presentacion para teoria de juegose (1era parte en)

Equilibrio de NashEquilibrio de Nash

El equilibrio de Nash es el concepto de solución más usado para predecir resultados en las aplicaciones económicas de teoría de juegos.

Equilibrio de NashUn perfil de estrategias es un equilibrio de Nash (EN) de un juego si para todo :


Equilibrio de NashEn otras palabras, es un EN si ningún jugador puede beneficiarse si se desvía unilateralmente del equilibrio. En un EN, la estrategia de cada jugador es una (no necesariamente única) mejor respuesta a las estrategias jugadas por sus oponentes. Sin embargo, el concepto de EN es más fuerte que el concepto de estrategias racionalizables porque requiere además que las conjeturas de los jugadores acerca de las estrategias elegidas por sus rivales sean correctas. Es decir, el EN supone conocimiento común del perfil de estrategias que va a ser jugado, ello puede considerarse un supuesto bastante fuerte. Discutiremos acerca del tema más adelante.


Equilibrio de NashEs posible demostrar que el conjunto de EN es un subconjunto de los perfiles de estrategias racionalizables, el cual como vimos es un subconjunto de los perfiles que sobreviven la eliminación iterativa de estrategias estrictamente dominadas.

En seguida vamos a presentar ejemplos de EN limitándonos a las estrategias puras de los jugadores.


J1NC

C

NC C

J2

Ejemplo 1: El Dilema del Prisionero (EN)Recuérdese nuevamente el juego del Dilema del Prisionero:


Limitándonos a estrategias puras, el único EN de este juego es (C,C). El resultado óptimo en el sentido de Pareto es (NC,NC). Los jugadores quisieran coordinar para alcanzar dicho resultado, pero tienen incentivos para desviarse unilateralmente.

Cuando un juego tiene un único EN como en el ejemplo previo, es común predecirlo como resultado, este no siempre es el caso. Un juego puede tener más de un EN o no tener ningún EN en estrategias puras.


FedererSI

SD

EI ED

Nadal

Ejemplo 2: Juego estrictamente competitivoFederer y Nadal se enfrentan en un partido de tenis. Es el turno de Federer de ser el servidor y tiene dos opciones: sacar a la izquierda (SI) o sacar a la derecha (SD). Nadal por su parte puede decidir esperar a la izquierda (EI) o esperar a la derecha (ED). Los pagos están dados en la siguiente matriz:


En este juego no hay EN en estrategias puras. Para cada perfil de estrategias puras a un jugador le conviene desviarse unilateralmente. No hay predicción de un EN en estrategias puras, ningún jugador quiere ser predecible.


Ejemplo 3: Subasta a sobre cerrado (subasta de primer precio) - AplicaciónUn objeto debe ser asignado a un jugador en el conjunto a cambio de un pago. La valoración del jugador del objeto es , donde . Para asignar el objeto se utiliza una subasta a sobre cerrado. En esta subasta los jugadores proponen sus ofertas o pujas por el objeto en un sobre cerrado (lo que equivale a que hagan sus ofertas “simultáneamente”). El objeto es dado a aquél jugador cuya puja sea la más alta. Si hay empate el objeto se asigna a aquél con el índice más bajo. El conjunto de estrategias de los jugadores es . Los pagos de los jugadores están dados por donde .


Nótese que ahora el conjunto de estrategias puras es infinito. Entonces no podemos evaluar cada perfil de estrategias puras para saber si es un EN. En este caso la manera de encontrar EN no es directa, sino que requiere de lógica intuitiva.El conjunto de EN es un conjunto de perfiles tales que:• y para algún

Puede verificarse que un perfil con tales características es un EN pues a ningún jugador le conviene desviarse unilateralmente.


Además se puede demostrar que no hay otros EN:En todo EN, el jugador 1 obtiene el objeto .

Supongamos que que hace la puja más alta y por tanto . Si , al jugador le convendría desviarse a . Si , al jugador 1 le convendría desviarse a y ganar la subasta.

En todo EN, la puja ganadora del jugador 1 es . Si , al jugador 2 le convendría desviarse a . Si , al jugador 1 le convendría disminuir su puja.

En todo EN, tal que . De lo contrario al jugador 1 le convendría disminuir su puja.


Equilibrio de Nash (definición alternativa I)Un perfil de estrategias es un EN de un juego si , donde es la correspondencia de mejor respuesta.Esta definición sugiere un método de encontrar EN resolviendo un sistema de ecuaciones.


Equilibrio de Nash (caracterización)Un perfil de estrategias es un EN si y sólo si se cumple:1. , donde es el soporte de (son las estrategias puras del

jugador a las que les asigna probabilidad positiva)


Es decir, es un EN si dado cada jugador es indiferente entre cualquiera de sus estrategias puras que pertenecen al soporte de y si cada una de estas estrategias puras es al menos tan buena como cualquier otra estrategia pura que no pertenece al soporte de . Una implicancia práctica de esta caracterización es que para saber si es un EN basta con corroborar que ningún jugador prefiera una estrategia pura a su estrategia de equilibrio . Es decir, basta con comparar con estrategias puras del jugador . Por lo tanto, si se busca encontrar EN en estrategias puras, es válido ignorar completamente las estrategias mixtas.


FedererSI

SD

EI ED

Nadal

Ejemplo 4: Juego estrictamente competitivoRecordemos el juego donde Federer y Nadal se enfrentan:


Recuérdese que no encontramos EN en estrategias puras. El único equilibrio de Nash en este juego es en estrategias mixtas: y . Una manera de encontrar todos los EN en un juego (en estrategias puras y mixtas) es utilizando la definición alternativa 1. Otra manera de hacerlo es utilizando la caracterización del EN.Los jugadores eligen jugar sus estrategias puras con dichas probabilidades para hacer al otro jugador indiferente entre sus estrategias puras (recuérdese que el mismo jugador es indiferente entre cualesquiera de sus estrategias puras a las que asignan probabilidad positiva). A continuación discutimos posibles interpretaciones de este hecho.


Equilibrio de Nash (definición alternativa 2)Un perfil de estrategias es un equilibrio de Nash de un juego si , donde es la correspondencia agregada de mejor respuesta.Esta definición nos permite entender del equilibrio de Nash como un punto fijo, lo cual es muy útil para probar su existencia.


Existencia del equilibrio de Nash en estrategias puras (Teorema 1)Si para todo , tenemos que:1. y es no vacío, compacto y convexo.2. es continua en y cuasi-cóncava en .Entonces existe un equilibrio de Nash en estrategias puras .


Demostración (bosquejo)(1.’) Dada la condición (1.), tenemos que es también no vacío, compacto y convexo. Por (1.’) y (2.), se puede demostrar que la correspondencia agregada de mejor respuesta es no vacía, brinda valores convexos y es hemi-contínua superior. Entonces, por el teorema de Kakutani, existe un punto fijo . Dicho punto fijo es el equilibrio de Nash en estrategias puras.


Existencia del equilibrio de Nash (Teorema 2)Todo juego finito tiene al menos un equilibrio de Nash.Demostración (bosquejo) es el simplex unitario de dimensión , donde es el número de estrategias puras del jugador , y por lo tanto es no vacío, convexo y compacto. Entonces también lo es. La función de utilidad esperada es lineal (y por ende cuasicóncava) en y continua en . Entonces, podemos aplicar los últimos dos pasos de la demostración anterior a para concluir que existe un punto fijo .


Ejemplo 5: Duopolistas diferenciados - AplicaciónConsidérese el caso de duopolistas, empresa 1 y empresa 2, que producen bienes diferenciados.La demanda del producto de la empresa es:

La función de costos de la empresa es:


Si asumimos que los duopolistas compiten en precios, el equilibrio de Nash es: , donde .Así, si aumenta, también aumenta, lo cual significa que la empresa compite menos agresivamente.

Si asumimos que los duopolistas compiten en cantidades, el equilibrio de Nash es: , donde .Así, si aumenta, también aumenta, pero en este caso significa que la empresa compite menos agresivamente.


Las características del equilibrio obtenido dependen de si la variable de elección es el precio o la cantidad. Esto ocurre también si hubiéramos asumido que los monopolistas producen bienes homogéneos. ¿Cuál es el modelo “correcto”? La respuesta no es obvia. La aplicación de teoría de juegos a situaciones económicas requiere criterio en la formulación del modelo.

presentacion para teoria de juegose (1era parte en)

Documents