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Preguntas a contestar …
• ¿Cómo se ensamblan los átomos en estructurassólidas?
• ¿Cómo depende la densidad de la estructura cristalina?
• ¿Cómo varían las propiedades de un material conla orientación cristalina?
Estructura de los sólidos
• Denso, empaquetamiento regular
Las estructuras densas, empaquetadas reguralmente tienenmenor energía
Energy
r
typical neighbor bond length
typical neighbor bond energy
Energía y empaquetamiento
• No denso, empaquetamiento al azar Energy
r
typical neighbor bond length
typical neighbor bond energy
+
BASEPosición de los átomosRelativos a la red
CRISTAL
=
REDConjunto de puntos
en el espacioDescribe la simetria
Cristal
Red + base = cristal
• SHOWN LEFT ARE EXAMPLES OF TRANSLATION VECTORS FORA TWO-DIMENSIONAL SQUARE LATTICE
• THE TRANSLATION VECTORS (a 1, a2) & (b1, b2) ARE PRIMITIVETRANSLATION VECTORS SINCE THEY MAP ANY LATTICE POINTTO ALL OTHER LATTICE POINTS
• THE TRANSLATION VECTORS (c 1, c2) ARE NOT PRIMITIVEHOWEVER SINCE THEY WILL ONLY MAP FROM ONE LATTICE P OINTONTO HALF OF THE OTHER LATTICE POINTS
a1
a2
b1
b2
c1
c2
• Celda unitaria : unidadbásica que se repite en el espacio para crear un material cristalino, usualmente es un paralelepidedo
• tienden a ser densamente empacados.
• existen varias razones para ese empaquetamiento:-Típicamente, elementos pesados.-El enlace metálico no es direccional; por lo tanto, no hay restricciones en la posición de los átomos-Las distancias a primeros vecinos son pequeñas
para disminuir su energía de enlace
• tienen las estructuras cristalinas mas simples
Cristales metálicos
• La celda unitaria es un cubo que se repite en 3D• Solamente el Polonio tiene esta estructura• Las direcciones de máximo empaquetamiento(direcciones a lo largo de las cuales los átomosse tocan unos con otros) son en los vertices del cubo.
• # de # de # de # de CoordinaciCoordinaciCoordinaciCoordinacióóóónnnn = 6(# de átomos máscercanos)
(Courtesy P.M. Anderson)
Estructura cúbica simple (SC)
• FEA para la cúbica simple es = 0.52
APF =
a3
4
3π (0.5a)31
atoms
unit cellatom
volume
unit cell
volume
Factor de empaquetamiento atómoco (FEA)
contains 8 x 1/8 = 1 atom/unit cell
Adapted from Fig. 3.19,Callister 6e.
Constante de red
Dirección de max. empaquetamiento
a
R=0.5a
FEA =Volumen de los átomos en la celda unitaria*
Volumen de la celda unitaria
*Se asumen esferas duras en la CU
• # de coordinación = 8
• Las direcciones de máximo empaquetamientoson las diagonales del cubo.
--Nota: todos los átomos son identicos, el delCentro está sombreado para una mejor vista
Estructura cúbica centrada en el cuerpo(base centred cubic)
aR
• FEA para la estructura bcc es = ππππ√√√√3/8 = 0.68
Close-packed directions: length = 4R = 3 a
Unit cell contains: 1 + 8 x 1/8 = 2 atoms/unit cell
Adapted fromFig. 3.2,Callister 6e.
FEA: bcc
APF =
a3
4
3π ( 3a/4)32
atoms
unit cell atom
volume
unit cell
volume
• # de coordinación = 12
Adapted from Fig. 3.1(a),Callister 6e.(Courtesy P.M. Anderson)
• La dirección de máximo empaquetamiento son lasdiagonales de las caras
Estructura cúbica centrada en las caras(face centred cubic)
--Nota: todos los átomos son identicos
APF =
a3
4
3π ( 2a/4)34
atoms
unit cell atom
volume
unit cell
volume
Unit cell contains: 6 x 1/2 + 8 x 1/8 = 4 atoms/unit cell
a
• FEA para la estructura fcc = π/(3√2) = 0.74(el mejor empaquetamiento posible de esferas identicas)
Close-packed directions: length = 4R = 2 a
Adapted fromFig. 3.1(a),Callister 6e.
FEA: fcc
• ABCABC... Secuencia de empaquetamiento
• celda unitaria fccABC
Secuencia de empaquetamiento fcc
A sites
B sites
C sites
B B
B
BB
B BC C
CA
A• Proyección 2D
Estructura hexagonal compactahexagonal close-packed structure (hcp )
Idealmente, c/a = 1.633Sin embargo, en la mayoria de los metales, la razón c/a se desvía de ese valor
• # de coordinación = 12
• ABAB... Secuencia de enpaquetamiento
• FEA = 0.74, para la razón ideal c/a de 1.633
• Proyección 3D • Proyección 2D
A sites
B sites
A sites Bottom layer
Middle layer
Top layer
Adapted from Fig. 3.3,Callister 6e.
Estructura hcp
Empaquetamiento en cristales
A plane
B plane
C plane
A plane
…ABCABCABC… packing[Face Centered Cubic (FCC)]
…ABABAB… packing[Hexagonal Close Packing (HCP)]
Comparación de estructurascristalinas
Crystal structure coordination # FEA close packed dire ctions
• Simple Cubic (SC) 6 0.52 cube edges
• Body Centered Cubic (BCC) 8 0.68 body diagonal
• Face Centered Cubic (FCC) 12 0.74 face diagonal
• Hexagonal Close Pack (HCP) 12 0.74 hexagonal side
Materiales con mayor densidad : fcc hcp
Densidad teórica , ρρρρ
Densidad = masa/volumen
masa = # de átoms por celda unitaria * masa de cada átomo
Masa de cada átomo = peso átomico/ # de avogadro
ρ = nA
VcNA
# atoms/unit cell Atomic weight (g/mol)
Volume/unit cell
(cm3/unit cell)
Avogadro's number
(6.023 x 1023 atoms/mol)
Element Aluminum Argon Barium Beryllium Boron Bromine Cadmium Calcium Carbon Cesium Chlorine Chromium Cobalt Copper Flourine Gallium Germanium Gold Helium Hydrogen
Symbol Al Ar Ba Be B Br Cd Ca C Cs Cl Cr Co Cu F Ga Ge Au He H
At. Weight (amu) 26.98 39.95 137.33 9.012 10.81 79.90 112.41 40.08 12.011 132.91 35.45 52.00 58.93 63.55 19.00 69.72 72.59 196.97 4.003 1.008
Atomic radius (nm) 0.143 ------ 0.217 0.114 ------ ------ 0.149 0.197 0.071 0.265 ------ 0.125 0.125 0.128 ------ 0.122 0.122 0.144 ------ ------
Density
(g/cm3) 2.71 ------ 3.5 1.85 2.34 ------ 8.65 1.55 2.25 1.87 ------ 7.19 8.9 8.94 ------ 5.90 5.32 19.32 ------ ------
Crystal Structure FCC ------ BCC HCP Rhomb ------ HCP FCC Hex BCC ------ BCC HCP FCC ------ Ortho. Dia. cubic FCC ------ ------
Adapted fromTable, "Charac-teristics ofSelectedElements",inside frontcover,Callister 6e.
Características de ciertos elementos a 20 oC
ρ = nA
VcNA
# atoms/unit cell Atomic weight (g/mol)
Volume/unit cell
(cm3/unit cell)
Avogadro's number
(6.023 x 1023 atoms/mol)
Ejemplo: CobreData from Table inside front cover of Callister (see previous slide):
• crystal structure = FCC: 4 atoms/unit cell• atomic weight = 63.55 g/mol (1 amu = 1 g/mol)• atomic radius R = 0.128 nm (1 nm = 10 cm)-7
Vc = a3 ; For FCC, a = 4R/ 2 ; Vc = 4.75 x 10
-23cm3
Compare to actual: ρCu = 8.94 g/cm3Result: theoretical ρCu = 8.89 g/cm3
Densidad teórica , ρρρρ
ρ (g/cm3)
Graphite/ Ceramics/ Semicond
Metals/ Alloys
Composites/ fibers
Polymers
1
2
20
30Based on data in Table B1, Callister *GFRE, CFRE, & AFRE are Glass, Carbon, & Aramid Fiber-Reinforced Epoxy composites (values based on 60% volume fraction of aligned fibers
in an epoxy matrix). 10
3
4
5
0.3
0.4 0.5
Magnesium
Aluminum
Steels
Titanium
Cu,Ni
Tin, Zinc
Silver, Mo
Tantalum Gold, W Platinum
Graphite
Silicon
Glass-soda Concrete
Si nitride Diamond Al oxide
Zirconia
HDPE, PS PP, LDPE
PC
PTFE
PET PVC Silicone
Wood
AFRE*
CFRE*
GFRE*
Glass fibers
Carbon fibers
Aramid fibers
¿Porqué?Metales tienen...• empaquetamiento fuerte
(enlace metálico)• masas atómicas grandes
Ceramicos tienen...• empaquetamiento menosdenso(enlace covalente)
• elementos ligerosPolimeros tienen...• casi sin empaquetamiento
(algunos amorfos)• elementos más ligeros (C,H,O)
Compositos tienen...• valores intermedios
Data from Table B1, Callister 6e.
Densidades para diferentes clases de materiales
ρmetalesmetalesmetalesmetales> ρceramicasceramicasceramicasceramicas> ρpolimerospolimerospolimerospolimeross
Sistemas cristalinos
• Basados en la forma de la celda unitaria• Celda unitaria = unidad en 3D que se repite en el espacio• La geometría de la CU está definida por a, b, c & α, β, γα, β, γα, β, γα, β, γ
(parámetros de red o contantes de red )• 7 posibles combinaciones de a, b, c & α, β, γ, resultan en
7 sistemas cristalinos
Sistemas cristalinos
• Structure of NaCl
Estructura de otros sistemas
(Courtesy P.M. Anderson)
• Structure of Carbon
Graphite Diamond
CRYSTAL STRUCTURES
• Plenty of crystal structures available at: http://cst-www.nrl.navy.mil/lattice/
Puntos , direcciones y planoscristalográficos
• En materiales cristalinos es necesario especificarpuntos, direcciones y planos en la celda unitaria y en la red cristalina
• Tres números (o indices) son usados para designarpuntos, direcciones y planos
• Los 3 índices están determinados poniendo en el origendel plano una de las esquinas del cubo de la CU y lascoordenadas de los ejes a lo largo del cubo
Coordenadas de puntos• Cualquier punto en la CU es especificado como
fracciones multiples de la longitud de la CU• La posición del punto P es especificada como q r s:
coordinates not separated by commas or punctuation marks
EXAMPLE: POINT COORDINATES
• Locate the point (1/4 1 ½)
• Specify point coordinates for all atom positions for a BCC unit cell– Answer: 0 0 0, 1 0 0, 1 1 0, 0 1 0, ½ ½ ½,
0 0 1, 1 0 1, 1 1 1, 0 1 1
Direcciones cristalográficas
• Definida como una línea entre 2 puntos: un vector• Pasos para encontrar los 3 índices de una dirección
– Determinar las posiciones del punto inical (X1 Y1 Z1) y el punto final (X2 Y2 Z2) para la dirección, en términos del parámetro de red
– Calcular la diferencia entre el punto final e inicial– Multiplicar la diferencia por una constante común para
convertirlos en los enteros más pequeños u, v, w– Esos 3 índices son encerrados en parentésis cuadrados: [uvw]– Si alguno de los índices es negativo, una barra es puesta arriba
de dicho índice
COMMON DIRECTIONS
Direcciones cristalográficas
• Dibujar la dirección [1,-1,0] direction en una estructura cúbica
• Determinar los índicesesta dirección
– Respuesta: [120]
• Direcciones comunes en estructuras cristalinascúbicas
Planos cristalográficos• Los planos cristalográficos están especificados
por 3 Indices de Miller como (hkl)• Procedimiento:
– Si el plano pasa a travéz del origen, trasladar el plano o escojer un nuevo origen
– Determinar las intersecciones del plano con cadauno de los ejes en términos de la longitud de la celda unitaria (parámetros de red). Nota: Si el plano no intersecta un eje (por ejemplo, planoparalelo a este eje), entonces la intersección esen el infinito.
– Si la intersección con los ejes es, por ejemplo, (½¼ ½), se determinan los reciprocos de esosnumeros (242)
– Si es necesario, multiplicar esos 3 números por un factor común para convertirlos en los recíprocosmás pequeños posibles (121)
– Los 3 números no se separan por comas y se encierran en paréntesis curvos: (hkl) (121)
– Si alguno de los índices es negativo, una barra escolocada arriba de dicho índice
1/2
1/2
1/4
(1 2 1)X
Y
Z
Tres importantes planoscristalinos
( 1 0 0) (1 1 1)(1 1 0)
Empaquetamiento triangular, planos (111)
Representan el 10 % del área total superficial de los materiales
Empaquetamiento cuadrado, planos (100)
Representan el 70 % del área total superficial de los materiales
Empaquetamiento rectangular, planos (110)
Representan el 20 % del área total superficial de los materiales
• Los planos paralelos son equivalentes
EXAMPLE: CRYSTAL PLANES
• Construct a (0,-1,1) plane
Planos cristalinos fcc y bcc
• Consider (110) plane
• Atomic packing different in the two cases
• Family of planes: all planes that are crystallographically equivalent—that is having the same atomic packing, indicated as {hkl}– For example, {100} includes (100), (010), (001) planes– {110} includes (110), (101), (011), etc.
LINEAR & PLANAR DENSITIES
• Linear density (LD) = number of atoms centered on a direction vector / length of direction vector– LD (110) = 2 atoms/(4R) = 1/(2R)
• Planar density (PD) = number of atoms centered on a plane / area of plane– PD (110) = 2 atoms /
[(4R)(2R√2)] = 2 atoms / (8R2√2) = 1/(4R2√2)
• LD and PD are important considerations during deformation and “slip”; planes tend to slip or slide along planes with high PD along directions with high LD
• Algunos aplicaciones en la ingeniería requieren MC:
Las propiedades del MC sonconsecuencia de su estructuraatómica
(Courtesy P.M. Anderson)
--Ej: Ciertos planos cristalinos en el cuarzoSe fracturan más facilmente que otros
--Diamantecristales para abrasivos
--álabes de turbinasFig. 8.30(c), Callister 6e.(Fig. 8.30(c) courtesyof Pratt and Whitney).(Courtesy Martin Deakins,
GE Superabrasives, Worthington, OH. Used with permission.)
Monocristales (MC)• Monocristal: cuando el cristal se repiteEl arreglo de los átomos es perfecto y se extiende a travez de todo el material
Materiales policristalinos• “Nuclei” form during solidification, each of which grows into crystals
• La mayoria de los materiales en ing. son policristales.
• Aleación de Nb-Hf-W.• Cada "grano" es un MC.• Si los cristales son orientados al azar,
las propiedades físicas no son direccionesles.• Los tamaños de cristales típicos son de 1 nm a 2 cm
(i.e., de pocos átomos a millones de capas atómicas).
Adapted from Fig. K, color inset pages of Callister 6e.(Fig. K is courtesy of Paul E. Danielson, Teledyne Wah Chang Albany)
1 mm
Policristales
• MC-Las propiedades varíancon la dirección: anisotropico.
-Ejemplo: el módulo de elasticidad (E) en Fe bcc:
• Policristales-Las propiedades pueden o no
variar con la dirección.-Si los granos son orientados
al azar: isotrópico.(Epoli Fe = 210 GPa)
-Si los granos son texturizados,anisotropicos.
E (diagonal) = 273 GPa
E (edge) = 125 GPa
200 mm
Data from Table 3.3, Callister 6e.(Source of data is R.W. Hertzberg, Deformation and Fracture Mechanics of Engineering Materials, 3rd ed., John Wiley and Sons, 1989.)
Adapted from Fig. 4.12(b), Callister 6e.(Fig. 4.12(b) is courtesy of L.C. Smith and C. Brady, the National Bureau of Standards, Washington, DC [now the National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, MD].)
MC vs policristales
• arreglo periódico de átomos 3D • típico de:
Materiales Cristalinos ...
-metales-ceramicos-algunos polimeros
• los átomos no tienen un arregloperiódico
• ocurre para:
Materiales no cristalinos …
-estructuras complejas-rápido enfriamiento
Si Oxygen
crystalline SiO2
noncrystalline SiO2“Amorfo" = No cristalino
Adapted from Fig. 3.18(a),Callister 6e.
Materiales amorfos
• Atoms can be arranged and imaged!
Carbon monoxide molecules arranged on a platinum (111)
surface.
Photos produced from the work of C.P. Lutz, Zeppenfeld, and D.M. Eigler. Reprinted with permission from International Business Machines Corporation, copyright 1995.
Iron atoms arranged on a copper (111)
surface. These Kanji characters represent
the word “atom”.
SCANNING TUNNELING MICROSCOPY