funciones simplificadas • Obtener la función simplificada
La función de la electroválvula ST y Sa es la misma, la obtenemos por
Karnaugh
El resto de variables no se pueden
simplificar puesto que sólo tienen
un término en el que vale “1”.
)( PnPlPaVPlPaVPnPaVSaST
PnPlPaVSl
PnPlPaVSn
Puertas de todo tipo
4.- Implementar las funciones con puertas de todo tipo
)( PnPlPaVSaST
PnPlPaVSl
PnPlPaVSn
Puertas NAND
4.- Implementar las funciones con puertas NAND
)·( PnPlPaVSaST
PnPlPaVSl
PnPlPaVSn
Puertas NOR
4.- Implementar las funciones con puertas NOR
)( PnPlPaVSaST
PnPlPaVSl
PnPlPaVSn
Circuitos combinacionales integrados:
• Codificadores: es un circuito combinacional que posee n salidas y 2n entradas, de tal forma que, al accionarse una de sus entradas, en la salida aparece la combinación binaria correspondiente al número decimal asignado a esa entrada. Pueden ser de dos tipos:
– Codificadores sin prioridad: no pueden activarse más de una entrada al mismo tiempo. Normalmente no se emplean.
– Codificadores con prioridad: Si se produce una acción simultánea de varias de sus entradas, en la salida se presentará el código de aquella entrada que tenga asignada mayor peso significativo, que normalmente es la de mayor valor decimal.
Circuitos combinacionales integrados
• Decodificadores: posee n entradas y un número de salidas menor o igual a 2n . Básicamente convierten información codificad en cualquier tipo de código en información sin codificar.
• Multiplexores: Posee 2n entradas de información, denominadas I0 a In, n entradas de selección, conocidas como S0 a Sn, y una sola salida de información W.
• Funcionamiento: Cuando se presenta una combinación binaria en las entradas de selección, en la salida aparece un solo dato, correspondiente a la entrada que lleve asignada esta combinación binaria.
Entradas de control
Entradas de datos Salida
S1 S0 I3 I2 I1 I0 Z
0 0 X X X 0 0
0 0 X X X 1 1
0 1 X X 0 X 0
0 1 X X 1 X 1
1 0 X 0 X X 0
1 0 X 1 X X 1
1 1 0 X X X 0
1 1 1 X X X 1
201201101001 ···· ISSISSISSISSz