presentaciรณn de powerpoint - cloudpymeย ยท = โ๐ซยท ๐, densidad de carga superficial...
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0682_CLOUDPYME2_1_E
Curso MaxFEM parte teรณrica
El proyecto CloudPYME (id: 0682_CLOUDPYME2_1_E) estรก cofinanciado por la Comisiรณn Europea a travรฉs de el Fondo Europeo de Desarrollo Regional (FEDER), dentro de la tercera convocatoria de proyectos del Programa Operativo de Cooperaciรณn Transfronteriza Espaรฑa-Portugal 2007-2013 (POCTEP).
0682_CLOUDPYME2_1_E
ยฟQUร ES ?
Paquete de software libre para la simulaciรณn numรฉrica de problemas de electromagnetismo en baja frecuencia.
Resoluciรณn basada en el mรฉtodo de elementos finitos. Adaptabilidad: el usuario puede realizar cambios tanto en la
interfaz como en los programas de cรกlculo. Software multiplataforma (Windows, Linux y MacOS). Abierto: el usuario puede incorporar otro tipo de problemas
gracias a la estructura modular de la interfaz. Descarga del software: http://www.usc.es/es/proxectos/maxfem/
0682_CLOUDPYME2_1_E
ECUACIONES DE MAXWELL EN FORMA INTEGRAL
Ley de Gauss del campo elรฉctrico
Ley de Gauss del campo magnรฉtico
Ley de inducciรณn de Faraday
Ley de Ampรจre-Maxwell
Leyes constitutivas
Ley de Ohm
๏ฟฝ ๐ฌ ยท ๐๐จ๐
=๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐
๏ฟฝ ๐ฉ ยท ๐๐จ๐
= 0
๏ฟฝ๐ฌ ยท ๐๐ = โ๐๐๐๐ฟ๏ฟฝ๐ฉ ยท ๐๐จ๐
๏ฟฝ๐ฉ๐ ยท ๐๐ = ๐ผ๐ +
๐๐๐๐ฟ๏ฟฝ๐ ๐ฌ ยท ๐๐จ๐
๐ซ = ๐๐ฌ,๐ฉ = ๐๐ฏ
๐ฑ = ๐ ๐ฌ
0682_CLOUDPYME2_1_E
ECUACIONES DE MAXWELL EN FORMA DIFERENCIAL
Ley de Gauss del campo elรฉctrico
Ley de Gauss del campo magnรฉtico
Ley de inducciรณn de Faraday
Ley de Ampรจre-Maxwell
Leyes constitutivas
Ley de Ohm
๐๐๐ ๐ซ = ๐
๐๐๐ ๐ฉ = 0
๐๐ฉ๐๐ + ๐๐๐ ๐ฌ = ๐
๐๐ซ๐๐
+ ๐ฑ = ๐๐๐ ๐ฏ
๐ซ = ๐๐ฌ,๐ฉ = ๐๐ฏ
๐ฑ = ๐ ๐ฌ
0682_CLOUDPYME2_1_E
ELECTROSTรTICA (2D/3D)
Solamente existen cargas en reposo. Ecuaciones:
Formulaciรณn utilizada:
Condiciones de contorno Dirichlet: valor de V en la frontera
Neumann: valor de ๐ ๐๐๐๐
en la frontera ๐ ๐๐๐๐
= โ๐ซ ยท ๐ , densidad de carga superficial
๐๐๐ ๐ซ = ๐
๐๐๐ ๐ฌ = ๐
๐ซ = ๐๐ฌ
โ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐ = ๐ ( โก ๐๐ฃ, ๐, ๐, ๐๐ )
0682_CLOUDPYME2_1_E
EJEMPLO 1: ELECTROSTรTICA 2D
Condensador plano Dos placas conductoras paralelas e infinitas separadas una
distancia ๐. Regiรณn entre las placas formada por un dielรฉctrico de
permitividad ๐ Fuente en el dielรฉctrico: densidad volumรฉtrica de carga ๐.
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Cรกlculo de la soluciรณn analรญtica: Resoluciรณn de la EDP
๐ constante, fuente volรบmica ๐๐ฃ
Como las placas son infinitas en las direcciones ๐ฅ, ๐ง, por simetrรญa tenemos que ๐(๐ฅ,๐ฆ, ๐ง) โก ๐(๐ฆ) y por tanto:
Ecuaciรณn a resolver: ๐2๐
๐๐ฆ2= โ๐๐ฃ
๐
Soluciรณn general de la ecuaciรณn:
โ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐ = โ๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ = ๐๐ฃ
๐๐๐๐ ๐ =
0๐๐๐๐ฆ0
๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ =๐2๐๐๐ฆ2
๐ ๐ฆ = โ๐๐ฃ2๐ ๐ฆ
2 + ๐ถ1๐ฆ + ๐ถ2
0682_CLOUDPYME2_1_E
Aplicaciรณn de las condiciones de contorno: ๐ = ๐0 en la placa inferior
๐ = ๐1 en la placa superior
๐ ๐ฆ = โ๐
2๐ ๐ฆ2 + ๐ถ1๐ฆ + ๐0
๐ ๐ฆ = โ๐
2๐ ๐ฆ2 +
๐1 โ ๐0๐ +
๐๐2๐ ๐ฆ + ๐0
0682_CLOUDPYME2_1_E
Un รบnico material de permitividad elรฉctrica ๐ constante. Condiciones de contorno:
๐ = ๐0,๐ = ๐1 en las fronteras horizontales.
๐๐๐๐
= 0 en las fronteras verticales (no es necesario especificarla).
Fuente: densidad de carga ๐. No se necesita fichero de temperatura.
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EJEMPLO 2: ELECTROSTรTICA 3D
Condensador plano con discontinuidades en el dielรฉctrico. Estudiamos un condensador con una burbuja de aire esfรฉrica. Despreciamos los efectos de borde.
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Dos materiales: Dielรฉctrico del condensador. Aire en la burbuja.
Condiciones de contorno: ๐ = ๐0,๐ = ๐1 en las fronteras horizontales (placas).
๐๐๐๐
= 0 en el resto de fronteras.
No imponemos ninguna densidad de carga. No se necesita fichero de temperatura.
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CORRIENTE CONTINUA (2D/3D) Cargas y corrientes independientes del tiempo. Solamente
dominios conductores. Finalidad: determinar el campo elรฉctrico.
Ecuaciones:
Formulaciรณn utilizada:
Condiciones de contorno Dirichlet: valor de V en la frontera
Neumann: valor de ฯ ๐๐๐๐
en la frontera ๐ ๐๐๐๐
= โ๐ฑ ยท ๐ densidad de corriente entrante en el dominio.
Neumann: valor de la intensidad ๐ผ entrante en el dominio.
๐๐๐ ๐ฌ = ๐, ๐ซ = ๐๐ฌ,
โ ๐๐๐ ๐(๐) ๐๐๐๐ ๐ = 0
๐ฑ = ๐ ๐ฌ ๐๐๐ ๐ฏ = ๐ฑ
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EJEMPLO 3: DIRECT CURRENT 2D
Cuba electrolรญtica para la producciรณn de aluminio.
0682_CLOUDPYME2_1_E
Varios materiales, todos ellos con conductividad elรฉctrica constante: Barra colectora. Bloque catรณdico. Pasta. Aluminio lรญquido. Baรฑo electrolรญtico.
Condiciones de contorno: Voltaje ๐ = ๐0 en la frontera superior del baรฑo. Densidad de corriente entrante en la barra colectora.
No es necesario proporcionar un fichero de temperaturas.
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EJEMPLO 4: DIRECT CURRENT 3D
Barra conductora de cobre atravesada por una corriente.
0682_CLOUDPYME2_1_E
Un รบnico material con conductividad elรฉctrica constante. Condiciones de contorno
Potencial en la tapa trasera de la barra ๐ = ๐0. Potencial en la tapa delantera de la barra ๐ = ๐1.
No es necesario proporcionar un fichero de temperaturas.
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MAGNETOSTรTICA (2D)
Corrientes independientes del tiempo. Determinar el campo magnรฉtico.
Ecuaciones:
Formulaciรณn utilizada:
Condiciones de contorno: Dirichlet: valor de ๐ด๐ง en la frontera
Neumann: valor de 1๐๐๐๐ ๐ด๐ง๐๐ง ร ๐ en la frontera 1
๐๐๐๐ ๐จ ร ๐ = ๐ฏ ร ๐
๐๐๐ ๐ฏ = ๐ฑ ๐๐๐ ๐ฉ = 0 ๐ฉ = ๐๐ฏ
๐๐๐ 1๐ ๐๐๐(๐ด๐ง๐๐ง) ยท ๐๐ง = ๐ฝ๐ง
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EJEMPLO 5: MAGNETOSTรTICA 2D
Conductores coaxiales infinitos separados por un material magnรฉtico.
Los conductores transportan la misma intensidad en direcciรณn opuesta.
La fuente del problema serรก la densidad de corriente:
๐ฑ ๐ =
๐ผ๐ ๐2 ๐๐ง 0 โค ๐ < ๐ ๐ ๐ โค ๐ < ๐
๐ผ๐ ๐2 โ ๐2 โ๐๐ง ๐ โค ๐ < ๐
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Cรกlculo de la soluciรณn analรญtica: Resoluciรณn de la EDP
๐ constante, fuente volรบmica ๐ฑ
Como los conductores son infinitos en la direcciรณn ๐ง y la fuente es de la forma ๐ฑ(๐,๐, ๐ง) โก ๐ฝ๐ง(๐)๐๐ง , por simetrรญa se tiene que ๐ฏ ๐,๐, ๐ง โก ๐ป๐ ๐ ๐๐ y por tanto:
Ecuaciรณn a resolver:
๐๐๐ ๐ฏ = ๐ฑ
๐๐๐ ๐ฏ =1๐๐๐ป๐ง๐๐ โ
๐๐ป๐๐๐ง ๐๐ +
๐๐ป๐๐๐ง โ
๐๐ป๐ง๐๐ ๐๐ +
1๐๐(๐๐ป๐)๐๐
โ1๐๐๐ป๐๐๐ ๐๐
=1๐๐(๐๐ป๐)๐๐ ๐๐ง
1๐๐(๐๐ป๐)๐๐ = ๐ฝ๐ง
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Soluciรณn general de la ecuaciรณn:
Aplicaciรณn de la continuidad de la soluciรณn:
๐ป๐ ๐ = ๐ฝ๐ง๐2
+๐ถ๐
๐ฏ ๐ =
๐๐ผ2๐ ๐2 ๐๐ 0 โค ๐ < ๐ ๐ผ
2๐๐ ๐๐ ๐ โค ๐ < ๐
โ๐๐ผ
2๐ ๐2 โ ๐2 +1๐
๐ผ2๐ +
๐2๐ผ2๐ ๐2 โ ๐2 ๐๐ ๐ โค ๐ < ๐
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Dos materiales: Un material de permeabilidad magnรฉtica constante ๐ (lineal). Un material con permeabilidad ๐0.
Condiciรณn de contorno: ๐ด๐ง = 0. Fuente: densidad de corriente volumรฉtrica dada a travรฉs de la
intensidad constante ๐ผ.
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EJEMPLO 6: MAGNETOSTรTICA 2D
Un contactor electromagnรฉtico โtipo-Eโ es un componente electromecรกnico que establece o interrumpe el paso de corriente en un circuito
Simularemos una versiรณn simplificada: La parte mรณvil (armadura) serรก fija No estarรก presente ningรบn imรกn permanente
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Dos materiales: Vacรญo en la bobina. Armadura y nรบcleo de un material magnรฉtico no lineal (descrito por
una tabla BH).
Condiciรณn de contorno: ๐ด๐ง = 0 en una frontera exterior suficientemente alejada del dispositivo.
Fuente: densidad de corriente uniforme ๐ฝ๐ง (volumรฉtrica). Parรกmetros para la resoluciรณn de la no linealidad: mรกximo
nรบmero de iteraciones y tolerancia.
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Ley B-H:
๐ต = ๐0๐ป +2๐ฝ๐ ๐ tanโ1
๐ ๐ โ ๐02๐ฝ๐
๐ป
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TRANSIENT MAGNETICS (2D)
Baja frecuencia (despreciamos el tรฉrmino en desplazamiento elรฉctrico).
Dependencia arbitraria del tiempo para las fuentes. Fuentes:
densidad de corriente, intensidad, caรญda de potencial.
Conductores: stranded. No se calculan corrientes inducidas.
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Ecuaciones:
Formulaciรณn utilizada:
๐๐ฉ๐๐
+ ๐๐๐ ๐ฌ = ๐
๐๐๐ ๐ฏ = ๐ฑ
๐๐๐ ๐ฌ = ๐
๐ซ = ๐๐ฌ,๐ฉ = ๐๐ฏ, ๐ฑ = ๐ ๐ฌ
๐๐๐ ๐ฉ = 0
1๐๐๐๐๐๐ ฮฉ๐
๐๐๐๏ฟฝ ๐๐ด๐ง ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ ๐๐ฅ๐๐ฆ
ฮฉ๐๐๐ง + ๐๐๐
1๐ ๐๐๐ ๐จ = โ
๐๐(๐)๐๐๐๐๐๐(ฮฉ๐)๏ฟฝ ๐
ฮฉ๐๐๐ฅ๐๐ฆ
๐๐๐1๐ ๐๐๐ ๐จ =
๐ผ๐(๐)๐๐๐๐๐๐(ฮฉ๐) ๐๐ง en ฮฉ๐, ๐๐๐
1๐ ๐๐๐ ๐จ = ๐ en ฮฉ0
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Condiciones de contorno Dirichlet: valor de ๐ด๐ง en la frontera
Neumann: valor de 1๐๐๐๐ ๐ด๐ง๐๐ง ร ๐ en la frontera 1
๐๐๐๐ ๐จ ร ๐ = ๐ฏ ร ๐
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EJEMPLO 7: TRANSIENT MAGNETICS 2D
Nรบcleo cilรญndrico infinito compuesto de un material magnรฉtico, rodeado de un conductor infinitamente fino en el que existe una corriente superficial.
0682_CLOUDPYME2_1_E
Ley B-H:
๐ต = ๐0๐ป +2๐ฝ๐ ๐ tanโ1
๐ ๐ โ ๐02๐ฝ๐
๐ป
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Dos materiales: Aire rodeando al dispositivo. Material magnรฉticamente no lineal y conductor en el nรบcleo.
Condiciรณn de contorno: ๐ด๐ง = 0 en la frontera exterior del dominio.
Fuente superficial: caรญda de potencial (conductores acoplados) โ๐ = ๐๐1 โ ๐๐2.
Intervalo de tiempo. Parรกmetros para la resoluciรณn de la no linealidad: mรกximo
nรบmero de iteraciones y tolerancia.
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EDDY CURRENTS
Baja frecuencia (despreciamos el tรฉrmino en desplazamiento elรฉctrico).
Rรฉgimen armรณnico: los campos se escriben en la forma ๐ ๐, ๐ = ๐ ๐ ๐ฝ ๐ ๐๐๐๐ , con ๐ฝ: โ3 โถ โ3
Problemas: 2D plano, 2D axisimรฉtrico, 3D
Ecuaciones:
๐๐๐ฉ + ๐๐๐ ๐ฌ = ๐
๐๐๐ ๐ฉ = 0
๐๐๐ ๐ฏ = ๐ฑ
๐ซ = ๐๐ฌ, ๐ฑ = ๐ ๐ฌ ๐ฉ = ๐๐ฏ,
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EFECTO PIEL
Tendencia de la corriente alterna a concentrarse en la zona cercana a la superficie exterior del conductor que la transporta.
Suponemos una soluciรณn de tipo onda plana de las ecuaciones de Maxwell en rรฉgimen armรณnico que penetra en un dominio conductor. Entonces la constante de atenuaciรณn de la onda es:
Por tanto, la profundidad de la piel es:
๐ผ = ๐ ๐๐
21 +
๐๐๐
2โ 1
12๏ฟฝ
โ๐๐๐
2
๐ฟ =2
๐๐๐
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Fuentes: densidad de corriente, intensidad, caรญda de potencial. Conductores: stranded, solid Formulaciรณn:
Condiciones de contorno Dirichlet: valor de ๐ด๐ง en la frontera
Neumann: valor de 1๐๐๐๐ ๐ด๐ง๐๐ง ร ๐ en la frontera 1
๐๐๐๐ ๐จ ร ๐ = ๐ฏ ร ๐
๐๐๐๐ด๐ง + ๐๐๐ 1๐๐๐๐(๐ด๐ง) = โ๐๐๐,
๐๐๏ฟฝ ๐๐ด๐ง ๐๐ฅ ๐๐ฆ + ๐ผ๐ = โ๐๐ ๏ฟฝ ๐ ๐๐ฅ ๐๐ฆฮฉ๐ฮฉ๐
,
๐๐๐1๐ ๐๐๐(๐ด๐ง๐๐ง) ยท ๐๐ง = ๐ฝ๐ง .
EDDY CURRENTS 2D PLANO
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EJEMPLO 8: EDDY CURRENTS 2D
Un conductor infinito rodeado por un material dielรฉctrico.
La fuente del problema serรก la intensidad de corriente total, ๐ผ(๐) = ๐ผ0cos (๐๐) , que circula por el conductor.
Soluciรณn analรญtica: donde โ1denota la primera funciรณn de Bessel modificada de orden 1.
โ ๐, ๐ =
๐ผ02๐๐
โ1 ๐ ๐๐๐๐โ1 ๐ ๐๐๐๐
๐๐ 0 โค ๐ < ๐
๐ผ02๐๐ ๐๐ ๐ โค ๐ < ๐
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Cรกlculo de la soluciรณn analรญtica: Resoluciรณn de la EDP
๐ y ๐ constantes en cada dominio ๐๐๐๐ฏ + ๐๐๐ ๐ฌ = ๐ ๐๐๐ ๐ฏ = ๐ฑ = ฯ๐ฌ en el conductor, ๐๐๐ ๐ฏ = ๐ en el dielรฉctrico
Como los dominios son infinitos en la direcciรณn ๐ง y la fuente es de la forma ๐ฑ(๐,๐, ๐ง) โก ๐ฝ๐ง(๐)๐๐ง, por simetrรญa se tiene que ๐ฏ ๐, ๐, ๐ง, ๐ โก๐ป๐ ๐, ๐ ๐๐ y por tanto:
๐๐๐๐ฏ + ๐๐๐1๐๐๐๐ ๐ฏ = ๐ en el conductor,
๐๐๐ ๐ฏ = ๐ en el dielรฉctrico
๐๐๐๐ป๐ โ๐๐๐
1๐๐
๐๐๐ ๐๐ป๐ = 0 si 0 โค ๐ < ๐,
1๐๐๐๐
๐๐ป๐ = 0 si ๐ โค ๐ < ๐
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Haciendo el cambio de variable ๐พ = ๐ ๐๐๐๐, en el conductor cuya soluciรณn general es:
En el dielรฉctrico:
Aplicaciรณn de la continuidad de la soluciรณn y las condiciones:
๐พ2๐2
๐๐พ2 ๐ป๐ ๐พ + ๐พ๐๐๐พ
๐ป๐ ๐พ โ (๐พ2 + 1)๐ป๐ ๐พ = 0 si 0 โค ๐พ < ๐๐๐๐๐
๐ป๐ ๐พ = ๐ถ1โ1 ๐ ๐๐๐๐ + ๐ถ2๐ฆ1 ๐ ๐๐๐๐
๐ป๐ ๐ =๐ถ3๐ +๐ถ4
๐ป๐ 0 < โ,๐ป๐ ๐ =๐ผ02๐๐
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Dos materiales: Un material de permeabilidad magnรฉtica ๐ y conductividad ๐
constantes (conductor). Un material de permeabilidad ๐0 y conductividad nula (dielรฉctrico).
Condiciรณn de contorno: ๐ด๐ง = 0 en la frontera exterior. Fuente: intensidad ๐ผ. Dato del problema: frecuencia de trabajo ๐.
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Fuentes: densidad de corriente, intensidad, caรญda de potencial. Conductores: stranded, solid Formulaciรณn:
Condiciones de contorno Dirichlet: valor de ๐ด๐ en la frontera
Neumann: valor de 1๐๐๐๐ ๐ด๐๐๐ ร ๐ en la frontera 1
๐๐๐๐ ๐จ ร ๐ = ๐ฏ ร ๐
EDDY CURRENTS 2D AXISIMรTRICO
๐๐๐๐ด๐ + ๐๐๐ 1๐๐๐๐(๐ด๐) = โ ๐๐๐
2๐๐,
๐๐๏ฟฝ ๐๐ด๐ ๐๐ ๐๐ง + ๐ผ๐ = โ๐๐2๐๏ฟฝ
๐๐
๐๐ ๐๐งฮฉ๐ฮฉ๐
,
๐๐๐1๐ ๐๐๐(๐ด๐๐๐) ยท ๐๐ = ๐ฝ๐ .
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EJEMPLO 9: EDDY CURRENTS AXISIMรTRICO
El ejemplo estรก basado en un horno de inducciรณn usado en la industria metalรบrgica para purificar metales.
Componentes principales: Bobina conectada a una fuente de potencia (armรณnica) Crisol hecho de un material conductor Material a fundir
Cuando la carga del horno se funde la fuerza de Lorentz tiende a mover el metal. En funciรณn del movimiento inducido las impurezas se acumularรกn en diferentes zonas del metal cuando รฉste se enfrรญe.
Con MaxFEM solamente se simula la parte electromagnรฉtica del proceso.
0682_CLOUDPYME2_1_E
Tres materiales: Aire en las bobinas. Material conductor en el crisol. Material conductor en el metal.
Condiciones de contorno: ๐ด๐ = 0 en una frontera exterior suficientemente alejada del
dispositivo. ๐ด๐ = 0 en el eje de simetrรญa.
Fuente: intensidad ๐ผ (solid conductor) en las bobinas, caรญda de potencial (solid conductor) nula en el crisol y el metal.
Dato del problema: frecuencia de trabajo ๐.
0682_CLOUDPYME2_1_E
Las fuentes se imponen como una condiciรณn de contorno. Solamente fuentes de intensidad (solid conductor).
Formulaciรณn:
Condiciones de contorno
Frontera del dielรฉctrico: deben indicarse, por separado, las componentes conexas de la frontera del dielรฉctrico
EDDY CURRENTS 3D
๐๐๐๐ฏ + ๐๐๐ ๐ฌ = ๐ en ฮฉ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ โช ฮฉ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐ ๐๐ฏ = 0 en ฮฉ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ โช ฮฉ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐ ๐ฏ = ๐ ๐ฌ en ฮฉ๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐ ๐ฏ = ๐ en ฮฉ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๏ฟฝ ๐๐๐ ๐ฏ ยท ๐ = ๐ผ๐ฮ๐ฝ
๐
0682_CLOUDPYME2_1_E
EJEMPLO 10: EDDY CURRENTS 3D
Inducciรณn en una barra conductora por una espira elรญptica.
0682_CLOUDPYME2_1_E
Dos mallas: Malla del dominio dielรฉctrico. Malla de todo el dominio.
Tres materiales: Aire que rodea el dispositivo. Conductor en el que se induce corriente. Material conductor en la bobina.
Condiciones de contorno: Frontera del dielรฉctrico. Dos condiciones puesto que tenemos dos
componentes conexas. Intensidad en uno de los extremos de la bobina.
Frecuencia de trabajo.