Sistemas lineales invariantes en el tiempo caracterizados por ecuaciones en diferencias de coeficientes constantes.1

Suponga que tenemos un sistema recursivo definido mediante la siguiente ecuación de entrada-salida:

y [n ]=ay [n−1 ]+ x [n ] (1)

donde a es una constante. La Figura 1 muestra el diagrama de bloques del sistema.

Figura 1. Diagrama de bloques de un sistema recursivo simple.

Supongamos ahora que aplicamos una señal de entrada x[n] al sistema paran≥0. No vamos a hacer suposiciones acerca de la señal de entrada para n < 0, pero supondremos que existe una condición inicial y[−1].

Dado que (1) describe la salida del sistema implícitamente, debemos resolver esta ecuación para obtener una expresión explícita para la salida del sistema. Suponga que calculamos valores sucesivos de y(n) paran≥0, comenzando por y(0). Por tanto:y [0 ]=ay [−1 ]+x [0 ]y [1 ]=ay [0 ]+x [1 ]=a2 y [−1 ]+ax [0 ]+ x [1 ] y [2 ]=ay [1 ]+x [2 ]=a3 y [−1 ]+a2 x [0 ]+ax [1 ]+x [2 ]

.

.-

y [n ]=ay [n−1 ]+ x [n ] =an+1 y [−1 ]+an x [0 ]+an−1 x [1 ]+ ...+ax [n−1 ]+x [n ]

de manera más compacta:

y [n ]=an+1 y [−1 ]+∑k=0

n

bk x (n−k ) , n>0 (2)

La respuesta y[n] del sistema, como se especifica en el lado derecho de la expresión (2), consta de dos partes. La primera, que contiene el término y[−1] es un resultado de la condición inicial y[−1] del sistema. La segunda parte es la respuesta del sistema a la señal de entrada x[n].

Si el sistema está inicialmente en reposo en el instante n = 0, entonces su memoria (es decir, la salida del elemento de retardo debe ser cero. Por tanto, y[−1] = 0. Luego un sistema recursivo está en reposo si se inicia con condiciones iniciales nulas. Puesto que la memoria del sistema describe, en cierto sentido, su “estado,” decimos que el sistema está en el estado cero y su salida correspondiente se denomina respuesta para el estado cero y se designa mediante y zs. Obviamente, la respuesta para el estado cero del sistema definido por (1) está dada por:

y zs [n ]=∑k=0

n

bk x (n−k ) ,n>0 (3)

Supongamos ahora que el sistema descrito por (1) no está inicialmente en reposo [es decir, y [−1 ]=0 y que la entrada esx [n ]=0 para todo n. Por tanto, la salida del sistema para una entrada igual a cero es la respuesta para la entrada nula o respuesta natural y se designa por y zi [n ]..A partir de (1), conx [n ]=0 para −∞<n<∞, obtenemos:

y zi (n )=an+1 y [−1 ] , n≥0 (4)

Observe que un sistema recursivo con una condición inicial distinta de cero no está en reposo en el sentido de que puede generar una salida sin haber sido excitado. Observe que la respuesta a la entrada nula se debe a la memoria del sistema.

En resumen, la respuesta a la entrada nula se obtiene haciendo nula la señal de entrada, lo que implica que es independiente de la entrada. Sólo depende de la naturaleza del sistema y de la

condición inicial. Por tanto, la respuesta a la entrada nula es una característica del propio sistema y se conoce también como respuesta natural o libre del sistema. Por otro lado, la respuesta a la entrada nula depende de la naturaleza del sistema y de la señal de entrada. Dado que esta salida es una respuesta forzada por la señal de entrada, normalmente se conoce como respuesta forzada del sistema. En general, la respuesta total del sistema puede expresarse como y [n ]= y zi [n ]+ yzs [n ] .

El sistema descrito por la ecuación en diferencias de primer orden (1) es el sistema recursivo más simple posible dentro de la clase general de sistemas recursivos descritos mediante ecuaciones en diferencias lineales y coeficientes constantes. La forma general para tal ecuación es:

y [n ]=−∑k=1

N

ak y (n−k )+∑k=0

n

bk x (n−k ) (5)

El entero N define el orden de la ecuación en diferencias del sistema. La Ecuación (5) expresa la salida del sistema en el instante “n” directamente como una suma ponderada de salidas pasadas y[n−1], y[n−2]. . . . . y[n−N], así como las muestras de las señales de entrada pasadas y presentes. Observe que con el fin de determinar y[n] paran≥0, necesitamos la entrada x[n] para todo n≥0 y las condiciones iniciales y[−1], y[−2], . . . , y[−N]. En otras palabras, las condiciones iniciales resumen todo lo que necesitamos saber sobre la historia pasada de la respuesta del sistema para calcular las salidas actual y futuras.

Como hemos visto, un sistema recursivo puede estar en reposo o no, dependiendo de las condiciones iniciales. Por tanto, las definiciones de estas propiedades tienen que tener en cuenta la presencia de las condiciones iniciales.

Un sistema es lineal si satisface los tres requisitos siguientes:

1. La respuesta total es igual a la suma de las respuestas a la entrada nula y en estado cero,es decir, y [n ]= y zi [n ]+ yzs [n ] .

2. El principio de superposición se aplica a la respuesta para el estado nulo (lineal para el estado nulo).

3. El principio de superposición se aplica a la respuesta a la entrada nula (lineal para la entrada nula).

Un sistema que no satisfaga los tres requisitos es por definición no lineal.

Desarrollo:

1. En la Figura 2 y 3 se puede observar la gráfica que corresponde a la función que caracteriza al sistema correspondiente.

Figura 2. Respuesta al impulso de

y [n ]=x [n ]+ 12y [n−1 ]

Figura 3. Respuesta al impulso de

y [n ]=x [n ]+ 56y [n−1 ]− 1

6y [n−2 ]

2. En la Figura 4 y 5 se gráficaron las respuestas al escalon, de los sistemas que se corresponde al ejercicio.

Figura 4. Respuesta al escalón de

y [n ]=x [n ]+ 12y [n−1 ]

Figura 5. Respuesta al escalón de

y [n ]=x [n ]+ 56y [n−1 ]− 1

6y [n−2 ]

3. En las Figuras 6 y 7 se observa la respuesta de nuestros sistemas a una entrada definida.

Figura 6. Respuesta dey [n ]=x [n ]+ 12y [n−1 ]a

x [n ]=[ 13 ]2

u [n ]

Figura 7. Respuesta de

y [n ]=x [n ]+ 56y [n−1 ]− 1

6y [n−2 ]a

x [n ]=[ 12 ]2

u [n ]

4.En las figuras siguientes se han dibujado la respuesta natural de nuestros sistemas con condiciones iniciales diferentes de 0.

Figura 8. Resp. a la entrada nula

y [n ]=x [n ]+ 12y [n−1 ] , y [−1 ]=1

Figura 8. Resp. a la entrada nula

y [n ]=x [n ]+ 12y [n−1 ] , y [−1 ]=1 , y [−2 ]=0