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Realizado por:
Alumno (s): Cristian Ponce Grupo: GR-1
Semestre: Ene./Junio
Ago/Dic.
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE AUTOMATIZACIÓN Y CONTROL
INDUSTRIAL
Fecha de entrega: _07 / 06_ /2015_ f.
Recibido por:
Sanción:
LABORATORIO DE:
SISTEMAS DE CONTROL AUTOMÁTICO
PREPARATORIO
Práctica: 6 Tema: Análisis de sistemas de control en el dominio del tiempo
representadas en variable de estado.
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TRABAJO PREPARATORIO
1. En el sistema eléctrico de la figura 1, la salida del sistema es la diferencia entre los voltajes
de los capacitores 𝑈𝑐1 − 𝑈𝑐2. Se pide: determinar la evolución de los estados del voltaje en
cada capacitor (solución de la ecuación de estados) por una de las técnicas conocidas,
cuando la tensión de la fuente es:
1.1. Nula
1.2. Un escalón unitario
Figura 1.- Sistema eléctrico
Dónde:
Los voltajes iniciales en los condensadores son: 𝑈𝑐1_0 = 2 [𝑣𝑜𝑙𝑡], 𝑈𝑐2_0 = −1 [𝑣𝑜lt] y los
parámetros del sistema son 𝑅1 = 100𝐾Ω, 𝑅2 = 200𝐾Ω, 𝐶1 = 1𝑢f
𝑈𝑔 = 𝑖1𝑅1 + 𝑈𝐶1 = 𝑖2𝑅2 + 𝑈𝐶2
𝑈𝑔 = 𝑐1𝑈′𝐶1𝑅1 + 𝑈𝐶1 = 𝑐2𝑈′𝐶2𝑅2 + 𝑈𝐶2
𝑈𝐶1 = 𝑥1 𝑈𝐶2 = 𝑥2
𝑈𝑔 = 𝑐1𝑅1𝑥1′ + 𝑥1
𝑥1′ =1
𝑅1𝐶1𝑈𝑔 −
1
𝑅1𝐶1𝑥2
𝑥1′ = 10𝑈𝑔 − 10𝑥2 𝑈𝑔 = 𝑐2𝑅2𝑥2′ + 𝑥2
𝑥2′ =1
𝑅2𝐶2𝑈𝑔 −
1
𝑅2𝐶2𝑥2
𝑥2′ = 5𝑈𝑔 − 5𝑥2
[𝑥1′𝑥2′
] = [−10 00 −5
] [𝑥1𝑥2
] + [105
]
𝑃(𝜆) = det(𝜆𝐼 − 𝐴) = |𝜆 + 10 0
0 𝜆 + 5| = (𝜆 + 10)(𝜆 + 5)
𝜆1 = −10 𝜆2 = −5
𝑋(𝑠) = (𝑆𝐼 − 𝐴)−1𝑋(0) + (𝑆𝐼 − 𝐴)−1𝐵𝑈(𝑆)
Para entrada nula 𝑈(𝑆) = 0
𝑋(𝑠) = (𝑆𝐼 − 𝐴)−1𝑋(0)
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(𝑆𝐼 − 𝐴) = [𝑠 + 10 0
0 𝑠 + 5]
(𝑆𝐼 − 𝐴)−1 = [
1
𝑠 + 100
01
𝑠 + 5
]
𝑋(𝑠) = [
1
𝑠 + 100
01
𝑠 + 5
] [2
−1] = [
21
𝑠 + 10
−1
𝑠 + 5
]
ℒ{𝑋(𝑠)} = [2𝑒−10𝑡
−𝑒−5𝑡 ]
Para entrada paso
𝑈(𝑆) =1
𝑠
𝑋(𝑠) = (𝑆𝐼 − 𝐴)−1𝑋(0) + (𝑆𝐼 − 𝐴)−1𝐵𝑈(𝑆)
𝑋(𝑠) = [2
1
𝑠 + 10
−1
𝑠 + 5
] + [
1
𝑠 + 100
01
𝑠 + 5
] [105
]1
𝑠
𝑋(𝑠) = [2
1
𝑠 + 10
−1
𝑠 + 5
] + [
10
𝑠 + 105
𝑠 + 5
]1
𝑠
𝑋(𝑠) = [2
1
𝑠 + 10
−1
𝑠 + 5
] +
[
10
𝑠(𝑠 + 10)5
𝑠(𝑠 + 5) ]
𝑋(𝑠) = [2
1
𝑠 + 10
−1
𝑠 + 5
] +
[ 1
𝑠−
1
(𝑠 + 10)1
𝑠−
1
(𝑠 + 5) ]
ℒ{𝑋(𝑠)} = [2𝑒−10𝑡
−𝑒−5𝑡 ] + [𝑈𝑔 − 𝑒−10𝑡
𝑈𝑔 − 𝑒−5𝑡 ] = [𝑈𝑔 + 𝑒−10𝑡
𝑈𝑔 − 2𝑒−5𝑡]
2. El sistema eléctrico de la figura 2, posee dos entradas (𝑣𝑖(𝑡) e 𝑖𝑖(𝑡)) y una sola salida (voltaje
sobre el inductor). Se pide:
2.1. Determinar el modelo en variables de estado y la salida del circuito, si se considera que los
estados son: 𝑥1 = 𝑣𝐶1, 𝑥2 = 𝑣𝐶2 , y 𝑥3 = 𝐼𝐿 . Exprese en función de R1, R2, C1, C2 y L.
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𝑣𝑖 = 𝑅1𝐼𝐶1 + 𝑉𝐶1 + 𝐿𝐼𝐿′
𝒗𝒊 = 𝑹𝟏𝑪𝟏𝑿𝟏′ + 𝑿𝟐 + 𝑳𝑿𝟑′
𝑣𝑖 = 𝑅1𝐼𝐶1 + 𝑉𝐶2 + 𝑅2𝐼𝑅2
𝐼𝑅2 = 𝐼𝐶2 + 𝐼𝑖 𝒗𝒊 = 𝑹𝟏𝑪𝟏𝒙𝟏′ + 𝒙𝟐 + 𝑹𝟐(𝒄𝟐𝒙𝟐′ + 𝑰𝒊)
𝑉𝐶2 = 𝑅2(𝐼𝑅2) − 𝐿𝐼𝐿
𝑿𝟐 = 𝑹𝟐(𝒄𝟐𝒙𝟐′ + 𝑰𝒊) − 𝑳𝑿𝟑′
𝐼𝐶1 = 𝐼𝐶2 + 𝐼𝐿
𝑪𝟏𝑿𝟏′ = 𝑪𝟐𝑿𝟐′ + 𝑿𝟑
𝑋1′ =𝐶2
𝐶1𝑋2′ +
1
𝐶1𝑋3
𝑣𝑖 = 𝑅1𝐶1𝑥1′ + 𝑥2 + 𝑅2(𝑐2𝑥2′ + 𝐼𝑖)
𝑣𝑖 = 𝑅1𝐶1 (𝐶2
𝐶1𝑋2′ +
1
𝐶1𝑋3) + 𝑥2 + 𝑅2(𝑐2𝑥2′ + 𝐼𝑖)
𝑣𝑖 = 𝑅1𝐶2𝑋2′ + 𝑅1𝑋3 + 𝑥2 + 𝑅2(𝑐2𝑥2′ + 𝐼𝑖)
𝑿𝟐′ = −𝟏
𝑹𝟏𝑪𝟐 + 𝑹𝟐𝑪𝟐𝑿𝟐 −
𝑹𝟏
𝑹𝟏𝑪𝟐 + 𝑹𝟐𝑪𝟐𝑿𝟑 +
𝟏
𝑹𝟏𝑪𝟐 + 𝑹𝟐𝑪𝟐𝒗𝒊 −
𝑹𝟐
𝑹𝟏𝑪𝟐 + 𝑹𝟐𝑪𝟐𝑰𝒊
𝑋2 = 𝑅2(𝑐2𝑥2′ + 𝐼𝑖) − 𝐿𝑋3′
𝑋2 = 𝑅2(𝑐2(−1
𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2𝑋2 −
𝑅1
𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2𝑋3 +
1
𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2𝑣𝑖 −
𝑅2
𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2𝐼𝑖)
+ 𝐼𝑖) − 𝐿𝑋3′
𝑿𝟑′ = (−𝟏
𝒍−
𝑹𝟐𝑪𝟐
𝑹𝟏𝑪𝟐 + 𝑹𝟐𝑪𝟐)𝒙𝟐 −
𝑹𝟏𝑹𝟐𝑪𝟐
𝑹𝟏𝑪𝟐 + 𝑹𝟐𝑪𝟐𝑿𝟑 +
𝑹𝟐𝑪𝟐
𝑹𝟏𝑪𝟐 + 𝑹𝟐𝑪𝟐𝒗𝒊 −
𝑹𝟐𝟐𝑪𝟐
𝑹𝟏𝑪𝟐 + 𝑹𝟐𝑪𝟐𝑰𝒊
𝑣𝑖 = 𝑅1𝐶1𝑋1′ + 𝑋2 + 𝐿𝑋3′
𝑣𝑖 = 𝑅1𝐶1𝑋1′ + 𝑋2 + 𝐿((−1
𝑙−
𝑅2𝐶2
𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2)𝑥2 −
𝑅1𝑅2𝐶2
𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2𝑋3 +
𝑅2𝐶2
𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2𝑣𝑖
−𝑅22𝐶2
𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2𝐼𝑖)
𝑿𝟏′ = (𝟏
𝒓𝟏𝒄𝟏+
𝑹𝟐𝑪𝟐
𝑹𝟏𝑪𝟏(𝑹𝟏𝑪𝟐 + 𝑹𝟐𝑪𝟐))𝒙𝟐 −
𝑳𝑹𝟐𝑪𝟐
𝑪𝟏(𝑹𝟏𝑪𝟐 + 𝑹𝟐𝑪𝟐)𝑿𝟑
+ (𝟏
𝑹𝟏𝑪𝟏−
𝑳𝑹𝟐𝑪𝟐
𝑹𝟏𝑪𝟏(𝑹𝟏𝑪𝟐 + 𝑹𝟐𝑪𝟐))𝒗𝒊 −
𝑳𝑹𝟐𝟐𝑪𝟐
𝑹𝟏𝑪𝟏(𝑹𝟏𝑪𝟐 + 𝑹𝟐𝑪𝟐)𝑰𝒊 −
𝟏
𝑹𝟏𝑪𝟏𝑿𝟏
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[𝑋1′𝑋2′𝑋3′
] =
[ −
1
𝑅1𝐶1(
1
𝑟1𝑐1+
𝑅2𝐶2
𝑅1𝐶1(𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2)) −
𝐿𝑅2𝐶2
𝐶1(𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2)
0 −1
𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2−
𝑅1
𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2
0 (−1
𝑙−
𝑅2𝐶2
𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2) −
𝑅1𝑅2𝐶2
𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2 ]
[𝑋1𝑋2𝑋3
]
+
[ 1
𝑅1𝐶1−
𝐿𝑅2𝐶2
𝑅1𝐶1(𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2)−
𝐿𝑅22𝐶2
𝑅1𝐶1(𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2)
1
𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2−
𝑅2
𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2
𝑅2𝐶2
𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2−
𝑅22𝐶2
𝑅1𝐶2 + 𝑅2𝐶2 ]
[𝑣𝑖𝐼𝑖
]
[𝑈𝑐1𝑈𝑐2𝐼𝑙
] = [1 0 00 1 00 0 1
] [𝑋1𝑋2𝑋3
]
2.2. Implemente las ecuaciones de estado en Simulink. Considere los siguientes valores: R1=10Ω,
R2=20 Ω, C1=0.3F, C2=0.5F, L=1H.
[𝑋1′𝑋2′𝑋3′
] = [−0.33 0.555 −2.22
0 −0.0667 −0.6670 −1.667 −6.667
] [𝑋1𝑋2𝑋3
] + [0.111 −4.440.0667 −1.3330.667 −13.333
] [𝑣𝑖𝐼𝑖
]
[𝑈𝑐1𝑈𝑐2𝐼𝑙
] = [1 0 00 1 00 0 1
] [𝑋1𝑋2𝑋3
]
t
To Workspace1
v
To Workspace
Step1
Step
x' = Ax+Bu
y = Cx+Du
State-Space Scope
Clock
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3. Dado el sistema mecánico MIMO (Múltiples entradas y múltiples salidas) de la figura 3, se pide encontrar la representación de estados del sistema.
𝑚1𝑦1′′ = 𝑘1(−𝑦1) + 𝑐1(−𝑦1′) − 𝑘2(𝑦1 − 𝑦2) − 𝑐2(𝑦1′ + 𝑦2′) + 𝑢1
𝑚1𝑦1′′ = 𝑦1(−𝑘1 − 𝑘2) + 𝑦1′(−𝑐1 − 𝑐2) + 𝑦2′(−𝑐2) + 𝑘2𝑦2 + 𝑢1
𝑚1𝑦1′′ =𝑦1(−𝑘1 − 𝑘2)
𝑚+
𝑦1′(−𝑐1 − 𝑐2)
𝑚+
𝑦2′(−𝑐2)
𝑚+
𝑘2𝑦2
𝑚
+𝑢1
𝑚
𝑥1 = 𝑦1
𝑥2 = 𝑥1′ = 𝑦1′ 𝑥3 = 𝑦2
𝑥4 = 𝑥3′ = 𝑦2′
𝒙𝟐′ =𝒙𝟏(−𝒌𝟏 − 𝒌𝟐)
𝒎𝟏+
𝒙𝟐(−𝒄𝟏 − 𝒄𝟐)
𝒎𝟏+
𝒙𝟒(−𝒄𝟐)
𝒎𝟏+
𝒙𝟑𝒌𝟐
𝒎𝟏+
𝒖𝟏
𝒎
𝑚2𝑦2′′ = 𝑘2(𝑦1 − 𝑦2) + 𝑐2(𝑦1′ + 𝑦2′) + 𝑢2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Uc1
Uc2
Il
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𝑚2𝑦2′′ = 𝑦1(𝑘2) + 𝑦2(−𝑘2) + 𝑐2𝑦1′ + 𝑐2𝑦2′ + 𝑢2
𝑚2𝑦2′′ = 𝑦1(𝑘2) + 𝑦2(−𝑘2) + 𝑐2𝑦1′ + 𝑐2𝑦2′ + 𝑢2
𝑦2′′ =𝑦1(𝑘2)
𝑚2+
𝑦2(−𝑘2)
𝑚2+
𝑐2𝑦1′
𝑚2+
𝑐2𝑦2′
𝑚2+
𝑢2
𝑚2
𝒙𝟒′ =𝒙𝟏(𝒌𝟐)
𝒎𝟐+
𝒙𝟑(−𝒌𝟐)
𝒎𝟐+
𝒄𝟐𝒙𝟐
𝒎𝟐+
𝒄𝟐𝒙𝟒
𝒎𝟐+
𝒖𝟐
𝒎𝟐
[
𝑥1′𝑥2′𝑥3′𝑥4′
] =
[
0 0 0 0(−𝑘1 − 𝑘2)
𝑚1
(−𝑐1 − 𝑐2)
𝑚1
𝑘2
𝑚1
(−𝑐2)
𝑚10 0 0 0
(𝑘2)
𝑚2
𝑐2
𝑚2
(−𝑘2)
𝑚2
𝑐2
𝑚2 ]
[
𝑥1𝑥2𝑥3𝑥4
] +
[
0 01
𝑚10
0 0
01
𝑚2]
𝑢