predimensionado de vigas

Facultad de Arquitectura y Diseo Sistemas Estructurales 20 Universidad de Los Andes, Venezuela Prof. Jorge O. Medina

PREDIMENSIONADO DE VIGAS

Introduccin La viga es el elemento estructural utilizado para cubrir espacios, soportando el peso colocado encima del

elemento mediante la resistencia a las fuerzas internas de flexin y corte.

En tal sentido el predimensionado de las vigas consiste en determinar las dimensiones necesarias para que el elemento sea capaz de resistir la flexin y el corte, as como tambin debe tener dimensiones tales que la flecha no sea excesiva. As, el esquema para cumplir con los requisitos de una viga consiste en:

Determinar las cargas

t Cuantificar las fuerzas de diseo

t Predimensionar mediante criterio de resistencia

t Comprobar las dimensiones por rigidez

Fuerzas de diseo Los efectos que producen las cargas sobre una viga son de dos tipos: Fuerza Cortante (V) y Momento

Flector (M). La magnitud de estas fuerzas son variables a lo largo de la longitud de la viga, siendo as el objetivo principal de determinar la magnitud de la fuerza cortante y el momento flector mximo aplicado en la viga (Vmax ; Mmax). El procedimiento bsico para cuantificar las fuerzas de diseo consiste en:

1. Asilar el elemento del sistema estructural, 2. determinar las reacciones por las ecuaciones estticas o de las condiciones de apoyos, 3. realizar un corte en la seccin donde se desea conocer la magnitud de las fuerzas internas con un

plano perpendicular al eje del elemento, 4. las fuerzas internas se obtienen de aplicar el equilibrio sobre una de las dos porciones obtenidas por el

corte.

Figura 1. Fuerza cortante y momento flector.

V

V

M

M


Fuerza cortante

Definicin

Para mantener el equilibrio sobre el segmento de la viga en la Figura 1, se debe incluir la fuerza V, que acta perpendicular al eje y se denomina fuerza cortante. La fuerza cortante es igual a la suma de todas las fuerzas verticales que actan en la porcin aislada ubicada en el lado izquierdo .

Por otra parte, se observa que la magnitud de V es variable, ya que, la magnitud depende del punto donde se realice el corte imaginario. Por lo tanto esta variabilidad es conveniente representarla grficamente por diagramas. En el caso de la fuerza cortante, el diagrama se denomina Diagrama de Fuerza Cortante (DFC) el cual se indica en la Figura 4.

= izqvertFV (Ec. 1) Convenio de signos

Dado que el valor de V obtenido por la suma de la porcin de la izquierda es igual pero de sentido contrario a la suma de las fuerzas de la porcin de la derecha, para indicar cuando el valor de V es positivo o negativo, en la figura 2 se seala el convenio empleado segn la tendencia que tiene la fuerza sobre el elemento.

Figura 2. Convenio de signos de V.

Momento flector

Definicin

As como la fuerza cortante equilibra las fuerzas verticales, tambin se debe establecer un equilibrio en los momentos hasta la seccin evaluada de las fuerzas aplicadas sobre la viga en el segmento analizado. Este momento interno se denomina momento flector y la magnitud es igual a la suma de los momentos sobre la seccin de corte, producidos por las fuerzas aplicadas en la porcin de la izquierda.

As como la fuerza cortante, el momento flector es variable y se representa por el Diagrama de Momento Flector (DMF).

== secFizqizq dFMM (Ec. 2) Convenio de signos

El convenio ms extendido de momento flector positivo es cuando produce concavidad hacia arriba, tal como lo indica la figura 3.

Figura 3. Convenio de signos de M.

(+) (-)

(+) (-)


Figura 4. Diagrama de fuerza cortante y momento flector de vigas.

Relacin de carga fuerza cortante y momento flector La carga se relaciona con la fuerza cortante y el momento flector, las cuales permiten un mtodo

alternativo para dibujar los diagramas. Las relaciones estn indicadas en la Ecuacin 3 (Popov, 1996; Singer y Pytel, 1982).

dxdMV

dxdVw

areaMMMareaVVV

DFC

asc

=

===

==12

arg12

(Ec. 3)

Vigas hiperestticas Las vigas que poseen reacciones redundantes o un exceso de restricciones, aumentan el nmero de

incgnitas sin el consecuente aumento de ecuaciones disponibles de la esttica, por ello se denominan vigas hiperestaticas o vigas estticamente indeterminadas (vase figura 5). En todos estos problemas son vlidas las ecuaciones de equilibrio esttico, ecuaciones necesarias pero no suficientes para resolver los problemas hiperestticos. Las ecuaciones complementarias se establecen partiendo de consideraciones de la geometra de la deformacin. En sistemas estructurales, por necesidad fsica, ciertos elementos o partes deben flexionarse conjuntamente, torcerse juntos al mismo tiempo, alargarse juntos, etc., o bien, permanecer fijos. Formulando tales observaciones cuantitativamente se obtienen las ecuaciones adicionales requeridas (Popov, 1996).

Mtodos Los mismos mtodos para determinar la deformacin de las vigas son vlidos para la resolucin de vigas

hiperestticas, ya que las ecuaciones adicionales para hacer un sistema matemticamente determinado son tomadas de la elstica de la viga.

Una forma alternativa de aadir ecuaciones, es considerar como desconocido o hiperesttico los momentos de los apoyos. Una vez determinados estos momentos tambin llamados momentos de continuidad, el clculo de reacciones se hace sencillo. Uno de estos mtodos se denomina tres momentos y la otra distribucin de momentos o rigidez (Singer y Pytel, 1982).

w

DFC

DMF


Tres Momentos

Para un nmero cualquiera de tramos, n, es posible escribir n1 ecuaciones de tal clase. Esto da suficientes ecuaciones simultneas para la determinacin de momentos redundantes sobre los apoyos. Tal frmula de recurrencia se llama ecuacin de los tres momentos, debido a los tres momentos desconocidos que aparecen en ella y se escribe de la siguiente forma:

Figura 5. Tipos de vigas hiperestticas

( )

+=+++++

2

3

1

1

2

22

1

112321211 L

hLhEI6

LbA6

LaA6LMLLM2LM

(Ec. 4)

Donde: M1 Momento primer apoyo; M2 Momento segundo apoyo; M3Momento tercer apoyo;

1

11

LaA6

Trmino de cargas primer tramo;

2

22

LbA6

Trmino de cargas segundo tramo; h1 Diferencia de altura entre el primer y segundo apoyo; h2 Diferencia de altura entre el segundo y tercer apoyo.

L1 L2

Figura 6. Esquema de viga de tres momentos

La ecuacin de tres momentos fue determinada en la suposicin de momentos flectores positivos, segn lo indicado en la Figura 7.

En un problema particular, donde se tienen ms de dos tramos. Un nmero suficiente de ecuaciones simultneas para determinar los momentos desconocidos se obtiene imaginando sucesivamente los apoyos de tramos contiguos (vase Figura 8). De manera similar ocurre cuando se tiene un solo tramo, donde se agregan tramos con condiciones cero, para adaptarse a la ecuacin de tres momentos.

Nmero de reacciones = 4



Nmero de reacciones =2 * nmero de apoyos


Figura 7. Convenio de signos (Singer y Pytel, 1982, p. 251).

Figura 8. Aplicaciones del mtodo de Tres Momentos en otro tipo de vigas

Predimensionado de vigas por resistencia El criterio de resistencia se basa en el empleo del concepto de esfuerzo, para el caso de la fuerza cortante

se produce el esfuerzo cortante y el momento flector produce el esfuerzo de flexin.

Esfuerzo de flexin La relacin entre el momento flector y el esfuerzo de flexin se hace mediante la frmula de la flexin,

sealada en la Ecuacin 5.

Esta ecuacin indica que el esfuerzo de flexin es proporcional a la distancia al eje neutro, esta relacin se puede observar en la Figura 9. Asimismo, se observa que el esfuerzo es mximo en los bordes superiores e inferiores de la viga, el valor de y para los bordes coincide con el valor del centroide de la seccin por lo que el esfuerzo es mximo para y=c. De esta manera el esfuerzo mximo se expresa segn la Ecuacin 6 (Singer y Pytel, 1982).

L1 L2 L3

L1 L2

L2 L3

+

=

L

LL=0

=

Caso 1

Caso 2


I

My= (Ec. 5)

Donde: Esfuerzo normal de flexin; M Momento flector aplicado en la seccin; y distancia desde el eje neutro; I Momento de inercia centroidal.

Figura 9. Distribucin del esfuerzo de flexin.

SM

cIS

IMc === maxmax tenemos si ; (Ec. 6)

Donde: S Mdulo de seccin.

El mdulo de seccin es la propiedad geomtrica que establece las dimensiones de la viga. Es por ello, que se determina el mdulo de seccin necesario para resistir la carga aplicada sobre la viga segn la Ecuacin 7, esta indica la seccin mnima que debe ser empleada para un esfuerzo admisible establecido segn el tipo de material a utilizar.

admreq

MS (Ec. 7)

Donde: Sreq Mdulo de seccin requerido; adm Esfuerzo de flexin admisible del material. Predimensionado por flexin para viga de Acero

Para el predimensionado de vigas de acero se emplea un diseo plstico que examina el comportamiento en todo el intervalo de carga, desde una carga pequea hasta una carga que origina el colapso de la viga1.

En la Figura 10 se indica una viga donde se incrementa la carga, se observa en la Figura 10.a, la viga sigue un esfuerzo lineal segn lo sealado anteriormente, en la Figura 10.b, el esfuerzo mximo es igual al de cedencia. A partir de este momento el diagrama deja de ser lineal2 y la cedencia avanza hasta el eje neutro. El colapso es cuando toda la seccin tiene un esfuerzo de cedencia (vase Figura 10.d).

El diseo de una viga de acero se realiza para el punto de colapso y aplicado el criterio de estados lmites, el momento de colapso o momento plstico Mp o Mn ser el momento mximo resistente a flexin que debe ser mayor o igual al momento producido por la carga Mu. As, la Ecuacin 7 para el caso de acero, bajo la condicin de colapso sera como la seala la Ecuacin 8 y por lo tanto el tipo de seccin a emplear en acero debe tener un mdulo plstico mayor al determinado por la ecuacin (Segui, 2000).

1 Se entiende por colapso de una viga de acero, el punto en el cual toda la seccin alcanza el esfuerzo de

cedencia. 2 Por no poder obtener un esfuerzo mayor al de cedencia segn el diagrama elastoplastico perfecto.

CGy

c

MEje neutro


Figura 10. Esquema de falla para una viga de acero (Segui, 2000, p. 147).

(Ec. 8)

Donde Zreq Mdulo de seccin plstico requerido; Mu Momento mayorado; b Factor de resistencia de viga; b= 0,9; Fy Esfuerzo de cedencia del acero del perfil.

Predimensionado por flexin para viga de concreto armado

Las vigas solo de concreto no son eficientes para resistir la flexin, ya que el concreto no soporta la traccin generada por el momento flector, fallando antes de alcanzar la capacidad que tiene en compresin, por lo tanto se colocan barras de acero en el extremo sometido a traccin con una capa de concreto que protege el acero del fuego y la corrosin. Para garantizar el comportamiento de la viga hecha de dos materiales (concreto y acero) se debe impedir el desplazamiento relativo de las barras de acero respecto al concreto.

En la Figura 11 se indica una viga donde se incrementa la carga hasta la falla, en la Figura 11.c la viga sigue un esfuerzo lineal segn lo sealado anteriormente para esfuerzos menores al de rotura del concreto a traccin, en 11.b. Cuando la carga aumenta, se sobrepasa la resistencia a traccin del concreto y se agrieta, por lo tanto el esfuerzo de traccin solo es soportado por las barras de acero al desaparecer la contribucin de la resistencia del concreto por debajo de la lnea neutra (vase Figura 11.e). Al seguir aumentando la carga desaparece la relacin lineal del esfuerzo y la deformacin por lo que se produce la falla (vase Figura 11.f).

El punto de colapso de una viga puede ser de dos formas, segn la cantidad de acero a colocar. Si el acero es limitado, el acero cede antes del concreto alcanzar la falla por lo que la deformacin es alta as como el tamao de las grietas siendo visibles; el concreto por lo tanto falla por aplastamiento. Este tipo de falla es gradual y esta precedido por grietas visibles as como una flecha evidente.

yb

ureq F

MZ


Figura 11. Comportamiento de una viga de concreto armado (Nilson, 1999, p.65).

Por otra parte, cuando el acero es empleado en grandes cantidades, no se llega al punto de cedencia del acero cuando el concreto falla, en consecuencia no se observan grandes grietas ni deflexiones importantes. El concreto falla por aplastamiento repentino sin ningn tipo de aviso. Debido a la naturaleza sbita de este tipo de falla, es aconsejable colocar una cantidad de acero limitada para as tener una colapso que pueda ser anticipado y tomar medidas antes que esto ocurra.

2259,01 bdRMbdff

fM

MM

unc

yyn

nu

=

=

(Ec. 9)

Donde: fy Esfuerzo de cedencia del acero de refuerzo; fc Resistencia del concreto de compresin a los 28 das; Factor de minoracin de resistencia a flexin, =0,9; b Ancho de la seccin transversal de la viga (vase Figura 11.b); d Altura til de la viga de concreto armado (vase Figura 11.b); R Resistencia nominal a la flexin de la viga de concreto armado.

Debido a las particularidades3 del comportamiento en los elementos de concreto armado, el predimensionado es distinto al indicado en la Ecuacin 7, principalmente debido a que las dimensiones de una viga de concreto armado son funcin de la cuanta de acero (4). El predimensionado se basa en la ecuacin fundamental de los estados lmites5, donde los efectos de la carga (Mu) deben ser menores a la capacidad disminuida de la viga a flexin (Mn).

3 Elementos constituidos por dos materiales y las vigas deben fallar para deformaciones mayores a las de

la cedencia del acero. 4 La cuanta de acero es la relacin del rea de acero de la seccin (As) con respecto al rea neta de la

seccin (Ag), g

sA

A= .

5 nii RQ .


Al igualar los efectos de la carga con la capacidad a flexin, obtenemos la Ecuacin 10 que proporciona las mnimas dimensiones de una viga de concreto armado capaz de resistir las cargas aplicadas (Nilson, 1999).

bRMd

bdRM

u

u

uu

=

= 2 (Ec. 10)

El propsito del predimensionado es obtener las dimensiones de la viga para una cuanta de acero (6) predeterminada. A continuacin se indican dos metodologas que ambas conducen al mismo resultado.

Mtodo 1

Se selecciona una 7 apropiada que este entre max y min,

y

c

ycu

cub f

f +=

85,0;

si 280cf kgf/cm2

003,085,0

==

cu

Multiplicando el numerador y denominador por Es, tenemos

y

c

yb f

ff

+= 6300

630085,0 2,

b =max =0,5 zona ssmica, =0,75 zona no ssmica,

yf14

min =,

Calcular el factor de resistencia a la flexin Ru,

= cy

yu ff

fR 59,01

,

Determinar la altura til d, segn: 2bdRM uu = ,

Recordar que 5+= dh ; [ ]bh 4;2= , Verificar Lh (Nilson y Winter, 1994). 6 La cuanta de acero es la relacin del rea de acero de la seccin (As) con respecto al rea neta de la

seccin (Ag),g

s

AA .

7 Esta cuanta debe estar cercana al valor mximo.


Mtodo 2

Seleccionar q=0,20 o q=0,18 ( cyffq =

),

Comprobar que el valor seleccionado de q se encuentre dentro del intervalo, maxmin qqq ,

yb f

q += 6300630085,0

si 280cf kgf/cm2, bqq =max =0,5 zona ssmica,

=0,75 zona no ssmica,

cfq =14min , Calcular Ju qJu 59,01= , Calcular el factor de resistencia a la flexin Ru, ucu qJfR = , Determinar la altura til d, segn:

2bdRM uu = , Recordar que 5+= dh ; [ ]bh 4;2= , Verificar Lh (Arnal y Epelboim, 1985). El mtodo 2 es ms prctico por la introduccin de dos variables q y Ju, aunque estas carecen de sentido

fsico son herramientas para facilitar el clculo, y q tiene la ventaja de ser invariable con respecto a la resistencia del concreto (fc) tal como se observa en las tablas a continuacin.

Tabla 1 Valores de Ru fc (kgf/cm2) Ru (kgf/cm2)

150 23,81

200 31,75

210 33,34

250 39,69

280 44,45

Esfuerzo cortante Al hacer una viga formada por varias capas, se observa que cada capa se desliza con respecto a las

contiguas, siendo la viga menos resistente que el caso de una viga maciza, porque la viga de la derecha posee mayor deflexin ante la misma carga que la viga de la izquierda (vase Figura 12). Esto se debe a que para compensar la resultante del esfuerzo de flexin se genera un esfuerzo cortante, solo es posible que se genere en las vigas macizas, por lo que en las vigas de capas, al no poder formarse el esfuerzo de corte se deslizan las capas.


Figura 12. Comparacin entre viga formada por capas y viga maciza.

Para determinar el esfuerzo cortante se observa que es funcin de la fuerza cortante vertical, la razn de ello es que para conservar el equilibrio y la seccin no tener una distorsin angular, se debe acompaar a un par de fuerzas horizontales un par de fuerzas verticales, esto se nota al realizar el equilibrio sobre un elemento diferencial de la viga. El esfuerzo cortante es mximo por lo general en el eje neutro, contrario a lo ocurrido por flexin (vase Figura 13).

Figura 13. Distribucin del esfuerzo cortante.

bIVQ= (Ec. 11)

Donde: Esfuerzo cortante; V Fuerza cortante; Q momento de primer orden; Q=Ay d; b ancho de la seccin a una altura y; I Momento de inercia;

Corte en vigas de acero

Los perfiles de acero poseen gran resistencia al corte, por lo que el corte en los perfiles consiste solo en comprobar que le perfil calculado sea capaz de resistir el corte.

wvynu ACFVVV 6,0 ;n = (Ec. 12) Donde: Vu Corte aplicado sobre el perfil; Vn Corte resistente del perfil; Aw Area del alma del perfil, Aw=htw; Factor de minoracin de resistencia para vigas, =0,9; Cv coeficiente de corte segn la proporcin del alma.

P

CG

CG

y bd

c

VEje neutro

Ay


261999,86

6,699,866,69

16,69

=

predimensionado de vigas

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