“Un estudio didáctico en la representación de la función lineal”

Autor: ZOLLINGER NOELIA ALEJANDRAMódulo Matemática y TIC II

Profesor Adriana VizcaínoGrupo Aula 012

Especialización docente de nivel superior en educación y TIC

Ministerio de educación de la Nación30 DE ABRIL DEL 2014

Trabajo Final Matemática y TIC IIPROPUESTA CON TIC´S

PROPUESTA DIDACTICATema: Función lineal Año: 2 año. Educación SecundariaContenidos conceptuales: Función Lineal. Representación Gráfica, Análisis de distintos gráficos. Crecimiento y decrecimiento (pares ordenados). Análisis del dominio e imagen. Rectas paralelas y perpendiculares (condiciones según la pendiente).

FUNDAMENTACIONLa siguiente secuencia tiene por objetivo incluir las TIC como forma de trabajo en el aula para la enseñanza y el aprendizaje en clase.En el trabajo áulico como la futura puesta en práctica de la secuencia didáctica está guiada por los lineamientos del modelo TPAK. En la secuencia de clases se notara una interrelación de las dimensiones tecnológicas, didácticas, y pedagógicas. A su vez esta sencuencia sigue un modelo constructivista, orientado a la teoría de Brousseu rescatando los conceptos de contrato didáctico e institucionalización del docente sobre el contenido. Para la realización de esta secuencia se tuvo en cuenta la guia de la secuencia analizada a lo largo del desarrollo del cursado del modulo correspondiente a la secuencia 1

OBJETIVOS: que los alumnos• Resuelvan distintos problemas extra e intra matemáticos, aplicando conocimientos de función lineal y su representación. • Representar funciones lineales a través del uso del programa GeoGebra.• Analicen e identifiquen características de distintas representaciones gráficas de una función lineal.

PROPOSITOS:• Desarrollar el contenido función lineal en la clase, a través de la técnica de resolución de problemas.• Introducir el uso de las TIC en el proceso de enseñanza y aprendizaje.• Facilitar la participación de los alumnos en la clase.• Fomentar el trabajo en grupo, su discusión entre ellos.

CONOCIMIENTOS PREVIOS: • Identificación de puntos o pares ordenados en el plano cartesiano. • Conceptos teóricos de función lineal Y= ax + b, pendiente y ordenada. • Identificación de rectas paralelas y perpendiculares. Características.

CRONOGRAMA: Tres clases de 80 minutos cada una. En las primaras dos clases se desarrollarla el tema, y en la tercera se procederá a una evaluación de los conocimientos adquiridos en las clases anteriores.

RECURSOS:• Cañon y proyectos.• Netbook (docente y alumno)• Uso del programa predeterminado de la clase: GeoGebra.• Uso del programa Prezi. • Carpeta y útiles de los alumnos.• Creación de grupo facebook de la clase para actividades extra curriculares.

CRITERIOS DE EVALUACION Dominio de Conceptos Presentación de procedimientos de resolución Participación en clase. Interés por la materia e investigación de conceptos fuera de clase. Entrega de trabajos en tiempo y forma. Responsabilidad y dedicación en el trabajo realizado con netbook. Respeto y valoración en el trabajo cooperativo en la clase.

BIBLIOGRAFIA Tinta Fresca Matemática 8 año Horacio Itzcovich - Andrea November. 2006. Tinta Fresca Matemática 9 año Horacio Itzcovich - Andrea November. 2006 Puerto de Palo- Activa. Matemática 9 Liliana Laurito y otros. 2001 Longseller 9 Trabajos Practicos. G Chemello, M. Agrasar y otros.

ENCUENTRO I“Construyendo la expresión de la función lineal en un contexto extra-matemático”Tiempo previsto: 80 minutos. ACTIVIDAD DE APERTURAEl docente inicia la clase, comentando que el objetivo de la clase será encontrar una expresión de la función lineal, para luego analizar su representación gráfica (que aun no ha sido estudiada en totalidad). Luego les indica que la metodología de clases será trabajar en forma grupal de no más de 3 alumnos por grupo. Así también en el desarrollo de la clase trabajaran con el programa GeoGebra (con sus netbook) y sus producciones finales serán entregadas. Tiempo parcial: 10 min

ACTIVIDAD DE CIERRE

El docente socializara las respuestas del problema, promoviendo una validación entre los

grupos. También registrara en el pizarrón las conclusiones arribadas grupalmente para

favorecer la validación entre ellos. Registrara: formulas arribadas, el valor que toma x

cuando el área vale 15 m2, las conclusiones sobre la base del triangulo cuando varia la

variable x, y las nociones de dependencia cuando se trabaja el área en función de x.

Luego realizara una institucionalización, introduciendo la expresión de la función que

responde al problema f(x) = ½ x – 2

Se retoma conceptos de pendiente y ordenada (visto en clases anteriores como

conocimiento previo)

Posteriormente el docente realizara una demostración en el proyecto sobre como graficar

funciones lineales con el programa GeoGebra. Explicara algunas herramientas del programa.

Entre todo el grupo clase (y con el uso de las netbook) se resolverá con el la siguiente

consigna a para arribar conclusiones.

Se finaliza con la entrega de las producciones realizadas en la carpeta (una producción por

grupo). La representación de la recta se subirá a internet al grupo de la clase de facebook.

Desde ahí, en momentos de extra clases se debatirá preguntas guiadas por el docente sobre la

representación.

Otras preguntas que se podrán arribar sobre la gráfica en el “grupo facebook de la clase” son: ¿Cuál es el dominio e imagen de la función? Si variamos la escala de la grafica ¿Qué conjuntos numéricos también satisfacen a la función?

Antes de finalizar la clase los alumnos registran en sus carpetas los conceptos más relevantes vistos en la clase. Tiempo Parcial: 30 minutos

En una función F(x):

Si a medida que aumenta los valores de la variable independiente también aumenta los valores de la variable dependiente se dice que la función es creciente.

Si a medida que aumenta los valores de la variable independiente, los valores de la variable dependiente disminuyen se dice que la función es decreciente.

RECURSOS:• Netbook con la aplicación de GeoGebra. • Creación de una red social de facebook “grupo de clase” para trabajar actividades matemáticas.

Bibliografía: Actividad sacada del libro Tinta Fresca Matemática 8 año Horacio Itzcovich - Andrea November. 2006

EVALUACION:La observación directa del docente en la clase haciendo hincapié: En el trabajo grupal, la responsabilidad de los alumnos por resolver el problema. La participación en la clase promoviendo el debate de las respuestas al problema. Se valorara al alumno que: Resuelva la situación problemática. Haga uso de la aplicación GeoGebra representando la función. Promueva el propio cuestionamiento matemático sobre el tema que se está trabajando. Promueva la validación de las producciones de otros y sancione sus propias producciones. Participe en la clase. Se interese por seguir aprendiendo cuestiones matemáticas fuera de clase, participando en el trabajo pos-áulico en el “grupo de la clase” por facebook.

ENCUENTRO II

“Analizando la función lineal con deslizadores”

Tiempo previsto: 80 minutos.

ACTIVIDAD DE APERTURA

Introducción: Él docente se propone iniciar la clase comentando el objetivo de la clase que

será analizar la representación gráfica de la función lineal obtenida en la actividad

anterior. A su vez analizaran distintos tipos de rectas que interceptan a la función obtenida

llamadas funciones paralelas y perpendiculares.

Luego les indica que la metodología de clases será trabajar en forma grupal de no más de 3

alumnos por grupo.

Durante todo el desarrollo de la clase trabajaran con el programa GeoGebra (con sus

netbook) y sus producciones finales serán entregadas.

El docente con la ayuda del cañon y proyector y el recurso digital GeoGebra retoma la última

actividad realizada en la clase anterior mostrando la representación grafica de la función f(x)

= ½ x – 2.

El educador al mostrar la representación propone armar un pequeño debate introductorio

trabajando las preguntas:

• ¿Cuál es la pendiente y la ordenada en la función?

• ¿Cómo se puede identificar la expresión de la función dada en la gráfica sin acudir a

tabla de valores?

• ¿Qué valores toma el dominio y la imagen en la función?

• ¿La función definida crece o decrece? ¿Cómo analizo los crecimientos y

decrecimientos en una función?

Posteriormente el docente, propone ver con sus alumnos un video (previamente descargado

http://www.youtube.com/watch?v=iFtgUpZoEzg hasta el minuto 3.50) sobre deslizadores en

función lineal. Y avisa a sus alumnos que el link del tutorial estará cargado en el grupo de la

clase para su revisión en caso necesario.

Luego del video, el profesor retoma la explicación a sus alumnos sobre el cómo usar

deslizadores con funciones. Una vez finalizada esta explicación el mismo da la actividad a sus

alumnos.

Tiempo parcial: 40 min

ACTIVIDAD DE DESARROLLO El docente presenta una guía de actividades para desarrollar funciones paralelas y perpendiculares. Posteriormente se realizara una socialización a todo el grupo clase desarrollando las producciones realizadas y discutiendo conceptos. Actividad 1:El docente les dará a sus alumnos una guía de actividades ya presentada en papel o a través del proyector para evitar tiempo en copiar.

Un tanque que tenia 100 litros de agua comienza a llenarse de modo que a los 50 min ya tienen 150 litros; su función queda expresada como y = x + 100. Un segundo tanque de igual tamaño (300 litros) tiene una pérdida de agua. La perdida se expresa como y = - x + 300

Representa las funciones y responde:

a) ¿Cuánto tiempo habrá trascurrido para que el primer tanque tenga 250 litros?

b) ¿Cuánto litros de agua pierde el segundo tanque a los 100 minutos?

c) ¿hay algún momento en que los dos tanques tienen la misma cantidad de agua?¿Cuando?¿Cuánta agua?

d) Utilizando la herramienta de deslizadores determina varias funciones para que el primer tanque vierta mas agua en menor tiempo.

e) Representa en un solo eje todas las rectas encontradas y las del enunciado y responde:

1. ¿Cuáles de las rectas son crecientes y cuales son decrecientes?

2. ¿Cuáles rectas se cortan en un punto?¿Cómo son esas rectas que están representadas?

f) Representa en el eje las funciones y = x + 200, y = - x – 100 y responde: ¿Qué relación tienen esas rectas con las rectas del problema?¿Como son sus pendientes?

Soluciones con deslizadores utilizando GeoGebra: La función posible es y = 2x + 0,5

(menor tiempo- mayor cantidad de agua), otra función posible es y = 5x +0,5

Datos: eje de abscisa: minutos – eje de ordenada: litros de agua en el tanque

Socialización: El docente promoverá un debate en base a las respuestas obtenidas y

responderá inquietudes de los alumnos. A su vez planteara preguntas como:

Tiempo Parcial: 20 minutos

ACTIVIDAD DE CIERRE

Los alumnos escucharan la explicación del docente con ayuda de GeoGebra (especialmente

ayudándose de la aplicación de deslizadores). Luego registraran conceptos de funciones

paralelas y perpendiculares en sus carpetas.

Posteriormente resolverán una actividad final y socializaran en los últimos minutos de la

clase.

“Condición de las funciones paralelas y perpendiculares”

Dos funciones que tienen iguales pendientes como y = 2x + 3, y = 2x – 7 me determinan en su representación gráfica dos rectas paralelas.

Dos funciones que tienen pendientes inversas y opuestas (a/b – b/a) me determinan en su representación gráfica dos rectas perpendiculares. Ejemplo: Y = 2/3 x + 4, Y = - 3/2x + 4

Actividad:

Socialización: el docente socializara las respuestas obtenidas en el grupo clase y retomara las

cuestiones:

¿Cuáles son las condiciones para que las funciones sean paralelas y perpendiculares?

Geométricamente ¿Cuáles son las características las rectas paralelas y perpendiculares?

Tiempo Parcial: 20 minutos

Representa gráficamente con GeoGebra la función lineal obtenida anteriormente: y=1/2 x – 2 Luego:

Piensa una función lineal que se paralela a la función y represéntala. Con respecto a la expresión de ambas funciones ¿Cuál es el punto de ordenada década función? Que condición hace que las funciones sean paralelas. En la representación gráfica si se analizan ambas graficas ¿Ambas funciones se cortaran en algún punto?¿Porque?

Piensa una función lineal que sea perpendicular a las funciones representadas anteriormente. En base a las expresiones de las funciones que tienes ¿Qué diferencia encuentras con la nueva función? ¿Cuál es la condición que debe cumplir una función para que sea perpendicular a otra?. Si se analizan las representaciones ¿Se cortan en algún punto? ¿Porque?

RECURSOS:

• Proyector y Cañon (uso del docente)

• Netbook con la aplicación de GeoGebra.

• Creación de una red social de facebook “grupo de clase” para trabajar actividades

matemáticas.

• Carpetas y útiles escolares.

Bibliografía: Tinta Fresca Matemática 9 año Horacio Itzcovich - Andrea November. 2006

EVALUACION:

La observación directa del docente en la clase haciendo hincapié: En el trabajo grupal, la responsabilidad de los alumnos por resolver el problema. La participación en la clase promoviendo el debate de las respuestas al problema.

Se valorara al alumno que: Resuelva la situación problemática. Haga uso de la aplicación GeoGebra representando la función. Promueva el propio cuestionamiento matemático sobre el tema que se está trabajando. Promueva la validación de las producciones de otros y sancione sus propias

producciones. Participe en la clase. Se interese por seguir aprendiendo cuestiones matemáticas fuera de clase, participando

en el trabajo pos-áulico en el “grupo de la clase” por facebook. Complete la carpeta con todas las producciones y conceptos dados en clase.

ENCUENTRO III

Actividad de Cierre

Función Lineal: análisis de representaciones con GeoGebra

Tiempo previsto: 80 minutos.

ACTIVIDAD DE APERTURA

El docente inicia la clase, comentando que el objetivo de la clase será representar distintas

funciones lineales haciendo un análisis sobre las cuestiones intra matematicas.

Luego les indica que la metodología de clases será trabajar en forma grupal de no más de 3

alumnos por grupo, con situaciones problemáticas distintas a resolver. Luego las conjeturas

arribas del análisis funcional serán presentadas en una producción (presentación en Prezi o

power point) realizada en la clase con la guía del docente; para ser compartida con el resto de

la clase a modo evaluativo en la clase posterior a la misma.

En el desarrollo de la clase trabajaran con el programa GeoGebra y prezi (con sus netbook) y

sus producciones finales serán entregadas por via correo electrónico o una presentación por el

grupo de la clase de facebook.

Tiempo parcial: 10 min

ACTIVIDAD DE DESARROLLO

En forma grupal se presentara a los alumnos una situación problemática distinta a cada

grupo a fin de resolver y analizar aspectos matemáticos:

Situación 1

Florencia todos los días para ir al trabajo toma un taxi. El taxista le cobra $1,20 por el solo hecho de llevarla (bajada de bandera) y $0,40 por cuadra recorrida. Entre las magnitudes relacionadas, cantidad de cuadras y dinero, existe una función que asigna a la cantidad de cuadras recorridas una cantidad de dinero, más un precio fijo por la bajada de bandera como y = 0,40x + 1,20

Responde:

a) Representa la función en GeoGebra.

b) ¿Cuánto dinero gasto si recorrió 10 cuadras?¿Y por 15 cuadras?

c) Si Florencia gasto $5,20 en un recorrido ¿Cuantas cuadras recorrió en el taxi?

d) En base a la representación grafica obtenida, representa una función lineal que se paralela y otro perpendicular.

e) En base a la expresión de la función obtenida del problema: mantén contante la ordenada y presenta distintas funciones variando su pendiente. (utilizando deslizadores) ¿Qué conclusiones sacas de esto?

Situación 2

Un empleado que trabaja por comisión cobra un sueldo fijo de $2500 y además gana $4 por cada $500 que vende. ¿Cuánto ganara cuando sus ventas asciendan a 3000?

Responde:

a) Encuentra la función del problema y represéntala gráficamente para responder a las preguntas.

b) En base a la representación grafica obtenida, representa una función lineal que se paralela y otro perpendicular.

c) En base a la expresión de la función obtenida del problema: mantén contante la ordenada y presenta distintas funciones variando su pendiente. (utilizando deslizadores) ¿Qué conclusiones sacas de esto?

Situación 3

Tiempo Parcial: 50 minutos

Un globo aerostático lleva un termómetro digital para medir la temperatura a distintas alturas. Si se denomina x a la altura del globo respecto del nivel del mar medida en metros e y, a la temperatura en grados centígrados correspondientes a cada altura, entonces, la siguiente fórmula nos permite conocer la temperatura para una altura determinada:

y = - 1/200 + 10

Responde:

a) Representa gráficamente la función dada.

b) ¿Qué temperatura marcará el termómetro a nivel del mar?¿Y a 1 kilómetros de altura?

c) ¿A cuantos metros de altura la temperatura es de 0° C?

d) En base a la representación grafica obtenida, representa una función lineal que se paralela y otro perpendicular.

e) En base a la expresión de la función obtenida del problema: mantén contante la ordenada y presenta distintas funciones variando su pendiente. (utilizando deslizadores) ¿Qué conclusiones sacas de esto?

ACTIVIDAD DE CIERRE Los alumnos en forma grupal desarrollaran sus presentaciones en power point o prezi. Con las conjeturas arribas, tareas realizadas y conceptos. El armado de estas presentaciones será guiada por el docente en forma contante. Si la producción no está terminada al finalizar la clase, se deberá enviar por correo al docente y/o subida al grupo de la clase. La finalidad de esta actividad es armar un compilador de producciones hechas por los alumnos a fin de hacer una posterior evaluación grupal e individual. Tiempo Parcial: 20 minutos

RECURSOS:

• Netbook con la aplicación de GeoGebra, power point.• Conexión con internet en el aula (si es posible). • Creación de una red social de facebook “grupo de clase” para trabajar actividades matemáticas.• Actividades de libros de textos para los alumnos.

Bibliografía: Actividades sacadas de los libros: Tinta Fresca Matemática 8 año Horacio Itzcovich - Andrea November. 2006 Puerto de Palo- Activa. Matemática 9 Liliana Laurito y otros. 2001 Longseller 9 Trabajos Practicos. G Chemello, M. Agrasar y otros.

EVALUACION:La observación directa del docente en la clase haciendo hincapié: En el trabajo grupal, la responsabilidad de los alumnos por resolver el problema. La participación en la clase promoviendo el debate de las respuestas al problema. Se valorara al alumno que: Resuelva la situación problemática. Haga uso de la aplicación GeoGebra representando la función. Promueva el propio cuestionamiento matemático sobre el tema que se está trabajando. Promueva la validación de las producciones de otros y sancione sus propias producciones. Participe en la clase. Se interese por seguir aprendiendo cuestiones matemáticas fuera de clase, participando en el trabajo pos-áulico en el “grupo de la clase” por facebook. Finalicen en tiempo y forma con las producciones solicitadas de prezi o power point para su posterior presentación.

EVALUACION FINALEn una clase de 80 minutos el docente ira promoviendo la exposición de los trabajos realizado en prezi o power point realizado en la clase anterior.También se podrán ayudar del programa GeoGebra para hacer nuevas representaciones en caso que ellos decidan. Contantemente el docente promoverá un debate entre los alumnos, y realizara institucionalizaciones del contenido en casos necesarios. El profesor se ayudara de representaciones en geogebra (con uso del proyectos) para institucionalizar conceptos. Se promoverá una validación entre los grupos de alumnos y se promoverá en la clase un contante contrato didáctico entre el docente y los alumnos. La asignación de la nota final será un promedio de: Nota final de cada grupo como autoevaluación de su trabajo realizado a lo largo de las clases. Nota final dada por la clase a cada grupo una vez finalizada la presentación. Nota final del docente a nivel grupal e individual. Recursos:• Producciones de los alumnos.• Netbook.• Pendrive.• Cañon o proyector.

FIN DE PRESENTACION: