CÓNICAS

Elipse y Parábola

PROFESORES: Brandon Mella

Ramón Bustos

Cónicas Definición

Se denomina sección cónica ( o simplemente cónica ) a todas las curvas

intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el

vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Dependiendo del

ángulo del plano relativo al cono, la intersección es un círculo, una elipse,

una hipérbola o una parábola.(Nosotros nos concentraremos en la elipse y

parábola)

Elipse

Es una curva cerrada, la intersección de un cono circular recto, y

un plano no paralelo a su base, el eje o algún elemento del cono.

elipse

Definición geométrica: sean 𝐹1 ,𝐹2 dos puntos

diferentes del plano y 𝑘 > 0, 𝑘 mayor que la

distancia entre 𝐹1 y 𝐹2.

La elipse de focos 𝐹1,𝐹2 y eje mayor de longitud 𝑘,

es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya

suma de distancia a 𝐹1 y 𝐹2 es igual a 𝑘.

El punto central entre 𝐹1 y 𝐹2 se llama centro de la

elipse. La recta que pasa por 𝐹1 y 𝐹2 contiene 2

puntos de la elipse se llaman vértices de la elipse 𝑣1 y

𝑣2

Elipse

Observacion: se demuestra que la distancia entre

𝑣1 y 𝑣2 es 𝑘, por lo que el segmento 𝑣1𝑣2 es el eje

mayor de la elipse.

Ecuacion de una elipse con centro (𝟎, 𝟎) y eje

mayor horizontal

Sean 𝐹1(−𝐶, 𝑂) Y 𝐹2(𝐶, 𝑂), 𝐶 > 0 los focos de la

elipse y sea 𝑘 = 2𝑎 la longitud del eje mayor,

con 2𝑎 > 2𝑐, es decir, 𝑎 > 𝑐.

Ecuacion de una elipse con centro (𝟎, 𝟎) y eje

mayor horizontal Deducción ecuación:

∀ 𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝑃 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 ⇔ 𝑑 𝑃, 𝐹1 + 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎

⇔ 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2 + 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 = 2𝑎

⇔ 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2 = 2𝑎 − 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 , elevamos al cuadrado.

⇔ 𝑥 + 𝑐 2 + 𝑦2 = 4𝑎2 − 4𝑎 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 + 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2

⇔𝑥2 + 2𝑥𝑐 + 𝑐2 = 4𝑎2 − 4𝑎 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 + 𝑥2 − 2𝑥𝑐 + 𝑐2

⇔4𝑎 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 = 4𝑎2 − 4xc, multiplicamos por 1

4 y elevamos 2

Ecuacion de una elipse con centro (𝟎, 𝟎) y eje

mayor horizontal

⇔𝑎2 𝑥2 − 2𝑥𝑐 + 𝑐2 + 𝑦2 = 𝑎4 − 2𝑎2𝑥𝑐 + 𝑥2𝑐2

⇔𝑎2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 − 𝑥2𝑐2 = 𝑎4 − 𝑎2𝑐2.

⇔𝑥2(𝑎2 − 𝑐2) + 𝑎2𝑦2=𝑎2(𝑎2 − 𝑐2), div. Por 𝑎2(𝑎2 − 𝑐2)

Observación como 𝑎 > 𝑐 > 0 ⇒ (𝑎2 − 𝑐2)> 0

⇔𝑥2

𝑎2 +𝑦2

(𝑎2−𝑐2)= 1, luego definimos 𝑏2=(𝑎2 − 𝑐2)

2 2

2 21, es la ecuacion de elipse con

centro 0,0 y focos de 2 de distancia.

x y

a b

c

Elipse

De forma similar se demuestra la ecuación elipse

con centro C 0,0 y eje mayor vertical. además

mostramos le caso anterior eje mayor horizontal.

Ecuacion de una elipse con centro en 𝐂 𝒉, 𝒌 y el eje

mayor horizontal

Ecuacion de una elipse con centro en 𝐂 𝒉, 𝒌 y el eje

mayor vertical

2 2

2 21,

x h y k

a b

2 2

2 21,

x h y k

b a

1 2

1 2

Los vertices y focos son respestivamente.

( , ), ( , )

( , ), ( , ).

v h a k v h a k

F h c k F h c k

1 2

1 2

Los vertices y focos son respestivamente.

( , ), ( , )

( , ), ( , ).

v h k a v h k a

F h k c F h k c

Ecuación general elipse Observación: la ecuación de cualquier elipse con ejes

de simetría paralelos a los ejes coordenados es de la

forma general.

𝐴𝑥2 + B𝑦2 + Cx + Dy + E = 0,

Con 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 ∈ ℝ fijos y 𝐴B >0, A≠B(ambos

negativos o positivos). Recíprocamente toda ecuación

de esta forma con las condiciones mencionadas

representa una elipse con ejes de simetría paralelos a

los ejes coordenados o una elipse

degenerada(∅(negativa) o un punto(𝑥 = ℎ ∧ 𝑥 = 𝑘)).

Ejemplo: determine todos los elementos de la elipse. 1. 3𝑥2 + 4𝑦2 + 6𝑥 − 12𝑦 + 10 = 0

Solución: 3≠4 y ambos positivos es elipse.

3 𝑥2 + 2𝑥 + 1 + 4 𝑦2 − 3𝑦 +9

4= −10 + 3 + 9

3 𝑥 + 1 2 + 4 𝑦 −3

2

2= 2 , dividimos por 2

3 𝑥 + 1 2

2+ 2 𝑦 −

3

2

2

= 1

𝑥 + 1 2

23

+𝑦 −

32

2

12

Continua próxima diapositiva.

Ejemplo: determine todos los elementos de la

elipse

Como 2

3>

1

2 ⇒

2

3= 𝑎2 por tanto horizontal. luego el

centro −1,3

2 y eje mayor horizontal.

𝑎2=2

3 ⇒ 𝑎=

2

3 , 𝑏2=

1

2 ⇒ b=

1

2=

2

2.

Entonces 𝑐2=𝑎2-𝑏2=2

3−

1

2=

1

6 ⇒𝑐 = ±

1

6=±

6

6

Finalmente los focos y vértices son los siguientes.

1 2 1 2

1 2 1 2

2 3 2 3( , ), ( , ) 1 , , 1 ,

3 2 3 2

1 3 1 3( , ), ( , ) 1 , , 1 ,

2 26 6

v h a k v h a k v v

F h c k F h c k F F

Parábola

Una parábola es una curva abierta, producida por la intersección

de un cono circular recto y un plano paralelo a algún elemento

del cono.

PARÁBOLA: Lugar geométrico de los puntos que

equidistan de un punto llamado foco

y de una recta llamada directriz.

Concepto previo «distancia de un

punto a una recta»

Ya sabemos calcular la distancia entre puntos de la

unidad 1, ahora para poder deducir la ecuación de

la parábola es necesario saber obtener la «distancia

de un punto a una recta»

Distancia de un Punto a una recta Sea 𝑙 una recta de ecuación 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, con

𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ ℝ , 𝑎 ≠ 0 ∨ 𝑏 ≠0 y sea 𝑃0 = (𝑥0, 𝑦0)

un punto que no pertenece a 𝑙.

Si 𝑑 𝑃0, 𝑙 se denota la distancia de 𝑃0 a 𝑙.

Se demuestra que 𝑑 𝑃0, 𝑙 .

𝑑 𝑃0, 𝑙 =𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐

𝑎2+𝑏2

( , ) ( , )d P F d P lLos puntos de la parábola

cumplen:

Ecuación de la parábola con vertice 𝑉(0,0) , eje

de simetría vertical y Foco de la parabola

𝑭 𝟎, 𝑪 , 𝑪 ≠ 𝟎 y 𝒍 ∶ 𝒚 = −𝒄

Deducción ecuación de la parábola con vertice 𝑉(0,0) ,

eje de simetría vertical y Foco de la parábola 𝑭 𝟎, 𝑪 , 𝑪 ≠ 𝟎 y 𝒍 ∶ 𝒚 = −𝒄

Entoces ∀ 𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝑃 𝑥, 𝑦 ∈ parábola

⇔𝑑 𝑃, 𝐹 = 𝑑 𝑃, 𝑙 (la condición).

⇔ 𝑥2 + 𝑦 − 𝑐 2=𝑦+𝑐

0+12 (distancia Punto a recta )

⇔ 𝑥2 + 𝑦 − 𝑐 2= 𝑦 + 𝑐 ( eleva cuadrado ambos +)

⇔𝑥2+𝑦2 − 2yc + 𝑐2=𝑦2 + 2yc + 𝑐2 (cancelamos)

continuamos próxima diapositiva……

Deducción ecuación de la parábola con vertice 𝑉(0,0) ,

eje de simetría vertical y Foco de la parábola 𝑭 𝟎, 𝑪 , 𝑪 ≠ 𝟎 y 𝒍 ∶ 𝒚 = −𝒄

Continuemos.

2

2

2

4 / multiplicamos por -1

4

(finalmente lo que buscabamos)4

cy x

cy x

xy

c

La parábola en otros casos

Ecuacion de una parábola con vértice en

V 𝒉, 𝒌 𝒚 𝒆𝒋𝒆 𝒅𝒆 𝒔𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒂. 1) Vertical.

𝑦−k =𝑥−ℎ 2

4𝑐,

Donde 𝑐 es la distancia entre el vértice y el

foco o entre el vértice y la directriz.

2) Horizontal.

𝑥 − ℎ =𝑦−𝑘 2

4𝑐

Ecuación general de una

parábola La ecuación de cualquier parábola con ejes de

simetría paralelos a uno de los ejes coordenados es

de la forma general.

𝐴𝑥2 + B𝑦2 + Cx + Dy + E = 0,

Con 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 ∈ ℝ fijos y 𝐴=0 o bien 𝐵=0.

Recíprocamente, toda ecuación de la forma anterior

con 𝐴 = 0 o bien 𝐵=0 representa una parábola en el

plano con ejes de simetría paralelos a uno de los ejes

coordenados o una parábola degenerada(vacia, una

recta o la unión de dos rectas)

Ejemplos: determine todos los

elementos de la parábola

1. 3𝑥2 + 6𝑥 + 5𝑦 − 8 = 0.

Solución. 3 𝑥2 + 2x + 1 = −5y + 8 + 3

3 𝑥 + 1 2 = −5(𝑦 −11

5)

𝑦 −11

5= −

3

5𝑥 + 1 2

𝑦 −11

5=

𝑥 + 1 2

−53

Continua próxima diapositiva.

Ejemplos: determine todos los elementos

de la parábola Continuación solución, cuando la parábola es de la

forma .

𝑦−k =𝑥−ℎ 2

4𝑐. Eje de simetría Vertical .

Comparando con lo obtenido.

𝑦 −11

5=

𝑥+1 2

−5

3

, Se obtiene el vértice ℎ, 𝑘 , es

−1,11

5, como 4𝑐 = −

5

3, luego 𝑐 = −

5

12.

𝐹(−1,11

5−

5

12=

107

60) , Bisectriz: 𝑦 =

11

5+ 𝑐 =

157

60

5

Ejemplos: determine todos los elementos

de la parábola

2) 5𝑦2 + 3𝑥 − 25𝑦 + 10 = 0.

Solución: 5𝑦2 − 25𝑦 = −3𝑥 − 10

5 𝑦2 − 5y +25

4= −3x − 10 +

125

4

5 𝑦 −5

2

2

= −3𝑥 +85

4

5 𝑦 −5

2

2

= −3(x −85

12)

Continua próxima diapositiva…..

Ejemplos: determine todos los elementos

de la parábola

𝑥 −85

12= −

5

3𝑦 −

5

2

2

𝑥 −85

12=

𝑦 −52

2

−35

Notamos que la ecuación es de la forma ;con eje de

simetría Horizontal.

𝑥 − ℎ =𝑦−𝑘 2

4𝑐, continua prox. Diapositiva.

Ejemplos: determine todos los elementos

de la parábola

85 5 El vertice es ( , ) , y su eje de

12 2

simetria horizontal y se habre hacia la izquierda.

3 3 54 , eje de simetria

5 20 2

85 3 5 104 5foco , ,

12 20 2 15 2

85 y la directriz es:

1

V h k V

c c y

F F

x

3 217

2 20 30