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Coordinación de Matemática y Estadística ME-003 Cálculo I
Optimización
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Este material tiene como finalidaddesarrollar las habilidades y destrezasnecesarias para resolver problemas deoptimización.
Para ello, se plantean una serie deejercicios, los cuales serán desarrolladospaso a paso, resaltando aquellos aspectosimportantes para resolver cada uno deellos.
Es importante recalcar que este tema, esde suma importancia para la aplicación delas derivadas.
Presentación
2
Tema: Optimización I Unidad IX
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Índice
Presentación 2
Optimización 4
Ejemplo #1 5
Ejemplo #2 15
A manera de cierre 24
Créditos 25
Tema: Optimización I Unidad IX
3
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Los problemas de optimización tienecomo objetivo maximizar o minimizarfunciones.
Para resolver un problema de máximo omínimo, es necesario construir la funciónque modela el problema y tratar que estádepende de una sola variable.
Optimización
Tema: Optimización I Unidad IX
4
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Resuelva el siguiente problema:
“Una imprenta recibe el encargo de diseñar un cartelcon las siguientes características: la zona impresadebe ocupar 90 𝑐𝑚2, el margen superior debe medir3 𝑐𝑚, el inferior 2 𝑐𝑚, y los márgenes laterales 4 𝑐𝑚cada uno.
Determine las dimensiones que debe tener el cartelde modo que se utilice la menor cantidad de papelposible”.
Ejemplo #1
Tema: Optimización I Unidad IX
5
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Ejemplo #1
Paso 1
Representar el problema
Paso 2
Generar la función objetivo
𝐴 = 𝑦 + 5 𝑥 + 8
90 𝑐𝑚2
3
44
2
𝑥
𝑦
𝑥 + 8
𝑦 + 5
Para minimizar la cantidad de papel, es necesario determinar el área de la lámina del cartel.
Tema: Optimización I Unidad IX
6
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Ejemplo #1
Paso 3
Formular la ecuación auxiliar
𝑥 ∙ 𝑦 = 90
Paso 4
Despejar la variable “𝑦” de la ecuaciónauxiliar.
𝑦 =90
𝑥
La ecuación auxiliar permite representar una variable en términos de otras, con la finalidad de establecer la
función objetivo en una sola variable.
Tema: Optimización I Unidad IX
7
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Ejemplo #1
Paso 5
Sustituir “𝑦” en la función objetivo ysimplificar.
𝐴(𝑥) =90
𝑥+ 5 𝑥 + 8
𝐴 𝑥 =90
𝑥∙ 𝑥 + 5𝑥 + 8 ∙
90
𝑥+ 40
𝐴 𝑥 =90
𝑥∙ 𝑥 + 5𝑥 + 8 ∙
90
𝑥+ 40
𝐴 𝑥 = 90 + 5𝑥 +720
𝑥+ 40
𝐴 𝑥 = 130 + 5𝑥 +720
𝑥
Tema: Optimización I Unidad IX
8
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Ejemplo #1
Paso 6
Calcular la derivada de la función objetivo
𝐴′ 𝑥 = 5 +0 ∙ 𝑥 − 720 ∙ 1
𝑥2
𝐴´ 𝑥 = 5 −720
𝑥2
Paso 7Resolver la suma de fracciones
𝐴′ 𝑥 =5𝑥2 − 720
𝑥2
Tema: Optimización I Unidad IX
9
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Ejemplo #1
Paso 8
Obtener los puntos críticos
5𝑥2 − 720
𝑥2= 0
5(𝑥2−144)
𝑥2= 0
5(𝑥 − 12 )(𝑥 + 12)
𝑥2= 0
𝑥2 = 0 𝑥 − 12 = 0 𝑥 + 12 = 0
𝑥 = 0 𝑥 = 12 𝑥 = −12
De los puntos críticos que se obtuvieron, 𝑥 = 0corresponde a una restricción, razón por la cual no se
puede presentar un máximo ni un mínimo.
Tema: Optimización I Unidad IX
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Ejemplo #1
Paso 9
Calcular la segunda derivada de la funciónobjetivo.
𝐴´´ 𝑥 =0 ∙ 𝑥2 −−720 ∙ 2𝑥
𝑥4
𝐴´´ 𝑥 =1440𝑥
𝑥4
𝐴´´ 𝑥 =1440𝑥
𝑥4
𝐴´´ 𝑥 =1440
𝑥3
Tema: Optimización I Unidad IX
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Ejemplo #1
Paso 10
Evaluar los puntos críticos en la segundaderivada.
𝐴´´ 12 =1440
12 3> 0
𝐴´´ −12 =320
−12 3< 0
Punto mínimo
Punto máximo
El criterio de la segunda derivada, establece que si al evaluar el punto crítico en la segunda derivada y se obtiene un valor positivo,
entonces en ese punto crítico se presenta un mínimo relativo.
El criterio de la segunda derivada, establece que si al evaluar el punto crítico en la segunda derivada y se obtiene un valor negativo,
entonces en ese punto crítico se presenta un máximo relativo.
Tema: Optimización I Unidad IX
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Ejemplo #1
Paso 11
Determinar el valor de las variables “𝑥” y “𝑦”
𝑥 = 12
𝑦 =90
𝑥=90
12=15
2= 7.5
Paso 12Determinar las dimensiones del cartel
𝑥 + 8 = 12 + 8 = 20
𝑦 + 5 = 7.5 + 5 = 12.5
De los puntos críticos que se obtuvieron, en 𝑥 = 12 es donde la función objetivo alcanza un mínimo.
Tema: Optimización I Unidad IX
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Ejemplo #1
Paso 13
Dar la respuesta
Las dimensiones de la lámina del cartel que minimizan la cantidad de papel son:
20 𝑐𝑚 𝑥 12.5 𝑐𝑚
Tema: Optimización I Unidad IX
14
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Resuelva el siguiente problema:
Una Pymes fabrica cajas con tapa y base cuadrada devolumen 288 𝑐𝑚3. El precio del material utilizadopara la base es de $5 por centímetro cuadrado, y elutilizado para las caras laterales y la tapa es de$3 por centímetro cuadrado.
Calcula las dimensiones de la caja para que resulte lomás económica posible.
Ejemplo #2
Tema: Optimización I Unidad IX
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Ejemplo #2
Paso 1
Representar el problema
𝑧
𝑥𝑥
Base
𝑥
𝑥𝐴 = 𝑥2
Lateral
𝑥
𝑧𝐴 = 𝑥 ∙ 𝑧
Tapa
𝑥
𝑥𝐴 = 𝑥2
lateral
𝑥
𝑧𝐴 = 𝑥 ∙ 𝑧
Tema: Optimización I Unidad IX
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Ejemplo #2
Paso 2
Generar la función objetivo
𝐴 = 5𝑥2 + 3 2𝑥𝑧 + 3𝑥2 + 3(2𝑧𝑥)
𝐴 = 8𝑥2 + 12𝑥𝑧
Paso 3Formular la ecuación auxiliar
𝑥2 ∙ 𝑧 = 288
Para determinar el volumen de una caja, se utiliza la fórmula 𝑉 = 𝐴𝑏 ∙ ℎ
Para establecer la función objetivo, es necesario multiplicar el área de cada una de las caras de la figura por
el costo correspondiente y posteriormente sumarlas.
Tema: Optimización I Unidad IX
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Ejemplo #2
Paso 4
Despejar la variable “𝑧” de la ecuaciónauxiliar.
𝑧 =288
𝑥2
Paso 5
Sustituir “𝑧” en la función objetivo ysimplificar.
𝐴 = 8𝑥2 + 12𝑥𝑧
𝐴(𝑥) = 8𝑥2 + 12𝑥 ∙288
𝑥2
𝐴(𝑥) = 8𝑥2 +3456
𝑥
Tema: Optimización I Unidad IX
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Ejemplo #2
Paso 6Calcular la derivada de la función objetivo
𝐴(𝑥) = 8𝑥2 +3456
𝑥
𝐴´ 𝑥 = 16𝑥 +0 ∙ 𝑥 − 3456 ∙ 1
𝑥2
𝐴´ 𝑥 = 16𝑥 −3456
𝑥2
Paso 7Resolver la suma de fracciones
𝐴´ 𝑥 =16𝑥3 − 3456
𝑥2
Tema: Optimización I Unidad IX
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Ejemplo #2
Paso 8Determinar los puntos críticos
16𝑥3 − 3456
𝑥2= 0
16(𝑥3−216)
𝑥2= 0
16(𝑥 − 6)(𝑥2 + 6𝑥 + 36)
𝑥2= 0
𝑥2 = 0 𝑥 − 6 = 0
𝑥 = 0 𝑥 = 6
De los puntos críticos que se obtuvieron, 𝑥 = 0corresponde a una restricción, razón por la cual no se
puede presentar un máximo ni un mínimo.
Tema: Optimización I Unidad IX
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Ejemplo #2
Paso 9Determinar la segunda derivada de la funciónobjetivo.
𝐴′′ 𝑥 = 16 +0. 𝑥2 −−3456 2𝑥
𝑥4
𝐴′′ 𝑥 = 16 +0. 𝑥2 −−3456 2𝑥
𝑥4
𝐴′′ 𝑥 = 16 +6912𝑥
𝑥4
𝐴′′ 𝑥 = 16 +6912
𝑥3
Tema: Optimización I Unidad IX
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Ejemplo #2
Paso 10Evaluar el punto crítico en la segunda derivada.
𝐴′′ 6 = 16 +6912
(6)3> 0
Paso 11Determinar las dimensiones de la caja
𝑥 = 6
𝑧 =288
𝑥2=288
62= 8
El criterio de la segunda derivada, establece que si al evaluar el punto crítico en la segunda derivada y se obtiene un valor positivo,
entonces en ese punto crítico se presenta un mínimo relativo.
Tema: Optimización I Unidad IX
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Ejemplo #2
Paso 12
Dar la respuesta
La caja debe tener dimensiones de6𝑐𝑚 𝑥 6𝑐𝑚 𝑥 8𝑐𝑚 para minimizar el
costo
Tema: Optimización I Unidad IX
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Espero que estos ejercicios le sean de utilidadpara reforzar los conceptos necesarios pararesolver problemas de optimización, y de estamanera pueda construir los nuevos conocimientosde Cálculo I.
“El corazón de las matemáticas son sus propios problemas”.
Paul Halmos
Tema: Optimización I Unidad IX
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A manera de cierre
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Créditos
Universidad Técnica Nacional
Coordinación de Matemáticas y Estadística
Contenido
Autor: Evelyn Delgado Carvajal
Producción del recurso didáctico:
Productora académica: Guadalupe Camacho Zúñiga
Diseño Gráfico y multimedia: Karol González Ugalde
Derecho de Autor
Queda prohibida la reproducción, transformación,distribución y comunicación pública de la obramultimedia [Optimización], por cualquier medio oprocedimiento, conocido o por conocerse, sin elconsentimiento previo de los titulares de los derechos,así como de las obras literarias, artísticas o científicasparticulares que contiene.
Tema: Optimización I Unidad IX
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