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PRÁCTICA N° 1

INTRODUCCIÒN A MATLAB Y UTILIZACIÓN DE

LAS MATEMÁTICAS COMO HERRAMIENTAS

PRIMORDIAL EN EL ANÁLISIS DE SISTEMAS DE

CONTROL

PROFESOR:

PROF. Ing. Esp. Carlos A. Pérez

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

“FRANCISCO DE MIRANDA”

COMPLEJO ACADÉMICO EL SABINO

PROGRAMA DE INGENIERÍA QUÍMICA

DPTO DE MECÁNICA Y TECNOLOGÍA DE LA PRODUCCIÓN

LABORATORIO DE DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

INTRODUCCIÓN

Matlab es la abreviatura de Matrix Laboratory (laboratorio de matrices).

Creado en 1984 por The MathWorks, es un software de cálculo muy usado en

universidades, centros de investigación y por ingenieros. En los últimos años

ha incluido muchas más capacidades, como la de programar directamente

procesadores digitales de señal, crear código, etc.

Con esta práctica se pretende realizar una introducción al uso del paquete de

modelado, simulación y análisis de sistemas dinámicos SIMULINK. Este

paquete forma parte de MATLAB, y permite la simulación interactiva de

sistemas, es decir, se pueden cambiar los parámetros e inmediatamente ver lo

que sucede.

OBJETIVO GENERAL

• Iniciación en la utilización de la herramienta de simulación de sistemas dinámicos

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Conocer el entorno de trabajo de MATLAB, así como sus diversos comandos.

Desarrollar ecuaciones diferenciales sencillas mediante la aplicación de la

transformada de Laplace

Aplicar diferentes perturbaciones al proceso y analizar su respuesta.

¿QUÉ ES MATLAB?.

• Paquete software orientado al cálculo numérico, matrices, procesamiento y análisis

de la señal y gráficas.

DISTINTOS CAMPOS DE ACCIÓN (APLICACIONES):

• Teoría de control

• Tratamiento de señales

• Inteligencia artificial

• Diseño de sistemas de potencia

• Control de procesos mecánicos, de aviación, automoción, etc.

• Financiero

• Mapeo y tratamiento de imágenes

• Instrumentación y adquisición de datos

• identificación de sistemas

INTERFAZ:

Figura 1. Interfaz de Matlab.

LA TOOLBOX DE CONTROL DE MATLAB

• Funciones de aplicación específica para ingeniería de control de sistemas. Son ficheros

*.M

• Sirve tanto para control continuo como para control discreto, clásico (en espacios

transformados sobre sistemas LTI) y de otros tipos (variables de estado, borroso,

neuronal, robusto, no lineal, etc.)

• En los dos campos permite realizar tareas de: modelado, conversión de modelos y

análisis de respuesta temporal, frecuencial y en espacios transformados

• Las herramientas para obtención de los modelos de los sistemas se encuentran en otra

Toolbox: la de identificación

• Todas las funciones de control se encuentran en la demo de control que se ejecuta con

el comando MATLAB: ctrldemo

MODELADO DE SISTEMAS DE CONTROL CONTINÚO

• Las funciones de la toolbox en MATLAB permiten trabajar solo sobre

sistemas lineales e invariantes continuos y discretos en el tiempo, y en

espacio transformado

• Permiten representar los sistemas LTI mediante 4 modelos diferentes

en los espacios transformados (‘s’ para sistemas continuos y ‘z’ para

sistemas discretos):

Función de transferencia

Función Polo-Cero

Descomposición en fracciones simples

Variables de Estado

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

• El formato Función de Transferencia (FT) corresponde con

representaciones del siguiente tipo:

CONVERSIÓN ENTRE FORMATOS

• Las siguientes funciones permiten realizar conversiones entre los distintos

formatos de representación de sistemas

SEÑALES DE ENTRADAS

En el análisis de un sistema de control es necesario conocer su comportamiento ante

diferentes tipos de entradas o perturbaciones, por lo que se estudiarán, en esta sección,

una serie de señales que comúnmente ocurren en la vida real, tales como el impulso, el

escalón, Y la rampa.

RESPUESTA TEMPORAL

• Se usa para obtener características temporales del régimen transitorio y del

permanente o estacionario,

de la respuesta de un sistema a entradas diversas

• Las funciones de la toolbox de MATLAB utilizadas para generar respuestas

temporales ante entradas variadas, son las siguientes

ANTES DE COMENZAR:

DEBE ABRIR UN NUEVO SCRIPT (ESTO LE PERMITE REALIZAR EL ALGORITMO

Y HACERLE MODIFICACIONES FUTURAS )

- SELECCIONE EN LA PESTAÑA “HOME” SE DESPLIEGA VARIAS OPCIONES

- SELECCIONE “NEW SCRIPT”

- COPIE EL ALGORITMO DEL PROBLEMA PLANTEADO

- UNA VEZ FINALIZADO VAYA A LA PESTAÑA “EDITOR” Y UBIQUE “SAVE” ALLI

GUARDARA EL ARCHIVO CREADO BAJO ESTE FORMATO:

(NOMBREAPELLIDOACTV1

(NOTESE QUE TODO ESTA PEGADO SI USTED OPRIME LA TECLA ESPACIO LE

ARROJARA UN ERROR)

- UNA VEZ GUARDADO EN LA MISMA PESTAÑA DE “EDITOR” UBIQUE “RUN”

ALLI LE GENERARA EL RESULTADO DE LO OBTENIDO Ó SI TIENE ALGUN

ERROR LE INFORMARÁ DONDE PARA CORREGIR. CADA VEZ QUE USTED

REALICE ALGUN CAMBIO DEBE GUARDAR (SAVE) ANTES Y LUEGO

CORRER (RUN) EL ALGORITMO.

ACTIVIDAD Nº 1

• SUPONGA LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL

3𝑦" 𝑡 + 5𝑦′ 𝑡 + 6𝑦(𝑡) = 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 ∗ 𝑥 𝑡

Pasos a seguir:

1.- primero se debe aplicar el teorema de diferenciación real:

Se debe recordar que la derivada es de segundo orden por lo tanto:

£𝑑2𝑦(𝑡)

𝑑𝑡2= 𝑠2𝑦 𝑠 − 𝑠𝑦 0 − 𝑠0𝑦′(0)

£𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑠𝑦 𝑠 − 𝑠0𝑦 0

- Se supone que y(0) = 0 debido a que se encuentra en estado estacionario.

Pr lo tanto el término del lado izquierdo queda:

3 𝑠2𝑦 𝑠 + 5 𝑠𝑦 𝑠 + 6𝑦 𝑠

2.- se trabaja ahora con la parte derecha de la igualdad y s recurre al uso de tablas de

transformadas de Laplace:

𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 =𝑤

𝑤2 + 𝑠2

Entonces:

𝑠𝑒𝑛 3𝑡 =3

32+𝑠2 = 3

9+𝑠2

3.- Se supone que X(t) = función de perturbación tipo escalón unitario por lo tanto :

𝑥 𝑠 =1

𝑠

𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒:

3 𝑠2𝑦 𝑠 + 5 𝑠𝑦 𝑠 + 6𝑦 𝑠 =3

9+𝑠2 *1

𝑠

Sacando factor común y(s)

𝑦 𝑠 ∗ 3𝑠2 + 5𝑠 + 6 =3

𝑠3+9𝑠

Despejando y(s)

𝑦 𝑠 =3

𝑠3 + 9𝑠 3𝑠2 + 5𝑠 + 6

CON ESTA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA NOS VAMOS AL ENTORNO DE MATLAB.

Se abre el programa Matlab y se comienza con el siguiente algoritmo en

script:

1.- Primero se debe trabajar con el numerador (num1) luego con el

denominador, como puede observa en el denominador hay una

multiplicación por lo cual llamaremos den1 y den 2

%%%%%%%%%%%%%%%%%ACTIVIDAD1%%%%%%%%%%%%%%%%%

num1 = [3]; %numerador de la función de transferencia

den1= [1 0 9 0]; %denominador nº 1 de la f.t

den2=[3 5 6]; %denominador nº 2 de la f.t

DEN = conv(den1,den2); %multiplicación de los polinomios del

denominador

G= tf (num1,DEN); %función de transferencia del proceso;

[Z,P,K]= residue (num1,DEN); %zeros (numerador) y polos (denominador)

de la f.t

H=roots(NUM);

step(num1,DEN); %respuesta gráfica del proceso ante una perturbación

tipo escalón unitario

NOTA:

- DEBE RESPETAR EL USO DE MAYUSCULA Y MINUSCULA YA QUE EL

PROGRAMA NO ADMITE EL USO DE MAYUSCULA PARA SUS COMANDOS.

- PARA VISUALIZAR EL RESULTADO EN PANTALLA AL FINALIZAR EL

ALGORITMO DEBE COLOCAR TODO ANTES DE LA IGUALDAD:

- Z

- P

- K

- num1

- den1

- den2

- DEN

- G

RESULTADOS OBTENIDOS POR MATLAB

CON LOS RESULTADOS OBTENIDOS SE PROCEDE A LLEVAR LOS

RESULTADOS DEL DOMINIO DE LAPLACE (PLANO IMAGINARIO) AL

DOMINIO DEL TIEMPO (PLANO REAL)

𝑦 𝑠 =3

𝑠3+9𝑠 3𝑠2+5𝑠+6=

3

3𝑠5+5𝑠4+33𝑠3+45𝑠2+54𝑠

LAS RAICES DEL POLINOMIO (ROOTS) SON:

H = (RAICES DEL

POLINOMINO)

0.0000 + 0.0000i

0.0000 + 3.0000i

0.0000 - 3.0000i

-0.8333 + 1.1426i

-0.8333 - 1.1426i

𝒚 𝒔 =𝑨

𝒔+

𝑩

𝒔 − 𝟑𝒊+

𝑪

𝒔 + 𝟑𝒊+

𝑫

𝒔 + 𝟎, 𝟖𝟑 − 𝟏, 𝟏𝟒𝒊+

𝑬

𝒔 + 𝟎, 𝟖𝟑 + 𝟏, 𝟏𝟒𝒊

NOTA:

HAY TRES CASOS QUE SE PUEDEN PRESENTAR:

- RAICES REALES Y DIFERENTES

- REICES REALES E IGUALES

- RAICES IMAGINARIAS (COMO ES EL CASO OBJETO

A ESTUDIO)




𝒚 𝒔 =𝑨

𝒔+

𝑩

𝒔 − 𝟑𝒊+

𝑪

𝒔 + 𝟑𝒊+

𝑫

𝒔 + 𝟎, 𝟖𝟑 − 𝟏, 𝟏𝟒𝒊+

𝑬

𝒔 + 𝟎, 𝟖𝟑 + 𝟏, 𝟏𝟒𝒊

Se deben determinar los valores de A,B,C,D y E

Z =

0.0053 + 0.0038i (resultado de B)

0.0053 - 0.0038i (resultado de C)

-0.0330 + 0.0142i (resultado de D)

-0.0330 - 0.0142i (resultado de E)

0.0556 + 0.0000i (resultado de A)

P =

0.0000 + 3.0000i

0.0000 - 3.0000i

-0.8333 + 1.1426i

-0.8333 - 1.1426i

0.0000 + 0.0000i




𝒚 𝒔 =(𝟎, 𝟎𝟔)

𝒔+

(𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟑 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟖𝒊)

𝒔 − 𝟑𝒊+

(𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟑 − 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟖𝒊)

𝒔 + 𝟑𝒊+

(−𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟑 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟒𝒊)

𝒔 + 𝟎, 𝟖𝟑 − 𝟏, 𝟏𝟒𝒊+

(−𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟑 − 𝟎, 𝟎𝟏𝟒𝒊)

𝒔 + 𝟎, 𝟖𝟑 + 𝟏, 𝟏𝟒𝒊

SE DEBE HACER USO DE LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE PARA LOS CASOS DONDE

LAS RAICES SEAN REALES (DIFERENTES O IGUALES), COMO ES EL CASO DEL PRIMER

TERMINO DE LA EXPRESIÓN.

PARA EL CASO DE RAICES IMAGINARIAS SE DEBE TRABAJAR CON LA SIGUIENTE

ECUACIÓN:

£𝑨

𝒔−𝒓−𝒘𝒊+

𝑩

𝒔−𝒓−𝒘𝒊= 𝒆𝒓𝒕 𝑨 + 𝑩 𝒄𝒐𝒔 𝒘𝒕 + 𝒊 𝑨 − 𝑩 𝒔𝒆𝒏 𝒘𝒕

Parte real del

numerador

Parte imaginaria del

numerador




𝒚 𝒔 =(𝟎, 𝟎𝟔)

𝒔+

(𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟑 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟖𝒊)

𝒔 − 𝟑𝒊+

(𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟑 − 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟖𝒊)

𝒔 + 𝟑𝒊+

(−𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟑 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟒𝒊)

𝒔 + 𝟎, 𝟖𝟑 − 𝟏, 𝟏𝟒𝒊+

(−𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟑 − 𝟎, 𝟎𝟏𝟒𝒊)

𝒔 + 𝟎, 𝟖𝟑 + 𝟏, 𝟏𝟒𝒊

El primer termino su raiz es real , pero del termino 2 al 5 son imaginarias por lo cual

se trabajaran con la ecuación dada anteriormente

Trabajando con B y C

£(𝟎,𝟎𝟎𝟓𝟑+𝟎,𝟎𝟎𝟑𝟖𝒊)

𝒔−𝟑𝒊+

(𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟓𝟑−𝟎,𝟎𝟎𝟑𝟖𝒊)

𝒔+𝟑𝒊= 𝒆𝒓𝒕 𝑨 + 𝑩 𝒄𝒐𝒔 𝒘𝒕 + 𝒊 𝑨 − 𝑩 𝒔𝒆𝒏 𝒘𝒕

w= 3 (se toma siempre positivo el signo)

r = 0

A real = 0,0053; A imaginario = 0,0038

B real = 0,0053; B imaginario = -0,0038

𝒆𝒓𝒕 𝑨 + 𝑩 𝒄𝒐𝒔 𝒘𝒕 + 𝒊 𝑨 − 𝑩 𝒔𝒆𝒏 𝒘𝒕 = 𝒆𝒐𝒕 𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟑 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝒘𝒕 +




𝒚 𝒔 =(𝟎, 𝟎𝟔)

𝒔+

(𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟑 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟖𝒊)

𝒔 − 𝟑𝒊+

(𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟑 − 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟖𝒊)

𝒔 + 𝟑𝒊+

(−𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟑 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟒𝒊)

𝒔 + 𝟎, 𝟖𝟑 − 𝟏, 𝟏𝟒𝒊+

(−𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟑 − 𝟎, 𝟎𝟏𝟒𝒊)

𝒔 + 𝟎, 𝟖𝟑 + 𝟏, 𝟏𝟒𝒊

𝒆𝒐𝒕 𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟑 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝒘𝒕 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟖 − (−𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟖) 𝒔𝒆𝒏 𝒘𝒕

RESULTADO:

𝟎, 𝟎𝟏𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝒘𝒕 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟕𝟔 𝒔𝒆𝒏 𝒘𝒕

DE IGUAL FORMA PARA LOS TERMINOS D Y E SE OBTIENEN:

𝒆𝟎,𝟖𝟑𝒕 −𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟑 − 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟒 − (−𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟒) 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒕

𝒆𝟎,𝟖𝟑𝒕 −𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝟔 𝒄𝒐𝒔 𝟏, 𝟏𝟒𝒕 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟖 𝒔𝒆𝒏 𝟏, 𝟏𝟒𝒕




𝒚 𝒔 =(𝟎, 𝟎𝟔)

𝒔+

(𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟑 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟖𝒊)

𝒔 − 𝟑𝒊+

(𝟎, 𝟎𝟎𝟓𝟑 − 𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟖𝒊)

𝒔 + 𝟑𝒊+

(−𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟑 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟒𝒊)

𝒔 + 𝟎, 𝟖𝟑 − 𝟏, 𝟏𝟒𝒊+

(−𝟎, 𝟎𝟎𝟑𝟑 − 𝟎, 𝟎𝟏𝟒𝒊)

𝒔 + 𝟎, 𝟖𝟑 + 𝟏, 𝟏𝟒𝒊

𝑷𝑶𝑹 𝑼𝑳𝑻𝑰𝑴𝑶 𝑺𝑬 𝑻𝑹𝑨𝑩𝑨𝑱𝑨 𝑬𝑳 𝑻𝑬𝑹𝑴𝑰𝑵𝑶 𝑨 𝑷𝑶𝑹 𝑻𝑨𝑩𝑳𝑨 𝑫𝑬 𝑻𝑹𝑨𝑵𝑺𝑭𝑶𝑹𝑴𝑨𝑫𝑨𝑺:

𝒌

𝒔 + 𝒂= 𝒆−𝒂𝒕

𝟎,𝟎𝟔

𝒔+𝟎= 𝟎, 𝟎𝟔 𝒆−𝒐𝒕 = 0,06

LA RESOLUCIÓN EN EL DOMINIO DEL TIEMPO SERÍA:

𝒚 𝒕 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒕 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟕𝟔 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒕 + 𝒆𝟎,𝟖𝟑𝒕 −𝟎, 𝟎𝟎𝟔𝟔 𝒄𝒐𝒔 𝟏, 𝟏𝟒𝒕 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟖 𝒔𝒆𝒏 𝟏, 𝟏𝟒𝒕 +

0,06

𝒚 𝒕 = 𝟎, 𝟎𝟔 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟏 𝒄𝒐𝒔 3 t +0,0076 sen 3t -0,0066 cos 1,14t *

𝒆𝟎,𝟖𝟑𝒕+ 0,0026 sen 1,14t * 𝒆𝟎,𝟖𝟑𝒕

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