GEOMETRIA ANALITICA

ANDREA RECALDE

6to FISICO MATEMATICO

COLEGIO NACIONAL EXPERIMENTAL FEMENINO

“ESPEJO”

La transformación de coordenadas es una operación por la cual una relación, expresión o figura se cambia en otra siguiendo una ley dada. Analíticamente, la ley se expresa por una o mas ecuaciones llamadas ecuaciones de transformación.

TRANSFORMACION DE COORDENADAS

Transformación de coordenadasTenemos la ecuación de la

circunferencia en la forma ordinaria.

(x-h)² + (y-k)² = r²

El centro 0´ de coordenadas (h, k)

Se la coloca en el origen (0, 0) y nos quedaría de la forma canónica x² + y² = r²

En vez de llevar a la circunferencia a su centro también podemos mover los ejes de manera que el origen 0 coincida con el centro 0´ (h, k).

Las coordenadas del punto P serian (x´, y´)

La ecuación de la circunferencia esta dada en la forma canónica

x´² + y´² = r²

Traslación de los ejes coordenadosTeorema 1 Se trasladan los

ejes coordenados a un nuevo origen 0’ (h, k) y las coordenadas del punto P son (x, y) antes y (x’, y’) después.

Las ecuaciones de transformación son:

x = x’ + h

y = y’+ k

Transformar la ecuación

x³-3x²-y² +3x+4y-5=0 al nuevo origen (1, 2) y trazar el lugar geométrico y los dos sistemas de ejes.

x = x’ + 1 , y = y’+2

sustituimos los valores de x y y en la ecuación original.

(x’+1)³-3(x’+1)²-(y’+2)²+3 (x’+1)+4(y’+2)-5=0

Desarrollando y simplificando obtenemos la ecuación buscada es

x’³-y’²=0

Ejemplo:

Rotación de los ejes coordenadosTeorema 2 Si los ejes

coordenados giran un ángulo ѳ en torno a su origen como centro de rotación, y las coordenadas de un punto cualquiera P (x, y) antes y (x’, y’).

Las ecuaciones de transformación son:

x = x’ cos ѳ – y’ sen ѳ

y = y’ sen ѳ + y’ cos ѳ

Transformar la ecuación 2x²+√3 xy + y² = 4 girando los ejes coordenados un ángulo de 30°.

Obtenemos las siguientes ecuaciones x = x’ cos 30° - y sen 30° = √3/2 x’ – ½ y’

y = y’ sen 30° + y’ cos 30° = ½ x’ + √3/2 y’

Sustituimos los valores en la ecuación original y obtenemos la ecuación transformada

5x’² + y’² = 8

Ejemplo:

Simplificación de ecuaciones por transformación de coordenadas

Se puede usar ambos métodos para transformar las ecuaciones de una manera mas fácil y lógica.

Por el primer método

obtenemos las ecuaciones

x = x’ + h

y = y’ + k

Por el segundo obtenemos

x’=x’’ cos ѳ - y’’ sen ѳ

y’=y’’ sen ѳ + y’’ cos ѳ Si sustituimos los valores de x’

y y’ obtenemos las ecuaciones buscadas

x = x’’ cos ѳ – y’’ sen ѳ + h y = y’’ sen ѳ + y’’ cos ѳ + k

Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. Al punto fijo se le llama foco y la recta fija directriz.

LA PARABOLA

Teorema 1 la ecuación de una parábola de vértice en el origen y eje el eje X es:

y² = 4px

Si el eje de una parábola coincide con el eje, Y y el vértice esta en el origen, su ecuación es:

x² = 4py

Una parábola de origen en el centro coincide con el eje y y pasa por el punto (4, -2) por el teorema 1 obtenemos x² = 4py, como la circunferencia pasa por el punto debe satisfacer a la ecuación16 = 4p (-2)

donde P es = -2 como el foco es de coordenadas (0, p )

y = -p

y = 2

Ejemplo:

Ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje en un eje coordenado

el foco esta sobre el eje x sus coordenadas son (p, 0) por definición el punto P debe satisfacer la ecuación |FP| = |PA| en donde

|FP| = √(x - p)²+ y²

|PA| = |x + p|

Si igualamos las ecuaciones y resolvemos obtenemos y²=4px

Teorema 2 la ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje paralelo al eje X, es de la forma (y - k)² = 4p (x - h)

Si el vértice es el punto (h, k) y el eje de la parábola es paralelo al eje Y, su ecuación es de la forma (x - h)² = 4p (y - k)

Teorema 3 una ecuación de segundo grado en las variables x y y que carezca del termino xy puede escribirse de la forma:

Ax²+Cy²+Dx+Ey+F = 0

La ecuación de la tangente a la parábola es y = 4px en un punto cualquiera: y - y₁ = m(x - x₁) de esta se puede determinar la pendiente m.

Se reemplaza el valor de y en la ecuación de la parábola y se obtiene:

y₁ y = 2p (x+ x₁)

Ecuación de la tangente de una parábola

Teorema 4 la tangente a la parábola y² = 4px en cualquier punto P (x₁, y₁) de la curva tiene por ecuación:

y₁y = 2p(x + x₁)Teorema 5 la tangente de pendiente m a la parábola y² =

4px tiene por ecuación:

y = mx + P/m

La función cuadrática La forma: ax² + bx + c, en

donde a, b y c son constantes y a ≠ 0, se llama función cuadrática y puede ser investigada por la relación

y = ax²+bx+c

Teorema 6 La función cuadrática ax² + bx +c, a ≠0 esta representada gráficamente por la parábola y = ax² + bx + c.

Teorema 7 La normal a la parábola en un punto P₁ (x₁, y₁) cualquiera de la parábola forma ángulos iguales con el radio vector de P₁ y la recta que pasa por P ₁ y es paralela al eje de la parábola.

LA ELIPSEUna elipse es el lugar

geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que las sumas de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre los dos puntos. Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

Teorema 1 la ecuación de una elipse de centro en el origen, eje focal el eje X, su distancia focal igual a 2c y cantidad constante igual a 2ª es: x²/a² + y²/b² = 1

Ecuación de la elipse de centro (h, k) y ejes paralelos a los coordenados

La ecuación de la elipse con referencia a los ejes X’ y Y’ esta dada por x’²/a² + y’²/b² = 1

Teorema 2 la ecuación de la elipse de centro en el punto (h, k) y eje focal paralelo al eje X, esta dada por la segunda forma ordinaria,

(x -h) ²/ a²+ (y - k) ²/ b² =1

Si el eje focal es paralelo al eje Y, su ecuación esta dada por la segunda forma ordinaria

(x -h) ²/ b²+ (y - k) ²/ a² =1

Teorema 3 si los coeficientes A y C son del mismo signo, la ecuación:

Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0

Representan una elipse de ejes paralelos a los coordenados, o bien un punto, o no representa ningún lugar geométrico real.

Teorema 4 la tangente a la elipse

b²x²+a²y² = a²b² en cualquier punto P₁ (x₁, y₁) de la curva tiene por ecuación:

b²x₁x+a²y₁y = a²b²Teorema 5 las ecuaciones de las tangentes de pendientes

m a la elipse b²x²+ a²b²= a²b²son:

Y = mx +- √a²m²+b²

Propiedades

Teorema 6 la normal a una elipse en uno cualquiera de sus puntos es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.

Bibliografia

Geometria Analítica de Lehmann