JUAN PORTAL PIZARRO

Profesor Juan Portal Pizarro

RELACIÓN DE TIEMPOS

Para la resolución de este tipo de ejercicios se puede sugerir como regla, la siguiente analogía, dándole valores a los días como sigue.

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Siendo lunes el mañana de ayer, ¿Qué día será el ayer de pasado mañana?

a) Jueves b) Martes c) Domingo d) Lunes e) Miércoles

Resolución:

Considerando la siguiente analogía:

Ahora, Según dato:

Lunes <> el mañana de ayer

Nos preguntan:

El ayer de pasado mañana

Entonces: Hoy <> Lunes

Mañana de lunes <> Martes

Respuesta: Martes, Alternativa b

Anteayer Ayer Hoy Mañana Pasado mañana

(- 2) (- 1) (0) (2) (1)

Anteayer Ayer Hoy Mañana Pasado mañana

(- 2) (- 1) (0) (2) (1)

……………. …………..

+1 -1

Lunes <> 0

-1 +2

+1 <> Mañana

2. ¿Cuál es el día que está del anterior al siguiente día del que subsigue al

posterior día del que esta después del día que precede al anterior día de hoy viernes?

a) Jueves b) Martes c) Domingo d) Lunes e) Miércoles

Resolución:

Considerando la siguiente analogía como el ejemplo anterior:

Según dato se tiene:

Cuál es el día que esta del anterior al

Siguiente día del que subsigue al posterior

Día del que está después del día que

Precede al anterior día de hoy viernes

Entonces nos queda:

-1 +1 +2 +1 +1 -1 -1 de viernes

Respuesta Domingo. Alternativa C

…………….

Anteayer

Ayer Antes

Anterior Precede Hoy

Mañana Siguiente Después Posterior

Pasado mañana Subsiguiente

(- 2) (- 1) (0) (2) (1)

…………..

+2 de viernes <> Domingo

-1

+1 +2 +1

+1

-1 -1

Ejercicios Propuestos

1. Si el ayer del anteayer del pasado mañana es domingo ¿Qué

día será el mañana del pasado mañana de anteayer? a) Sábado b) viernes

c) lunes d) martes e) jueves

2. Si el anteayer del mañana de pasado mañana es viernes. ¿Qué día fue ayer?

a) Lunes b) martes c) miércoles d) jueves

e) domingo

3. Siendo lunes el mañana de ayer. ¿Qué día será el ayer de pasado

mañana?

a) Domingo b) lunes

c) martes d)miércoles e) jueves

4. Siendo martes el ayer de pasado mañana. ¿Qué día será el pasado mañana del ayer de hoy?

a) Sábado b) viernes c) martes d)miércoles

e) jueves

5. Si el anteayer del mañana de pasado mañana es viernes. ¿Qué

día fue ayer?

a) lunes b) miércoles

c) martes d) jueves e) viernes

6. Si el pasado mañana del ayer del anteayer del pasado mañana al día anterior del ayer del día

posterior del ayer del mañana es lunes, ¿Qué día es hoy?

a) lunes b) sábado c) martes d) jueves e) domingo

7. Si el ayer del pasado mañana del ayer, de antes de ayer es

martes, ¿qué día será el mañana de pasado mañana de ayer?

a) Sábado b) domingo

c) martes d) jueves e) viernes

8. Si el ayer del anteayer de mañana es lunes, ¿Qué día será

el pasado mañana del mañana de anteayer?

a) Lunes b) miércoles

c) martes d) jueves e) viernes

9. Siendo martes el mañana de ayer, que día será el pasado mañana de ayer

a) domingo b) miércoles

c) martes d) Jueves e) sábado

10. Si el anteayer del pasado mañana es viernes. ¿Qué día fue

ayer? a) lunes b) miércoles

c) martes d) jueves e) viernes

METODOS ESPECIALES DE SOLUCION

MÉTODO DEL CANGREJO Este método nos permite encontrar las soluciones de un problema, en forma directa; para lo cual se realizan las operaciones inversas en cada

caso, empezando desde el final hacia el comienzo. En este método se procede realizando la operación inversa a lo que

se indica en el problema, por eso se le llama método del cangrejo por que empieza del final al principio.

OPERACION INVERSO

Adición (+) Sustracción (-)

Multiplicación (x) División (:)

Potenciación Radicación

Ejemplo 1

A un cierto número se eleva al cuadrado, a este resultado se le resta 3, a este nuevo resultado se multiplica por 7, luego dividimos entre 14, a este nuevo resultado lo elevamos al cubo, luego le agregamos 9;

finalmente extraemos la raíz cuadrada, obteniendo como resultado final 6. Hallar dicho número.

Solución:

Aplicamos el método del cangrejo: Finalmente se obtiene 6

Extraemos raíz cuadrada 62 = 36

Le agregamos 9 36 – 9 = 27

Lo elevamos al cubo 3 27 = 3

Dividimos entre 14 3 x 14 = 42

Se multiplica por 7 42 : 7 = 6

Se le resta 3 6 + 3 = 9

Se eleva al cuadrado 9 = 3

El número inicial es 3 Ejemplo 2.

Con un cierto número se realizan las siguientes operaciones: se eleva al

cubo, al resultado se le agrega 9, y se le extrae la raíz cuadrada, al número así obtenido se lo divide entre 3 para luego restarle 1 y por último al resultado se lo eleva al cuadrado, obteniéndose como resultado

final 16. Hallar el número inicial.

Solución:

Resultado final 16 Se lo eleva al cuadrado

16 = 4

Para luego restarle 1

4 + 1 =5

Se divide entre 35 x 3 = 15

Extraemos raíz cuadrada 152 = 225

Se le agrega 9 2 25 – 9 = 216

Se eleva al cubo 3 216 = 6

El número inicial es 6

Ejercicios propuestos

1. A un número se lo multiplica

por 9, al resultado se le añade 12 y a dicha suma se lo divide entre 5,

obteniendo finalmente 6. ¿Cuál es el número?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 2. A un cierto número le restamos 13, al resultado hallado

lo dividimos entre 5 a este nuevo resultado lo elevamos al cuadrado,

a este resultado le sumamos 6, obteniendo finalmente 22. ¿Cuál es el número inicial?

a) 22 b) 33

c) 44 d) 54 e) 65

3. Una piscina se ha estado

desocupando durante 3 días hasta que solamente ha quedado 10

galones de agua. En cada día se extraía la mitad más 4 galones de lo que había el día anterior. ¿Cuál

es el volumen total de la piscina?

a) 126 b) 136 c) 146 d) 156 e) 166

4. Un número es multiplicado por 3, luego se le resta 8, a este

resultado se le divide por 2, para luego al resultado sumarle 8.

¿Cuál es el número inicial, sui se obtuvo 49?

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50

e) 60

5. A un tanque que está lleno de agua se le abre el sistema de desagüe. Si cada hora se vacía la mitad de lo

que quedó la hora anterior más 4 litros, y queda luego de tres horas

8 litros, determinar la cantidad de litros que había antes de la primera hora.

a) 120 b) 130

c) 140 d) 150 e) 160

6. Multiplicamos por 6 a la edad de

Fernando, añadiendo al resultado 28, dividiendo el nuevo resultado

por 4 obtenemos por fin 25. ¿Cuál es la edad de Fernando?

a) 12 b) 11 c) 25 d) 15

e) 27 7. Si a un número lo multiplicamos

por 9 y al resultado le quitamos 13,

obtenemos otro número que dividido por 10 nos da como

resultado 5. ¿Cuál es el número inicial?

a) 12 b) 10 c) 7 d) 8

e) 15

8. Si a un número lo multiplico por 8, luego lo divido por 10 y el cociente lo multiplico por 3

añadiendo enseguida 36, entonces obtendría 180. ¿Cuál

es el número inicial?

a) 42 b) 58 c) 40 d) 52

e) 60

9. Carlos tiene una cantidad de nuevos soles a la que le agrega

S/. 25. Si se triplica la nueva cantidad y al resultado se le resta S/. 20, al nuevo resultado

dividido por 20 personas hace que cada una reciba S/. 5.

¿Cuántos nuevos soles tenía Carlos al principio?

a) S/. 12 b) S/. 20

c) S/. 18 d) S/. 25 e) S/. 15

10. Multiplicamos un número por 4, producto al que luego

restamos 12, dividiendo enseguida el resultado por 3,

para volver a multiplicar por 6 añadiendo luego 3 al resultado, dividiendo finalmente por

3resulta 89. ¿Cuál es el número inicial?

a) 48 b) 40 c) 36 d) 58

e) 60

MÉTODO DEL ROMBO

Este método se aplica a los problemas de cuatro operaciones, que presentan las características siguientes:

El problema debe tener dos incógnitas. Valor unitario de cada una de las incógnitas.

Que tenga un valor numérico, que es la suma de las dos incógnitas (Dato de entrada)

Además de tener otro valor numérico como resultado del número

total de elementos (Dato de salida) Para su mejor comprensión haremos una descripción del esquema que

se utiliza:

Donde: n = Número total de elementos N = Recaudación total originada por el número total de elementos.

M = mayor valor unitario. M = menor valor unitario.

Ejemplo 1 En un corral hay cuyes y gallinas que total son 44 cabezas y 134 patas.

¿Cuál es la diferencia entre el número de cuyes y gallinas existentes?

Solución:

Como se puede observar, hay dos incógnitas: #de cuyes y # de gallinas

Entonces el valor unitario de cada incógnita es: En 1 cuy hay 4patas En una gallina hay 2 patas

El lado de entrada, 44 cabezas; se coloca en el vértice izquierdo del rombo.

El dato de salida, 134 patas, se coloca en el vértice derecho del rombo.

M

N n

m

x -

-

En la representación gráfica, se va a calcular el número de gallinas.

Número de gallinas = 212

42

2

134176

24

134)444(

Luego se tiene: # de gallinas + # de cuyes = # de cabezas

Sustituyendo datos: 21 + # de cuyes = 44

# de cuyes = 23 Como nos piden, la diferencia entre el número de cuyes y gallinas es:

23 – 21 = 2

Ejemplo 2. En un examen César gana 3 puntos por respuesta correcta, pero pierde

1 punto por cada equivocación. Si después de haber contestado 25 preguntas obtiene 47 puntos, ¿Cuántas preguntas contestó mal?

Solución:

En este caso debemos hallar el número de preguntas erradas

Número de preguntas erradas =)1(3

47)325(

4 patas (cuyes)

134 patas 44 cabezas

x -

-

2 patas (gallinas

4 puntos (correcta)

47 puntos 25 preguntas

x -

-

-1 punto (errada)

Número de preguntas erradas =4

28

13

4775

Número de preguntas erradas = 7

MÉTODO DE LA FALSA SUPOSICIÓN

Este método es el mismo que el Método del Rombo, es decir, la misma aplicación para los mismos tipos de ejercicios.

Este método consiste en suponer un resultado como verdadero, luego determinar el error total (Et) cometido; a continuación calcular el error

unitario (Eu); entonces el número de objetos (N) esta dada por la siguiente relación:

Eu

EtN

Ejemplo 1

En un ómnibus interprovincial viajan 65 pasajeros entre adultos y niños. Si el pasaje de cada adulto es S/. 8 y S/. 5 el de un niño. ¿Cuántos

niños viajaron en total, si la recaudación fue de S/. 445?

Solución:

Del problema se tiene: Total de pasajeros : 65

Total de recaudación : S/. 445 Pasaje de cada adulto : S/. 8

Pasaje de cada niño : S/. 5 Total de niños : N

Vamos a suponer que los 65 pasajeros son adultos, entonces la recaudación sería:

65 x S/. 8 = S/. 520

Pero el total de la recaudación es sólo S/. 445, entonces el error total cometido es:

Et = S/. 520 – S/. 445 = S/. 75 Por otra parte al suponer que todos los pasajeros son adultos, se ha

cometido un error unitario de:

Eu = S/. 8 – S/. 5 = S/. 3

Luego el número de niños (N) que viajaron, se obtiene de la fórmula respectiva:

253./

75./

S

S

Eu

EtN

Rpta. Viajaron 25 niños.

Ejemplo 2

Un policía de vigilancia, durante 30 días trabaja para la empresa “Seguridad total”, resguardando una tienda y una casa, Por cuidar la

tienda recibe S/. 15 cada día y por cuidar la casa recibe S/. 10. Si al final recibió S /. 400. ¿Cuántos días trabajó cuidando la tienda y cuántos la casa?

Solución:

Vamos a suponer que trabajó los 30días cuidando la tienda, por lo cual recibirá:

30 x S/. 15 = S/. 450

Pero él sólo recibe S/. 400, entonces hay un error total de :

Et = S/. 450 – S/. 400 = S/. 50

Por otra parte el error unitario de lo que recibe por día es:

Et = S/. 15 – S/. 10 = S/. 5

Entonces el número de días que trabajó cuidando la casa es de:

105./

50./

S

S

Eu

EtN

Luego:

o 10 días cuidó la casa o 20 días cuidó la tienda.

Ejercicios propuestos.

1. En una granja donde existen conejos y palomas se cuentan

115 cabezas y 370 patas (extremidades ¿Cuántas palomas

hay en la granja? a) 35 b) 45

c) 55 d) 65 e) 70

2. Se desea pagar una deuda de 142 soles con 50 monedas de 5 y 2 soles. ¿Cuántas monedas de

S/. 5 debo emplear?

a) 18 b) 16 c) 12 d) 14 e) 10

3. En el examen de Razonamiento Matemático que consiste en 30

preguntas, por cada pregunta bien contestada se gana dos puntos y por cada pregunta

errada se pierde un punto. Si la nota de Brayan es de 42 puntos.

¿Cuántas preguntas contestó mal?

a) 8 b) 7 c) 9 d) 6

e) 10

4.Orlando ha sido contratado por el colegio “San Luis” por 3 años, con la siguiente condición:; por

cada mes que trabaje le pagan 300 soles y por cada mes que no

trabaja debe pagar 320 soles. ¿Cuántos meses ha trabajado si recibió S/. 2120?

a) 14 b) 22

c) 24 d) 26 e) 28

4. Un Docente de Matemática por resolver 80 problemas entre

Lógico Matemática y Razonamiento Matemático recibe

un total de S/. 2500. Por cada problema desarrollado de Lógico Matemática y Razonamiento

Matemático, son de 35 y 25 soles respectivamente. ¿Cuántos

problemas de Lógico Matemática ha desarrollado?

a) 30 b) 45 c) 50 d) 60

e) 40

6. Un profesor de Matemáticas le da a su hijo Juan 3 soles por cada

problema bien resuelto y por cada problema mal resuelto el

hijo tiene que dar al profesor 1 sol. Ha resuelto 50 problemas y obtuvo S/. 66 ¿Cuántos

problemas bien resueltos ha hecho?

a) 29 b) 28

c) 22 d) 21 e) 32

7. En el Colegio “La Merced”

trabajan 45 personas entre profesores y administrativos, los

sueldos de un mes ha importado un total de S/. 21 000. El sueldo de un profesor es de S/. 500 y el

de un administrativo es de S/. 350. ¿Cuántos administrativos

trabajan en el Colegio “La Merced”?

a) 5 b) 15 c) 12 d) 14

e) 10

8. Carlos y Jampol llevan juntos 120

libros de Razonamiento

Matemático, para vender, Carlos vende a S/. 20 cada libro, Jampol a S/. 14; recibiendo juntos en

total S /. 2 130. La diferencia del número de libros que ha vendido

entre Carlos y Jampol es:

a) 25 b) 45 c) 35 d) 40 e) 30

9. Un obrero trabaja durante 30 días encasa de dos patrones. El

primero le paga por día S/. 2,20. y el segundo S/. 2,52. Si en total

recibe S/. 69,84. ¿Cuántos días trabajó para el segundo patrón?

a) 18 b) 20 c) 16 d) 14

e) 22

10. En un zoológico hay leones y

palomas, si en total hay 20 cabezas y 52 patas Cuántos leones hay

a) 16 b) 6 c) 15 d) 8

e) 12

MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS

Denominado también como el método de la diferencia total y diferencia unitaria, que se refiere a los problemas donde se relacionan cantidades unitarias con sus respectivos totales,

presentándose dos casos:

A. Cuando se trate de hallar el número de objetos, conociendo sus valores unitarios y totales, se puede utilizar la siguiente fórmula:

sUnitariasDiferencia

sTotalesDiferenciaN

B. Cuando se trate de distribuir cantidades sobre objetos o costos, donde se presentan cantidades sobrantes y faltantes, entonces

aplicamos la siguiente fórmula:

S + F = A x N Donde:

S = Cantidad que sobra F = Cantidad que falta A = Diferencia de costos

N = Número de elementos u objetos a hallar

Ejemplo 1.

La librería “Alex” oferta cierto número de textos. Si los vende cada uno a S/. 15 recauda S/. 600, Pero si los vendiera a S/. 20 cada uno

recaudaría S/ 800. ¿Cuál es le número de textos? Solución:

Valores unitarios : S/. 15 y S/. 20

Valores totales : S/ 600 y S /. 800 Número de textos : N

Aplicando la primera fórmula tenemos:

sUnitariasDiferencia

TotalessDiferenciaN

5

200

15./20./

600./800./

SS

SSN

N = 40

Rpta. La librería ofertó 40 libros

Ejemplo 2.

En un orfanato se desea repartir cierta suma de dinero entre los niños. Si se da S/. 18 a cada uno faltaría S/. 20; pero si se da S/. 15 sobraría

S/. 25 ¿Cuántos niños son los beneficiados?

Solución: Cantidad que sobra : S = S/. 25

Cantidad que falta : F = S/. 20 Diferencia de montos : A = S/. 18 – S/. 15

= S/. 3 Número de niños : N

Aplicando la segunda fórmula se tiene:

S + F = A x N

S/. 25 + S/. 20 = (S/.3)N

45 = 3N

Luego: 153

45N

Rpta. Hay 15 niños.

Ejemplo 3.

La promoción del sexto grado desea realizar una rifa de un DVD con cierto número de boletos. Vendiendo cada boleto a S/: 5, perdería S/. 40

y si vendiera a S/: 8 ganaría S/. 140. Hallar el número de boletos y el precio del DVD

Solución:

Cantidad que sobra : S = S/. 140 Cantidad que falta : F = S/. 40 Diferencia de costos : A = 8 – 5 = S/. 3

Número de boletos = N

Aplicando fórmula:

S + F = A x N

S/. 140 + S/. 40 = (S/.3) N

180 = 3N

Luego: 603

180N

Para determinar el precio del DVD, podemos aplicar dos planteamientos: . DVD = 60 (5) + 40 = S/. 340

DVD = 50 (8) - 140 = S/. 340

Rpta. Número de boletos 60 y el precio del DVD es S/. 340

MÉTODO DEL RECTÁNGULO

Este método, no es más que la aplicación práctica del método de las

diferencias. Para aplicar este método deben participar dos cantidades excluyentes, una mayor que la otra a consecuencia se tiene dos enunciados, un

sobrante (o ganancia) y otro faltante (o pérdida).

Ejemplo 1

Si pago S/. 12 a cada uno de mis empleados me faltan S/. 340; p ero si

sólo les pago S/. 4, me sobrarían S/.100. ¿Cuántos empleados tengo?

Solución: Aplicando el método del rectángulo se tiene:

Podemos decir que:

# de empleados 8

440

412

100340

Rpte: # de empleados= 55

Ejemplo 2

Si compro 9 cuadernos me sobrarían S/.7; Pero si compro 13 cuadernos me faltarían S/. 41. ¿De cuánto dinero dispongo?

Solución:

SOBRA S/. 100

FALTA S/. 340

S/. 4

S/. 12

- +

Aplicando el método del rectángulo se tiene:

Podemos decir que:

Precio de cada cuaderno:4

48

913

741

Rpta: Precio de cada cuaderno= S/. 12

Ejercicios propuestos.

1. Una institución benéfica distribuye dinero entre un

número determinado de personas pobres; si da S/. 25 a cada uno sobraría S/. 200, pero si da a

cada uno S/.40, faltará S/. 400. ¿Cuál es el número de pobres?

a) 25 b) 30 c) 40 d) 50

e) 35

2. Un comerciante desea vender a

S/. 11 cada calculadora para ganar S/. 75, pero si los vendiera

a S/. 6 tendría una pérdida de S/. 50. ¿Cuántas calculadoras desea vender?

a) 28 b) 20

c) 18 d) 25 e) 15

3. Al rifar un televisor bajo cierto número de boletos. Si se vende a

S/. 4 el boleto, se perdería S/. 60 y si se vende a S/. 6 el boleto se ganaría S/.100. ¿Cuál es el

precio del Televisor?

a) S/. 300 b) S/. 360 c) S/. 380 d) S/. 400 e) S/. 350

4. Si se vende cada lapicero a S/. 4 se gana S/. 18, pero si se vende

en S/. 2 cada uno, se pierde S/. 4. ¿Cuántos lapiceros están en venta?

a) 11 b) 8 c) 15 d) 9

e) 12

5. En una feria cierto ganadero

indicaba lo siguiente. “si vendo mis borregos a S/.20, podré comprar un caballo y me quedan

S/. 90; pero si los vendo a S/. 18, comprando el caballo me

quedaría S/. 6. ¿Cuál es el precio del caballo?

a) S/. 84 b) S/. 240

c) S/. 360 d) S/. 750 e) S/. 350

6. Si le pago S/. 15 a cada uno de los obreros me faltaría S/. 400; pero si sólo les pago S/. 8, me

sobrarían S/. 160. ¿cuántos obreros tengo?

a) 50 b) 60 c) 70 d) 55 e) 80

7. Para ganar S/. 560 en la rifa de una grabadora, se imprimieron

SOBRA S/. 7

FALTA S/. 41

9 cuadernos

13 cuadernos

- +

600 boletos, sin embargo; sólo se vendieron 210 boletos; originándose una pérdida de S/.

220. ¿Cuánto cuesta la grabadora?

a) S/. 620 b) S/. 640 c) S/. 650 d) S/. 660

e) S/. 600

8. Elmer quiere repartir cierto

número de caramelos entre sus sobrinos. Si les da 10 caramelos

a cada uno le sobran 6 caramelos. Y si les da 11 caramelos a cada uno le faltan

6caramelos. ¿Cuántos caramelos quiere repartir?

a) 120 b) 122 c) 124 d) 126

e) 128

9. Si vendo a S/. 12cadapelota

gano S/. 25; pero si las vendiera a S/.10 perdería S/. 9 ¿Cuántas pelotas deseo vender?

a) 20 b) 17

c) 19 d) 18 e) 21

10. Al comprar 20 naranjas, me

sobran S/. 4,80; pero al adquirir 24 naranjas, me faltarían S/.

1,20. ¿Cuánto cuesta cada naranja?

a) S/. 1,50 b) S/. 0,30 c) S/. 3,00 d) S/. 0,15

e) S/. 0,25