presentación de la unidad sugerencias metodológicas

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Divisibilidad

Presentación de la unidadLa unidad 2 está dedicada a los múltiplos y divisores, así como a varias de sus aplicaciones. Por un lado, repasa y sistematiza los contenidos que se abordaron en cursos anteriores. Por el otro, introduce contenidos nuevos que permiten formalizar conceptos nuevos, así como su utilización en las situaciones reales de la vida diaria. Los contenidos son los que siguen:

Repaso de los conceptos de múltiplos y divisores

Se dedican a ello las páginas 18, 19 y 20. Se repasan desde un enfoque muy práctico, como lo prueba el hecho de que dos pá-ginas se dediquen a aplicaciones prácticas de estos conceptos. De hecho, se introducen cuestiones que preparan para la poste-rior aplicación de los contenidos correspondientes al mínimo co-mún múltiplo (m.c.m.) y al máximo común divisor (m.c.d.).

Números primos y compuestos

La página 21 se centra en el empleo de la tabla para practicar la criba de Eratóstenes, como técnica para obtener los números pri-mos contenidos en la sucesión de los cien primeros números.

Criterios de divisibilidad

Se dedican al estudio de los criterios de divisibilidad las páginas 22, 23 y 24. Se hace una distinción entre los criterios básicos, que se ocupan de la divisibilidad entre 2, 3, 5, 7 y 11 (es decir, los cinco primeros números primos) y los criterios complemen-tarios, de los que se han elegido los correspondientes a los nú-meros 4, 8, 9 y 25. Son muy sencillos de obtener y facilitan mucho los cálculos.

Estudio del mínimo común múltiplo

Se desarrolla en las páginas 25 y 27. Tras la presentación del concepto y de unos primeros ejercicios, se propone una página entera de su aplicación a situaciones concretas y reales. En la página 26, se intercala la técnica de descomposición en factores primos. Nuestros alumnos y nuestras alumnas, por su gran des-treza en el cálculo, podrían descomponer en factores primos de manera directa. Sin embargo, se introduce la técnica de la des-composición como una forma general, aplicable a la descom-posición de cualquier número, sea este del tamaño que sea.

Estudio del máximo común divisor

Se aborda en las páginas 28 y 29 y se sigue la pauta utilizada en el caso del m.c.m. En primer lugar, se presenta el concepto y se trabajan ejercicios de un tono más teórico. En segundo lugar, se dedica una página completa a la aplicación de este concepto a situaciones de la vida real.

Las páginas dedicadas al Repaso y Pienso y Juego cierran la unidad.

Sugerencias metodológicasLa presente unidad aborda contenidos que van a tener que ser aplicados ampliamente y en muy diversos contextos y situaciones en la Educación Secundaria. Por ello, salvaguar-dando las diferencias que se dan entre los estudiantes, las exigencias que se plantean a la mayoría (suficiencia) les garantizan un dominio de las técnicas que puede ser algo superior a lo que normalmente se exige en 6.º de Primaria. Ello no supone una carga excesiva, puesto que, una vez adquiridos los criterios de divisibilidad, la descomposición factorial la realizan con suma facilidad.

De acuerdo con el esquema ya utilizado, se desglosan los contenidos de la unidad en los tres niveles habituales.

Nivel básico

Cualquier niño o niña que haya pasado en la escuela el nú-mero prescrito de años debería saber:

• Cómo obtener múltiplos de cualquier número, y saber el sentido de divisor como el número que, al ser el divisor de otro, no origina restos.

• Reconocer las situaciones más básicas en las cuales los con-ceptos de múltiplo y divisor adquieren pertinencia.

• Encontrar los múltiplos y divisores comunes en series de números diferentes.

• Diferenciar los números primos de los números compuestos, y entender que si bien estos números no tienen divisores distintos que su mismo número y el número uno, sí pueden tener infinitos múltiplos.

• Aplicar los criterios de divisibilidad de, al menos, los núme-ros 2, 3 y 5.

• Entender el m.c.m. como la primera coincidencia de los múltiplos de varios números, y su sentido y aplicación al menos en dos situaciones modelizadas.

• Entender el m.c.d. como la coincidencia más alta de los divi-sores de varios números, y su sentido y aplicación al menos en una situación modelizada.

Nivel de suficiencia

La gran mayoría de los alumnos y las alumnas de la clase de-ben llegar a dominar, además de los correspondientes al nivel anterior, los contenidos siguientes:

• Procedimiento de obtención de los números primos menores de cien con la técnica de la criba de Eratóstenes.

• Criterios de divisibilidad del 7 y del 11, y los complementarios del 4, 8, 9 y 25.

2

23

• Descomposición factorial de números de hasta cuatro cifras, aplicando los criterios de divisibilidad de los cinco primeros números primos, al menos utilizando el formato c) de la pági-na 26.

• Concepto del m.c.m. y su aplicación en situaciones variadas.

• Concepto del m.c.d. y su aplicación en situaciones variadas.

Nivel de maestría

Los alumnos y las alumnas más destacados de la clase deben llegar a dominar y saber, además de los correspondientes a los niveles anteriores, los contenidos siguientes:

• Procedimiento de obtención de los números primos mayo-res de cien y menores de 150.

• Descomposición factorial de números de hasta cinco cifras aplicando los criterios de divisibilidad de los cinco primeros números primos, utilizando los tres formatos explicados en la página 26.

Recursos y materiales recomendadosEn esta unidad, por una parte, tenemos la aplicación en Internet de Mario Ramos en su web «El tanque matemático», dedicada a la división por dos cifras que nos puede ser muy útil para repasar y motivar la introducción de los contenidos. En este programa podemos encontrar un apartado muy didác-tico relativo al aprendizaje, la construcción y la ejercitación de «escalas» para repasar con el alumnado que quizá lo haya ol- vidado por la falta de uso. Disponemos de este recurso en actiludis.com/?p=52541

Por otra parte, como material impreso disponemos de una ri-ca y precisa selección de actividades en el blog de Actiludis que nos permitirá comprender y afianzar tanto las escalas co-mo las divisiones por dos cifras.

Actividades para imprimir:

– Criba de Erastóstenes: http://www.actiludis.com/?p=14334

– Múltiplos y divisores:

http://www.actiludis.com/?p=60436


– Varias fichas de trabajo con el m.c.m. y el m.c.d.:








Todos los criterios de divisibilidad en formato «minilibro» con explicación de montaje en http://www.actiludis.com/?p=54711

Vídeos relacionados con la temática:

– Vídeo con descomposición factorial con alumnado ABN de 6.º: https://www.youtube.com/watch?v=f9SXITOVtHk

Múltiplos y divisores con piezas de construcción: https://www.youtube.com/watch?v=owCgyHbCF1c

– Descomposición factorial m.c.m. y m.c.d. con dos enlaces:

https://vimeo.com/48830525

https://www.youtube.com/watch?v=6THHLPnvqH8

– Herramientas TIC

En el vídeo sobre descomposición factorial con piezas de construcción se usa el programa «Cache Lego» http://cache.lego.com/flash/creative/Games/LegoBuilder/legobuilder_v19.swf

Criba de Eratóstenes en Excel y vídeo de explicación en:


Criba de Eratóstenes en Scratch:

https://scratch.mit.edu/projects/20223361/

Actividad lúdica para aplicar la criba de Eratóstenes:

https://scratch.mit.edu/projects/86552321

Máximo común divisor con Scratch:


Mínimo común múltiplo con Scratch:



Máximo común divisor y mínimo común múltiplo con Thatquiz: http://www.actiludis.com/?p=59561

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo con Scratch:



Educación en valoresLa unidad está dedicada a la división, criterios de divisibilidad y máximo común divisor, por lo que en el apartado de valores puede ser un buen momento para trabajar la idea de división como concepto que va más allá de las matemáticas.

¿Qué es para los escolares el concepto de dividir fuera de los números? ¿Es bueno o malo dividir? ¿En qué situaciones de la vida real el termino dividir está presente?

Por otra parte, también podemos analizar los conceptos, algu-nos de ellos antagónicos, que el término dividir trae consigo.

Por un lado, dividir como separar y, dentro de esta acepción, que los alumnos y las alumnas aporten frases y situaciones en la que se use en sentido positivo («separar el trigo de la paja») o negativo («la guerra separa a las familias»).

Y por el otro, con la acepción de repartir, que implica normal-mente situaciones e ideas de igualdad.

Pero, hay más sinónimos de la palabra dividir que pueden ayudar a profundizar en la idea del término y su relación con las matemáticas, lo que nos permitirá una gran variedad de análisis en el aula, como por ejemplo: trocear, cortar, fraccio-nar, partir, quebrar, romper, distribuir, etc.

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ESQUEMA DE LA UNIDAD

Divisibilidad

Repaso de múltiplos y divisores

Números primos y criba de Erastótenes

Máximo común divisor

Pienso y Juego m.c.m y m.c.d.

Minimo común múltiplo

Descomposición factorial

Criterios de divisibilidad

Problemas de m.c.m.

Problemas de m.c.d.

Anotaciones

resolución de problemas

números operaciones

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Sugerencias metodológicas

Iniciamos la unidad con un repaso de conceptos conocidos por el alumnado y necesarios para lograr la adquisición de los nue-vos contenidos. Previamente, presentamos ejemplos de situacio-nes de la vida real donde identificar estos conceptos matemáti-cos. Otros que también les serán familiares son:

– Dos o más autocares parten de la misma parada a la misma hora, pero tardan distinto tiempo en sus rutas. ¿Cuándo coinci-dirán de nuevo en la parada inicial?

– Se desea repartir distintos objetos entre un cierto número indi-viduos, de tal modo que cada uno reciba un número exacto de cada uno de ellos.

Ejercicio 1. El docente ha de advertir a los alumnos y a las alumnas de que, antes de encontrar el número que no debe es-tar en la sucesión de múltiplos, deben definir de qué número son múltiplos los que aparecen en cada secuencia del ejercicio. Para ello, habrán de localizar el múltiplo menor (en la primera fila es el 2; en la segunda, el 7 y en la tercera, el 3, descartando el cero). A partir de él, es fácil deducir el número desde el que se han generado los múltiplos y, por tanto, descubrir cuál se in-cluye indebidamente.

Ejercicio 3. Es un ejercicio muy interesante y al que conviene prestar mucha atención. Además de la realización material del ejercicio, el docente ha de hacerles ver las periodicidades que se dan en las dos sucesiones. En la sucesión de múltiplos del seis, cada tres es un múltiplo de nueve. En la sucesión de múltiplos de nueve, cada dos es múltiplo de seis. Por ello, descubrir el patrón es importante y ahorra mucho tiempo en la realización del ejercicio. Pero también es importante saber por qué se origi-na ese patrón. El primer múltiplo común del 6 y del 9 es el 18. Hace falta iterar tres veces el número 6 para obtenerlo (6-12-18), mientras que el 9 solo hay que hacerlo dos (9-18).

Soluciones

1 a) 15 b) 74 c) 49

2 × 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

a) 6, 12, 18 b) 14 c) 21 d) 56

3 a) 96, 102, 108, 114, 120

b) 144, 153, 162, 171, 180

c) 18, 36, 54, 72, 90, 108

d) Respuesta libre. Por ejemplo: 36 + 54 = 90. Sí, ocurre siempre.

e) Respuesta libre. Por ejemplo: 108 – 36 = 72. Sí, ocurre siempre.

Investiga en equipo

Evidentemente, se obtienen las mismas conclusiones que en el ejercicio 3. Para no hacerlo muy reiterativo, se debe aconsejar a los niños y a las niñas que no vayan más allá del número 100.

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2

Unidad

18

Divisibilidad2 1 En estos grupos de números se han colado algunos que no corres-ponden. Encuéntralos y explica por qué.

a) 24, 6, 4, 10, 12, 14, 15, 16.

b) 14, 49, 21, 56, 74, 28, 84.

c) 21, 15, 3, 0, 49, 30, 18, 12.

2 Completa esta tabla en tu cuaderno y escribe los múltiplos comunes:

a) De 2 y de 3. b) De 2 y de 7.

c) De 3 y de 7. d) De 7 y de 8.

3 Observa con detenimiento las secuencias de los múltiplos de 6 y de 9. Están destacados en las dos secuencias los tres primeros múltiplos comunes de ambas secuencias.

Repaso de múltiplos y divisores (I)

a) Completa la secuencia de los múltiplos de 6 hasta el 120.

b) Completa la secuencia de los múltiplos de 9 hasta el 180.

c) ¿Cuáles son los múltiplos comunes de 6 y 9 en esta serie?

d) Elige al azar un múltiplo común de 6 y otro de 9, y súmalos. ¿El núme-ro que se obtiene es a la vez múltiplo de 6 y de 9? Con la calculadora, repite el ejercicio con más parejas de múltiplos. ¿Siempre ocurre así?

e) Coge un múltiplo común de 9 y otro de 6, y réstalos. El primero tiene que ser mayor que el segundo. Su diferencia, ¿es múltiplo común de 6 y de 9? Con la calculadora, repite el ejercicio con más parejas de múlti-plos. ¿Siempre ocurre así?

Múltiplos

Divisores

Son múltiplos de 5: 10, 15 y 20 (porque 10 = 2 × 5, 15 = 3 × 5 y 20 = 4 × 5).

Cualquier número tiene infinitos múltiplos.

Los divisores de 8 son 1, 2, 4 y 8 (porque 8 : 1 = 8, 8 : 2 = 4, 8 : 4 = 2 y 8 : 8 = 1).

Cualquier número tiene un número exacto de divisores.

Situaciones en las que se usan múltiplos

• Al comprar uno, dos, tres… objetos, su precio lo vas multiplicando por la cantidad de objetos que compras, sin que sobre nada.

• Para envasar cantidades exactas en cajas. Sabiendo la capacidad de la caja, puedes determinar las cantidades que puedes envasar.

• Para saber cuándo coinciden dos sucesos. Por ejemplo:

Tú vas al gimnasio cada dos días, y una amiga tuya, cada tres. ¿Qué días coincidiréis?

Situaciones en las que se usan divisores

• Para saber de cuántas formas distintas puedes repartir cualquier cosa.

• Si necesitas cortar un material para construir algo y quieres aprovecharlo al máximo sin que te sobre nada. ¿De cuántas formas puedes cortarlo?

• Si tienes dos cantidades de algo y quieres saber cuál es el máximo de cada una que puedes coger para repartir, sin que sobre nada.

× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 2 4 6 8 10 … … … … …

3 … … … … 15 18 … … … …

7 … … … … … … 49 … … …

8 … … … … … … … 64 … …

6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90

9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135

Investiga en equipoEstableced la secuencia de los múltiplos comunes de dos números menores de diez que no sean ni el 6 ni el 9. Comprobad si se cum-ple lo mismo que en el ejercicio 3.

Un múltiplo de un número es el número que obtienes multiplicando ese número por cualquier otro.

Los divisores de un número son todos los números que lo dividen de forma exacta.

Anotaciones

26

20 21

2

UnidadRepaso de múltiplos y divisores (II) Números primos y criba de Eratóstenes

1 Imagina que ahora tienes una garrafa de 15 litros. ¿Cómo podríamos hacerlo? ¿Y si fuera de 20 litros?

2 Observa el ejemplo y completa la siguiente tabla en tu cuaderno:

1 Construye en tu cuaderno una tabla del 100 como la anterior. Vas a descubrir todos los números primos menores de 100.

1.º A partir del 2 (sin contarlo), tacha todos sus múltiplos (tacha de dos en dos).

2.º Cuando hayas acabado, a partir del 3, tacha todos los múltiplos de tres (tacha de tres en tres).

3.º El 4 ya está tachado. A partir del 5, tacha todos los múltiplos del cinco (tacha de cinco en cinco).

4.º El 6 ya está tachado. A partir del 7, tacha de siete en siete.

5.º El 8, el 9 y el 10 están tachados. Tacha a partir del 11 y de once en once.

6.º Sigue así contando y tachando hasta que no puedas más. Los números que te quedan sin tachar son los números primos menores de 100.

Si lo has hecho bien, te han debido salir: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97. ¡Compruébalo!

2 Entre estos números hay tres números primos. ¿Cuáles son?

3 Selecciona, en tu cuaderno, los números primos del 101 al 150.

Vamos a plantear un problema que se resuelve con divisores:

Destacadas, aparecen las capacidades de las botellas con las que ese re-parto se puede hacer. Observa que el número de litros de cada botella es un divisor de 18. Si elegimos botellas de 1 l, necesitaremos 18 botellas.

Una criba es una selección; la criba de Eratóstenes es un procedimiento que permite seleccionar todos los números primos menores de un número natural dado. En el ejercicio 1, vamos a verlo con el 100.

Queremos repartir 18 litros de agua de una garrafa en distintas bo-tellas, en las que quepan un número exacto de litros y que no nos sobre nada. ¿De cuántas maneras podemos hacerlo?

capacidad de cada botella en litros

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

3 Escribe todos los divisores que tienen las siguientes parejas de núme-ros. Rodea los que sean comunes a ambos números.

a) Divisores de 8 y 12.

b) Divisores de 9 y 18.

c) Divisores de 10 y 15.

d) Divisores de 8 y 24.

e) Divisores de 6 y 24.

n.º es múltiplo de…

1 …

3 …

6 …

12 1, 2, 3, 4, 6 y 12

14 …

15 …

son divisores de… n.º… 1… 3

1, 2, 3 y 6 6… 12… 14… 15

Un número primo es aquel que solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130

131 132 133 134 135 136 137 138 139 140

141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

23 33 43 6353 93


Ejercicio 2. Para que el escolar capte la reversibilidad, debe co-menzar rellenando en la primera tabla los múltiplos del seis, y en la segunda los divisores del doce. De este modo, podrá con-trastar lo que ocurre y pasar con naturalidad de los múltiplos a los divisores. Una vez que se sabe de qué números es múltiplo el número propuesto, es automático conocer cuáles son sus di-visores.


Ejercicio 3. Se trata de que hagan con los números que van del 101 al 150 lo mismo que realizaron en el ejercicio 1. Ha de ha-cérseles una ADVERTENCIA: Deben comenzar a contar a partir del último múltiplo de la tabla del cien.

Soluciones

1 15 litros: 1, 3, 5, 15

20 litros: 1, 2, 4, 5, 10, 20

2 n.º es múltiplo de…

1 1

3 1 y 3

6 1, 2, 3 y 6

12 1, 2, 3, 4, 6 y 12

14 1, 2, 7 y 14

15 1, 3, 5 y 15

son divisores de… n.º

1 1

1 y 3 3

1, 2, 3 y 6 6

1, 2, 3, 4, 6 y 12 12

1, 2, 7 y 14 14

1, 3, 5 y 15 15

3 a) 1 - 2 - 4 - 8 y 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 12

b) 1 - 3 - 9 y 1 - 2 - 3 - 6 - 9 - 18

c) 1 - 2 - 5 - 10 y 1 - 3 - 5 - 15

d) 1 - 2 - 4 - 8 y 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 8 - 12 - 24

e) 1 - 2 - 3 - 6 y 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 8 - 12 - 24

Soluciones

2 23, 43 y 53.

3

2 El último múltiplo fue 100. El primer número que cuentan es 101.

3 El último múltiplo fue 99. El número 101 es el segundo que cuentan.

5 El último múltiplo fue 100. El primer número que cuentan es 101.

7 El último múltiplo fue 98. El número 101 es el tercero que cuentan.

11 El último múltiplo fue 99. El número 101 es el segundo que cuentan.

Una vez que hayan tachado los números múltiplos de 2, 3, 5, 7 y 11, se les pide que, con ayuda de la calculadora, comprueben si alguno de los números no tachados puede tener como divisor los números primos menores de 100. Por ejemplo, el primer pri-mo que queda es el 107. ¿Es múltiplo de 13? ¿Y de 17?, etc.

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

121 122 123 124 125 126 127 128 129 130

131 132 133 134 135 136 137 138 139 140

141 142 143 144 145 146 147 148 149 150

27

22 23

2

UnidadCriterios de divisibilidad Criterios de divisibilidad por 7 y por 11

Si los números son pequeños, es muy fácil encontrar sus divisores; si los núme-ros son muy grandes, hay pistas que nos indican por qué números son divisi-bles. Son los criterios de divisibilidad. Los recordamos de 5.º:

Criterio de divisibilidad por 2


238

1 Separamos la cifra de las unidades: 23 8

2 Del número que resulta (23), resta el doble de la cifra de las unidades (2 × 8 = 16) 8 23 – 16 = 7. Como 7 es múltiplo de 7, 238 es divisible por 7.

2 261

Si el número es muy grande, repetimos el proceso:


2 Del número que resulta (226), resta el doble de la cifra de las unidades (2 × 1 = 2) 8 226 – 2 = 224

3 Repetimos el proceso. Separamos las unidades: 22 4

4 Del número que resulta (22), resta el doble de la cifra de las unidades (2 × 4 = 8) 8 22 – 8 = 14. Como 14 es múltiplo de 7, 2 261 es divisi-ble por 7.


429

1 Suma las cifras que ocupan los lugares impares (U y C) 8 9 + 4 = 13

2 Suma las cifras que ocupan los lugares pares (D, UM…) 8 2

3 Resta ambas cantidades 8 13 – 2 = 11

Si la diferencia es 0 o múltiplo de 11, el número es divisible por 11.

1 Comprueba si 476 y 8 274 son divisibles por 7.

2 Sin hacer las divisiones, completa la tabla en tu cuaderno para saber qué números son divisibles por 7 y por 11. Compruébalo con la calculadora.

1 Clasifica los siguientes números, según sean divisibles por 2, 3 y 5 (pue-den ser divisibles por más de un número a la vez): 312, 225, 125, 632, 654, 5 292, 9 594 y 12 482.

2 ¿Es posible que haya algún número primo que acabe en 0? ¿Y en 6? ¿Y en 8? ¿Por qué?

3 Completa en tu cuaderno la siguiente tabla:

Todos los números que acaben en 0 o en cifra par, tienen el 2 como divisor. Por ejemplo: 2 420, 1 112, 25 438.

Todos los números en los que la suma de sus cifras sea múltiplo de 3, tienen el 3 como divisor. Por ejemplo:

3 252 8 3 + 2 + 5 + 2 = 12. 12 es múltiplo de 3, por lo que 3 252 es divisible entre 3.

Todos los números que tienen como cifra final el 0 o el 5, tienen el 5 como divisor. Por ejemplo: 1 950, 9 995.



4 Escribe dos números que sean a la vez divisibles por…

a) … 2 y 3 b) … 3 y 5 c) … 2 y 5 d) … 2, 3 y 5

n.ºes divisible por…2 3 5

28 Sí No No

51 … … …

306 … … …

172 … … …

180 … … …

n.º ¿divisible por 7?525 52 – 10 = 42 Sí

343 … …

351 … …

2 261 … …

3 101 … …

n.º ¿divisible por 11?121 1 + 1 = 2 2 2 – 2 = 0 Sí

457 … … … …

4 224 … … … …

60 379 … … … …

20 482 … … … …

Anotaciones


Ejercicio 1. Se les pide que construyan una tabla como la que sigue, de modo que en cada número determinen si es divisible por 2, 3 o 5.

Soluciones

1 Divisible solo por 2: 632 y 12 482

Divisible solo por 5: 125

Divisible por 2 y por 3: 312, 654, 5 292, 9 594

Divisible por 3 y por 5: 225

2 La respuesta en todos los casos es no. Los números acabados en 0 son múltiplos, al menos, del 2 y del 5. Y los acabados en 6 y 8 lo son al menos del número 2.

3

2 3 5

312 × ×

225 × ×

125 ×

632 ×

2 3 5

654 × ×

5 292 × ×

9 594 × ×

12 482 ×


28 Sí No No

51 No Sí No

306 Sí Sí No

172 Sí No No

180 Sí Sí Sí

4 Respuesta libre. En cualquier caso, deben reunir las condiciones que se expresan:

a) Deben ser 6 y un múltiplo de seis, o dos múltiplos de seis.

b) Deben ser 15 y un múltiplo de quince, o dos múltiplos de quince.

c) Deben ser 10 y un múltiplo de diez, o dos múltiplos de diez.

d) Deben ser 30 y un múltiplo de treinta, o dos múltiplos de treinta.

28

22 23

2

UnidadCriterios de divisibilidad Criterios de divisibilidad por 7 y por 11

Si los números son pequeños, es muy fácil encontrar sus divisores; si los núme-ros son muy grandes, hay pistas que nos indican por qué números son divisi-bles. Son los criterios de divisibilidad. Los recordamos de 5.º:



238


2 Del número que resulta (23), resta el doble de la cifra de las unidades (2 × 8 = 16) 8 23 – 16 = 7. Como 7 es múltiplo de 7, 238 es divisible por 7.

2 261

Si el número es muy grande, repetimos el proceso:


2 Del número que resulta (226), resta el doble de la cifra de las unidades (2 × 1 = 2) 8 226 – 2 = 224

3 Repetimos el proceso. Separamos las unidades: 22 4

4 Del número que resulta (22), resta el doble de la cifra de las unidades (2 × 4 = 8) 8 22 – 8 = 14. Como 14 es múltiplo de 7, 2 261 es divisi-ble por 7.


429

1 Suma las cifras que ocupan los lugares impares (U y C) 8 9 + 4 = 13

2 Suma las cifras que ocupan los lugares pares (D, UM…) 8 2

3 Resta ambas cantidades 8 13 – 2 = 11

Si la diferencia es 0 o múltiplo de 11, el número es divisible por 11.

1 Comprueba si 476 y 8 274 son divisibles por 7.

2 Sin hacer las divisiones, completa la tabla en tu cuaderno para saber qué números son divisibles por 7 y por 11. Compruébalo con la calculadora.

1 Clasifica los siguientes números, según sean divisibles por 2, 3 y 5 (pue-den ser divisibles por más de un número a la vez): 312, 225, 125, 632, 654, 5 292, 9 594 y 12 482.

2 ¿Es posible que haya algún número primo que acabe en 0? ¿Y en 6? ¿Y en 8? ¿Por qué?

3 Completa en tu cuaderno la siguiente tabla:

Todos los números que acaben en 0 o en cifra par, tienen el 2 como divisor. Por ejemplo: 2 420, 1 112, 25 438.

Todos los números en los que la suma de sus cifras sea múltiplo de 3, tienen el 3 como divisor. Por ejemplo:

3 252 8 3 + 2 + 5 + 2 = 12. 12 es múltiplo de 3, por lo que 3 252 es divisible entre 3.

Todos los números que tienen como cifra final el 0 o el 5, tienen el 5 como divisor. Por ejemplo: 1 950, 9 995.



4 Escribe dos números que sean a la vez divisibles por…

a) … 2 y 3 b) … 3 y 5 c) … 2 y 5 d) … 2, 3 y 5


28 Sí No No

51 … … …

306 … … …

172 … … …

180 … … …

n.º ¿divisible por 7?525 52 – 10 = 42 Sí

343 … …

351 … …

2 261 … …

3 101 … …


457 … … … …

4 224 … … … …

60 379 … … … …

20 482 … … … …


La página completa los criterios de divisibilidad correspondien-tes a los primeros números primos. Nuestra experiencia nos dice que el aprendizaje de estos dos criterios (los correspondientes al 7 y al 11) se realiza con rapidez y, además, suscita interés en los alumnos y las alumnas. Los ven como algo mágico.

Actividades de ampliación

Para fijar mejor los criterios, se les plantean ejercicios con núme-ros grandes que no sean múltiplos de 7 ni de 11, con el objeto de que ellos manipulen las cifras con el fin de convertirlos en múltiplos de estos números. Por ejemplo:

En el caso del número 7, se trabaja con números de tres cifras:

1. El número 852 no es múltiplo de 7. Modifica la cifra de las unidades para que sí lo sea.

852 8 85 y 4. 85 – 4 = 81. No es múltiplo de 7.

854 8 85 y 8. 85 – 8 = 77. Sí es múltiplo de 7

En el caso del número 11 se pueden proponer números de cuatro cifras:

2. El número 6 221 no es múltiplo de 11. Modifica la cifra de las decenas para que sí lo sea.

6 221 8 8 y 3 8 8 – 3 = 5.

6 281 814 y 3 814 – 3 = 11.

Soluciones

1 476 8 47 y 6. 47 – 12 = 35. Es divisible por 7.

8 274 8 827 y 4. 827 – 8 = 819 8 81 – 18 = 63. Es divisible por 7.

2 n.º ¿divisible por 7?525 52 – 10 = 42 Sí

343 34 – 6 = 28 Sí

351 35 – 2 = 33 No

2 261 226 – 2 = 224 Sí

3 101 310 – 2 = 308 Sí


457 7 + 4 = 11 5 11 – 5 = 6 No

4 224 2 + 4 = 6 2 + 4 = 6 6 – 6 = 0 Sí

60 379 9 + 3 = + 6 = 18 0 + 7 = 7 18 – 7 = 11 Sí

20 482 2 + 4 + 2 = 8 0 + 8 = 8 8 – 8 = 0 Sí

Anotaciones

29

24 25

2

UnidadCriterios de divisibilidad complementarios Mínimo común múltiplo (m.c.m.)

1 Completa esta tabla en tu cuaderno comprobando si los números son o no divisibles:

2 Busca y escribe en tu cuaderno dos números que sean divisibles por:

a) 9 b) 25 c) 4 y 8

1 Observa estas rectas numéricas donde hemos señalado los múltiplos de 2, 3, 4 y 6. A continuación, calcula los m.c.m. que te pedimos.

Los siguientes números son, a su vez, divisibles por los que ya hemos trabajado. También existen criterios para saber si un número es divisible por ellos, sin necesidad de hacer las divisiones.

Observa la siguiente recta numérica. A continuación, hemos indicado los primeros múltiplos de 2, 4 y 5.

El menor múltiplo común de 2, 4 y 5 es el 20. Vamos a practicar con ello:

Sin contar el 0, y dentro de los veinte primeros números, responde:

a) ¿Qué múltiplos comunes tienen 2 y 4?

b) ¿Cuál es el múltiplo más pequeño de 2 y 4?

c) ¿Qué múltiplos comunes tienen 2 y 5?

d) ¿Qué múltiplos comunes tienen 4 y 5?

Cuando sus dos últimas cifras son 00 o múltiplo de 4, tienen el 4 como divisor. Por ejemplo: 2 600, 232.

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) es el múltiplo común más peque-ño posible (sin contar el cero) de dos o más números.

Cuando sus tres últimas cifras son 000 o las tres últimas cifras son múltiplo de 8, tienen el 8 como divisor.

En 8 056 las tres últimas cifras son 056. Como 56 es múltiplo de 8, 8 056 es divisible entre 8.

Por ejemplo: 26 000, 12 016.

Todos los números en los que la suma de sus cifras sea múltiplo de 9, tienen el 9 como divisor. Por ejemplo: 1 836 es divisible entre 9.

1 + 8 + 3 + 6 = 18. Como 18 es múltiplo de 9, 1 836 es divisible entre 9.

Por ejemplo: 846, 7 011.

Si sus dos últimas cifras son 00, 25, 50 o 75, tienen el 25 como divisor.

Por ejemplo: 4 000, 4 100, 325, 6 050, 1 375.





n.ºes divisible por…

4 8 9 25

37 800 Sí Sí Sí Sí

473 … … … …

528 … … … …

9 936 … … … …

3 Piensa y contesta: ¿es posible que exista un número…

a) … que sea divisible por 25 pero no por 5?

b) … que sea divisible por 5 pero no por 25?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Múltiplos de 2: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Múltiplos de 4: 4 8 12 16 20

Múltiplos de 5: 5 10 15 20

a) 2 y 3 b) 2 y 4 c) 2 y 6

d) 3 y 4 e) 3 y 6 f) 4 y 6

g) 2, 3 y 6 h) 3, 4 y 6 i) 2, 3, 4 y 6

2

3

4

6


Ejercicio 3. Se trata de un ejercicio cuya resolución pone de manifiesto si los alumnos y las alumnas han conceptualizado bien la construcción de los múltiplos a partir de los números primos.

Actividades de ampliación

Se puede proponer que resuelvan ejercicios en los que, en el marco de una centena, señalen los múltiplos de 25 y en el de una de sus semicentenas, los de 5 que no lo sean de 25. Por ejemplo: En la centena del 301 al 400, ¿qué números son múlti-plos de 25? En la primera semicentena, ¿cuáles son múltiplos de 5 y no de 25?


El modelo que se ofrece para la comprensión del concepto de m.c.m. es muy intuitivo. Cualquier otro modelo que pueda elegir el docente debe tener las características de este. Especialmente, que tenga los múltiplos de todos los números a la vista. Se les recuerda a los niños y a las niñas que algo de eso ya hacían ellos en cursos anteriores cuando buscaban una frac-ción equivalente a otras, pues iteraban o repetían el denomina-dor de la mayor hasta que encontraban uno que era divisible por el denominador de todas las fracciones: 3/4 + 1/2 + 2/3. Se iteraba el denominador mayor: • 8 (4 + 4). Le viene bien al 4 y al 2, pero no al denominador 3.• 12 (4 + 4 + 4). Les viene bien para los tres. Es decir, que sin saberlo, ellos ya hallaban el m.c.m. Para una mejor construcción del concepto, el docente debe pedirles:• Que trasladen el modelo formal que aquí se les muestra a

otros más reales. Por ejemplo, a una pista cerrada y al tiempo que tardan los corredores en darle la vuelta. O en una parada de autobús y los momentos en que coinciden dos o tres de los autobuses que tienen distinta frecuencia, etc.

• Que creen el ciclo de coincidencias. En el caso del ejemplo del libro, no vuelve a haber coincidencia hasta el 40. ¿En qué número volverán a coincidir? ¿Y cuál será el siguiente número en el que volverán a coincidir?

Finalmente, es bueno traducir los términos a un lenguaje más asequible. El mínimo común múltiplo es lo mismo que el múlti-plo común más pequeño.

Soluciones

1 n.º

es divisible por…4 8 9 25

37 800 Sí Sí Sí Sí

473 No No No No

528 Sí Sí No No

9 936 Sí Sí Sí No

2 Respuesta libre. Por ejemplo:

a) 18, 27, 81...

b) 75, 125, 250...

c) 16, 24, 64...

3 a) No hay ningún número que sea divisible por 25 y no por 5, porque 25 es el producto de 5 × 5.

b) Sí, todos los múltiplos de cinco anteriores a 25 (5, 10, 15, 20), los comprendidos entre 25 y 50 (55, 60, 65, 70), etc.

Soluciones

1 a) 6 b) 4 c) 6 d) 12 e) 6 f) 12 g) 6 h) 12 i) 12

30

26 27

2

Unidad

1 Haz la descomposición factorial de estos números, como en el ejemplo C:

a) 30 b) 64 c) 90

d) 75 e) 56 f) 250

2 Expresa, en forma de potencias, las descomposiciones que has realizado en el ejercicio anterior.

3 Por último, calcula el m.c.m. de:

a) 30 y 64 b) 30 y 90 c) 30 y 75

d) 30 y 56 e) 30 y 250 f) 64 y 90

Descomposición factorialPara encontrar rápidamente el m.c.m., utilizamos la descomposición fac-torial. Se trata de descomponer el número en todos los productos que lo forman. Observa los ejemplos de las descomposiciones del 36 (la más habitual es la C).

Para buscar el m.c.m. de 70, 20 y 42, usamos la descomposición factorial apli-cando lo que sabemos sobre criterios de divisibilidad.

70 = 2 · 5 · 720 = 22 · 5

42 = 2 · 3 · 7

70

35

7

1

2

5

7

20

10

5

1

2

2

5

42

21

7

1

2

3

7

7

2Resuelve el problema anterior empleando dos nuevos supuestos:

a) El mono salta de dos en dos y el canguro de tres en tres.

b) El mono salta de cuatro en cuatro y el canguro de seis en seis.

3A mi hermano le dan cada día cinco caramelos, y a mí me dan tres (me gustan menos que a él). ¿Coinciden, en una semana, alguna vez el núme-ro de caramelos que tenemos?

4En el problema anterior, ¿cuántos días tarda mi hermano en alcanzar el número en el que coincidimos? ¿Y yo?

5Rocío, Virginia y Carmen entrenan todos los días en el polideportivo. Em-piezan a correr a la vez, pero Rocío tarda en completar una vuelta 60 se-gundos; Virginia, 80 segundos, y Carmen, 120 segundos. ¿Cuántas vueltas dará cada una para poder encontrarse nuevamente en el punto de salida?

6Puedo ordenar mi colección de sellos colocando en cada hoja del álbum, 8 o 6 sellos por página. ¿Cuál es el mínimo número de sellos que tengo?

Por una parada de autobús pasan las líneas 1, 2 y 3. La 1 pasa cada 5 min, la 2 cada 6 min, y la 3 cada 10 min. Si coinciden los autobuses de las tres líneas en la parada a las siete de la tarde, ¿a qué hora volverán a encon-trarse en esa parada? Haz un esquema en tu cuaderno.

Problemas

Sobre una recta numérica de 20 números están saltando un mono y un canguro. El mono da saltos de tres en tres números, y el canguro de cua-tro en cuatro. ¿En qué números coinciden los saltos de ambos animales?

1

autobús

1 5 10

2 6 12

3 10 20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

2

2

3 3

×

×

×

18

9

36

×

× ××

66

36

2 33 2

36

18

9

3

1

2

2

3

3

a cb

Expresado en forma de potencias 8 36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 22 · 32

Aquí tienes problemas en que los múltiplos son útiles.

¡Como en la vida misma!

El m.c.m. de 70, 20 y 42, para que sea múltiplo de todos, debe contener en su descomposición los factores que sean comunes (con exponente ma-yor) y todos los no comunes.

m.c.m. (70, 20, 42) = 22 · 3 · 5 · 7 = 420


La página se ocupa de la descomposición factorial. Cuando los escolares se enfrentan a la misma por primera vez suelen encon-trar dificultades porque hasta ese momento las divisiones las ha-cían por números completos. Debemos enseñarles a que, en estos casos, trabajen con el valor posicional de las cifras. Es decir, que si el número a descomponer es de tres o cuatro cifras (o más), hagan la descomposición cifra a cifra, y no tratando el número como un bloque. En un ejemplo, si el número a descomponer es 6 155, que no «dividan» 6 155 entre cinco, sino que hallen la quinta parte de 6 millares, de 15 decenas y de 5 unidades. Una vez que lo entienden, realizan las descomposiciones con gran rapidez.

Soluciones

1 a) 301551

235

b) 6432168421

222222

c) 90451551

2335

d) 752551

355

e) 56281471

2227

f) 2501252551

2555

2 a) 2 × 3 × 5 b) 26 c) 2 × 32 × 5

d) 3 × 52 e) 23 × 7 f) 2 × 53

3 a) 960 b) 90 c) 150

d) 1 680 e) 1 500 f) 2 880

Anotaciones

31


Los problemas 1, 2, 5 y 7 se ajustan muy bien al modelo de las rectas numéricas que se han utilizado en la presentación del con-cepto de m.c.m. Sin embargo, los problemas 3, 4 y 6 no lo hacen así, por lo que pueden requerir de explicaciones posteriores.

Problemas 3 y 4. No se pide averiguar el m.c.m. de las dos cantidades, sino que la pregunta lleva implícito este supuesto. Coinciden en la primera semana, pues siendo el m.c.m. 15, el que más caramelos recibe alcanzará ese número el miércoles, y el que menos lo alcanzará el viernes. Ambos estarán en la mis-ma semana. Respecto al problema 4, pide explicitar unos datos que han tenido que ser utilizados para dar la primera respuesta. Es evidente que el hermano mayor ha reunido los caramelos en 3 días, y el menor, en 5.

Problema 6. ¿Cuándo es la primera vez que coinciden el núme-ro total de cromos si la página tiene 6 o tiene 8? Para que lo en-tiendan mejor, se les pide que iteren el 8 y vayan viendo si el número total de cromos que se obtiene con esa iteración se puede distribuir en páginas de 6.

Soluciones

1 Los dos animales coinciden en el 12.

2 a) Coinciden en el 6, en el 12 y en el 18.

b) Coinciden en el 12.

3 Coincide el viernes.

4 Mi hermano tarda tres días, y yo, cinco.

5 Rocío dará 4 vueltas; Virginia, 3, y Carmen, 2.

6 Tengo un mínimo de 24 sellos.

7 Volverán a coincidir a las siete y media de la tarde.

26 27

2

Unidad

1 Haz la descomposición factorial de estos números, como en el ejemplo C:

a) 30 b) 64 c) 90

d) 75 e) 56 f) 250

2 Expresa, en forma de potencias, las descomposiciones que has realizado en el ejercicio anterior.

3 Por último, calcula el m.c.m. de:

a) 30 y 64 b) 30 y 90 c) 30 y 75

d) 30 y 56 e) 30 y 250 f) 64 y 90

Descomposición factorialPara encontrar rápidamente el m.c.m., utilizamos la descomposición fac-torial. Se trata de descomponer el número en todos los productos que lo forman. Observa los ejemplos de las descomposiciones del 36 (la más habitual es la C).

Para buscar el m.c.m. de 70, 20 y 42, usamos la descomposición factorial apli-cando lo que sabemos sobre criterios de divisibilidad.

70 = 2 · 5 · 720 = 22 · 5

42 = 2 · 3 · 7

70

35

7

1

2

5

7

20

10

5

1

2

2

5

42

21

7

1

2

3

7

7

2Resuelve el problema anterior empleando dos nuevos supuestos:

a) El mono salta de dos en dos y el canguro de tres en tres.

b) El mono salta de cuatro en cuatro y el canguro de seis en seis.

3A mi hermano le dan cada día cinco caramelos, y a mí me dan tres (me gustan menos que a él). ¿Coinciden, en una semana, alguna vez el núme-ro de caramelos que tenemos?

4En el problema anterior, ¿cuántos días tarda mi hermano en alcanzar el número en el que coincidimos? ¿Y yo?

5Rocío, Virginia y Carmen entrenan todos los días en el polideportivo. Em-piezan a correr a la vez, pero Rocío tarda en completar una vuelta 60 se-gundos; Virginia, 80 segundos, y Carmen, 120 segundos. ¿Cuántas vueltas dará cada una para poder encontrarse nuevamente en el punto de salida?

6Puedo ordenar mi colección de sellos colocando en cada hoja del álbum, 8 o 6 sellos por página. ¿Cuál es el mínimo número de sellos que tengo?

Por una parada de autobús pasan las líneas 1, 2 y 3. La 1 pasa cada 5 min, la 2 cada 6 min, y la 3 cada 10 min. Si coinciden los autobuses de las tres líneas en la parada a las siete de la tarde, ¿a qué hora volverán a encon-trarse en esa parada? Haz un esquema en tu cuaderno.

Problemas

Sobre una recta numérica de 20 números están saltando un mono y un canguro. El mono da saltos de tres en tres números, y el canguro de cua-tro en cuatro. ¿En qué números coinciden los saltos de ambos animales?

1

autobús

1 5 10

2 6 12

3 10 20

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

2

2

3 3

×

×

×

18

9

36

×

× ××

66

36

2 33 2

36

18

9

3

1

2

2

3

3

a cb

Expresado en forma de potencias 8 36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 22 · 32

Aquí tienes problemas en que los múltiplos son útiles.

¡Como en la vida misma!

El m.c.m. de 70, 20 y 42, para que sea múltiplo de todos, debe contener en su descomposición los factores que sean comunes (con exponente ma-yor) y todos los no comunes.

m.c.m. (70, 20, 42) = 22 · 3 · 5 · 7 = 420

Anotaciones

primera iteración: 8 segunda iteración: 16 tercera iteración: 24

No pueden ser ocho cromos. Si en cada pági-na cupieran seis cromos, sobrarían dos.

Tampoco pueden ser 16. Llenaría dos páginas de ocho cromos, pero si fueran las páginas de seis cromos, necesitaría dos páginas y además llenaría cuatro espacios en la página siguiente.

Este es el número de cro-mos. Si cupieran 8 por página, se completarían tres páginas. Si cupieran seis, se completarían 4 páginas.

autobús

1

2

3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

5 10 15 20 25 30

10 20 30

6 12 18 24 30

32

28 29

2

Unidad

1 Realiza la descomposición factorial de los siguientes números:

a) 20 b) 44 c) 60 d) 55 e) 72 f) 150

2 Expresa en forma de potencias las descomposiciones que has realizado en el ejercicio anterior.

3 Por último, calcula el m.c.d. de:

a) 20 y 44 b) 60 y 44 c) 55 y 72 d) 20, 55 y 150 e) 44, 60 y 72

Máximo común divisor (m.c.d.)

Observa esta recta numérica, en la que hemos marcado los divisores de 16, 14, 10, 8 y 6.

Vamos a practicar con ello. Sin contar el 0, y dentro de los dieciséis pri-meros números, responde:

a) ¿Por qué números es divisible 16? ¿Y 14? ¿Y 10? ¿Y 8 y 6?

b) ¿Qué divisores comunes tienen 16 y 14? ¿Y 8? ¿Y 16?

c) ¿Qué divisores comunes tienen 16, 14, 10, 8 y 6?

Para buscar el m.c.d., usamos la descomposición factorial y los criterios de divisibilidad. ¿Cuál sería el m.c.d. de 70, 20 y 42?

3

2En el salón «A» de un hotel hay 16 personas, y en el «B», 24. Se tienen que trasladar, pero vamos a ver cómo lo harían si:

• Solo pueden pedir un medio de transporte.

• En cada viaje, el medio de transporte debe ir lleno.

• No puede quedar nadie en los salones después del último viaje.

• El medio de transporte tiene que hacer el menor número de viajes po-sible.

a) ¿Cuántas personas deberán ir en ese medio de transporte?

En el salón «A» podrían irse en cada viaje…

En el salón «B» podrían irse en cada viaje…

b) ¿Qué número de plazas del medio de transporte coincide en ambos casos?

c) ¿Qué número de plazas tendría el medio de transporte que elegirías?

Resuelve estos otros casos, en los que variamos el número de personas que hay en los salones «A» y «B». Completa la tabla en tu cuaderno.

Problemas

Tengo dos garrafas: una, con una capacidad de 12 litros, y otra, donde caben 10 litros. ¿Qué capacidad máxima debe tener una jarra que vacíe ambas garrafas sin que sobre nada, y que no sea de un litro?

1

El máximo común divisor (m.c.d.) es el mayor divisor común de dos o más números.

m.c.d. (70, 20 y 42) = 2. Para que sea divisor de los tres, debe con-tener en su descomposición los factores que sean comunes (con el exponente menor).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

16

14

10

8

6

703571

257

201051

225

422171

237

70 = 2 · 5 · 720 = 22 · 542 = 2 · 3 · 7

Y ahora vamos a realizar problemas en que

los divisores son útiles. ¡Son situaciones

reales!

Personas en el salón «A» 15 28 20 21 18

Personas en el salón «B» 10 21 16 15 9

Número de plazas del vehículo 5 … … … …


El máximo común divisor es más difícil de conceptualizar que el mínimo común múltiplo. En parte, porque es menos frecuente la necesidad de su uso y, también, porque el nombre puede re-sultar equívoco: máximo, cuando se trata de coger los menores exponentes. Por ello, se puede utilizar, al comienzo, el término de «divisor común mayor». El modelo de las rectas numéricas es muy intuitivo.

Como habíamos señalado en la página dedicada al m.c.m., tam-bién aquí hay que trabajar la aplicación del modelo formal a si-tuaciones reales de la vida: capacidades de botellas, envases de objetos, agrupamientos de escolares, etc.

Soluciones

1 a) 201051

225

b) 4422111

2211

c) 60301551

2235

d) 55111

511

e) 723618931

22233

f) 150752551

2355

2 a) 22 × 5 b) 22 × 11 c) 22 × 3 × 5

d) 5 × 11 e) 23 × 32 f) 2 × 3 × 52

3 a) 2 b) 2 c) No tiene. d) 5 e) 2

Anotaciones

33

28 29

2

Unidad

1 Realiza la descomposición factorial de los siguientes números:

a) 20 b) 44 c) 60 d) 55 e) 72 f) 150

2 Expresa en forma de potencias las descomposiciones que has realizado en el ejercicio anterior.

3 Por último, calcula el m.c.d. de:

a) 20 y 44 b) 60 y 44 c) 55 y 72 d) 20, 55 y 150 e) 44, 60 y 72

Máximo común divisor (m.c.d.)

Observa esta recta numérica, en la que hemos marcado los divisores de 16, 14, 10, 8 y 6.

Vamos a practicar con ello. Sin contar el 0, y dentro de los dieciséis pri-meros números, responde:

a) ¿Por qué números es divisible 16? ¿Y 14? ¿Y 10? ¿Y 8 y 6?

b) ¿Qué divisores comunes tienen 16 y 14? ¿Y 8? ¿Y 16?

c) ¿Qué divisores comunes tienen 16, 14, 10, 8 y 6?

Para buscar el m.c.d., usamos la descomposición factorial y los criterios de divisibilidad. ¿Cuál sería el m.c.d. de 70, 20 y 42?

3

2En el salón «A» de un hotel hay 16 personas, y en el «B», 24. Se tienen que trasladar, pero vamos a ver cómo lo harían si:

• Solo pueden pedir un medio de transporte.

• En cada viaje, el medio de transporte debe ir lleno.

• No puede quedar nadie en los salones después del último viaje.

• El medio de transporte tiene que hacer el menor número de viajes po-sible.

a) ¿Cuántas personas deberán ir en ese medio de transporte?

En el salón «A» podrían irse en cada viaje…

En el salón «B» podrían irse en cada viaje…

b) ¿Qué número de plazas del medio de transporte coincide en ambos casos?

c) ¿Qué número de plazas tendría el medio de transporte que elegirías?

Resuelve estos otros casos, en los que variamos el número de personas que hay en los salones «A» y «B». Completa la tabla en tu cuaderno.

Problemas

Tengo dos garrafas: una, con una capacidad de 12 litros, y otra, donde caben 10 litros. ¿Qué capacidad máxima debe tener una jarra que vacíe ambas garrafas sin que sobre nada, y que no sea de un litro?

1

El máximo común divisor (m.c.d.) es el mayor divisor común de dos o más números.

m.c.d. (70, 20 y 42) = 2. Para que sea divisor de los tres, debe con-tener en su descomposición los factores que sean comunes (con el exponente menor).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

16

14

10

8

6

703571

257

201051

225

422171

237

70 = 2 · 5 · 720 = 22 · 542 = 2 · 3 · 7

Y ahora vamos a realizar problemas en que

los divisores son útiles. ¡Son situaciones

reales!

Personas en el salón «A» 15 28 20 21 18


Número de plazas del vehículo 5 … … … …


Problema 1. Para que los niños y las niñas entiendan bien el fundamento del problema, se puede comenzar con la técnica de ensayo y error. Se empieza por el primer divisor del número ma-yor, que es 6, y se sigue hasta que se encuentre uno que valga para las dos garrafas.

• ¿Con una jarra de seis litros vaciamos exactamente la garrafa de diez litros? No.

• ¿Con una jarra de cuatro litros vaciamos exactamente la garra-fa de diez litros? No.

• ¿Con una jarra de tres litros vaciamos exactamente la garrafa de diez litros? No.

• ¿Con una jarra de dos litros vaciamos exactamente la garrafa de diez litros? Sí.

Este es el m.c.d. ¿Para qué nos sirve la fórmula? Para ahorrarnos los intentos. Si 12 = 22 × 3, y 10 = 2 × 5, el m.c.d. es el número común con menor exponente, por tanto, el 2.

Problema 2. Se emplea la misma técnica que en el problema 1. Se parte del primer divisor del número 24, que es el 12, y se continúa hasta que se encuentre un divisor común.

• ¿Con un vehículo en el que quepan 12 personas se traslada a 16 personas? No.

• ¿Con un vehículo en el que quepan 8 personas se traslada a 16 personas? Sí.

El m.c.d. es 8. Se comprueba:

24 = 23 × 3, y 16 = 24. El m.c.d. es el común con menor expo-nente, o sea 8 (23).

Soluciones

1 Ha de tener una capacidad de 2 litros.

2 a) En el salón A podrían irse en cada viaje 2, 4, 8 o 16 personas.

En el salón B podrían irse en cada viaje 2, 3, 4, 6, 8, 12 o 24 personas.

b) Coincide en ambos casos el medio con 8 plazas.

c) Elegiría el medio con 8 plazas.

3 Personas en el salón «A» 15 28 20 21 18


Número de plazas del vehículo 5 7 4 3 9

Anotaciones

34

Unidad 2

PIENSO Y JUEGOREPASO

3130

1 Paula quiere comprar 32 yogures. Vienen en envases que contienen menos de 16 y más de 2 yogures. ¿Cuántos envases distintos hay? ¿Cuántos yogures tiene cada envase?

2 Álvaro ha comprado 180 bolígrafos. Vienen en cajas (de menos de 20 y más de 5), y cada caja trae los mismos bolígrafos. Escribe todas las posibilidades de los bolígrafos que puede traer cada caja.

3 ¿Cuál es el mayor múltiplo de 10 que tiene tres cifras? Escribe ese múl-tiplo y el siguiente.

4 En una fábrica van a empaquetar en cajas 100 botellas de refresco. ¿Cuántas botellas deben caber en una caja para que no sobre ningu-na botella? Escribe todos los tamaños posibles, salvo la caja en la que quepa una sola botella.

5 La baraja española tiene 40 cartas. ¿Cuántas personas pueden jugar sin que, al repartir las cartas, sobre o falte ninguna?

6 ¿Cuál es el menor número de personas posible para que se puedan formar equipos de 4 y de 5 personas sin que sobre ninguna?

7 Un material escolar está formado por bloques de madera. Hay tres co-lores (azul, rojo y amarillo), dos tamaños (grande y pequeño), dos gro-sores (grueso y delgado), y cuatro figuras geométricas distintas. ¿Cuán-tas piezas tiene como mínimo?

8 Manuel cuenta los euros que tiene en la hucha, de dos en dos, de cin-co en cinco y de seis en seis, y no le sobra nada. ¿Cuánto dinero tiene? (Tiene el menor número de euros posible contándolos de esa manera).

9 Gema lleva en el bolsillo más de 20 € y menos de 30 €. Es un número que es a la vez múltiplo de 8, de 6, de 4, de 3 y de 2. ¿Cuánto dinero lleva en el bolsillo?

Fotofobia 8 m.c.d. (12 y 90)

Hidrofobia 8 m.c.m. (30 y 9)

Agorafobia 8 m.c.d. (8 y 30)

Claustrofobia 8 m.c.d. (210 y 462)

Acrofobia 8 m.c.d. (36 y 135)

Aerofobia 8 m.c.m. (15 y 50)

Xenofobia 8 m.c.d. (198 y 270)

Catagelofobia 8 m.c.m. (20 y 32)

Cinofobia 8 m.c.d. (630 y 308)

Aicmofobia 8 m.c.m. (39 y 12)

Ofidiofobia 8 m.c.d. (40 y 56)

Aracnofobia 8 m.c.m. (28 y 40)

Atiquifobia 8 m.c.d. (104 y 12)

Glosofobia 8 m.c.m. (36 y 81)

Dentofobia 8 m.c.d. (105 y 1225)

Algofobia 8 m.c.m. (14 y 16)

Claves2 A los espacios abiertos

3 A los aeroplanos

4 Al fracaso

6 A la luz

8 A las serpientes

9 A las alturas

14 A los perros

18 A lo diferente

35 Al dentista

42 A los espacios cerrados

50 A las fotos

90 Al agua

112 Al dolor

150 A volar

156 A las agujas

160 A hacer el ridículo

280 A las arañas

324 A hablar

Para repasar esta unidad… ¡vamos con problemas!

1 ¿Has tenido miedo en alguna ocasión?

El miedo es una emoción caracterizada por una sensación desagrada-ble, provocada por un peligro, real o supuesto; por lo que en princi-pio, el miedo es una forma de defensa y protección. Sin embargo, hay miedos, llamados fobias, que no se producen como respuesta de pro-tección. Haz las operaciones y conoce esos otros miedos.


La página ofrece un repaso de los ejercicios de la unidad que no requiere una explicación añadida.

Soluciones

1 Hay dos envases distintos de yogures.

Cada envase tiene 4 u 8 yogures.

2 Las cajas pueden traer 6, 9, 10, 12, 15 o 18 bolígrafos.

3 El mayor múltiplo es 990. El siguiente, 1 000.

4 En las cajas pueden caber 2, 5, 10, 20, 25, 50 o 100 botellas.

5 Pueden jugar 2, 4, 5, 8, 10, 20 o 40 personas.

6 El menor número de personas es 20.

7 El material tiene como mínimo (3 × 2 × 2 × 4 =) 48 figuras.

8 Manuel tiene en la hucha 30 euros.

9 Gema lleva en el bolsillo 24 €.

Soluciones

Fotofobia, 6 8 a la luz.

Hidrofobia, 90 8 al agua.

Agorafobia, 2 8 a los espacios abiertos.

Claustrofobia, 42 8 a los espacios cerrados.

Acrofobia, 9 8 a las alturas.

Aerofobia, 150 8 a volar.

Xenofobia, 18 8 a lo diferente.

Catagelofobia, 160 8 a hacer el ridículo.

Cinofobia, 14 8 a los perros.

Aicmofobia, 156 8 a las agujas.

Ofidiofobia, 8 8 a las serpientes.

Aracnofobia, 280 8 a las arañas.

Atiquifobia, 4 8 al fracaso.

Glosofobia, 324 8 a hablar.

Dentofobia, 35 8 al dentista.

Algofobia, 112 8 al dolor.

No corresponden a ninguna solución:

3 8 a los aeroplanos; 50 8 a las fotos

35

Anotaciones

presentación de la unidad sugerencias metodológicas

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