De acuerdo a los nuevos programas

del BGC 2015

Precálculo

Martín Prado Guevara

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PrecálculoDerechos de autor:© 2017, Martín Prado Guevara© Umbral Editorial, S.A. de C. V.Teléfonos: (0133) 31 33 30 53 y 31 33 30 59 Privada Porfirio Díaz Nº 15 Col. El ManteC.P. 45235 Zapopan, Jalisco, México

ISBN: 978-607-619-545-1Primera edición 2018

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Socio # 3338

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Dirección editorial: Rafael Alejandro Orozco DíazSubdirección editorial: Isela Cuevas CanoCoordinación editorial: Esther Ramírez LaraDiagramación: Esther Ramírez LaraColección de cubierta: Antonio García SandovalDiseño de colección: Esther Ramírez LaraPortada: Irvin Kevin Eduardo Tril GarciaImágenes: Photo Stock

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y sólo sirve como apoyo didáctico, sin fines de lucro para la editorial.

3

ÍndicePresentación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Propósito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Competencias genéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Competencias disciplinares . . . . . . . . . . . . . . . . 6Conocimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Habilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Actitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Valores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Dedicatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Unidad de competencia I Introducción a las funciones

Secuencia didáctica 1 Funciones y sus gráficas: valor absoluto, lineal, cuadrática, cúbica, constante, parte entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Actividad de inicio . . . . . . . . . . . . . 12Función de valor absoluto . . . . . . . . . . . . 13La función lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Función cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Actividad de desarrollo 1 . . . . . . . 21Función cúbica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23Función constante . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Función parte entera . . . . . . . . . . . . . . . 24

Actividad de desarrollo 2 . . . . . . .25Actividad de cierre . . . . . . . . . . . .28

Secuencia didáctica 2 Concepto de función (dominio, rango e imagen) . . . . . . 29

Dominio e imagen de una funcióna partir de su gráfica . . . . . . . . . . . . . . . 30

Actividad de desarrollo 3 . . . . . . . 31Secuencia didáctica 3 Gráfica de funciones con tecnología . . . . . . . . . . . . . . 33

Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33Winplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

Actividad de desarrollo 4 . . . . . . .39Secuencia didáctica 4 Transformaciones de gráficas (compresión, elongación, desplazamientos verticales y horizontales) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Desplazamientos verticales . . . . . . . . . . .43Desplazamientos horizontales . . . . . . . . .44Compresión vertical (elongación) . . . . . .45Compresión horizontal . . . . . . . . . . . . . . .46

Actividad de cierre . . . . . . . . . . . . 47Secuencia didáctica 5 Propiedades de las funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Paridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Intersección con los ejes . . . . . . . . . . . . . 51Funciones continuas y discontinuas . . . .53Funciones crecientes y decrecientes . . .55

Actividad de desarrollo 5 . . . . . . .56Actividad integradora . . . . . . . . . .60

Unidad de competencia II Funciones polinómicas

Secuencia didáctica 1 Polinomios . . . . . . . 72Actividad de inicio . . . . . . . . . . . . . 72Clasificación de los polinomios . . 73Actividad de desarrollo 1 . . . . . . . 73Actividad de cierre . . . . . . . . . . . . 73

Secuencia didáctica 2 Propiedades y raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Actividad de inicio . . . . . . . . . . . . . 74Prueba de la recta vertical para las funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Raíces racionales de una ecuación polinómica . . . . . . . . . . .77Actividad de desarrollo 2 . . . . . . . 78

Factorización de un polinomio . . . . . 78Raíces imaginarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Actividad de desarrollo 3 . . . . . . . 79Actividad de cierre . . . . . . . . . . . . 81

Secuencia didáctica 3 División sintética . 81Actividad de inicio . . . . . . . . . . . . . 81Actividad de desarrollo 4 . . . . . . .82Actividad de cierre . . . . . . . . . . . .84

Secuencia didáctica 4 Solución de ecuaciones de grado mayor a 2 . . . . . . . . . 84

La ecuación reducida . . . . . . . . . . . . . . . 84Proceso de obtención de todas las raíces racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . .85

Actividad de inicio . . . . . . . . . . . . . 81Actividad de desarrollo 5 . . . . . . . 87Actividad de cierre . . . . . . . . . . . .88

Secuencia didáctica 5 Teorema del factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88

Actividad de inicio . . . . . . . . . . . . .88Actividad de desarrollo 6 . . . . . . .89Actividad de cierre . . . . . . . . . . . .89

Secuencia didáctica 6 Teorema del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

Actividad de desarrollo 7 . . . . . . .90Actividad de cierre . . . . . . . . . . . . 91

Secuencia didáctica 7 Gráfica de funciones polinómicas con y sin tecnología . . . . . . . . . 91

Actividad de inicio . . . . . . . . . . . . . 91Actividad de desarrollo 8 . . . . . . .92

Gráficas de funciones polinómicasusando tecnología . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Actividad de desarrollo 9 . . . . . . . 95Secuencia didáctica 8 Operaciones con funciones: suma, producto, cociente,composición e inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

Suma y resta de polinomios . . . . . . . . . 97Actividad de desarrollo 10 . . . . . .98

Multiplicación de polinomios . . . . . . . . .99Actividad de desarrollo 11 . . . . . .99

División de polinomios . . . . . . . . . . . . . .100

ÍNDICEP

Actividad de desarrollo 12 . . . . . 101Composición de funciones . . . . . . . . . 101

Actividad de desarrollo 13 . . . . . 102Funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Cómo hallar la inversa de una función uno a uno . . . . . . . . . . . . . . . 103

Actividad de desarrollo 14 . . . . .104Actividad de cierre . . . . . . . . . . .104

Secuencia didáctica 9 Solución de problemascon funciones polinómicas . . . . . . . . . . . . .105

Actividad de desarrollo 15 . . . . .105Actividad integradora . . . . . . . 107

Unidad de competencia III Funciones racionales

Secuencia didáctica 1 Asíntotas verticales,horizontales y oblicuas . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Actividad de inicio . . . . . . . . . . . . 116Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Asíntotas inclinadas u oblicuas . . . . . . . 118Actividad de desarrollo 1 . . . . . . 118Actividad de cierre . . . . . . . . . . . 119

Secuencia didáctica 2 División sintética y división de polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . 119

Actividad de inicio . . . . . . . . . . . . 119Secuencia didáctica 3 Gráfica de funciones racionales con y sin tecnologías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Actividad de inicio . . . . . . . . . . . . 120Actividad de desarrollo 2 . . . . . . 123Actividad de desarrollo 3 . . . . . . 126Actividad de cierre . . . . . . . . . . . 128

Secuencia didáctica 4 Noción intuitivade límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Actividad de inicio . . . . . . . . . . . . 129Actividad de desarrollo 4 . . . . . . 131

Secuencia didáctica 5 Operaciones con funciones (suma, resta, multiplicación, división, composición, inversa) . . . . . . . . . . 132

Actividad de inicio . . . . . . . . . . . . 132Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Productos notablesy descomposición en factores . . . . . . . . 132

Actividad de desarrollo 5 . . . . . . 134Factorización y sus casos más importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Actividad de desarrollo 6 . . . . . . 137Simplificación defracciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . 138

Actividad de desarrollo 7 . . . . . . 139Multiplicación de fracciones algebraicas(expresiones racionales) . . . . . . . . . . . . . 140

División de fracciones algebraicas . . . . 141Actividad de desarrollo 8 . . . . . . 141

Sumas y restas de fracciones . . . . . . . . . 142Actividad de desarrollo 9 . . . . . . 143Actividad de cierre . . . . . . . . . . . 145

Secuencia didáctica 6 Solución de problemas con funciones racionales . . . . . 146

Actividad integradora . . . . . . . . . 149

Unidad de competencia IV Funciones trigonométricas

Secuencia didáctica 1 Funcionestrigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Actividad de inicio . . . . . . . . . . . . 162Aspectos básicos de trigonometría

Ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . 164

Solución de triángulosrectángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Solución de triángulos oblicuángulos . . . . . . . . . . . . . . . . 166Ley de los senos . . . . . . . . . . . . . . 166Ley de los cosenos . . . . . . . . . . . . 166Actividad de desarrollo 1 . . . . . . 168Actividad de cierre . . . . . . . . . . . 169

Secuencia didáctica 2 Medidas angulares (radianes, grados) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Actividad de inicio . . . . . . . . . . . . 170Relación para convertir de grados a radianes y viceversa . . . 172Actividad de desarrollo 2 . . . . . . 172Actividad de cierre . . . . . . . . . . . 173

Secuencia didáctica 3 Valores de ángulos notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Actividad de desarrollo 3 . . . . . . 174Secuencia didáctica 4 Bosquejo de funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . 174

Graficación de funciones trigonométricasbásicas (seno, coseno y tangente) . . . . 174

Actividad de desarrollo 4 . . . . . . 178Actividad de cierre . . . . . . . . . . . 179

Secuencia didáctica 5 Identidadestrigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Identidades recíprocas . . . . . . . . 181Identidades de cociente . . . . . . . 181Identidades pitagóricas . . . . . . . 181Actividad de desarrollo 5 . . . . . . 182

Secuencia didáctica 6 Solución de problemas con funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Actividad de desarrollo 6 . . . . . . 183Actividad integradora . . . . . . . . . 184

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

5

PresentaciónEste libro se ajustó a la actualización del contenido temático de los nuevos programas de estudio del Bachillerato General por Competencias impartido en el Sistema de Educación Media Superior de la Universidad de Guadalajara, para el quinto semestre.

En esta obra el alumno y el maestro podrán encontrar cuatro unidades de competencia, en las que se pretende que los primeros, adquieran las competencias necesarias de esta unidad de aprendizaje. Sumado a ello debemos mencionar que, mediante la práctica de los ejercicios contenidos en los respectivos problemarios, el alumno, en primera instan-cia, tendrá una mejor comprensión de cada uno de los temas contenidos en esta obra. Asimismo, en todas las unidades de competencia se explican mediante una secuencia los contenidos que se describen a continuación:

En la primera unidad encontrarán la introducción a las funciones, desde qué es una fun-ción, sus propiedades y los tipos de funciones que hay mediante sus características, ade-más de la gráfica que se genera en cada una de ellas dependiendo de su clasificación. Asimismo encontraremos las transformaciones de estas últimas, y finalmente se dará una explicación de los programas Winplot y Graph, y cómo la tecnología empleada en este software nos ayuda en el trazo de dichos gráficos.

En la segunda unidad se manejarán las funciones polinómicas, los modelos de cada una de ellas, las propiedades y sus raíces. Además utilizaremos las ecuaciones de grado supe-rior a dos, donde se analizarán desde el teorema del residuo y del factor. También se verá la división sintética que nos ayudará a calcular las raíces de una función polinómica. Éstas, a su vez, serán representadas por el alumno a través de la graficación, ejercicio que simul-táneamente se llevará a cabo de forma manual por el alumno y con la ayuda de los pro-gramas winplot y graph. Todo lo anterior, tendrá una aplicación en solución de problemas.

En la tercera unidad se tendrán que conocer las propiedades de una función racional, desde cómo se gráfica y conocer los tipos de asíntotas que hay para cada tipo de función racional. Posteriormente se continúa con la explicación sobre qué es un límite, siguiendo para ello la aplicación de las reglas de las operaciones con polinomios y de los productos notables y descomposición de factores, que deberán aplicarse para resolver operaciones con raciona-les y, como es sabido, aumenta en este punto el grado de complejidad que podemos encon-trar en las mismas. Para concluir, terminamos esta unidad con la aplicación en la solución de problemas de funciones con las características anteriormente descritas.

Finalmente, para la cuarta y última unidad de competencia, se abarcará lo que es una función trigonométrica, las medidas angulares que éstas conllevan. Se seguirá con los valores de ángulos notables y sus bosquejos de las funciones principales, y se terminará con la solución de problemas con funciones trigonométricas.

P PRESENTACIÓN

6

Como autor de esta obra, debo mencionar que con la información que se brinda en este libro pretendo que el alumno adquiera las competencias que esta unidad de aprendizaje demanda, y en ese mismo sentido, incitar a que él mismo construya un aprendizaje suficien-te para comprender mejor lo que se verá en el quinto semestre; todo mediante la obtención de las herramientas necesarias para comprender mejor el cálculo. Finalmente busco que el alumno le encuentre un sentido práctico a los temas y dicho conocimiento lo aplique en la solución de problemas presentes de los diferentes contextos de su realidad circundante.

Propósito(Objetivo general)

En la unidad de aprendizaje, el estudiante integra sus conocimientos de álgebra y geo-metría en el estudio de funciones utilizándolas como herramienta para la solución de problemas en diversos contextos, desarrolla el lenguaje y la madurez de pensamiento que lo prepara al estudio del cálculo.

Competencias genéricasPiensa crítica y reflexivamente

CG 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos es-tablecidos.CG 5.4. Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.CG 5.6. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e inter-

pretar información.

Competencias específicas•Modela matemáticamente fenómenos naturales o sociales usando funciones en forma

gráfica, analítica y/o numérica para su análisis.•Resuelve problemas e interpreta la solución dentro del contexto argumentando los mé-

todos empleados.

Competencias disciplinares del MCC Básicas:

CDb-Mat 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la com-prensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

CDb-Mat 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.CDb-Mat 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos ma-

temáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.CDb-Mat 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,

gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

PPRESENTACIÓN

7

CDb-Mat 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

CDb-Mat 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos mate-máticos y científicos

Extendidas:CDex-Mat 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación

de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

CDex-Mat 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.CDex-Mat 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos

matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.CDex-Mat 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéri-

cos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

CDex-Mat 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

CDex-Mat 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Conocimientos(Saberes teóricos)•Concepto de función, dominio, rango.•Operaciones aritméticas (suma, producto y sus recíprocos) y funcionales (composi-

ción e inversa).•Propiedades: raíces o ceros de la función.•Asíntotas, periodicidad, continuidad y modificación de sus gráficas.

Habilidades(Saberes prácticos o procedimentales)•Modela y analiza situaciones de un contexto determinado mediante una función.•Construye el gráfico de una función a partir de su expresión algebraica y/o tabla de valores.•Determina las propiedades de una función a partir de su gráfica, de su expresión alge-

braica o de una tabla de valores.•Calcula el resultado de sumas, productos, cocientes, composiciones e inversas de funciones.• Identifica el tipo de función que modela determinadas situaciones.•Manipula recursos tecnológicos para analizar las funciones.• Interpreta el resultado obtenido matemáticamente en el contexto del problema original.

P PRESENTACIÓN

8

Actitudes(Disposición)•Colaboración y cooperación entre pares.•Autogestión.•Proactiva.•Persistente en la búsqueda de estrategias para solucionar un situación.

Valores(Saberes formativos)•Respeto.•Honestidad.•Responsabilidad.

9

Dedicatorias

A Dios, que es el que nos da la vida y el conocimiento de la ciencia, para hacer los proyectos.

A la Virgen de Guadalupe, que siempre me ha protegido durante la vida.

A mi esposa María Elena, que es la compañera de mi vida.

A mis hijos (Andrea, Martín y Rodrigo), que son una parte de mí.

A mi hermano (José Guadalupe), que ha sido mi amigo incondicional.

A mis padres († José Carmen y † María del Rosario), que me apoyaron de diferente manera de acuerdo a su personalidad de cada uno de ellos.

A mi abuelita († Pinita), que desde el cielo siempre me está cuidando.

A mi abuelito († Feliciano), que con su presencia me dio momentos de paz y tranquilidad, cuando conviví con él.

A mis compañeros y amigos maestros de la Preparatoria Regional (Gonzalo Gómez, Juan Roberto Estrada, Luis Alfonso Razo, Ernesto Navarro, Óscar Estrada, etcétera), que con su testimonio de compro-miso en su labor de la enseñanza me alientan para seguir adelante.

A mis maestros que tuve de la preparatoria Licenciado Silvano Barba González (1985-1988) (ahora Preparatoria Regional de Tepatitlán) y de la Facultad de Ingeniería (ahora CUCEI) (Ingeniería Industrial, 1988-1993), a todos y cada uno de ello. Gracias por su tiempo y los conocimientos que me compartieron.

A mis compañeros y amigos de la carrera (ingenieros industriales 1988-1993), que con su amistad me alentaron y motivaron a cada mo-mento de mi vida para seguir adelante.

A todos los de la Editorial Umbral: ingeniero Ricardo, Laura, Esther, Juan Carlos, Salvador y demás personas que siempre han colaborado en la realización de estos proyectos de los libros y que no conozco, a todos y cada uno de ellos. Gracias por todo.

Martín Prado Guevara

“Yo sé quién soy, qué es lo que quiero, y los precios

que tengo que pagar para conseguirlo”.Gioconda Belli

Eje

Eje

Alcanza logros paralas competencias específicas 1, 2, 3, 5 y 8 y competencias genéricas CG5, CG54.

• Funciones y sus gráficas: valor absoluto, lineal, cuadrática, cúbica, constante, parte entera.

• Concepto función (dominio, rango e imagen).• Gráfica de funciones con tecnología.• Transformaciones de gráficas (compresión,

elongación, desplazamientos verticales y horizontales).

• Propiedades de las funciones: paridad, intersección con los ejes, continuas, discontinuas, crecientes, decrecientes.

Introducción a las funciones

UNIDAD DE COMPETENCIA I

“La matemática es la reina de las ciencias, la aritmética la reina de la

matemática”.Carl Friedrich Gauss

12

UCI Precálculo

SECUENCIA DIDÁCTICA 1

Funciones y sus gráficas: valor absoluto, lineal, cuadrática, cúbica, constante, parte entera

ACTIVIDAD DE INICIO

¿Cuánto sabes?

1. ¿Qué es una función?

2. ¿Qué es el dominio de una función?

3. ¿Cuál es la imagen en la función es f(-3) = 4x3 - 1?

4. Calcula el valor de la operación cuya función: f(x) = x2 + 1

f(3) • f(2) -f(5)f(4)

5. De acuerd a la gráfica dada ¿cuál es la función que corresponde?

f(x) = x2 + 3 f(x) = - x3 - 3 f(x) = - x2 + 3 f(x) = x2 - 3

x

y6

5

4

-1

3

-2

2

-3

1

-4

-0.5 3 3.5-1 2.5-1.5 2-2 1.5-2.5 1-3 .5

Es la correspondencia en la que a un elemento del primer conjunto corresponde un elemento del segundo conjunto.

Son los valores que asignamos a la variable independiente de la función.

-109

(10)(5) - 26 = 17

1.41

13

UCIPrecálculo

Función de valor absolutoCuando vamos a referirnos a un valor absoluto, primero observemos en la recta numérica considerando los números positivos y negativos.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 +2 +5-1 +1 +4+3 +6 +70

-∞ +∞

Como se indica, el valor absoluto de un número real es su valor numéri-co sin tener en cuenta su signo, sea positivo (+) o negativo (-); para expre-sar el valor absoluto de un número se indica entre barras, por ejemplo: el valor absoluto de |+7| = 7 o |-7| = 7.

En términos simples podemos decir que corresponde a la distancia que hay de un número al cero, por lo que concluimos que el 7 está a 7 de 0 y el -7 también está a 7 de 0.

Entonces, por definición el valor absoluto de “a”, o sea |a| siempre será mayor o igual a cero, pero nunca negativo. Su gráfico lo podemos mos-trar mediante un ejemplo donde su bosquejo es una uve (v).

Si damos como dominio -3≤x≤7

La sustitución de cada valor de x en la función queda:

y = |-3 -2| = 5

y = |-2 -2| = 4

y = |-1 -2| = 3

y = |3 - 2| = 1

y = |7 - 2| = 5

y = |x - 2|

x y-3 5

-2 4

-1 3

0 2

1 1

2 0

3 1

4 2

5 3

6 4

7 5

Enlázate

Si quieres ampliar los conceptos de función lineal,te recomiendo esta página.https://goo.gl/mtYz4N

14

UCI Precálculo

La gráfica quedará de la siguiente manera:

Por lo que concluimos: f(x) = |x| Dominio: RRango: [0,∞)

y6

5

4

-1

3

-2

2

-3

1

-4

1-1-2-3-4-5-6 2 3 4 5 6 7 8 9

v

La función linealLa función lineal tiene como forma simple y=mx, donde “m” corresponde a la pendiente de la recta y en el caso que m=1 quedará la función y=x donde además de tener una inclinación de 45° pasará por el origen; y como es sabido si el valor de “m” aumenta la inclinación de la recta aumenta, como se muestra en los gráficos siguientes formando familia de rectas:

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-1 6-2 5-3 4-4 3-5 2-6 1

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-1 6-2 5-3 4-4 3-5 2-6 1

a) Gráfica de la recta y = x b) Gráfica de la rect y = 3x

15

UCIPrecálculo

Para tener presente que el exponente de la variable x deberá ser 1.

20

-5

15

-10

10

-15

5

-20

16-2 14-4 12-6 108 4-14 6-12 8-10 2-16

Los gráficos anteriores corresponden a la familia de y = mx donde la pendiente puede ser positiva o negativa; pero su característica es que pasa por el origen.

Ahora consideramos otra forma de una función lineal f(x) = mx + b, donde “m” sigue siendo la pendiente, pero “b” es la ordenada al origen, es decir, la recta pasa por el punto (0,b) esto es, que pasa el eje vertical por el valor “b”; por ejemplo:

y = 3x + 4, donde el dominio quedará -3 ≤ x ≤ 3

-2 8-4 6-5 4-6 2

-5

5

10

-10

x y-3 -5

-2 -2

-1 1

0 4

1 7

2 10

3 13

Como se observa en la gráfica anterior, pasa por (0,4), es decir, tiene ordenada al origen 4.

6)

5) 1) 2) 3)

4)1) y = 4x2) y = 3x3) y = 2x4) y = x5) y = -2x6) y = -x

16

UCI Precálculo

Si se cambia el valor de “b” pero se conserva “m”, la gráfica tiene la misma inclinación, pero pasa por el valor “b”, es decir, sus gráficas son paralelas a la primera, como se muestra en el plano:

4-1 3-2 2-3 1-4

2

-8

4

-6

6

-4

8

-2

y = 3x + 4y = 3x + 3

y = 3x -2

Por lo que, si ahora el valor de “m” cambia y se conserva “b”, la gráfica tiene diferente inclina-ción, pero pasa por el mismo punto de la ordenada al origen; veamos cómo sucede:

Por lo que concluimos: f(x) = mx; of(x) = mx + b Dominio: R y Rango: R

4-1 3-2 2-3 1-4

2

-8

4

-6

6

-4

8

-2

y = 3x + 4

y = 2x + 4

y = -3x + 4

UCIPrecálculo

17

Función cuadráticaUna función cuadrática es una función polinómica de grado dos; por lo que su gráfica es una parábola. Algunas parábolas cortan al eje de las X (eje de las abscisas) en dos puntos; estos valores son llamados ceros o raíces del polinomio.

Si la parábola corta al eje de las abscisas en un solo punto, tiene una raíz doble, es decir x1

= x2; y cuando la parábola no toca al eje de las abscisas no tiene solución real, es decir, sus raíces se consideran imaginarias. El modelo general de una función cuadrática es f(x)=ax2 + bx + c; si el valor de “a” es positivo, la parábola se abre hacia arriba; y si “a” es negativo, se abre hacia abajo. Veamos algunos ejemplos donde el cálculo de la discriminante determina el número de raíces que tiene la función D = b2 - 4ac.

Dos raíces o ceros y parábola hacia arriba.

4 5321

2

4

6

10

8

-8

-6

-4

-2

-1-2-3-4-5

Una raíz doble y parábola hacia arriba.

D > oa > o

D = oa > o

UCI Precálculo

No tiene raíces reales, sino imaginarias y parábola hacia arriba. Dos raíces o ceros y parábola hacia abajo.

8 10642

2

4

6

10

8

-2-4-6-8-10

-8

-10

-6

-4

-2

D < oa > o

Dos raíces

a< o

Para calcular las coordenadas del vértice de la parábola se aplican las siguientes fórmulas: V (h,K).

h= -b 2a

K = 4ac - b2

4a

El dominio para estas funciones le corresponde todos los números reales y el rango va de acuerdo a la orientación que tiene la parábola.

Rango 4ac-b2, ∞)

4a o [K,∞) (Hacia arriba)

Rango (-∞, 4ac - b2

4a o (-∞,K] (Hacia abajo)

18

19

UCIPrecálculo

Por ejemplo: Haz la gráfica de las siguientes funciones; mediante el dominio calcula el rango y las coordenadas de vértice.

1. f(x) = x2 - x - 6 2. f(x) = -3x2 + 4x - 1

2

4

6

10

8

-8

-10

-6

-4

-2

4 5 6321-1-2-3-4-5

x y-5 24

-4 14

-3 6

-2 0

-1 -4

0 -6

0.5 -6.25

1 -6

2 -4

3 0

4 6

5 14

6 24

1 , -25 2 4

Si calculamos el vértice de la parábola desde a = 1 b = -1 c = -6

h = -(-1)

= 1

2(1) 2 K =

4(1)(-6)-(-1)2 =

-24 -1 =

-25 = -6.25 4(1) 4 4

Donde se determina que el vértice de la parábola se encuentra en la coorde-

nada 1 , -25

2 4 o (0.5,-6.25), dirigida hacia arriba porque el valor “a” es positi-

vo y el rango quedará 4ac - b2), ∞)

4(1)(-6) - (-1)2) =

-24 -1 =

-25 = -6.25 4a 4(1) 4 4

por lo tanto, el rango queda [-6.25,∞)

Enlázate

Escanea el siguiente QR y conoce más sobre funciones cuadráticas.https://goo.gl/fz7B97

UCI Precálculo

20

Al realizar lo mismo con la siguiente función f(x) = -3x2 + 4x -1

a=-3 b=4 c=-1 h = -(4)

= (-4)

= 2 = 0.66

2(-3) -6 3

V(0.66, 0.33) K = 4(-3)(-1)-(4)2

= 12-16

= -4

=

1 4(-3) -12 -12 3

K= 0.33

5

-15

-20

-10

-5

642-2-4-6

x y

-2 -21

-1 -8

0 -1

0.66 0.33

1 0

2 -5

3 -16

4 -33

V(0.66, 0.33)

Como el valor de a es negativo, la parábola está orientada hacia abajo, por lo tanto, el rango quedará (-∞, 0.33]

21

UCIPrecálculo

ACTIVIDAD DE DESARROLLO 1

1. Dadas las funciones de valor absoluto, lineal y cuadrática, haz la gráfica de cada una de ellas determinando el rango.

a) f(x) = |x + 3|

x y4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

1

2

3

5

4

6

7

1-7 2-6 3-5 4-4 5-3 6-2 7-1

b) f(x) = -2x + 3 -4≤x≤4

2

-6

-8

-10

4

-4

6

-2

10

8

12

14

1-7 2-6 3-5 4-4 5-3 6-2 7-1

x y-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

765432101234

1197531-1-3-5

Pasa por +3Donde m=-2 e inclinación 116.56°

22

UCI Precálculo

c) f(x) = x2 - 6x + 8

x y0

1

2

3

4

5

6

1

-3

2

-2

3

-1

5

4

6

7

1-7 2-6 3-5 4-4 5-3 6-2 7-1

d) f(x) = 4x - 3; -3≤ x ≤3

x y

3

2

1

0

-1

-2

-3

2

-6

-8

-10

-12

-14

-16

4

-4

6

-2

10

8

12

14

1-7 2-6 3-5 4-4 5-3 6-2 7-1

0≤ x ≤6; calcula el vértice de la parábola, el rango y su orientación.

8

3

0

-1

0

3

8

9

5

1

-3

-7

-11

-15m = 4ordenada al origen -3inclinación 75.96°

V(3,-1), hacia arriba y el rango

R[-1,∞)

23

UCIPrecálculo

e) f(x) = -6x2 - 7x + 2 -3≤ x ≤2

x y-3

-2

-1

-0.58

0

1

2

5

-15

-20

-25

-30

-35

10

-10

15

-5

25

20

30

35

1-7 2-6 3-5 4-4 5-3 6-2 7-1

Función cúbica La función cúbica es una función polinómica de tercer grado; tiene la forma f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, donde el valor a ≠ 0 (distinto de cero). El dominio corresponde a los números reales y el rango pertenece también a los números reales, por lo que el dominio queda: (-∞,∞) y el rango (-∞,∞).

Para graficar estas funciones hay que determinar un intervalo de valores, por ejemplo -5 ≤ x ≤5.

Dada f(x) = x3 + 5x2 + 2x - 8

x y-5 -18

-4 0

-3 4

-2 0

-1 -6

0 -8

1 0

2 24

3 70

4 144

5 252

-4-6-8 -2 4 6 82

5

-15

-20

10

20

15

25

-10

-5

V (-.58, 4.04) Hacia abajo por ser a negativa.

R (-∞, 4.04]-31-83

4.042-11

-36

24

UCI Precálculo

Podemos ver para este ejemplo anterior que la gráfica corta al eje de las abscisas en tres puntos (-4,-2 y 1), que son llamados ceros o raí-ces. Las funciones cúbicas pueden tener tres, dos o una raíz.

Función constante Para esta función tomaremos el criterio de número real y tiene la forma f(x) = K, donde K es dicho número. La gráfica es una recta horizontal paralela al eje de las abscisas y su pendiente m es cero; por ejemplo, tenemos dos funciones de este tipo.

1. f(x) = 2 2. f(x) = -4

10

5

-5

-10

-4 10-6 8-8 6-10 4-12 2-2 12 14

10

5

-5

-10

-4 10-6 8-8 6-10 42-2 12

Función parte entera La función parte entera es aquella que asigna a cada número real un número equivalente a su parte entera y se denota por:

f(x)=[x]

Esta función es un caso particular de una función definida por tramos y, dada la forma de su gráfica, se le conoce como función escalonada; por consiguiente, dado un número real x, la función parte entera le asig-no el mayor entero que es menor o igual a x, es decir:

[x] ≤ x < [x + 1]

Ejemplos:

[2.4] = 2; [- 92

] = -5; [7] = 7; [ 11 ] = 3

Esto quiere decir que todo número real está comprendido entre dos números enteros, la parte entera de un número es el menor de los nú-meros enteros entre los que está comprendido.

Enlázate

Aumenta tu conocimiento de función cúbica en el siguiente QR. https://goo.gl/PD6gzH

25

UCIPrecálculo

Por ejemplo: f(x)=[x] o f(x)=int[x]

24 33 42 51 1

1

-5

3

-3

2

-4

4

-2

5

-1

5

x y-2 -2

-1.2 -2

-1 -1

-0.5 -1

0 0

0.7 0

1 1

1.8 1

2 2

2.5 2

3 3

ACTIVIDAD DE DESARROLLO 2

•Dados los valores del dominio para cada función, encuentra los valores del rango y haz la gráfica de cada ejercicio. En las funciones de grado tres encuentra sus raíces.

a) f(x) = x3 + 3x2 + 2x

-1 3 5-2 2 4-3 1

-4

20

24

-12

12

-8

16

-16

-20

8

-24

4

-4-5-6

x y-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-24-60006

2460120

Raíces (-2,-1,0)

26

UCI Precálculo

b) f(x) = 4

x y-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-1 3 5-2 2 4 6-3 1

-1

5

6

-3

3

-2

4

2

1

-4-5-6

c) f(x) = x3 - 2x2 - 29x + 30

x y-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

3-4 5-2 2-5 4-3 876-1 1-6

100

-20

60

-60

80

-40

40

-80

-100

20

-120

“Si alguien no cree que las matemáticas son simples, es porque no

entienden lo complicada que es la vida”. Johann von Neumann

444444444

-840

50727256300

-28-48-54-40

072

Raíces (-5, 1, 6)

27

UCIPrecálculo

d) f(x)= int[x]

1

-3

2

-2

3

-1

2.5-2.5 3-2 3.5-1.5 4-1 4.5-0.5 51.5-3.5 2-3 1-4 0.5-4.5

x y-3

-2.5

-2.4

-2

-1

-0.5

0

0.8

1

1.7

2

e) f(x) = 6x3 + 22x2 + 10x - 6

x y-4

-3

-2

-1

0

0.33

0.5

0.66

1

2

3

3-3 4-2 5-1 2-4 1-5

20

40

-120

60

-100

80

-80

100

-60

120

-40

140

-20

-3-3-3-2-1-100112

-780140-60

5.2512.22

32150

384

R Z

Raíces ( 13

, -1, -3)

28

UCI Precálculo

ACTIVIDAD DE CIERRE

•Resuelve los siguientes problemas de funciones y sus gráficas.

1. La ciudad de Torreón, Coahuila, tiene un sistema de aguas, cuya estructura tiene un arco en forma de parábola; la altura del arco está descrita por medio de la ecuación: f(x) = - 1

4 x2 + 5x y el arco tiene un ancho de 20 metros.

a) Haz la gráfica de la función.

b) ¿Cuál es la máxima altura que tiene el arco?

Y = altura X = ancho

12

10

8

6

4

2

21 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 19 20 2118

14

18

16

20

24

22

26x y0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

2. En un banco de sardina, cada año existen seis toneladas de ese producto en el almacén de forma fija y aumenta su número 3

4 de toneladas por año.

a) Determina la función generada en el almacén.

b) ¿Qué cantidad de sardina habrá al cabo de dos, cuatro, seis y siete años en el almacén?

c) Haz la gráfica x = tiempo f(x)= cantidad de sardina

21 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

8

6

4

2

10

12

14

x f(x)0

2

4

6

7

091621242524211690

67.59

10.511.25

f(x) = 0.75x + 6

25m

29

UCIPrecálculo

3. Se construye una caja de cartón abierta (sin tapa); con una pieza de 40 cm por 80 cm cortando cuadrados de longitud lateral x de cada esquina y doblando hacia arriba los lados, como se observa en la figura.

80 cm

40 cm

x

a) Expresa el volumen V de la caja como una función de x .

x

b) ¿Cuáles son las dimensiones de la caja si se quiere un volumen máximo de 12 288 cm3?

Altura = Ancho = Largo =

SECUENCIA DIDÁCTICA 2

Concepto de función (dominio, rango e imagen)Una función f(x) es una regla que produce una correspondencia entre dos conjuntos de ele-mentos, tales que a cada elemento del primer conjunto (x) le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto (y).

v(x) = x(40-2x)(80-2x)x(4x2 - 240x + 32004x3 - 240 x2 + 3200x

8cm 24cm 64cm

30

UCI Precálculo

El primer conjunto se llama dominio (x, variable independiente) y el conjunto de todos los elementos que corresponden al segundo conjunto se le llama rango o contradominio (y, variable dependiente).

f(x) = an xn + an-1x

n-1 + ... + a1x + a0 an≠0

•Se conoce como función polinomial de n ésimo grado.•Los números an , an-1, a1, a0 se llaman coeficientes de la función.

Dominio e imagen de una funcióna partir de su gráficaEl dominio de una función se describe con los valores (x) del eje horizon-tal para los que una recta vertical que pase por ellos, intersetca la gráfica.

La imagen de una función se describe con los valores (y) del eje vertical para los que una recta horizontal que pase por ellos, intersecta a la gráfica.

Por ejemplo:

Determina el dominio y la imagen de la función f(x) = x2 - 4

Dado que su gráfica tiene el siguiente bosquejo:

21 3 4 5-4-5 -3 -2 -1

8

-4

6

-6

4

-8

2

10

-2

Como f(4) = (4)2 - 4 = 12, y también f(-4) = (-4)2 - 4 = 12, la gráfica que se obtiene es una parábola cuyo vértice se encuentra en (0,-4); da-dos los valores que se obtienen para hacer su gráfica, el dominio es cualquier número real, es decir (-∞,∞), para obtener su imagen de f es {y |y≥ - 4} = [-4, ∞].

Hazañas

Andrew Wiles (1953-)Aunque sus contribuciones no son tan grandes como otros, aportó a la matemática moderna probando su teorema. El Último Teorema de Fermat que probó Wiles dice que ningún positivo entero puede satisfacer la fórmula an + bn = cn siendo n más grande que 2.

31

UCIPrecálculo

ACTIVIDAD DE DESARROLLO 3

•Determina el rango de cada una de las funciones y haz la gráfica; además señala cuál es su imagen.

a) f(x)=5x-3

x y-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-6

-9

-12

-15

-18

-3

12

15

18

9

6

3

21 3 4 5 6-4 -3 -2 -1

b) f(x) = x2 - 2x - 8

20

-10

25

30

-5

15

-20

10

5

21 3 4 5 6 7-4 -3 -2 -1

x y-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-18-13-8-3271217

271670-5-8-9-8-5071627

Dominio: R Rango: R-3 ≤ x ≤4 (-∞,∞)

Dominio: R - 5 ≤ x ≤ 7Imagen: [-9,∞]y ≥ -9

32

UCI Precálculo

c) f(x)= x-4

21 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

6

4

2

x y4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

d) f(x) = x3 - 13x + 12

x y-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

40

-20

-30

-40

50

60

70

-10

30

-50

20

10

21 3 4 5 6 7-4 -3 -2 -1

Dominio R {x|x ≥ 4} o [4, ∞]Imagen {y|y≥0} [0,∞]

01

1.411.732

2.232.492.642.82

3

-480

243024120-60

2472

Dominio -5 ≤ x ≤ 5

Rango(-∞,∞)

33

UCIPrecálculo

SECUENCIA DIDÁCTICA 3

Gráfica de funciones con tecnologíaHasta ahora sabemos graficar funciones utilizando la calculadora científica convencional, pero contamos con ordenadores que podemos instalar, y en ellos podemos contar con uno de fácil uso y de forma gratuita, como Graph o Winplot, que se explicarán a continuación.

Graph

1. Selecciona el icono del programa Graph.2. Aparece la ventana del programa.

34

UCI Precálculo

3. Para graficar una función mediante este programa se procede a (abrir) seleccionar el icono correspondiente a función (insertar función) ( ), y se despliega la siguiente ven-tana, donde dice Ecuación de la función pondremos la función por ejemplo f(x) = x2, que, como se puede observar debemos ingresar después de la x una potencia; donde utilizaremos la tecla Alt Gr y luego se oprime la tecla del lado derecho de la Ñ; quedando f(x) = x2 y se puede seleccionar el color de la gráfica y se oprime aceptar (OK).

4. Como se observa en la ventana, se insertó la función en el espacio correspondiente. Para este ejemplo se graficará la función f(x) = x2

La gráfica queda así:

UCIPrecálculo

5. Posteriormente se quiere, conocer los valores de la tabla; se oprime calcular y luego tabla de valores, donde se selecciona el intervalo Desde: Hasta: y ∆x y luego calcular, donde se abre dicha tabla con los valores del dominio y rango, que se seleccionó de la variable independiente (x).

Por ejemplo: Desde: -5 Hasta: 5 ∆x: 1 y luego calcular.

x f(x) f’(x)-5 25 -10

-4 16 -8

-3 9 -6

-2 4 -4

-1 1 -2

0 0 0

1 1 2

2 4 4

3 9 6

4 16 8

5 25 10

WinplotLa explicación que se da es fácil de entender y para ello debemos bajarlo de internet y guardar-lo en documentos o bien en escritorio si se cuenta con un dispositivo para uso del programa.

35

36

UCI Precálculo

a) Cuando ya contamos con el programa en español o inglés, le damos clic en el logo del programa, por lo que nos da la siguiente imagen.

b) En seguida se coloca el cursor en Window (ventana) y se despliega lo siguiente:

37

UCIPrecálculo

c) Luego se da clic en 2-dim F2, por lo que decimos que queremos graficar en un plano en dos dimensiones.

d) Se continúa en Equa (quiere decir, ecuación,) y se busca 1. Explícita, esto es que la fun-ción que quiero graficar es de forma explícita.

38

UCI Precálculo

e) Bajo el cursor a 1Explícita y se hace clic para obtener la ventana.

Por lo que en f(x)= xsin(x) se borra y en este espacio se co-loca la función que desea graficar; para transcribir la ecua-ción cuando tiene exponente mayor a 1, es necesario utilizar el símbolo “^”, que elegimos en teclado de la computadora mediante Alt Gr presionada y la tecla a un lado de la “Ñ” o bien con utilizar dos o más veces la x dependiendo el expo-nente; por ejemplo: f(x) = x^2 o f(x) = xx quedando:

En esta ventana tenemos un apartado donde viene table y se da clic para la obtención de los valores de la tabla que va desde -5 hasta 5, es decir -5 ≤ x ≤ 5. Para volver a graficar otra función se cierran las ventanas y se inicia desde window para obtener la gráfica con la tabla de la siguiente función.

TABLE

X Y

-5.00000 25.00000

-4.80000 23.04000

-4.60000 21.16000

-4.40000 19.36000

-4.20000 17.64000

-4.00000 16.00000

-3.80000 14.44000

-3.60000 12.96000

-3.40000 11.56000

-3.20000 10.24000

-3.00000 9.00000

-2.80000 7.84000

-2.60000 6.76000

-2.40000 5.76000

-2.20000 4.84000

-2.00000 4.00000

-1.80000 3.24000

-1.60000 2.56000

-1.40000 1.96000

-1.20000 1.44000

-1.00000 1.00000

-0.80000 0.64000

-0.60000 0.36000

-0.40000 0.16000

-0.20000 0.04000

X Y

-0.00000 0.00000

0.20000 0.040000

0.40000 0.16000

0.60000 0.36000

0.80000 0.64000

1.00000 1.00000

1.20000 1.44000

1.40000 1.96000

1.60000 2.56000

1.80000 3.24000

2.00000 4.00000

2.20000 4.84000

2.40000 5.76000

2.60000 6.76000

2.80000 7.84000

3.00000 9.00000

3.20000 10.24000

3.40000 11.56000

3.60000 12.96000

3.80000 14.40000

4.00000 16.00000

4.20000 17.64000

4.40000 19.36000

4.60000 21.16000

4.80000 23.04000

5.00000 25.00000

39

UCIPrecálculo

ACTIVIDAD DE DESARROLLO 4

•Utilizando el programa Winplot o Graph, haz la gráfica de las siguientes funciones, determina el dominio (-5 hasta 5) y la imagen mediante la tabla. Haz el dibujo de cómo quedaría la gráfica en cada plano cartesiano que se encuentra a un lado de la función, o bien imprime la gráfica.

a) f(x) = 3x2 - 3

8

-2

6

-4

4

2

2-1 1-2 3

b) f(x) = - 4x + 1

4

2

3

1

-1-2

-1

-2

-3

-8

21 3 4

40

UCI Precálculo

c) f(x) = x3 - 2x2 - x + 2

6

8

4

2

-2

-4

-6

-8

-1-2-3 21 3 4

d) f(x) = x4 - 4x3 - 21x2 + 64x + 80

80

-40

100

-20

20

-100

40

-80

60

-60

60 70 80 90 100 11010 20 30 40 50-60 -50 -40 -30 -20 -10-110 -100 -90 -80 -70

41

UCIPrecálculo

e) f(x) = abs(x - 1) o f(x) = |x - 1|

-0.2-0.4-0.6-0.8-1-1.2-1.4-1.6-1.8-2-2.2 2.2 2.421.81.61.41.210.80.60.40.2

-0.5

0.5

-1

1

1.5

2

2.5

3

f) f(x) = -32

-1-2-3-4 54321

1

-3

-4

3

-1

2

-2

42

UCI Precálculo

g) f(x) = int(x - 1) o f(x) = [x-1]

-1 5 6-2 4-3 3-4 2-5 1

2

-6

-8

6

-2

4

-4

h) f(x) = (x + 3) o f(x) = (x + 3)1/2

5

-20

10

-15

15

-10

20

-5

4-4 6-2 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 282-8 -6

43

UCIPrecálculo

SECUENCIA DIDÁCTICA 4

Transformaciones de gráficas (compresión, elongación, desplazamientos verticales y horizontales)Desplazamientos verticalesCuando sumamos una constante a a una función f(x), la gráfica se desplaza en dirección vertical: si el valor de la a es positivo, la gráfica queda hacia arriba, y si el valor de a es nega-tivo, la gráfica queda hacia abajo.

Por ejemplo: si f(x) = x3 se suma +3 queda f(x) = x3 + 3 y si suma -2, f(x) = x3 - 2 quedando las gráficas de la siguiente manera:

2

-2

-4

-6

-8

4

6

8

2 3 41-2 -1-3-4

f(x) = x3 + 3

f(x) = x3

f(x) = x3 - 2

Lo anterior se determina mediante; si a > o.

•Para graficar y = f(x) + a, desplaza a unidades hacia arriba la gráfica de f(x). •Para graficar y = f(x) - a, desplaza a unidades hacia abajo la gráfica de f(x).

44

UCI Precálculo

Desplazamientos horizontalesSi tenemos la misma función f(x), pero ahora le agregamos la constante a dentro de un pa-réntesis +a o -a, donde se conserva el exponente, veamos:

Por ejemplo:

y = (x + a)3 o y = (x - a)3

La gráfica se desplaza hacia la derecha a unidades si es negativo, es decir y = (x - a)3 y a la izquierda a unidades si es positivo por ejemplo y = (x + a)3.

Si damos valores al valor a, por ejemplo:

a) y = (x + 3)3b) y = (x - 2)3

-5

-10

5

10

2-6 4-4 6-2

a) b)

y = (x + 3)3

y = x3 y =(x - 2)3

Lo anterior se determina mediante; si “a>o”.

•Para graficar y = f(x + a), se desplaza la gráfica de y = f(x) a la izquierda a nidades.•Para graficar y = f(x - a), se desplaza la gráfica de y = f(x) a la derecha a unidades.

45

UCIPrecálculo

Compresión vertical (elongación)Si tenemos f(x), pero ahora le agregamos el coeficiente a multiplicado y = af(x), tenemos dos casos:•Si a > 1, la gráfica se dilata a veces, es decir, aumenta su elongación.•Si o < a < 1, la gráfica se comprime verticalmente a veces (disminuye su elongación).

Por ejemplo: grafica f(x) = x3

1. f(x) = 3x3

2. f(x) = 13

x3

1-4-5 2-3 4-1 3-2

2

-12

4

-10

6

-8

8

-6

10

-4

12

-2

y = 3x3

y = x3

y = 13

x3

En conclusión, para graficar y = af(x)•Si a > 1 , alarga verticalmente la gráfica de y = f(x) por un factor de a .•Si 0 < a < 1, acorta verticalmente la gráfica de y = f(x) por un factor de a .

46

UCI Precálculo

Compresión horizontal •Si a > 1, comprime la gráfica y = f(x) horizontalmente por un factor de 1a.

•Si 0 < a < 1, el estiramiento horizontal de la gráfica de y = f(x), por un factor de 1a.

Veamos los ejemplos utilizando la misma función:

•Haz la gráfica de las siguientes funciones:

y = x3

y = (3x)3

y = (13

x)3

2

-12

4

-10

6

-8

10

-4

8

-6

12

-2

1-8 2-7 3-6 4-5 5-4 6-3 7-2 8-1

y = (3x)3

y = x3

y = (13

x)3

47

UCIPrecálculo

ACTIVIDAD DE CIERRE

•Dadas las funciones, haz las gráficas de cada una y describe el tipo de transformación que se realizó (utilizando un plano para cada ejercicio).

a) f1 (x)= x2f2 (x)= x

2 - 3f3 (x)= x

2 + 1

x y1 y2 y3-3

-2

-1

0

1

2

3

1

-5

2

-4

4

-2

6

8

10

3

-3

5

-1

7

9

1 2 4 53-4-5 -3 -1-2

b) f1 (x) = x3 f2 (x) = (x + 4)

3

f3 (x) = (x - 3)3

x y1 y2 y3-3

-2

-1

0

1

2

3

1 2 43-4-5 -3 -1-2

2

4

6

8

-4

-6

-8

-2

9 6 10

4 1 5

1 -2 2

0 -3 1

1 -2 2

4 1 5

9 6 10

Desplazamiento vertical

Desplazamiento horizontal

1

23

2 13

-27 1 -216

-8 8 -125

-1 27 -64

0 64 -27

1 125 -8

8 216 -1

27 343 0

48

UCI Precálculo

c) f1 (x) = x2

f2 (x) = 5x2

f3 (x) = 15

x2

x y1 y2 y3-3

-2

-1

0

1

2

3

-1

1

2

3

4

5

1 2 43-4-5 -3 -1-2

d) f1 (x) = x4

f2 (x) = (3x)4

f3 (x) = (12

x)4

x y1 y2 y3-3

-2

-1

0

1

2

3

1 2 43-4 -3 -1-2

-2

2

4

6

8

10

Compresión horizontal

9 45 1.8

4 20 0.8

1 5 0.2

0 0 0

1 5 0.2

4 20 0.8

9 45 1.8

Compresión vertical

3

21

81 6561 5.0625

16 1296 1

1 81 0.0625

0 0 0

1 81 0.0625

16 1296 1

81 6561 5.0625

2 1 3

49

UCIPrecálculo

SECUENCIA DIDÁCTICA 5

Propiedades de las funciones ParidadCuando hablamos de una función y queremos saber si ésta al hacer su gráfico es simétrica con el eje Y, debemos conocer que se trata de una función par y para ello debe cumplir con lo siguiente: •Si f es par para toda x en el dominio de “f”.

Por ejemplo: f(x) = x4 - 10x2 + 9 si sustituímos f(-x) en la función tenemos f(-x) = (-x)4 -10(-x)2 + 9; quedando f(−x) = x4 - 10x2 + 9, es decir, no se modifi-can, son iguales, por lo tanto f(x) = f(-x), y su gráfica queda:

5

10

15

20

-5

-15

-10

2 4 6-8 -6 -2-4

“Los encantos de esta ciencia sublime, las

matemáticas, sólo se le revelan a aquellos

que tienen el valor de profundizar en ella”. Carl Friedrich Gauss

50

UCI Precálculo

En la gráfica anterior se observa que es simétrica con respecto al eje vertical.

Ahora vamos a determinar si la gráfica de la función es impar, esto quiere decir, que es si-métrica con respecto al origen.

•Si f es impar si -f(x) = f(-x) para toda x en el dominio de f.

Por ejemplo: si f(x) = x5 + x, sustituimos f(-x) = (-x)5 + (-x) = -x5 - x, y luego -(x5 + x), queda -x5-x; por lo que son iguales, y haciendo su gráfica nos damos cuenta de que son simétricas con respecto al origen; por lo tanto, la función es impar.

La gráfica es simétrica con respecto al origen y queda:

2

4

6

10

8

2

-4

-6

-8

-10

1 2 3-3 -1-2-4

Existen funciones que no cumplen con ninguna de las características anteriores, por ejemplo:

f(x) = x2 + x

Si sustituimos f(-x) en la función, queda f(-x) = (-x)2 + (-x), donde resulta f(-x) = x2 - x, por lo que son diferentes, por lo tanto, esta función no es par y no es simétrica con respecto a Y.

51

UCIPrecálculo

Ahora comprobemos si es simétrica al origen -f(x) = -(x2 + x) = -x2 - x; y vemos que son dife-rentes también, por lo que la función tampoco es impar. Si hacemos la gráfica, vemos que no cumple con ninguna característica; es decir, ni simétrica al eje vertical ni simétrica al origen y su gráfica queda:

2

-4

-6

-8

-10

-12

2

4

6

1 2 3 4 5 6-3 -1-2-4-6

Intersección con los ejesEn muchos de los casos se da que el grado de la función depende de la intersección con el eje horizontal de la gráfica. Para ello abordaremos en donde se dan las intersecciones de la gráfica de una ecuación en x y y interseca al eje de las X o al eje de las Y.

TERMINOLOGÍA DEFINICIÓN INTERPRETACIÓN GRÁFICA CÓMO

HALLAR

Intersecciones en X.

Coordenadas x de los puntos donde la gráfica corta al eje X.

1

1A B

2

2

3(0,3)

(-1,0) (3,0)

3

4

Hacer y=0 y despejar x.

Aquí, A y B son intersecciones en X.

52

UCI Precálculo

TERMINOLOGÍA DEFINICIÓN INTERPRETACIÓN GRÁFICA CÓMO

HALLAR

Intersecciones en Y.

Coordenadas y de los puntos donde la gráfica corta al eje Y.

-4

-2

2

4

6

1-4 2-3 3-2 4-1

C

Hacer x=0 y despejar y.

Aquí, C es la intersección en Y.

Una intersección X se conoce a veces como un cero de la gráfica de una ecuación o como raíz de una ecuación, para ello podemos utilizar cualquiera de las graficadoras que tenga-mos al alcance para hallar las intersecciones con los ejes.

Si analizamos una función cuadrática sencilla, por ejemplo: f(x) = x2 - 2x -8 e igualamos x = 0 y sustituimos en la función: f(0) = (0)2 - 2(0) -8 = −8, vemos que la intersección en y = −8 y para obtener las intersecciones en X podemos aplicar la fórmula general o factorizar la ecuación quedando f(x) = (x - 4)(x + 2); por lo que las intersecciones en X son 4 y −2.

Y la gráfica queda:

Intersección en Xx = -2

Intersección en X

x = 4

2

-4

-6

-8

-10

1 2 3 4 5 6 7

2

4

6

8

10

-3 -1-2-4-5

Intersección en y=-8

53

UCIPrecálculo

Funciones continuas y discontinuasUna función es continua en un intervalo abierto (a, b), si es continua en todos y cada uno de los puntos del intervalo.

Una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] si es continua en todos los puntos del intervalo abierto (a, b) y, además, es continua por la derecha en a y por la izquierda en b.

Cuando trazamos una gráfica de una función polinómica, por ejemplo: f(x) = x2 - 2x - 8, y los valores del dominio (-5≤ x ≤5), observamos que es continua en ese intervalo cerrado, porque es continua en −5 y 5, esto quie-re decir que no necesito levantar el lápiz para trazar la gráfica en el papel.

-3 -1-2-4-5 1

2

-8

4

-6

6

-4

8

-2

2 3 4 5ba

Intervalo cerrado -5≤ x ≤5.Es continua por la derecha de a y por la izquierda en b

Continuidad de una función en un punto debe cumplir tres condiciones:1. f(c) está definida.2. lím. f(x), existe x c.3. lím. f(x) = f(c), x c.

Una función discontinua corresponde a su gráfica, donde en un punto es discontinua, por ejemplo:

f(x) x2 - 9

x-3 x 3 x≠3

Si sustituimos f(3)= 32 - 9 = 9 - 9 = 0

3-3 0 0. No está definido, por lo que no es con-

tinua en ese punto.

Entonces, si factorizamos el numerador mediante binomios conjugados, queda: f(x) = (x + 3)(x - 3) x-3 quedando f(x) = x + 3 y si sustituimos f(3) = 3 + 3, por lo que decimos que es discontinua en el punto x = 3.

Enlázate

Incrementa tus conocimientos de las funciones continuasy discontinuas.https://goo.gl/nfNtkZ

UCI Precálculo

54

1 2 3 4 5-3 -1-2-4-5-6

2

4

6

8

2

-4

-6

Cumple para todos los valores reales, pero para x = 3 no; esto quiere decir que es función discontinua en ese punto.

55

UCIPrecálculo

Funciones crecientes y decrecientesPara comprender lo que es una función creciente y decreciente analicemos la misma fun-ción de la parábola donde el intervalo de los valores del dominio es -5≤ x ≤5.

1 2 3 4 5 6-3 -1-2-4

2

4

6

8

10

-2

-4

-6

-8

-10(1,-9)

(5,7)

(-5,27)

f(x) = x2 - 2x -8

Si tomamos el valor x1 = -5. Hasta x2 = 1 vemos que en ese punto decrece; (−5,27) hasta (1,−9).

Y luego seguimos en la misma gráfica, pero ahora x2 se convierte en x1 y x2 nuevo es el valor que se tiene a la derecha, por lo que (1,−9) va hasta (5,7) y observamos que en ese tramo el valor de la función crece.

En conclusión, x1 y x2 є(pertenece) al dominio de f(x), donde x1 < x2 f(x1) < f(x2), es una función creciente y se toma de izquierda a derecha y donde va hacia arriba en ese intervalo. Y cuando x1 y x2 є(pertenece) al dominio de f(x), donde x1 < x2 f(x1) > f(x2), se dice que la función es decreciente en ese intervalo y se toma también de izquierda a derecha.

También podemos agregar que si en un intervalo de la gráfica es una línea horizontal para-lela al eje X; decimos que la:

x1 y x2 є(pertenecen) al dominio de f(x) y dondex1 < x2 f(x1) = f(x2) se dice que la función es constante en ese intervalo y se toma de izquierda a derecha.

56

UCI Precálculo

ACTIVIDAD DE DESARROLLO 5

•Resuelve las siguentes funciones.

1. Determina si las siguientes funciones tienen simetría con el eje Y o simetría con el origen o ninguna simetría. Haz su gráfica.a) f(x) = x3 - x b) f(x) = x2 + 2 c) f(x) = x3 - 7x + 6

2

4

6

8

10

-2

-4

-6

-8

1 2 3 4-3 -1-2-4

-2

-4

-6

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5-3 -1-2-4-5

a)

b)

a) f(-x)=(-x)3 - (-x) = -x3 + x f(x) ≠ f(-x) No es función par, es decir no son simétricas con Y.

-f(x3 - x) = -(x3 - x)= -x3 + x f(-x) ≠ -f(x) Sí es función impar, es decir, sí son simétricas al origen.

b) f(-x) = (-x)2 + 2 = x2 + 2f(x) = f(-x) Sí es función par, sí son simétricas con Y.

-f(x) = -(x2 + 2) = -x2 - 2f(-x) ≠ -f(x) No es función impar, es decir, no son simétricas al origen.

57

UCIPrecálculo

1

-13

2

-12

6

-8

11

-3

3

-11

7

-7

12

-2

4

-10

8

-6

13

-1

5

-9

9

-5

10

-4

1-4 2-3 3-2 4-1

2. Determina las intersecciones con los ejes X y Y de las siguientes funciones. Hazlo en forma analítica y comprueba con el programa Winplot o Graph.

a) f(x) = 3x - 12 b) f(x) = x2 + 6x - 7c) f(x) = x2 +3x - 18d) f(x) = -4x + 8e) f(x) = x2 + x - 20

-1-2 1 2 3 4 5 6

-2-2

-4 -4

-6-6

-8

-8

-10

-10

-12

-12

-14

-16

2

4

2

4

6

2 3-1-2-3-4-5-6-7 1

c)

a) b)

c) f(-x) = (-x)3 - 7(-x) + 6 = -x3 + 7x + 6f(x) ≠ f(-x) No es función par, es decir, no son simétricas con Y.

-f(x) = -(x3 - 7x + 6) = -x3 + 7x - 6f(-x) ≠ -f(x) No es función impar, es decir, no son simétricas al origen; por lo tanto, no cumplen con ninguna de las dos características.

a) y = -12 x = 4b) y = -7 x1 = 1 x2 = -7c) y = -18 x1 = 3 x2 = -6d) y = 8 x = 2e) y = -20 x1 = 4 x2 = -5

58

UCI Precálculo

Forma la gráfica con Winplot o Graph:

52

-12-20

10

4

-10

-15

15

6

-8

8

-6

10

-4-10

2012

-2-5

2-10 4-8 6-6 8-4 10-2 1 2 3 4 5 6-6 -5 -4 -3 -2 -1

5

-20

10

-15

15

-10

20

-5

2-10 4-8 6-6 8-4 10-2

c) d)

e)

59

UCIPrecálculo

3. Determina si las siguientes funciones son continuas o discontinuas; utiliza un grafica-dor para que lo determines.

a) f(x) = 2x5 - x4 - 12x3 - 8x2 - 5x + 6

b) f(x)= x2 + x - 2

x - 2

a) b)

20

40

-20

-40

-60

-80

-20

2010-10-20

1

-15

2

-14

10

-6

9

-7

8

-8

7

-9

6

-10

5

-11

4

-12

3

-13

11

-5

12

-4

13

-3

14

-2

15

-1

1 2 3 4 5-5 -4 -3 -2 -1

4. Determina los intervalos de valores x si son crecientes, decrecientes o constantes:

-2

2

4

6

8

-1-2-3-4-5-6-7 1 32 4 5 6

Continua Discontinua

Respuesta:

(-6, -3) creciente(-3, 0) decreciente (0, 4) creciente(4, 6) constante

60

UCI Precálculo

ACTIVIDAD INTEGRADORA

•Resuelve los siguientes ejercicios.

1. Haz la gráfica de cada una de las funciones mediante los valores del dominio.

a) f(x) =3x - 15

x y

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

4

2

21 3 4 75 6-1-2-3

-2

-6

-4

-8

-10

-12

-14

-16

-18

b) f(x) = |x - 4|

x y

0

1

2

3

4

5

6

7

8

8

6

4

2

21 3 4 7 85 6-1-2-3-4-5-6-7-8

-2

-6

-4

-8

-24

-21

-18

-15

-12

-9

-6

-3

0

4

3

2

1

0

1

2

3

4

61

UCIPrecálculo

c) f(x) = x2 - x - 6

x y

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-1-2-3-4 2 3 4 51

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

3

4

5

d) f(x) = x3 + 3x2 - 4x

x y

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

4

-14

2

-16

6

-12

8

-10

10

-8

12

-6

14

-4

16

-2

-1-2-3-4-5-6 2 3 41

14

6

0

-4

-6

-6

-4

0

6

-30

0

12

12

6

0

0

12

42

96

180

62

UCI Precálculo

e) f(x) = [x + 2]

x y

-3

-2

-1

0

1

2

-1

-2

3

2

1

4

5

6

7

10

9

8

11

-3

-4

2 3 4 5 6 71-1-2-3-4-5-6-7

2. Utilizando el programa Winplot o Graph haz la gráfica de las siguientes funciones (co-pia, recorta y pega gráfica). Coloca si es continua o discontinua.

a) f(x) = 2x2 + 12x + 17b) f(x) = x3 - 2x2 - x + 2c) f(x) = -2

d) f(x)= x + 5 x - 1

e) f(x) = -x4 + 5x2 - 4

b)

1-1 1.5-1.5 2-2 2.50.5-0.5

-1

-2

-3

-4

-5

1

2

3

4

5

6

a)

-1

2

3

4

5

6

y

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5-3-3.5-4-4.5-5 -2.5

1

Continua Continua

-1

0

1

2

3

4

63

UCIPrecálculo

c)

-1

-2

-3

-4

1 3 3 3 4 5 6 4.50.5-0.5-1-1.5-2-2.5-3-3.5-4-4.5

1

d)

1

2

-4

3

-3

4

-2

5

-1

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 4.5 6.5 70.5-0.5-1-1.5-2-2.5-3-3.5-4-4.55

e)

2 3 4 51-1-2-3-4-5

2

4

6

-2

-4

-6

-8

-10

-12

Continua

Continua

Discontinua

64

UCI Precálculo

3. Transformación de gráficas:

a) y = (x - 1)4 + 3 y = (x - 1)4 y = (x - 1)4 - 3

-2

-4

2

4

6

8

10

2 31-1-2-3

b) y = (x - 2)3

y = 7(x-2)3

y = 17

(x - 2)3

2

4

6

8

2 53 64 71-1-2-3

-2

-4

-6

-8

-10

65

UCIPrecálculo

4. Determina si las siguientes funciones son pares e impares:

a) f(x) = x2 - 5

b) f(x) = x3 - 12x

5. Determina las intersecciones en X y en Y que tienen las siguientes funciones. Utiliza un programa graficador para que compruebes dichas intersecciones.

a) f(x) = -2x + 8

-2

-4

-6

2

4

6

8

-1-2 2 53 41

Respuestaf(x) = f(-x) Es función par, simetría con Y.-(x2 - 5) = -x2 + 5-f(x) ≠ f(-x) No es función impar, simétrica con el origen.

Respuestaf(-x)3 = (-x)3 - 12(-x)= -x7 + 12xf(x) ≠ f(-x) No es función par, no simétrica con Y.-f(x) = -(x3 - 12) = -x3 + 12x-f(x) = f(-x) Sí es función impar, simétricas con el origen.

Respuesta:x = 0 y = 0 y = 8 x = 4 Intersecciones

66

UCI Precálculo

b) f(x) = x2 - 4x + 3

-2

-4

2

4

6

8

2 53 41-1-2

Respuesta:

(x - 3) (x - 1) = 0 x = 3 x = 1 Interseccionesy = 3

67

UCIPrecálculo

Rúbricas de evaluaciónPROCESO DE EVALUACIÓN CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Actividades de aprendizaje

Problemarios

• Presenta con limpieza y orden cada ejercicio propuesto.• Las respuestas las presenta con sus respectivos procesos respetando los

argumentos matemáticos.

• Entrega en tiempo y forma cada una de las actividades.• Los ejercicios son resueltos ordenadamente y con la mejor calidad posible.• Se cumple con las competencias genéricas y específicas (disciplinares básicas)

propuestas en cada unidad de competencia.

Producto integrador: (libro de texto)

• Abstrae el problema planteado y lo expresa con su lenguaje matemático.• Se apoya en recursos tecnológicos como Winplot, Graph, etcétera.• Resuelve los ejercicios y los aplica en la solución de problemas.• Son presentados con los lineamientos determinados por el profesor en su encuadre.• Los entrega con puntualidad y limpieza (mayor calidad en cada uno de ellos).

Examen o actividad de evaluación (examen o evaluación escrita)

• La explicación de las indicaciones es clara y detallada.• Encuentra la solución de cada reactivo y la presenta en el contexto pedido.• Las estrategias utilizadas son efectivas en la solución de cada ejercicio.• Abstrae el problema (ejercicio) planteado y lo expresa con su lenguaje matemático.

68

UCI Precálculo

Avance de contenidos de evaluación por unidad de competencia

Unidad de competencia N°

Alumno(a):

Grupo: Turno:

PONDERACIÓN PUNTOS OBSERVACIONES

Actividad previa: prueba diagnóstica.

E S I

Actividad de adquisición de la información, libro de texto (20).

Actividad de procesamiento de la información (40).

Actividad de aplicación de la información, libro de texto (20).

Autoevaluación-coevaluación (20).

TOTAL

69

UCIPrecálculo

INDICADORPRESENTACIÓN DE

LOS PROBLEMARIOS DEL LIBRO DE TEXTO

PRESENTACIÓN DE LOS PROBLEMARIOS APLICACIÓN DE LA

INFORMACIÓN

CRITERIO ACTITUDINAL

EXCELENTE 20%

Los hace con limpieza, orden, con los procesos, con la calidad pedida, completos, los entrega en tiempo y forma, cumple con las competencias propuestas.

Los hace con limpieza, orden, con los procesos, con la calidad pedida, completos, los entrega en tiempo y forma, cumple con las competencias propuestas.

Mantiene una actitud adecuada a lo que pide el profesor, colabora en el trabajo individual y colaborativo dentro del salón, presenta una actitud de respeto, orden pedido por el profesor, asiste a todas las clases, presenta disposición.

BIEN15%

Presenta los procesos con cierta limpieza, aunque incompletos, en tiempo y forma, cumple con las competencias propuestas.

Presenta los procesos con cierta limpieza, aunque incompletos, en tiempo y forma, cumple con las competencias propuestas.

Mantiene una actitud adecuada a lo que pide el profesor, colabora de manera parcial en el trabajo individual y colaborativo dentro del salón, presenta una actitud de respeto, asiste a la mayoría de las clases.

REGULAR10%

Los presenta casi completos, con cierta calidad, en tiempo y adquiere algunas competencias propuestas.

Los presenta casi completos, con cierta calidad, en tiempo y adquiere algunas competencias propuestas.

Mantiene una actitud poco adecuada, trabaja poco en lo que le pide el profesor dentro del salón, presenta una actitud de poco respeto, asiste a la mayoría de sus clases.

INSUFICIENTE 5%

Los presenta incompletos, con nada de calidad, sin orden, ni limpieza y no cumple con las competencias propuestas.

Los presenta incompletos, con nada de calidad, sin orden, ni limpieza y no cumple con las competencias propuestas.

Mantiene una actitud nada adecuada, no trabaja en el salón en forma individual y colaborativa ni asiste a la mayoría de sus clases.

70

UCI Precálculo

AutoevaluaciónCRITERIOS DE EVALUACIÓN INSUFICIENTE(0)

SUFICIENTE(1)

BIEN (1.5)

EXCELENTE(2)

Participé con una actitud adecuada propuesta por el profesor.

Colaboré con el trabajo de grupo para que todos pudiéramos llegar a nuestro objetivo.

Realicé todas las actividades propuestas en el cuaderno de una forma ordenada y con limpieza; además las hice con honestidad y poniendo mi mayor esfuerzo.

Utilicé los recursos tecnológicos como el Winplot, Graph, etcétera que me ayudaron en resolver mis actividad es propuestas.

Logré los objetivos (competencias) en cada unidad de competencia.

CoevaluaciónCRITERIOS DE EVALUACIÓN

INSUFICIENTE(0)

SUFICIENTE(1)

BIEN (1.5)

EXCELENTE(2)

Se integra al trabajo colaborativo cuando se le pide.

Se dirige a sus compañeros con respeto y orden procurando dar un aporte significativo al trabajoen grupo.

Trae su material completo a clase y tiene actitud de trabajo en el salón.

Propone y busca soluciones a los ejercicios propuestos.

Emplea bien el tiempo durante la realización de los ejercicios en el salón para ayudar a su equipode trabajo.

TOTA

L

SUBTOTAL

“Dios no se preocupa sobre nuestras dificultades matemáticas; él se integra

empíricamente”.Albert Einstein

Con las técnicas y conceptos mencionados en la unidad de competencia II incorporan más alternativas para modelar situaciones con mayor grado de complejidad, lo que ofrece la oportunidad de incorporar el manejo de tecnología informática (calculadora-graficadora, computadora) para facilitar y eficentar los procedimientos de modelación. Alcanza logros para las competencias wspecíficas 1, 2, 3, 4, 5 y 8 y competencias genéricas CG5, CG5.4, CG5.6

• Polinomios.• Propiedades y raíces.•División sintética.• Solución de ecuaciones

de grado mayor a 2.• Teorema del factor.• Teorema del residuo.•Gráfica de funciones

polinómicas con y sin tecnología.

•Operaciones con funciones: suma, producto, cociente, composición e inversa.

• Solución de problemas con funciones polinómicas.

UNIDAD DE COMPETENCIA II

Funciones polinómicas

72

UCII Precálculo

SECUENCIA DIDÁCTICA 1

Polinomios ACTIVIDAD DE INICIO

•Contesta las siguientes preguntas.

1. Define qué es un polinomio:

2. ¿Qué son términos semejantes?

3. ¿Qué es un monomio?

4. ¿Cómo está formado un monomio?

5. ¿Qué es un exponente y un coeficiente dentro de un monomio?

6. ¿Qué es un término independiente dentro de un polinomio?

Es una expresión algebraica formada por dos o más términos.

Son aquellos que tienen la misma parte literal, es decir, mismas variables elevadas a los mismos exponentes.

Es una expresión algebraica formada por un solo término.

El coeficiente es el número que multiplica a las variables, por ejemplo, 6x, y el coeficiente es 6 y los ex-ponentes son los números pequeños que elevan a las variables a una potencia determinada, por ejemplo, 7x3; el exponente es 3.

Es el que no tiene parte literal, por ejemplo, 5, -9, 10, etcétera, dentro de un polinomio.

Está formado por un coeficiente que multiplica a las letras que están elevadas a determinados exponentes; por ejemplo: 6x, -x, 4y3, 6y3, -8, 5.

73

UCIIPrecálculo

Clasificación de los polinomios

Un polinomio P de grado n es una función que se representa de la siguiente forma:

P(x) = anxn + an-1x

n-1 +… +a1x + a0; donde an ≠ 0 . Podemos decir que los polinomios se clasifican:

a) Por el número de términos, por ejemplo:•Monomio 6x3, 9y2, –4m3n2, etcétera. •Binomio 6x - 9, x2 – 1, 4m + 8, etcétera. •Trinomio 2x2 + 4x -8, x2 - 2x + 1, a2 -5a + 6, etcétera. •Polinomio de n términos; por ejemplo, 3x4 + 6x3 - 2x + 1 (cuatro términos); 2x5 + 2x4 + x3

– 2x2 +6x -7 (seis términos), etcétera.b) Por el grado; el grado de un polinomio está determinado por el mayor grado de los mo-

nomios que lo forman, por ejemplo, 4x3 - 2x2 + 3x + 7 (tiene grado tres no homogéneo); 3x4y2 + 2x3y - 3xy2 + 8xy (tiene grado seis no homogéneo). Si en un mismo polinomio existe un mismo grado se dice que es homogéneo, por ejemplo, 2x3y + 3 x2y2 - 4xy3 (tiene grado cuatro homogéneo).

c) Por el número de variables, por ejemplo, 3x4 + 5x2 - 2x + 1 (una variable), 3x3y – 2x2y2 + 4xy3- 8xy (dos variables).

ACTIVIDAD DE DESARROLLO 1

•De acuerdo a lo anterior, clasifica los polinomios de acuerdo a los tres criterios:

a) 5x3y - 6x2y2 + 8xy3 - 5y4

b) 3x5 - 9x4 - 7x3 + x2 + 6x - 4

c) 4m6 + m5 + 6m4 - 7m3 + 3m2 - 9m + 3

d) 9x4y2z - 10x3yz2 + 8x2yz4 - 9xyz5 + 4xyz

e) 4m3n

f) x2 - 19x - 20

ACTIVIDAD DE CIERRE

•Utilizando la característica de la homogeneidad, dadas las siguiente funciones, determi-na, cuáles son homogéneas y cuáles heterogéneas.

a) x2 - 4x -5 b) 5x3y - 4x2y2 + 8xy3

c) 6x5y - 8x4y2 - 4x3y3 + 5x2y4 - 10xy5 d) x3 + x2 -6x

Heterogénea Homogénea

Homogénea Heterogénea

Polinomio de 4 términos, homogéneo, cuarto grado, dos variablesPolinomio de 6 términos, heterogéneo, quinto grado, una variable

Polinomio de 7 términos, heterogéneo, sexto grado, una variablePolinomio de 5 términos, heterogéneo, séptimo grado, tres variables

Monomio, cuarto grado, dos variables

Trinomio, segundo grado, heterogéneo, una variable

74

UCII Precálculo

SECUENCIA DIDÁCTICA 2

Propiedades y raíces ACTIVIDAD DE INICIO

•Dadas las siguientes funciones, contesta las preguntas.

a) x3 - 9x ¿Cuántas raíces o ceros tiene? ¿Se puede saber mediante una característica, cuánto vale una raíz? ¿Cuál es?

b) x2 - x - 6 ¿Cuántas raíces o ceros tiene? ¿Cuál es el valor de la intersección en Y?

Las propiedades por considerar para una función polinómica:

1. Por lo general el grado de una función depende del números de veces en que la gráfica de dicha función pasa por el eje de las X; éstas son llamados ceros o raíces de la función.

2. El término independiente de la función indica el valor por el que la gráfica intersecta al eje de la Y.

3. Si la función no tiene término independiente, es decir, termina en x, esto quiere decir que una raíz es cero (x = 0) y también pasa por y = 0 (origen).

4. Si el número de veces en que la gráfica es menor al grado del ex-ponente de la función quiere decir que tiene raíces repetidas (mul-tiplicidad) o que sus raíces que hacen falta son imaginarias ( pares conjugados a+bi, a-bi).

Las funciones polinómicas básicas pueden tener las siguientes formas:

f(x) = b Función constante

f(x) = ax + b , a≠0 Función lineal

f(x) = ax2+ bx + c, a≠0 Función cuadrática

f(x) = ax3 +bx2 +cx+d, a≠0 Función cúbica

f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx+ e , a≠0 Función cuarto grado

Cada una de las siguientes funciones puede tener la secuencia corres-pondiente hasta llegar al modelo de la ecuación polinómica descrita al inicio de este tema.

Aprende más de funciones polinómicas simetría, paridad, continuidad, crecimiento y decrecimiento, escaneando el siguiente QR.https://goo.gl/aAxtXK

Enlázate

3

2-6

cerosí

75

UCIIPrecálculo

Los bosquejos que tiene cada una de ellas se presentan a continuación para tener un ade-lanto de ellas en su graficación.

a) Función constante b) Función lineal

y

x

y

xy = ax

c) Función lineal y= -ax d) Función lineal y= ax + b

e) Función lineal y =-ax + b f) Función cuadrática y = ax2; a = 1

g) Función cuadrática y = x2 +a h) Función cuadrática y = (x - a)2 y = (x + a)2

76

UCII Precálculo

i) Funciones cúbicas

1) y = ax3; a= 1 2) y= ax3 + bx2 + cx + d

3) y = -ax3 + bx2 + cx + d

j) Funciones de la forma y= ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

Prueba de la recta vertical para las funcionesUna ecuación describe a Y como función de x, si y sólo si, toda recta vertical intersecta a la gráfica de la ecuación, cuando mucho, en un punto. En las siguientes dos gráficas se determina esta prueba.

y = f(x)

Es una función, porque toca en un punto a la gráfica. No es una función, sino una relación, porque toca en más de un punto a la gráfica.

UCIIPrecálculo

Raíces racionales de una ecuación polinómica

Para determinar cuántas raíces o ceros tiene un polinomio considerando que los coeficien-tes son números enteros y que es de suma importancia determinar todos los factores, tanto de an como a0, ya si omitimos alguno puede suceder que no se pueda localizar el cero o raíz que depende de estos factores.

ElteoremadicesiloscoeficientesdelpolinomioF(x) = anx

n + an-1xn-1 + … +a1x + a0 = 0 son números enteros, entonces, cada una de sus raíces

o ceros racionales en su mínima expresión tiene como numerador un factor de a0 y como denominador un factor de an

Ejemplo:

Determina las posibles raíces o ceros del polinomio F(x) = 4x4 + 4x3 - 19x2 - 16x + 12 •Los posibles numeradores: ±12, ±6, ±4, ±3, ±2, ±1.•Los posibles denominadores: ±4, ±2, ±1.•Los posibles ceros o raíces: ±12, ±6, ±4, ±3, ±2, ±1, ±³/2, ±¾, ±½, ±¼.

El orden en que están acomodados es: primero los enteros en forma descendente y final-mente las fracciones en el mismo orden, no debemos anotar las raíces que se repiten.

Veamos otros ejemplos un poco más sencillos, lo cual nos permitirá comprenderlo me-jor y comprobarlo. Su gráfica nos permitirá verificar las posibles raíces o ceros que tiene de una forma visual:

F(x) = x2 + 4x + 3

•Los posibles numeradores son ±3, ±1•Los posibles denominadores son ±1 , entonces los posibles ceros o raíces son ±3,±1 .

Finalmente, f(x) x3 - 4x2 + x + 6•Los posibles numeradores que tiene son ±6, ±3, ±2, ±1•Los posibles denominadores son ±1, de tal manera se tiene que ±6, ±3, ±2, ±1 son las po-

sibles raíces o ceros.

77

78

UCII Precálculo

ACTIVIDAD DE DESARROLLO 2

•Aplica el teorema para cada función, completando la tabla.

POLINOMIO POSIBLES NUMERADORESPOSIBLES

DENOMINADORESPOSIBLES RAÍCES O

CEROS

F(x)= x2 - 6x - 7

F(x) = 12x3 - 16x2 - 5x + 3

F(x) = x3 - 2x2 - 5x - 6

F(x) = x2 –9x + 14

F(x) = 4x - 16

F(x) = x4 - 8x3 + 23x2 - 28x + 12

F(x)= x2 + 2x - 3

Cada polinomio F(x) de grado n>0 se puede expresar como el producto de n factores linea-les. De aquí que, F(x) tenga exactamente n raíces (no necesariamente distintas).

Por lo tanto, si r es una raíz real de un polinomio F(x) con coeficientes reales, entones r tam-bién es una intersección con el eje X para la gráfica de F(x).

Factorización de un polinomioComo lo venimos mencionando, cada polinomio F(x) de grado n>0 tiene al menos una raíz y por lo tanto este polinomio se puede representar como el producto de factores lineales y x- r ocurre m veces, entonces r se denomina raíz de multiplicidad m.

Por ejemplo:

a) x2 - 4x + 3 = (x-3) (x-1), es decir, tiene raíces 1 y 3.

b) 2x3 - 9x2 + 7x + 6 = (x - 2) (x - 3)(2x + 1). Por lo tanto sus raíces o ceros son 2 , 3 y -½

±1, ±7

±1, ±3

±1, ±2, ±3, ±6

±1, ±2, ±7, ±14

±1, ±2, ±4, ±8, ±16

±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12

±1, ±3

±1

±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12,

±1

±1

±1, ±2, ±4

±1

±1

±1, ±7 ±1, ± 1 2, ±

1 3, ±

1 4, ±

1 6 , ± 1 12,

±3,± 3 2 ,± 3 4

±1, ±2,±3,±6

±1, ±2,±7,±14,

±1, ±2, ±4, ±8, ±16, ± 1 2

,± 1

4,

±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12

±1, ±3

79

UCIIPrecálculo

Raíces imaginariasEs interesante conocer cuando la factorización de un polinomio se restringe no solamente a coeficientes reales, sino que es necesario utilizar los números complejos, para ello debemos de tener en cuenta las características de tales números.

Recordando un poco, i2 = -1 ; por tanto, cualquier número negativo se sustituye con un parén-tesis y el valor se cambia, veamos un ejemplo sencillo dentro de un radical -9 no se puede resolver por lo tanto si se sustituye el valor dentro del radical se tiene (9) (-1) = 9 · i2 = 3i.

Las raíces imaginarias de polinomios con coeficientes real