Solucin de problemas en circuitos elctricos por transformada de Laplace. AUTORES:

Planteamiento del Problema Al plantear ecuaciones en el dominio del tiempo a circuito elctrico con resistencias, inductores, y condensadores, aparecen ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes y valores iniciales.

Objetivos de la InvestigacinAplicar la transformada de Laplace en la solucin de problemas en circuitos elctricos Objetivo GeneralPresentar las generalidades tericas y prcticas del mtodo.

Objetivos Especficos

Objetivos de la InvestigacinAplicar la teora en diferentes casos que involucran, resistencias, fuentes y condensadores.

Aplicar el mtodo a un circuito elctrico tpico Objetivos Especficos

JustificacinAplicaciones de la Transformada de Laplace, para la solucin de ecuaciones diferenciales.

En el caso de los circuitos elctricos se puede trabajar por medio de modelos fsicos haciendo ms comprensible la solucin del problema.

Este estudio pretende ampliar, sintetizar y aplicar, de manera sencilla la teora tal como se suele aplicar a los circuitos elctricos

Alcances y LimitacionesAbarca aplicaciones bsicas de la transformada de Laplace.Estudio de circuitos formados por fuentes, resistencias, condensadores e inductores. Se hallarn las ecuaciones de corrientes y voltajes en el tiempo. No se analizan circuitos complejos que involucren otros elementos de circuitos. Los resultados no sern contrastados experimentalmente

Bases TericasDefinicin de Transformada de LaplacePropiedades de la Transformada de LaplaceLa transformada de Laplace es lineal

Bases TericasTransformada de una derivada Condensador y CapacitanciaResistencia Inductor e InductanciaFuenteDefinicin de trminos bsicosTransformada de una integral

Marco Metodolgico Definir el caso de estudio.Identificar cada uno de los elementos del circuito elctrico a resolver.Plantear el diagrama del circuito elctrico a resolver.Establecer las ecuaciones diferenciales que permitan resolver el circuito elctrico.Realizar la transformacin del dominio del tiempo al de la frecuencia.

Marco Metodolgico Resolver el sistema algebraico obtenido al aplicar la transformada de Laplace.Definir la seal de entrada o perturbacin.En la medida de lo posible, aplicar la transformacin inversa para obtener la solucin de la ecuacin diferencial planteada.Graficar y analizar los resultados.

Caso I: CIRCUITO RCLDefinicin del caso Elementos del circuito Diagrama del circuito

Se aplica una la Ley de Kirchoff Aplicando las definiciones para cada elemento del circuito Caso I: CIRCUITO RCL

Caso I: CIRCUITO RCLTransformacin al dominio de la frecuenciaCorriente en el dominio de la frecuencia

Caso I: CIRCUITO RCLSolucin de la ecuacin diferencialSi se asume que el potencial aplicado es de corriente directaAplicando la transformada inversa de Laplace

Caso I: CIRCUITO RCLGrfica del resultado

Caso II: Motor elctrico de corriente directa Definicin del CasoElementos del circuito Diagrama del Circuito

Caso II: Motor elctrico de corriente directa Relacin torque Corriente elctricaRelacin torque Velocidad AngularEcuacin de Voltaje

Caso II: Motor elctrico de corriente directa Ecuacin diferencial del sistema fsicoTransformacin al dominio de la frecuenciaSi se asume que el potencial aplicado es de corriente directa

Caso II: Motor elctrico de corriente directa Ecuacin en el dominio de la frecuenciaSolucin de la ecuacin diferencialLa solucin se obtiene realizando una expansin en fracciones parciales.

Caso II: Motor elctrico de corriente directa Expansin en fracciones parcialesLos valores de A, B, C son:Con

Caso II: Motor elctrico de corriente directa Aplicando la transformada inversa

Caso II: Motor elctrico de corriente directa Grafica Velocidad Angular - Tiempo

ConclusionesSe logr conocer la importancia de la tcnica de transformada de Laplace en la resolucin y anlisis de circuitos elctricos.

Existe una equivalencia real entre los elementos principales de un circuito elctrico como los resistores, condensadores e inductores en el dominio del tiempo y en el dominio de Laplace.

La existencia de las equivalencias de circuitos permite la posibilidad de analizar circuitos elctricos directamente en el dominio de Laplace sin tomar en cuenta el dominio del tiempo.

ConclusionesLa tcnica de Transformada aplicada permite resolver ecuaciones diferenciales lineales relativamente complejas como el circuito de RCL y el motor elctrico.

Se obtuvo una solucin en el tiempo para un circuito RCl dando una funcin peridica amortiguada.

Se resolvi el problema de un motor elctrico resultando en una ecuacin que es suma de exponenciales pero en el cual la frecuencia de rotacin del motor se estabiliza a un valor dado por: