Realizado por:

Alumno (s): Cristian Ponce Grupo: GR-1

Semestre: Ene./Junio

Ago/Dic.

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE AUTOMATIZACIÓN Y CONTROL

INDUSTRIAL

Fecha de entrega: _07 / 06_ /2015_ f.

Recibido por:

Sanción:

LABORATORIO DE:

SISTEMAS DE CONTROL AUTOMÁTICO

PREPARATORIO

Práctica: 6 Tema: Análisis de sistemas de control en el dominio del tiempo

representadas en variable de estado.

TRABAJO PREPARATORIO

1. En el sistema eléctrico de la figura 1, la salida del sistema es la diferencia entre los voltajes

de los capacitores 𝑈𝑐1 − 𝑈𝑐2. Se pide: determinar la evolución de los estados del voltaje en

cada capacitor (solución de la ecuación de estados) por una de las técnicas conocidas,

cuando la tensión de la fuente es:

1.1. Nula

1.2. Un escalón unitario

Figura 1.- Sistema eléctrico

Dónde:

Los voltajes iniciales en los condensadores son: 𝑈𝑐1_0 = 2 [𝑣𝑜𝑙𝑡], 𝑈𝑐2_0 = −1 [𝑣𝑜lt] y los

parámetros del sistema son 𝑅1 = 100𝐾Ω, 𝑅2 = 200𝐾Ω, 𝐶1 = 1𝑢f

𝑈𝑔 = 𝑖1𝑅1 + 𝑈𝐶1 = 𝑖2𝑅2 + 𝑈𝐶2

𝑈𝑔 = 𝑐1𝑈′𝐶1𝑅1 + 𝑈𝐶1 = 𝑐2𝑈′𝐶2𝑅2 + 𝑈𝐶2

𝑈𝐶1 = 𝑥1 𝑈𝐶2 = 𝑥2

𝑈𝑔 = 𝑐1𝑅1𝑥1′ + 𝑥1

𝑥1′ =1

𝑅1𝐶1𝑈𝑔 −

1

𝑅1𝐶1𝑥2

𝑥1′ = 10𝑈𝑔 − 10𝑥2 𝑈𝑔 = 𝑐2𝑅2𝑥2′ + 𝑥2

𝑥2′ =1

𝑅2𝐶2𝑈𝑔 −

1

𝑅2𝐶2𝑥2

𝑥2′ = 5𝑈𝑔 − 5𝑥2

[𝑥1′𝑥2′

] = [−10 00 −5

] [𝑥1𝑥2

] + [105

]

𝑃(𝜆) = det(𝜆𝐼 − 𝐴) = |𝜆 + 10 0

0 𝜆 + 5| = (𝜆 + 10)(𝜆 + 5)

𝜆1 = −10 𝜆2 = −5

𝑋(𝑠) = (𝑆𝐼 − 𝐴)−1𝑋(0) + (𝑆𝐼 − 𝐴)−1𝐵𝑈(𝑆)

Para entrada nula 𝑈(𝑆) = 0

𝑋(𝑠) = (𝑆𝐼 − 𝐴)−1𝑋(0)

(𝑆𝐼 − 𝐴) = [𝑠 + 10 0

0 𝑠 + 5]

(𝑆𝐼 − 𝐴)−1 = [

1

𝑠 + 100

01

𝑠 + 5

]

𝑋(𝑠) = [

1

𝑠 + 100

01

𝑠 + 5

] [2

−1] = [

21

𝑠 + 10

−1

𝑠 + 5

]

ℒ{𝑋(𝑠)} = [2𝑒−10𝑡

−𝑒−5𝑡 ]

Para entrada paso

𝑈(𝑆) =1

𝑠

𝑋(𝑠) = (𝑆𝐼 − 𝐴)−1𝑋(0) + (𝑆𝐼 − 𝐴)−1𝐵𝑈(𝑆)

𝑋(𝑠) = [2

1

𝑠 + 10

−1

𝑠 + 5

] + [

1

𝑠 + 100

01

𝑠 + 5

] [105

]1

𝑠

𝑋(𝑠) = [2

1

𝑠 + 10

−1

𝑠 + 5

] + [

10

𝑠 + 105

𝑠 + 5

]1

𝑠

𝑋(𝑠) = [2

1

𝑠 + 10

−1

𝑠 + 5

] +

[

10

𝑠(𝑠 + 10)5

𝑠(𝑠 + 5) ]

𝑋(𝑠) = [2

1

𝑠 + 10

−1

𝑠 + 5

] +

[ 1

𝑠−

1

(𝑠 + 10)1

𝑠−

1

(𝑠 + 5) ]

ℒ{𝑋(𝑠)} = [2𝑒−10𝑡

−𝑒−5𝑡 ] + [𝑈𝑔 − 𝑒−10𝑡

𝑈𝑔 − 𝑒−5𝑡 ] = [𝑈𝑔 + 𝑒−10𝑡

𝑈𝑔 − 2𝑒−5𝑡]

2. El sistema eléctrico de la figura 2, posee dos entradas (𝑣𝑖(𝑡) e 𝑖𝑖(𝑡)) y una sola salida (voltaje

sobre el inductor). Se pide:

2.1. Determinar el modelo en variables de estado y la salida del circuito, si se considera que los

estados son: 𝑥1 = 𝑣𝐶1, 𝑥2 = 𝑣𝐶2 , y 𝑥3 = 𝐼𝐿 . Exprese en función de R1, R2, C1, C2 y L.

𝑣𝑖 = 𝑅1𝐼𝐶1 + 𝑉𝐶1 + 𝐿𝐼𝐿′

𝒗𝒊 = 𝑹𝟏𝑪𝟏𝑿𝟏′ + 𝑿𝟐 + 𝑳𝑿𝟑′

𝑣𝑖 = 𝑅1𝐼𝐶1 + 𝑉𝐶2 + 𝑅2𝐼𝑅2

𝐼𝑅2 = 𝐼𝐶2 + 𝐼𝑖 𝒗𝒊 = 𝑹𝟏𝑪𝟏𝒙𝟏′ + 𝒙𝟐 + 𝑹𝟐(𝒄𝟐𝒙𝟐′ + 𝑰𝒊)

𝑉𝐶2 = 𝑅2(𝐼𝑅2) − 𝐿𝐼𝐿

𝑿𝟐 = 𝑹𝟐(𝒄𝟐𝒙𝟐′ + 𝑰𝒊) − 𝑳𝑿𝟑′

𝐼𝐶1 = 𝐼𝐶2 + 𝐼𝐿

𝑪𝟏𝑿𝟏′ = 𝑪𝟐𝑿𝟐′ + 𝑿𝟑

𝑋1′ =𝐶2

𝐶1𝑋2′ +

1

𝐶1𝑋3

𝑣𝑖 = 𝑅1𝐶1𝑥1′ + 𝑥2 + 𝑅2(𝑐2𝑥2′ + 𝐼𝑖)

𝑣𝑖 = 𝑅1𝐶1 (𝐶2

𝐶1𝑋2′ +

1

𝐶1𝑋3) + 𝑥2 + 𝑅2(𝑐2𝑥2′ + 𝐼𝑖)

𝑣𝑖 = 𝑅1𝐶2𝑋2′ + 𝑅1𝑋3 + 𝑥2 + 𝑅2(𝑐2𝑥2′ + 𝐼𝑖)

𝑿𝟐′ = −𝟏

𝑹𝟏𝑪𝟐 + 𝑹𝟐𝑪𝟐𝑿𝟐 −

𝑹𝟏

𝑹𝟏𝑪𝟐 + 𝑹𝟐𝑪𝟐𝑿𝟑 +

𝟏

𝑹𝟏𝑪𝟐 + 𝑹𝟐𝑪𝟐𝒗𝒊 −

𝑹𝟐

𝑹𝟏𝑪𝟐 + 𝑹𝟐𝑪𝟐𝑰𝒊

𝑋2 = 𝑅2(𝑐2𝑥2′ + 𝐼𝑖) − 𝐿𝑋3′

𝑋2 = 𝑅2(𝑐2(−1

𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2𝑋2 −

𝑅1

𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2𝑋3 +

1

𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2𝑣𝑖 −

𝑅2

𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2𝐼𝑖)

+ 𝐼𝑖) − 𝐿𝑋3′

𝑿𝟑′ = (−𝟏

𝒍−

𝑹𝟐𝑪𝟐

𝑹𝟏𝑪𝟐 + 𝑹𝟐𝑪𝟐)𝒙𝟐 −

𝑹𝟏𝑹𝟐𝑪𝟐

𝑹𝟏𝑪𝟐 + 𝑹𝟐𝑪𝟐𝑿𝟑 +

𝑹𝟐𝑪𝟐

𝑹𝟏𝑪𝟐 + 𝑹𝟐𝑪𝟐𝒗𝒊 −

𝑹𝟐𝟐𝑪𝟐

𝑹𝟏𝑪𝟐 + 𝑹𝟐𝑪𝟐𝑰𝒊

𝑣𝑖 = 𝑅1𝐶1𝑋1′ + 𝑋2 + 𝐿𝑋3′

𝑣𝑖 = 𝑅1𝐶1𝑋1′ + 𝑋2 + 𝐿((−1

𝑙−

𝑅2𝐶2

𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2)𝑥2 −

𝑅1𝑅2𝐶2

𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2𝑋3 +

𝑅2𝐶2

𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2𝑣𝑖

−𝑅22𝐶2

𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2𝐼𝑖)

𝑿𝟏′ = (𝟏

𝒓𝟏𝒄𝟏+

𝑹𝟐𝑪𝟐

𝑹𝟏𝑪𝟏(𝑹𝟏𝑪𝟐 + 𝑹𝟐𝑪𝟐))𝒙𝟐 −

𝑳𝑹𝟐𝑪𝟐

𝑪𝟏(𝑹𝟏𝑪𝟐 + 𝑹𝟐𝑪𝟐)𝑿𝟑

+ (𝟏

𝑹𝟏𝑪𝟏−

𝑳𝑹𝟐𝑪𝟐

𝑹𝟏𝑪𝟏(𝑹𝟏𝑪𝟐 + 𝑹𝟐𝑪𝟐))𝒗𝒊 −

𝑳𝑹𝟐𝟐𝑪𝟐

𝑹𝟏𝑪𝟏(𝑹𝟏𝑪𝟐 + 𝑹𝟐𝑪𝟐)𝑰𝒊 −

𝟏

𝑹𝟏𝑪𝟏𝑿𝟏

[𝑋1′𝑋2′𝑋3′

] =

[ −

1

𝑅1𝐶1(

1

𝑟1𝑐1+

𝑅2𝐶2

𝑅1𝐶1(𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2)) −

𝐿𝑅2𝐶2

𝐶1(𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2)

0 −1

𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2−

𝑅1

𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2

0 (−1

𝑙−

𝑅2𝐶2

𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2) −

𝑅1𝑅2𝐶2

𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2 ]

[𝑋1𝑋2𝑋3

]

+

[ 1

𝑅1𝐶1−

𝐿𝑅2𝐶2

𝑅1𝐶1(𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2)−

𝐿𝑅22𝐶2

𝑅1𝐶1(𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2)

1

𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2−

𝑅2

𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2

𝑅2𝐶2

𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2−

𝑅22𝐶2

𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2 ]

[𝑣𝑖𝐼𝑖

]

[𝑈𝑐1𝑈𝑐2𝐼𝑙

] = [1 0 00 1 00 0 1

] [𝑋1𝑋2𝑋3

]

2.2. Implemente las ecuaciones de estado en Simulink. Considere los siguientes valores: R1=10Ω,

R2=20 Ω, C1=0.3F, C2=0.5F, L=1H.

[𝑋1′𝑋2′𝑋3′

] = [−0.33 0.555 −2.22

0 −0.0667 −0.6670 −1.667 −6.667

] [𝑋1𝑋2𝑋3

] + [0.111 −4.440.0667 −1.3330.667 −13.333

] [𝑣𝑖𝐼𝑖

]

[𝑈𝑐1𝑈𝑐2𝐼𝑙

] = [1 0 00 1 00 0 1

] [𝑋1𝑋2𝑋3

]

t

To Workspace1

v

To Workspace

Step1

Step

x' = Ax+Bu

y = Cx+Du

State-Space Scope

Clock

3. Dado el sistema mecánico MIMO (Múltiples entradas y múltiples salidas) de la figura 3, se pide encontrar la representación de estados del sistema.

𝑚1𝑦1′′ = 𝑘1(−𝑦1) + 𝑐1(−𝑦1′) − 𝑘2(𝑦1 − 𝑦2) − 𝑐2(𝑦1′ + 𝑦2′) + 𝑢1

𝑚1𝑦1′′ = 𝑦1(−𝑘1 − 𝑘2) + 𝑦1′(−𝑐1 − 𝑐2) + 𝑦2′(−𝑐2) + 𝑘2𝑦2 + 𝑢1

𝑚1𝑦1′′ =𝑦1(−𝑘1 − 𝑘2)

𝑚+

𝑦1′(−𝑐1 − 𝑐2)

𝑚+

𝑦2′(−𝑐2)

𝑚+

𝑘2𝑦2

𝑚

+𝑢1

𝑚

𝑥1 = 𝑦1

𝑥2 = 𝑥1′ = 𝑦1′ 𝑥3 = 𝑦2

𝑥4 = 𝑥3′ = 𝑦2′

𝒙𝟐′ =𝒙𝟏(−𝒌𝟏 − 𝒌𝟐)

𝒎𝟏+

𝒙𝟐(−𝒄𝟏 − 𝒄𝟐)

𝒎𝟏+

𝒙𝟒(−𝒄𝟐)

𝒎𝟏+

𝒙𝟑𝒌𝟐

𝒎𝟏+

𝒖𝟏

𝒎

𝑚2𝑦2′′ = 𝑘2(𝑦1 − 𝑦2) + 𝑐2(𝑦1′ + 𝑦2′) + 𝑢2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

-1.8

-1.6

-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

Uc1

Uc2

Il

𝑚2𝑦2′′ = 𝑦1(𝑘2) + 𝑦2(−𝑘2) + 𝑐2𝑦1′ + 𝑐2𝑦2′ + 𝑢2

𝑚2𝑦2′′ = 𝑦1(𝑘2) + 𝑦2(−𝑘2) + 𝑐2𝑦1′ + 𝑐2𝑦2′ + 𝑢2

𝑦2′′ =𝑦1(𝑘2)

𝑚2+

𝑦2(−𝑘2)

𝑚2+

𝑐2𝑦1′

𝑚2+

𝑐2𝑦2′

𝑚2+

𝑢2

𝑚2

𝒙𝟒′ =𝒙𝟏(𝒌𝟐)

𝒎𝟐+

𝒙𝟑(−𝒌𝟐)

𝒎𝟐+

𝒄𝟐𝒙𝟐

𝒎𝟐+

𝒄𝟐𝒙𝟒

𝒎𝟐+

𝒖𝟐

𝒎𝟐

[

𝑥1′𝑥2′𝑥3′𝑥4′

] =

[

0 0 0 0(−𝑘1 − 𝑘2)

𝑚1

(−𝑐1 − 𝑐2)

𝑚1

𝑘2

𝑚1

(−𝑐2)

𝑚10 0 0 0

(𝑘2)

𝑚2

𝑐2

𝑚2

(−𝑘2)

𝑚2

𝑐2

𝑚2 ]

[

𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4

] +

[

0 01

𝑚10

0 0

01

𝑚2]

𝑢