1 MOVIMIENTO EN LINEA RECTA

1. Un antílope con aceleración constante cubre la distancia de 70:0 m entredos puntos en 7 s. Su rapidez al pasar el segundo punto es 15 m/s. a)Qué rapidez tenía en el primero? b) Qué aceleración tiene?

Solución. Datos iniciales: x0 = 0 y v0 =?. Datos �nales: x1 = 70 m,t1 = 7 s y v1 = 15 m/s. Sea las ecuaciones de movimiento:(

x1 = x0 + v0t+1

2at2

v1 = v0 + at

reemplazando datos: (70 = 7v0 +

49

2a (1)

15 = v0 + 7a (2)

De (2):v0 = 15� 7a (3)

reemplazando (3) en (1):

70 = 7 (15� 7a) + 492a

70 = 105� 49a+ 492a

70 = 105� 492a (�2)

140 = 210� 49a

a =210� 140

49

a =70

49

a =10

7m/s2

luego la aceleración es a =10

7, reemplazando en (3):

v0 = 15��10

7

�(7)

v0 = 15� 10v0 = 5 m/s

Resolviendo v0 = 5 m/s.

2. Bolsas de aire de automóvil. El cuerpo humano puede sobrevivira un incidente de trauma de aceleración negativa (parada repentina) si

1

la magnitud de la aceleración es menor que 250 m/s2 (cerca de 25 g). Siusted sufre un accidente automovilístico con velocidad inicial de 105 km/hy es detenido por una bolsa de aire que se in�a desde el tablero, ¿en quédistancia debe ser detenido para sobrevivir?.

Solución. a = 250 m/s2 y v = 105 km/h = 29:167 m/s. Dada la fórmula:

v21 = v20 � 2ax

reemplazando:

0 = (29:167)2 � 2 (250)x

x =(29:167)

2

2 (250)= 1:7

La distancia mínima es 1.7 m.

3. En el instante en que un semáforo se pone en luz verde, un auto queesperaba en el cruce arranca con aceleración constante de 3.20 m/s2. Enel mismo instante, un camión que viajaba con rapidez constante de 20m/s alcanza y pasa el auto. a) ¿A qué distancia de su punto de partida elauto alcanza el camión? b) ¿Qué rapidez tiene el auto en ese momento?c) Dibje una grá�ca x � t del movimiento de los dos vehículos, tomandox = 0 en el cruce. d) Dibje una grá�ca vx � t del movimiento de los dosvehículos.

Solución. Sea la ecuación de movimiento del auto:(x =

1

2(3:2) t2 (1)

v1 = 3:2t (2)

y la ecuación de movimiento del camión:

x = 20t (3)

a) De (3) t =x

20, en (1):

x = 1:6 � x2

400x = 250 m.

donde t =250

20= 12:5 s. En (2):

v = 3:2 (12:5) = 40 m/s

2

c) Gra�cando x� t:

13.7512.511.25108.757.56.2553.752.51.250

250

225

200

175

150

125

100

75

50

250

­25

­50Tiempo

Posición

Tiempo

Posición

d) Gra�cando vx � t:

13.7512.511.25108.757.56.2553.752.51.250

50

45

40

35

30

25

20

15

10

50

Tiempo

Velocidad

Tiempo

Velocidad

e) La distancia máxima que los separa. Primera forma: Sea laposición del camión: xc = 20t y del auto: xa = 1:6t2, la diferencia es ladistancia que los separa, esto es:

�x = xc � xa = 20t� 1:6t2

derivando:�x0 = 20� 3:2t = 0

donde: t = 6:25 s. Reemplazando:

�x = 20 (6:25)� 1:6 (6:25)2 = 62:5 m

Segunda forma: La condición es que las velocidades en el momento dela máxima distancia que los separa son iguales, es decir, la velocidad del

3

camión v = 20 m/s y la del auto v = 3:2t. Esto es:

20 = 3:2t

t = 6:25 s

la diferencia de las posiciones:

xc = 20 (6:25) = 125 m

xa = 1:6 (6:25)2= 62:5 m

la diferencia xc � xa = 125� 62:5 = 62:5 m.

4. Si una pulga puede saltar 0:440 m hacia arriba, ¿qué rapidez tiene alsepararse del suelo? ¿Cuánto tiempo está en el aire?

Solución. Sea la ecuación de movimiento de la pulga:(y = v0t�

1

2gt2 (1)

v = v0 � gt (2)

Para hallar la máxima altura alcanzada por la pulga debemos igualar lavelocidad a cero:

v0 � gt = 0

t =v0g

reemplazando en (1) :

y = v0

�v0g

�� 12g

�v0g

�2y =

v20g� v202g

y =v202g

reemplazando nuestro dato y = 0:440 m. y despejando v0 :

v0 =p2gy =

p2 (9:81) (0:440) = 2:938 2 m/s

: 2: para hallar el tiempo de vuelo de la pulga, igulalando (1) a cero:

v0t�1

2gt = 0

reemplazando nuestros datos:

2:938 2t� 4:9t2 = 0

4

resolviendo la ecuación: t1 = 0 s y t2 = 0:599 63 s. La grá�ca y � t:

0.6250.50.3750.250.1250

0.5

0.375

0.25

0.125

0

Tiempo

Altura

Tiempo

Altura

5. El tripulante de un globo aerostático, que sube verticalmente con velocidadconstante de magnitud 5 m/s, suelta un saco de arena cuando el globo está40 m sobre el suelo.

El saco está en caída libre. a) Calcule la posición y velocidad del saco a0:250 s y 1 s después de soltarse, b) ¿Cuánto tardará el saco en chocar conel suelo? c) ¿Con qué rapidéz chocará? d) ¿Qué altura máxima alcanzael saco sobre suelo? e) Dibuje las grá�cas: ay � t, vy � t y y � t para elmovimiento:

Solución. La ecuación de movimiento:�y = 40 + 5t� 4:9t2 (1)v = 5� 9:8t (2)

5

La grá�ca: a) para t = 0:250 s:

y = 40 + 5 (0:250)� 4:9 (0:250)2 = 40:944 mv = 5� 9:8 (0:250) = 2:55 m/s

y para t = 1 s:

y = 40 + 5 (1)� 4:9 (1)2 = 40:1 mv = 5� 9:8 (1) = �4: 8 m/s (de bajada)

b) Cuando llega al suelo y = 0, esto es:

40 + 5t� 4:9t2 = 0

resolviendo la ecuación, el tiempo de vuelo:

t1 = 3: 412 5 s

y t2 = �2: 392 1 s se rechaza.c) La velocidad �nal:

v = 5� 9:8 (3:412 5) = �28:443 m/s

d) La altura máxima alcanzada es cuando v = 0, esto es:

0 = 5� 9:8t =) t = 0:510 2 s.

reemplazando en (1) :

y = 40 + 5 (0:5102)� 4:9 (0:5102)2 = 41:276 m.

e)

43210

10

7.5

5

2.5

0

Tiempo

Aceleración

Tiempo

Aceleración

10.90.80.70.60.50.40.30.20.10

5

4

3

2

1

0

­1

­2

­3

­4

­5

Tiempo

Velocidad

Tiempo

Velocidad

Grá�ca ay � t Grá�ca: vy � t

6

Grá�ca: y � t

6. Suponga que g fuera sólo 0:98 m/s2 en lugar de 9:8 m/s2, pero que nocambiaran las velocidades iniciales con que podemos saltar hacia arriba olanzar pelotas: a) Calcule la altura hasta la que podría saltar verticalmenteestando parado si puede saltar 0:75 m con g = 9:8 m/s2. b) ¿Qué tan altopodría lanzar una bola si la lanza 18 m hacia arriba con g = 9:8 m/s2 c)Calcule la altura máxima de una ventana desde la que saltaría a la acerasi con g = 9:8 m/s2 se atreve a saltar desde 2 m, la altura normal de unaventana de primer piso.

Solución. a) Sea la ecuación de posición y velocidad:�y = v0t� 4:9t2 (1)v = v0 � gt (2)

la altura máxima alcanzada está dado por:

y =v202g

si y = 0:75 mv0 =

p2 (9:8) (0:75) = 3:8341 m/s

la altura para g = 0:98 m/s2

y =v202g=(3:8341)

2

2 (0:98)= 7:5002 m

b) Para 18 m y g = 9:8 m/s2

v0 =p2 (9:8) (18) = 18:783 m/s

la altura cuando g = 0:98 m/s2:

y =v202g=(18:783)

2

2 (0:98)= 180 m

:

7