presentación clase probabilidad

Probabilidad Probabilidad y Axiomas

Introducion

La probabilidad mide el “grado de creencia” de una afirmacionhecha con base en la informacion recolectada. Tambien mide laposibilidad de ocurrencia de uno o mas resultados de unexperimento aleatorio.

Experimento aleatorio: Es aquel que proporciona diferentesresultados, aun cuando se repite bajo las mismas condiciones.

Experimento determinıstico: Es un proceso que no esta sujeto alazar.

Espacio muestral: Conjunto de todos los posibles resultados deun experimento aleatorio.

Evento o suceso: Cualquier subconjunto de resultados de unespacio muestral (simples o compuestos). Los eventos compuestosestan conformados por mas de un resultado.

MSc Carlos Javier Barrera Causil. Probabilidad


Ejemplo 1: Si se considera el tipo de sangre, el espacio muestral Sesta constituido por los siguientes eventos: S = {A,B,AB,O}.Cualquier evento de S constituye un punto muestral.

Ejemplo 2: De la poblacion mundial se encuestan aleatoriamentealeatoriamente a sus habitantes hasta encontrar el primero concierta enfermedad . E : Enfermo, N : No enfermo.S = {E ,NE ,NNE ,NNNE , . . .}.

Ejemplo 3: Se seleccionan al azar tres estudiantes de la universidad(uno a uno) y se clasifican como H : Hombre, M : Mujer. Elespacio muestral S puede ser descrito como:S = {MMM,MMH,MHM,HMM,MHH,HMH,HHM,HHH}.

Ejemplo 4: Se determina la duracion de una baterıa en en horas.Entonces, S = [0,∞).



Def.

Sean A y B eventos de un espacio muestral S . Diremos que A y Bson disjuntos si A ∩ B = φ (φ es un evento de S). En general, siE1,E2, . . . ,En son eventos de un espacio muestral S , diremos queson mutuamente excluyentes si para cualquier par de estos eventossus intersecciones son vacıas.



Definicion clasica de probabilidad

La probabilidad de un evento A es el cociente entre el numero de

casos favorables y casos totales, esto es, p(A) =CF

CT.

Considerando el ejemplo numero 3, dondeS = {MMM,MMH,MHM,HMM,MHH,HMH,HHM,HHH},supongamos los eventos A y B, tales que A :Al menos uno de losestudiantes seleccionados es hombre, y B :Hay el doble de mujeresque de hombres. Entonces:A = {MMH,MHM,HMM,MHH,HMH,HHM,HHH} yB = {MMH,MHM,HMM}.Ahora, p(A) = 7/8, p(B) = 3/8, p(A ∩ B) = p(B) = 3/8,p(A ∩ B ′) = 1/2



Formalizacion de la probabilidad: Sea ε un experimentoaleatorio y sea S un espacio muestral asociado a ε. La probabilidadde un evento A, denotada por p(A), es un numero real que cumplelas siguientes condiciones:

0 ≤ p(A) ≤ 1

Si P(A) = 1, entonces A se llama evento seguro.

Si P(A) = 0, A se llama evento imposible.

P(S) = 1

Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, esto esA ∩ B = φ, se tiene que la p(A ∪ B) = p(A) + p(B)



Figura: Union de eventos cuando son disjuntos.

Esta propiedad se puede extender para el caso de mas de doseventos.



Propiedades:

P(φ) = 0, esto es, la probabilidad de un evento imposible e scero.

Si A′ es el complemento de A, entonces, P(A′) = 1− p(A), otambien P(A) = 1− p(A′)

Figura: Representacion de un evento A y de su complemento A′.



Si A ⊆ B entonces P(A) ≤ P(B)

Figura: Representacion de dos eventos cuando uno esta contenido en el otro.



Si A y B son eventos cualesquiera, entoncesP(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B).

Figura: Representacion de la union de dos conjuntos cuando ellos no son disjuntos.



Ejemplo 5:

En un artıculo de la revista American of Drugs and Alcohol Abuse,Erickson y Murray afirman que las mujeres estan consideradascomo un grupo con riesgo especial de adiccion a la cocaına, y quese ha sugerido que sus problemas con la cocaına son mayores queen los hombres.

Con base en la revision de textos especializados y en el analisis delos resultados de un estudio original, estos investigadoresargumentan que no hay evidencia de que el uso de la cocaına enlas mujeres exceda al de los hombres. Erickson y Murray tomaronuna muestra de 75 hombres y 36 mujeres. La tabla 1 muestra lafrecuencia de uso de la cocaına en el tiempo de vida y el sexo delos individuos.



Los datos son los siguientes:

Tabla: Frecuencia de consumo de cocaına por genero entre adultosadictos.

Frecuencia de uso de cocaına Hombres Mujeresen el periodo de vida (H) (M) Total

1 - 9 veces (A) 32 7 3920 - 99 veces (B) 18 20 38

100 o mas veces (C ) 25 9 34Total 75 36 111



Si se escoge aleatoriamente a una persona de los 111 individuos dela tabla 1, ¿Cual es la probabilidad de que esa persona sea del sexomasculino (H) o de que haya consumido cocaına 100 veces o masdurante su tiempo de vida (C ) o ambas?.La probabilidad que se busca es P(H ∪ C ). Sabemos que:

P(H ∪ C ) = P(H) + P(C )− P(H ∩ C )

P(H) =75

111= 0,6757, P(C ) =

34

111= 0,3063 y

P(H ∩ C ) =25

111= 0,2252. Entonces:

P(H ∪ C ) = 0,6757 + 0,3063− 0,2252 = 0,7568



Ejemplo 6:

Si las probabilidades de que un mecanico automotriz de servicio a3, 4, 5, 6, 7, 8 o mas vehıculos en un dıa de trabajo dado son:0.12, 0.19, 0.28, 0.24, 0.10 y 0. 07, respectivamente, ¿Cual es laprobabilidad de que de servicio al menos a 4 vehıculos el siguientedıa de trabajo?

Sol : Sea D el evento de que al menos 4 automoviles recibanservicio. Como p(D) = 1− p(D ′), donde D ′ es el evento de quemenos de 4 automoviles reciban servicio. Entonces:

p(D) = 1− p(D ′) = 1− 0,12 = 0,88



Probabilidad Condicional

En muchos experimentos la ocurrencia de un evento particularesta usualmente asociado a la ocurrencia de otros eventos, demanera que al calcular la probabilidad de dicho evento es necesarioconsiderar aquellos que condicionan su ocurrencia.

Ejemplo 7:

Al realizar una busqueda en Google, aparecen en pantalla 4 linkscon documentos de interes y 5 que no lo son. A simple vista esimposible saber cual de los 9 links es el adecuado para nuestrabusqueda. Si se desea abrir dos de los links. ¿Cual es laprobabilidad de que el primero seleccionado sea de nuestro interes?,¿Cual es la probabilidad de que el segundo tambien lo sea?



Sln!Definamos los siguientes eventos:Li : el i-esimo link seleccionado es de interes; i = 1, 2Ni : el i-esimo link seleccionado no es de interes; i = 1, 2

p(L1) =4

9, p(N1) =

5

9Para calcular la probabilidad de L2, se necesita saber que link seabrio en la primera seleccion.Si el primer link seleccionado fue de interes, entonces

p(L2) =3

8

Si el primer link no fue de nuestro interes, entonces

p(L2) =4

8

La probabilidad de L2 depende de la primera seleccion.



Def.

Sean A y B eventos de un espacio muestral S . La probabilidadcondicional de “A dado B”, la cual denotamos p(A |B), esta dadapor:

p(A |B) =p(A ∩ B)

p(B), p(B) > 0,Ası mismo

p(B |A) =p(A ∩ B)

p(A), p(A) > 0

De aquı tenemos que:

p(A ∩ B) = P(A)p(B |A) = p(B)p(A |B)“Regla multiplicativa”



Ejemplo 8

Se seleccionan al azar 100 personas de una gran comunidad y sesometen a un estudio para evaluar la incidencia del fumar en eldesarrollo de enfermedad pulmonar. Los resultados obtenidosdespues de un perıodo de tiempo se muestran a continuacion.Defina los siguientes eventos:H : La persona seleccionada es un hombre.M : La persona seleccionada es una mujer.F : La persona seleccionada fuma.E : La persona seleccionada desarrolla la enfermedad pulmonar.Se selecciona una persona al azar de estas 100. Calcule lassiguientes probabilidades.



i) ¿Cual es la probabilidad de que sea fumador y hombre?¿fumador y mujer?

ii) ¿Cual es la probabilidad de que desarrolle la enfermedadpulmonar?

iii) Si es mujer, ¿cual es la probabilidad de que desarrolle laenfermedad pulmonar?

iv) Si es mujer y no fuma, ¿cual es la probabilidad de quedesarrolle la enfermedad pulmonar ?

v) ¿Cual es la probabilidad de que desarrolle la enfermedadpulmonar, dado que no fuma o es mujer?

H MFuma Fuma

Si No Si NoEnfermedad Si 40 3 43 20 2 22Pulmonar No 5 12 17 10 8 18

45 15 60 30 10 40



Solucion

i)

p(F ∩ H) =45

100; p(F ∩M) =

30

100

ii)

p(E ) =43 + 22

100=

65

100

iii)

p(E |M) =p(E ∩M)

p(M)=

22/100

40/100=

22

40



iv)

p(E |M ∩ F ′) =p(E ∩M ∩ F ′)

p(M ∩ F ′)=

2/100

10/100=

2

10

v)

p(E |M ∪ F ′) =p(E ∩ (F ′ ∪M))

p(F ′ ∪M)=

p((E ∩ F ′) ∪ (E ∩M))

p(F ′ ∪M)

=p(E ∩ F ′) + p(E ∩M)− p(E ∩ F ′ ∩M)

p(F ′) + p(M)− p(F ′ ∩M)

=5

100 + 22100 −

2100

25100 + 40

100 −10100

=2510055100

=25

55



Teorema de probabilidad total

Sean A1,A2, . . . ,An eventos no vacıos mutuamente excluyentestales que la union de todos ellos conforman el espacio muestral. SiB es un evento de S , entonces.

p(B) =n∑

i=1

p(B ∩ Ai ) =n∑

i=1

p(Ai )p(B |Ai )



Def. (Eventos Independientes)

Sean A y B eventos de un espacio muestral. Diremos que A y Bson estadısticamente independientes, si y solo si, cualquiera de lassiguientes propiedades se cumple.

p(A |B) = p(A)

p(B |A) = p(B)

p(B ∩ A) = p(A)p(B)

En general, una coleccion de eventos A1,A2, . . . ,An de un espaciomuestral S , se dicen mutuamente estadısticamente independientes,si y solo si, la interseccion de cualquier subconjunto de eventos deesta coleccion, cumple que la probabilidad de dicha interseccionsera el producto de las probabilidades de los eventos involucrados.



Ejemplo 9

En un grupo de preparatoria, que consta de 60 mujeres y 40varones, se observa que 24 chicas y 16 muchachos usan lentes. Siun estudiante es elegido aleatoriamente, ¿cual es la probabilidad deque ambos eventos, que el estudiante use lentes y sea varon,ocurran simultaneamente.

Sol! Sabemos que si una persona en particular usa lentes y eshombre, no necesariamente otra persona del grupo de estudiantesque sea hombre deba usar lentes. Por tanto, notamos que estoseventos son independientes. De aquı,

p(L ∩ H) = p(H)p(L)

=

(40

100

) (40

100

)= 0,16



Teorema de Bayes

Sean A1,A2, . . . ,An eventos no vacıos mutuamente excluyentestales que la union de todos ellos conforman el espacio muestral. SiB es un evento de S , entonces.

p(Aj |B) =(Aj ∩ B)

P(B)=

p(Aj)p(B |Aj)∑ni=1 p(Ai )p(B |Ai )



Ejemplo

Suponga que tenemos 2 botiquines y que el botiquın 1 contiene 3pastillas de Aspirina y 2 de Dristan y el botiquın 2 contiene 2 deAspirina y 3 de Dristan. Se extrae una pastilla al azar. ¿Cual es laprobabilidad de que:

La pastilla extraıda sea una Aspirina?

La extraccion se haya efectuado del botiquın 1 dado que lapastilla extraıda fue una Aspirina?

Solucion: En el problema hay dos pasos a saber:Paso 1, eleccion del botiquın; Paso 2, extraccion de la pastilla.Sea B1 = La extraccion se hace del botiquın 1. y B2 = laextraccion se hace del botiquın 2.Tenemos entonces que, p(B1) = 1/2 y p(B2) = 1/2.Sea A el evento, la pastilla elegida es una Aspirina.



rr

r�

��

��

@@

@@

@

��

HHHHH1/2

��

HHHHH

B2

B1

1/2

rrrrA1

D2

A2

D1

3/5

2/5

2/5

3/5


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