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MADRID, 03.02.2016

FERNANDO RODRÍGUEZ GARCÍA

INTRODUCCIÓN AL

CÁLCULO DE INCERTIDUMBRES DE ENSAYO


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1. Introducción

2. Error e incertidumbre

3. Exactitud y precisión de medida

4. Tipos de medidas

5. Incertidumbre típica o de medida

6. Incertidumbre combinada

7. Incertidumbre expandida

8. Metodología de cálculo

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CRITERIOS PREVIOS

— Criterios básicos. Una introducción

— No es un curso de metrología

— Enfocado a la aplicación práctica

— Enfocado a la actividad de un laboratorio, no a un

certificador, ni a un calibrador de equipos

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OBJETIVOS

1. Fijar conceptos básicos

2. Realizar algún ejemplo sencillo

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DOCUMENTACIÓN BÁSICA

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Fuentes de error en una medición

Fuentes de error

Errores

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Fuentes de error en una medición

1. ERRORES DEBIDOS A LA PROPIA PIEZA

2. ERRORES DEBIDOS AL INSTRUMENTO

4. ERRORES DEBIDOS AL OPERADOR O AL SISTEMA DE ADQUISICIÓN DE DATOS

3. ERRORES DEBIDOS A LAS CONDICIONES AMBIENTALES

Fuentes de error

— Errores de forma

— Errores de deformación — Errores de diseño

— Errores de desgaste

— Errores de presión y forma de los contactos

— Errores de alineación

— Errores de lectura

— Errores por fatiga

— Errores por descuido

— Errores por un manejo incorrecto

— Errores por mal posicionamiento de la pieza

— Errores por variación de temperatura

— Errores por influencia de la humedad

— Errores por influencia de la presión

— Errores por falta de iluminación

— Errores por influencia de campos eléctricos

y magnéticos

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Valor real

Valores

experimentales

Tipos de errores de ensayo

ERROR SISTEMÁTICO

ERROR SISTEMÁTICO

— No puede eliminarse

— Pero puede reducirse

— Si el efecto del error es

significativo, entonces

CORRECCIÓN PARCIAL

Determinación: Por ejemplo, por calibración de equipos

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Valor real

Valores

experimentales

Tipos de errores de ensayo

ERROR SISTEMÁTICO

ERROR ALEATORIO

ERROR ALEATORIO

— Puede reducirse

incrementando el

número de medidas

— La media de los errores

aleatorios es CERO

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Principios básicos

1. No es posible obtener valores exactos como

resultado de las medidas

2. Toda medida debe ser objeto de una corrección

3. Las correcciones que se pueden aplicar son las que

se corresponden con factores conocidos

4. Las correcciones que no se pueden aplicar darían

lugar a una corrección residual

5. La incertidumbre es el valor máximo de la corrección

residual

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Exactitud y precisión EXACTITUD: — Diferencia con el valor verdadero — Relacionada con error sistemático — Puede obtenerse sobre un sola medida

Más exacta

Menos exacta

VERACIDAD (GUM.2007)

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Exactitud y precisión PRECISIÓN: — Mide la dispersión — Relacionada con el error aleatorio — Sólo puede obtenerse sobre varias medidas a) sobre un mismo objeto b) sobre objetos similares bajo condiciones específicas

Condiciones de repetibilidad Condiciones de reproducibilidad

Más precisa

Menos precisa

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El proceso de medida y sus tipos

MEDIDA: Es el proceso que consiste en obtener experimentalmente uno o varios valores que pueden atribuirse razonablemente a una magnitud TIPOS DE MEDIDA: DIRECTA: se obtienen directamente de un equipo de medida

INDIRECTA: se obtienen de la aplicación de una función matemática a una serie de resultados obtenidos a través de medidas directas

Ej: longitud 𝐿0 de una barra de acero

Ej: resistencia del hormigón 𝑓𝑐 =

𝐹

𝜋. ∅1 + ∅22

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Medida

MAGNITUDES DE INFLUENCIA

Magnitudes diferentes del

mensurando Tienen efecto en el resultado

Se consideran o no por

comparación de su efecto con la apreciación requerida.

Resultado de

medida

Magnitudes de influencia en la medida

Minimizar los

efectos:

CONDICIONES DE

REPETIBILIDAD

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Magnitudes de influencia en la medida

Ejemplo: MEDIDA: Determinación de la longitud de una barra de acero

MAGNITUD DE INFLUENCIA: Temperatura APRECIACIÓN: 0,1 mm – 0,01 mm VALOR MEDIO MEDIDA: 200 mm Temperatura de medida T = 20 ± 5 ºC

T=-5ºC T=+5ºC

∆𝐿 = 𝛼 · 𝐿. ∆𝑇

L=10-5·200·(-5) = -0,01mm L=10-5·200·(+5) = +0,01mm

L= ± 0,01mm Si apreciación es 0,1mm, NO es relevante

Si apreciación es 0,01mm, SI es relevante

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L= ± 0,01mm

Si apreciación es 0,1mm, NO es relevante

Si apreciación es 0,01mm, SI es relevante

Nada que hacer

Variación de temperatura

es sistemática?

Corrección en función de la temperatura de

las medidas

Asumirla como factor

de incertidumbre de

medida

Si

No ∆𝐿 = 𝛼 · 𝐿. ∆𝑇

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Incertidumbre de medida:

Es un parámetro no negativo que caracteriza la dispersión

de los valores atribuidos a una mensurando, a partir de la

información disponible

— Se puede calcular, a diferencia del error, que siempre es desconocido — Se suele expresar en forma de:

Desviación típica [] o varianza [2] Semiamplitud de un Intervalo de confianza [X ± u]

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FUENTES DE INCERTIDUMBRE

1. Definición incompleta de la magnitud a medir

2. Muestra no representativa

3. Conocimiento incompleto del efecto de las condiciones ambientales

4. Medición imperfecta de las condiciones ambientales

5. Lectura segada de los instrumentos por parte del operador

6. Resolución finita del instrumento de medida

7. Valores inexactos de los patrones de medida usados en la calibración

8. Valores inexactos de constantes y otros parámetros tomados de fuentes

externas (p.ej. bibliografía)

9. Aproximaciones o hipótesis asumidas en el método de medida

Las equivocaciones de registro o análisis no están incluidas en la incertidumbre

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Tipos de evaluación de la incertidumbre de medida

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Estimación tipo A de la incertidumbre típica

La mejor estimación de la esperanza de una magnitud que varía aleatoriamente con valores 𝑞𝑘 es la media aritmética

𝑞 =1

𝑛· 𝑞𝑘

𝑛

𝑘=1

La varianza experimental será

La mejor estimación de la varianza de la media será

𝑠2 𝑞𝑘 =1

𝑛 − 1· 𝑞𝑘 − 𝑞

2

𝑛

𝑗=1

𝑠2 𝑞 =𝑠2 𝑞𝑘𝑛

La incertidumbre se define por la desviación típica experimental

𝑢 𝑞𝑘 = 𝑠 𝑞 =𝑠 𝑞𝑘

𝑛

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Estimación tipo B de la incertidumbre típica

Se evalúa a partir de la información disponible acerca

de la variabilidad de una componente de la

incertidumbre:

Documentación del fabricante del equipo

Certificado de calibración (corrección e

incertidumbre)

Valores de manuales técnicos

Estado del arte sobre propiedades de los

materiales

Se basa en distribuciones aleatorias supuestas a priori

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Caso en que se comporte como una DISTRIBUCIÓN RECTANGULAR

APLICACIÓN TÍPICA:

Resolución de cualquier dispositivo de medida

Ejemplo: Balanza con display con cifra significativa más pequeña de 1g

𝑢 𝑥𝑖 =12

3= 0,29𝑔

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Caso en que se comporte como una DISTRIBUCIÓN TRIANGULAR

EJEMPLO:

Probeta graduada de 100 ml, donde es mucho más probable valores

próximos a 10,0 ml que a otros como 9,7 y 10,3.

𝑢 𝑥𝑖 =0,3

6= 0,12𝑚𝑙

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Incertidumbre combinada

Cuando se tiene: a) una medida indirecta b) varias fuentes de incertidumbre

𝑋1: 𝑥1 ± 𝑢 𝑥1

𝑋1: 𝑥2 ± 𝑢 𝑥2

𝑋1: 𝑥3 ± 𝑢 𝑥3

𝑋1: 𝑥𝑛 ± 𝑢 𝑥𝑛

𝑌: 𝑦 = 𝑓 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛

𝑢 𝑦 = 𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖· 𝑢 𝑥𝑖

2𝑛

𝑖=1

Ley de propagación de varianzas

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Incertidumbre combinada

Ley de propagación de incertidumbres

Expresión general:

Expresión cuando los factores son independientes

𝑢2 𝑦 = 𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖

2

· 𝑢 𝑥𝑖2

𝑛

𝑖=1

+ 1

2·𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗

2

+𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖·𝜕3𝑓

𝜕𝑥𝑖𝜕𝑥𝑗2

𝑛

𝑗=1

· 𝑢2 𝑥𝑖 · 𝑢2 𝑥𝑗

𝑛

𝑖=1

0

𝑢2 𝑦 = 𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑖

2

· 𝑢 𝑥𝑖2

𝑛

𝑖=1

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Incertidumbre expandida

2+ 2+ 2

La suma cuadrática se comporta

como una distribución normal

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2·U


Es el valor del intervalo

donde, con un cierto nivel

de confianza, se encuentra

el verdadero valor de la

magnitud

𝑈 𝑦 = 𝑘 · 𝑢(𝑦)

a) Magnitud sigue distribución normal . 𝑘 = 2 b) Magnitud no sigue distribución normal: Ec. De Welch-Satterthwaite

n ef 1 2 3 4 5 6 7 8 10 20 50

k 13,97 4,53 3,31 2,87 2,65 2,52 2,43 2,37 2,28 2,13 2,05 2,00

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𝜐𝑒𝑓 =𝑢4(𝑦)

𝑢𝑚2(𝑦)𝜈𝑚

𝑀𝑚=1

𝑘 = 2 𝑈 𝑦 = 𝑘 · 𝑢 𝑦 = 2 · 1,75 = 3,50𝑠

𝑢 𝑦 = 1,75𝑠

𝑢𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑦 = 1,72𝑠

𝑢𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑦 = 0,03𝑠

𝑢𝑐𝑎𝑙𝑖𝑏𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑦 = 0,34𝑠

𝑁 = 10 ⟹ 𝜈 = 9

𝝊𝒆𝒇 =9,63

𝑈 𝑦 = 𝑘 · 𝑢 𝑦 = 2,28 · 1,75 = 3,99𝑠

𝑘 = 2,28

Suponiendo distribución normal

Otros casos

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Resumen de la metodología

1. Definir la magnitud a medir

2. Definir el modelo matemático

3. Identificar fuentes de incertidumbre

4. Clasificar las fuentes de incertidumbre (Tipo A o Tipo B)

5. Obtención de la incertidumbre típica para cada fuente

6. Estimar las correlaciones

7. Calcular incertidumbre combinada

8. Elegir nivel de confianza

9. Determinar factor de cobertura 𝑘 y, en su caso, grados de libertad

10.Calcular incertidumbre expandida

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Muchas gracias

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