2.° GRADO: MATEMÁTICA

SEMANA 5

Resolvemos situaciones sobre progresiones aritméticas

DÍA 4

Los recursos que utilizaremos serán:

Cuaderno de trabajo de matemática: Resolvamos problemas 2_día 4, páginas 190 a 193.

Disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma.

Estimadas(os) estudiantes iniciaremos el desarrollo de las actividades de las páginas 190, 191, 192 y 193

de tu cuaderno de trabajo Resolvamos problemas 2 (disponibleen la sección “Recursos” de esta plataforma)

Con el fin de prepararse para una carrera, un deportista comienza corriendo3 km y aumenta 1,5 km su recorrido cada día. ¿Cuántos días tiene queentrenar para llegar a un recorrido de 15 km?

Situación 1 – Página 190

a) 5 días b) 7 días c) 8 días d) 9 días

Respuesta: Para llegar a recorrer un total de 15 km tiene que entrenar durante 9 días. Clave: d).

Resolución

𝑎1 = 3𝑟 = 1,5𝑛 = ¿ ?𝑎𝑛 = 15

𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 × 𝑟15 = 3 + 𝑛 − 1 × 1,512 = 𝑛 − 1 × 1,512

1,5= 𝑛 − 1

8 = 𝑛 − 19 = 𝑛

Analizamos cada dato de la situación:• En el primer día corre 3 km.• Por cada día posterior, aumentará su recorrido en 1,5 km, esta distancia sería la razón.• Se quiere saber cuántos días deberá entrenar para correr 15 km.

Observamos que: La cantidad de términos es la cantidad de días, y el valor de cada término es la cantidad de kilómetros recorridos ese día.

Expresamos la cantidad de kilómetros recorridos cada día:

3; 4,5; 6; 7,5; …

+1,5 +1,5 +1,5

Una ONG tiene la finalidad de mejorar las condiciones de salud de personasen estado de pobreza. Si todos los meses se incorporan 5 personas y al finaldel primer mes hay 125 voluntarios, ¿cuántas personas trabajarán comovoluntarios en la ONG al cabo de 2 años y medio?

Situación 2 – Página 191

a) 130 voluntarios b) 150 voluntarios c) 270 voluntarios d) 345 voluntarios

Respuesta: Al finalizar 2 años y medio habrá 270 voluntarios trabajando en la ONG. Clave: c).

Resolución

𝑎1 = 125𝑟 = 5𝑛 = 30𝑎𝑛 = ¿ ?

𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 × 𝑟𝑎𝑛= 125 + 30 − 1 × 5𝑎𝑛 = 125 + 29 × 5𝑎𝑛 = 125 + 145𝑎𝑛 = 270

Observamos que: La cantidadde términos es la cantidad demeses, y el valor de cadatérmino es la cantidad devoluntarios.

Analizamos cada dato de la situación:• Al finalizar el primer mes hay 125 voluntarios.• Cada mes posterior, aumenta en 5 la cantidad de voluntarios, esta cantidad es la razón.• Se quiere saber la cantidad de voluntarios luego de 2 años y medio, y como es necesario trabajar en la

misma unidad de tiempo, se trabajará con su equivalente en meses, es decir, 30 meses.

125; 130; 135; 140; …

+5 +5 +5

Expresamos la cantidad de voluntarios mes a mes:

El alquiler de una cuatrimoto durante la primera hora cuesta S/ 10, yS/ 6 más cada nueva hora. ¿Cuánto se debe pagar si el alquiler fue por12 horas?

Situación 3 – Página 191

a) S/ 76 b) S/ 78 c) S/ 82 d) S/ 92

Respuesta: Por las 12 horas de alquiler se debe pagar un total de 76 soles. Clave: a).

Resolución

𝑎1 = 10𝑟 = 6𝑛 = 12𝑎𝑛 = ¿ ?

𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 × 𝑟𝑎𝑛 = 10 + 12 − 1 × 6𝑎𝑛 = 10 + 11 × 6𝑎𝑛 = 10 + 66𝑎𝑛 = 76

Analizamos cada dato de la situación:• Por la primera hora, se pagará S/ 10.• Por cada hora adicional, el pago aumentará en S/ 6, esta sería la razón.• Se quiere saber cuánto se pagará por 12 horas de alquiler.

Observamos que: La cantidadde términos es la cantidad dehoras, y el valor de cadatérmino es el pago poralquiler.

10; 16; 22; 28;…

+6 +6 +6

Expresamos el pago por hora de alquiler:

Relaciona mediante flechas la ley de formación con la progresión aritmética.

Situación 4 – Página 192

Ley de formación

𝑎𝑛 = 3𝑛 + 4

𝑎𝑛 = 8 − 2𝑛

𝑎𝑛 = 4𝑛 + 7

𝑎𝑛 = 2𝑛 + 7

Recuerda:La ley de formación permite calcular el término

enésimo (𝒂𝒏) de una progresión aritmética.

Progresión aritmética

9, 11, 13, 15, 17, …

11, 15, 19, 203, 27, …

6, 4, 2, …

7, 10, 13, 16, …

Respuesta:

Resolución

𝑛 1 2 3

𝑎𝑛 = 3𝑛 + 4 𝑎1 = 3 1 + 4 = 7 𝑎2 = 3 2 + 4 = 10 𝑎3 = 3 3 + 4 = 13

𝑎𝑛 = 8 − 2𝑛 𝑎1 = 8 − 2 1 = 6 𝑎2 = 8 − 2 2 = 4 𝑎3 = 8 − 2 3 = 2

𝑎𝑛 = 4𝑛 + 7 𝑎1 = 4 1 + 7 = 11 𝑎2 = 4 2 + 7 = 15 𝑎3 = 4 3 + 7 = 19

𝑎𝑛 = 2𝑛 + 7 𝑎1 = 2 1 + 7 = 9 𝑎2 = 2 2 + 7 = 11 𝑎3 = 2 3 + 7 = 13

Ley de formación

𝑎𝑛 = 3𝑛 + 4𝑎𝑛 = 8 − 2𝑛𝑎𝑛 = 4𝑛 + 7𝑎𝑛 = 2𝑛 + 7

Progresión aritmética

9, 11, 13, 15, 17, …11, 15, 19, 23, 27, …6, 4, 2, …7, 10, 13, 16, …

Calcularemos el valor de los primeros tres términos, de acuerdo a cada ley de formación.

Las figuras representan las estructuras químicas de derivados del benceno.

Situación 5 – Página 192

a) 144 fósforos b) 130 fósforos c) 128 fósforos d) 121 fósforos

¿Cuántos palitos de fósforo se necesitan para formar una figura con 24 hexágonos?

Fig. 1Benceno

Fig. 2Naftaleno

Fig. 3Fenantreno

Sabías que:El benceno es un líquido incoloro ysumamente inflamable que seevapora cuando se expone al aire,y que se utiliza para la fabricaciónde productos como los plásticos,detergentes, pesticidas, etc.

Y los derivados del benceno, ¿quécaracterísticas tendrán?, ¿para quése utilizarán?

¡Investiguemos!

Respuesta: Para formar 24 hexágonos como en la secuencia, se necesitarán 121 palitos de fósforo. Clave: c).

Resolución

𝑎1 = 6𝑟 = 5𝑛 = 24𝑎𝑛 = ¿ ?

𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 × 𝑟𝑎𝑛= 6 + 24 − 1 × 5𝑎𝑛 = 6 + 23 × 5𝑎𝑛 = 6 + 115𝑎𝑛 = 121

Contamos los palitos en cada figura para ver si hay alguna regularidad entre ellas.• Figura 1: Hay 1 hexágono y se usaron 6 palitos de fósforo.• Figura 2: Hay 2 hexágonos y se usaron 11 palitos, 5 palitos más que en la figura 1.• Figura 3: Hay 3 hexágonos y se usaron 16 palitos, se 5 palitos más que en la figura 2.Quiere decir que la cantidad de palitos aumenta de 5 en 5 para formar la figura siguiente.

Para formar 1 hexágono, se usan 6 palitos.Para cada hexágono que aumente, se usará5 palitos más.Se quiere calcular la cantidad de palitospara formar 24 hexágonos.

6; 11; 16; 21,…

+5 +5 +5

Expresamos la cantidad de palitos por figura:

En un teatro, la primera fila dista del escenario en 4,5 m, mientras que laoctava fila se encuentra a 9,75 m de dicho lugar. ¿A cuántos metros delescenario estará la fila 16 si la distancia entre fila y fila es la misma?

Situación 6 – Página 193

a) 14,75 m b) 15,75 m c) 17,35 m d) 18,35 m

Representamos con un dibujo de la situación propuesta y ubicamos los datos correspondientes.

Resolución

En la situación nos menciona que la distancia entre filay fila es la misma.La distancia de cada fila respecto al escenario es:

Fila 1: 4,5 metrosFila 2: 4,5 + 𝑟 metrosFila 3: 4,5 + 𝑟 + 𝑟 metros

Es decir, la distancia de cada fila al escenario aumentaen 𝑟 metros, y esa es la razón.

Esce

nar

io

Respuesta: La fila 16 se encuentra a 15,75 m del escenario.Clave: b).

𝑎1 = 4,5𝑟 =¿ ?𝑛 = 8

𝑎8 = 9,75

𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 × 𝑟𝑎8= 4,5 + 8 − 1 × 𝑟

9,75 = 4,5 + 7𝑟5,25 = 7𝑟0,75 = 𝑟

𝑎1 = 4,5𝑟 = 0,75𝑛 = 16𝑎16 =¿ ?

𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 × 𝑟𝑎16 = 4,5 + 16 − 1 × 0,75𝑎16 = 4,5 + 15 × 0,75𝑎16 = 4,5 + 11,25𝑎16 = 15,75

2.° Como la distancia entre filas, resultó ser 0,75 m,calcularemos la distancia entre el escenario y la fila16. Para ello, sabemos que la distancia de la fila 1 alescenario es 4,5 m.Hasta la fila 16, hay 16 distancias entre filas a partirde la fila 1.

1.° Calcularemos la distancia entre filas.La distancia de la fila 1 al escenario es 4,5 m.La distancia de la fila 8 al escenario es 9,75 m.Hasta la fila 8, hay 8 distancias entre filas a partir dela fila 1.

Gracias