I. INTRODUCCIN

Las poblaciones de un animal depredador y su presa estn relacionadas de algn modo en el que si una aumenta, la otra lo hace tambin. Utilizaremos como ejemplo un ecosistema aislado y formado por leones y cebras que viven en armona, es decir, los leones comindose a las cebras. Imaginemos que por cualquier circunstancia, por ejemplo, por disponer de mayor cantidad de alimento, aumenta la poblacin de cebras; los leones dispondrn de ms alimento y su poblacin aumentar, pero qu ocurrir a partir de este momento? Si la poblacin de leones llega a ser demasiado grande para el nmero de cebras en nuestra sabana, podran acabar con todas, provocando su propia extincin por inanicin. Pero incluso si el festn no es tan grande como para comerse todas las cebras, pero s para dejar una poblacin muy mermada, probablemente los leones tendrn que pasar hambre una buena temporada y algunos de ellos morirn hasta que las cebras tengan tiempo suficiente para reproducirse y volver a ser pasto de los leones. (DIAZ-PINEDA, F. 1989)

Las ecuaciones de Lotka-Volterra son un modelo biomatemtico que pretende responder a estas cuestiones prediciendo la dinmica de las poblaciones de presa y depredador bajo una serie de hiptesis.En el presente informe se presentarn ejercicios en base a un modelo continuo de depredador-presa con la ayuda de un software Populus 5.4 aplicando los principios de Lotka-Volterra.

1.1 OBJETIVO

Construir curvas del modelo continuo de un sistema depredador presa utilizando el software Populus.II. REVISIN LITERARIA

2.1 MODELO LOTKA-VOLTERRA

Hay muchas situaciones en la naturaleza donde una especie animal se alimenta de otra, la cual a su vez se alimenta de otras cosas, ejemplo:Los zorros se alimentan de conejos, los cuales a su vez se alimentan de zanahorias. En este caso los zorros se denominan depredadores y los conejos sern las presas.Tericamente, el depredador puede destruir toda la presa, de modo que esta ltima llegue a extinguirse. Sin embargo, si esto ocurre esta tambin se extinguir, puesto que depende de la presa para su existencia.De esta forma se desarrolla un ciclo en el cual la presa puede ser abundante y los depredadores pocos, y luego, debido a la abundancia de presa, la poblacin de depredadores aumenta, disminuyendo la primera, y el ciclo continua. (GRANDT E., et al. 2001)

Figura N1. Modelo Lotka-Volterra

2.1.1 PRINCIPIOS DEL DEPREDADOR-PRESA

El ecosistema est aislado: no hay migracin, no hay otras especies presentes, no hay plagas, etc.

La poblacin de presas en ausencia de depredadores crece de manera exponencial: la velocidad de reproduccin es proporcional al nmero de individuos. Las presas slo mueren cuando son cazadas por el depredador.

La poblacin de depredadores en ausencia de presas decrece de manera exponencial.

La poblacin de depredadores afecta a la de presas hacindola decrecer de forma proporcional al nmero de presas y depredadores (esto es como decir de forma proporcional al nmero de posibles encuentros entre presa y depredador).

La poblacin de presas afecta a la de depredadores tambin de manera proporcional al nmero de encuentros, pero con distinta constante de proporcionalidad (depender de cuanto sacien su hambre los depredadores al encontrar una presa). (GRANDT E., et al. 2001)

2.1.2 MODELO MATEMTICO

Un problema importante en la ecologa es investigar la cuestin de coexistencia de las dos especies, y decidir lo que debera hacer la humanidad, si algo puede, para preservar el balance ecolgico. Para responder esto y otras cuestiones relacionadas, es natural buscar una formulacin matemtica de este problema DEPREDADOR-PRESA. (SAEZ A. 2015)

El modelo de competencia fue desarrollado por los ecolgicos matemticos Alfred Lotka y Vito Volterra. Supongamos que tenemos dos poblaciones, N1 y N2, con generaciones continuas. Supongamos tambin que estas poblaciones crecen segn el modelo logstico. As, podemos describir su dinmica en funcin del tiempo con dos ecuaciones diferenciales:

Esta pequea comunidad ecolgica estar en equilibrio cuando = = 0. Esto ocurrira cuando r=0 o N=0 para algunas de las especies, o el caso ms interesante en que y .

Estas dos ecuaciones definen dos rectas, las isoclinas de crecimiento cero. Dependiendo de los valores de, , y hay tres posibles resultados de la competencia por los recursos en esta pequea comunidad ecolgica:

La especie 1 sobrevive y la especie 2 se extingue. La especie 2 sobrevive y la especie 1 se extingue. Las dos especies coexisten en un equilibrio estable.

Para encontrar las isoclinas de crecimiento cero, primero suponemos que la tasa de crecimiento poblacional se hace cero. Se har primero para la especie 1:

O reordenando

Donde es la densidad de la especie 1, es la capacidad de carga ambiental de la especie 1, es la tasa intrnseca de crecimiento, es el coeficiente de competencia que indica el efecto de inhibitorio de un individuo de la especie 2 sobre la tasa de crecimiento de la especie 1, es el coeficiente de competencia que indica el efecto inhibitorio de un individuo de la especie 1 sobre la tasa de crecimiento de la especie 2. (BEGON, M., HARPER)

Esto es cero y De esta ltima igualdad deducimos que cuando , y con eso tenemos la interseccin de la isclina de la especie 1 en el eje de . Por otro lado de la misma igualdad deducimos que cuando , y con esto tenemos la interseccin de la isclina de la especie 1 con el eje de . Del mismo modo se puede obtener la isclina de crecimiento cero para la especie 2. (BEGON M., HARPER J.L. Y TOWSEND C.R. 1999.)

Isoclinas de crecimiento cero para dos especies que compiten segn el modelo de competencide Lotka-Volterra.Ahora que tenemos las isoclinas de crecimiento cero para las dos especies podemos superponerlas para encontrar las condiciones de coexistencia. Las especies slo coexistirn cuando K1 = k2 / y K2 = k1 /. En otras combinaciones de parmetros, una de las especies siempre excluir a la otra. Es decir, que para que las especies coexistan, la capacidad de carga propia de la especie debe ser menor que el equivalente en individuos de la otra especie. Esto quiere decir que paraque ocurra la coexistencia la regulacin intraespecca debe ser ms fuerte que la impuesta por la competencia interespecca.Del anlisis podemos deducir las siguientes condiciones de coexistencia:

Coexistencia estable : < K1 / K2 < 1 / Coexistencia estable : > K1 / K2 > 1 / Gana la especie 1 : < K1 / K2 > 1 / Gana la especie 2 : > K1 / K2 < 1 /

2.2 EL PRINCIPIO DE EXCLUSION COMPETITIVA (GAUSE 1934)

El principio de exclusin competitiva, a veces referido como la ley de exclusin competitiva o simplemente la ley de Gause de Gause, es una propuesta que establece que dos especies que compiten por los mismos recursos no pueden coexistir si otros factores ecolgicos son constantes. Cuando una especie tiene la ms mnima ventaja o ventaja sobre otra, entonces el uno con la ventaja dominar en el largo plazo. Uno de los dos competidores que siempre superar la otra, que conduce a la extincin de este competidor o un cambio evolutivo o de comportamiento hacia un nicho ecolgico diferente.

2.2.1 BASES EXPERIMENTALES

Basndose en las observaciones de campo, Joseph Grinnell formul el principio de exclusin competitiva en 1904: "Dos especies de aproximadamente los mismos hbitos alimenticios no son susceptibles de permanecer mucho tiempo igualado en nmero en la misma regin Uno desplazar a la otra.". Eclogo ruso Georgy Gause formul la ley de la exclusin competitiva basada en la competencia experimentos de laboratorio con dos especies de Paramecium, P. y P. aurelia condiciones caudatum.The eran aadir agua fresca todos los das y la entrada de un flujo constante de alimentos. Aunque P. caudatum dominado inicialmente, P. aurelia recuper y posteriormente condujo P. caudatum extinguido mediante competicin por los recursos de explotacin. Sin embargo, Gause fue capaz de dejar que el caudatum P. sobrevivir por diferentes parmetros ambientales. Thusly, la ley Gause es vlida slo si los factores ecolgicos son constantes. Gause tambin estudi la competencia entre dos especies de levadura, Saccharomyces cerevisiae y Schizosaccharomyces kfir, y se ha encontrado que Schizosaccharomyces kfir outcompeted consistentemente Saccharomyces cerevisiae mediante la produccin de una mayor concentracin de alcohol etlico. (UPRM. 2013)

2.2.2 PREDICCIN

La exclusin competitiva es predicho por una serie de modelos matemticos y tericos, tales como los modelos de Lotka-Volterra de la competencia. Sin embargo, por razones poco conocidas, la exclusin competitiva se observa raramente en los ecosistemas naturales, y muchas comunidades biolgicas parecen violar la ley de Gause. El ejemplo ms conocido es la paradoja del plancton. Todas las especies de plancton viven en un nmero muy limitado de los recursos, principalmente la energa solar y minerales disueltos en el agua. De acuerdo con el principio de exclusin competitiva, slo un pequeo nmero de especies de plancton debe ser capaz de coexistir en estos recursos. Sin embargo, un gran nmero de especies de plancton coexisten en pequeas regiones de mar abierto. Algunas comunidades que sostienen la exclusin competitiva son currucas de MacArthur y los pinzones de Darwin.

Figura N2. Principio de la exclusin competitiva en P.aurelia y P.caudatum

2.3 COMPETENCIA

A diferencia de la depredacin, la competencia es una interaccin entre organismos difcil de detectar,esta se genera porque los individuos requieren el mismo recurso para asegurar su sobrevivencia o su reproduccin, esta lucha conduce a que por lo menos uno de los organismos participantes reduzca su probabilidad de subsistir o de dejar descendencia. (UNAL. 2012)

2.3.1 CARACTERSTICAS IMPORTANTES DE LA COMPETENCIA

Independientemente de que la competencia sea intra o interespecfica todas las interacciones competitivas comparten cuatro importantes caractersticas:

El efecto ltimo de la competencia es siempre reducir la contribucin de los individuos de una generacin a la siguiente (ntese que atendiendo solo a esta caracterstica, fenmenos de interferencia como los de interferencia mutua deberan ser considerados genuinamente competitivos). Este efecto puede ser directo (machos peleando por una hembra), o indirecto (la competencia por nutrientes o espacio puede tener efectos negativos sobre la fecundidad).

Principio: cuando la competencia es por y por lo tanto sus efectos ocurren a travs de un recurso, dicho recurso estar siempre en disponibilidad limitada. Dicho de otro modo, los organismos compiten siempre por recursos que no son abundantes; dos organismos que explotan recursos similares no competirn si dichos recursos son superabundantes.

La tercera caracterstica de la competencia es la reciprocidad: los individuos que compiten en una poblacin han de ser esencialmente equivalentes (en contraste con lo que sucede con las relaciones depredador/presa donde el depredador es inherentemente el que infringe el efecto negativo y la presa la que lo sufre).

Los efectos de la competencia son dependientes de la densidad. En efecto, las consecuencias de la competencia sobre cualquier individuo (i. e. las posibilidades de que cualquier individuo se vea afectado adversamente) sern mayores cuanto mayor sea el nmero de competidores presentes. Dicho de otro modo: los efectos de la competencia son dependientes de la densidad debido a que la probabilidad de que cualquier individuo se vea afectado adversamente aumenta con el nmero de competidores. (BEGON, M. 1999)

2.3.2 COMPETENCIA INTRAESPECFICACuando una poblacin se aglomera (llega a la capacidad de carga del ambiente en el que habita) y los recursos comienzan a escasear las poblaciones pueden implementar alguna de las siguientes estrategias. La primera de ellas consiste en repartir los recursos entre los individuos de la poblacin hasta que estos se agoten del todo. La segunda implica competir de manera directa por el recurso, de manera que los individuos ms fuertes tendrn acceso al recurso limitante, asegurando su reproduccin, mientras que aquellos ms dbiles al no acceder al recurso morirn sin dejar descendencia.En el primero de los casos la poblacin llega de manera irremediable a la extincin, mientras que en el segundo la poblacin mantiene su nmero estable en la capacidad de carga. (STILING, 1999)

Figura N3. Competencia intraespecfica entre alces

2.3.3 COMPETENCIA INTERESPECFICA

Cuando dos especies compiten puede que coexistan en el ambiente o que una especie excluya a la otra del mismo, segn Gause las especies podrn coexistir slo si los recursos mnimos que necesitan para subsistir, o la manera de aprovechar dichos recursos se diferencian, si estos no lo hacen, el competidor ms fuerte ocupar por completo el nicho del competidor ms dbil conllevando a la exclusin de este ltimo del ambiente.La relacin en la cual, las poblaciones de ambas especies asociadas se ven afectadas negativamente. (STILING, 1999)

Figura N4. Competencia interespecfica entre guepardo y un venado

2.3.4 COMPETENCIA POR EXPLOTACION O INTERFERENCIALa competencia por explotacin se da cuando los organismos requieren un recurso limitado, por lo cual si un individuo consume una parte de dicho recurso, los dems no dispondrn de ella para suplir sus necesidades.La competencia por interferencia se da cuando un individuo impide realmente el acceso al recurso de otro organismo. Un ejemplo de competencia por interferencia son aquellos animales que luchan de manera directa con otros por un territorio. (STILING, 1999)

III. MATERIALES Y METODOS

3.1 LUGAR DE EJECUCIN

El presente trabajo fue realizado en el laboratorio de ecologa de la Universidad Nacional Agraria de la Selva.

3.2 MATERIALES

Cuaderno de apuntes Proyector multimedia

3.3 SOFTWARE

Pupulus 5.4

3.4 METODOLOGA

En el softward Populus ingrese al men dinamica multiespecifica y seleccionar competencia de Lotka Volterra y luego N vs t.

Asignar los valores de los parametros antes indicados para las especies 1 y 2 a la vez. Interpretar

3.4.1 ESQUEMA A UTILIZAR

Figura N4. Esquema del software populus para el modelo de Lotka-Volterra

Donde:

Po = Nmero de depredadores.d2 = tasa de mortalidad por inanicin del depredador.g = constante que define la conversin de presa a depredador.No= Numero de presas.R1 = tasa intrnseca de crecimiento de la presa.C= Constante relativa a la habilidad de escape de la presa y el nmero de presas que el depredador puede capturar en un periodo establecido.

IV. RESULTADOS

4.1 Para el ejercicio 1, asignamos los parmetros del cuadro 1 para especie 1 y especie 2.

Cuadro N1. Parmetros para el ejercicio 1

DepredadorPresa

Po10

d20.6

g0.5

No15

r10.9

C0.1

Resultados de Lotka Volterra (Depredador Presa): Tiempo de trayectoria

DepredadorTiempo (t) N

0.0, 10.0,0.2, 10.2877128,0.4642951058, 10.61804723,0.7541336736, 10.89241817,1.020365492, 11.04727436,1.268584643, 11.10138673,1.509342548, 11.07136255,1.748652055, 10.96660447,1.990960502, 10.7937446,2.240565741, 10.55777606,2.5026966, 10.26187931,2.785456819, 9.905732656,3.105026939, 9.479999565,3.432718068, 9.04143518,3.764226584, 8.61662903,4.081049268, 8.243818314,4.382409751, 7.929857505,4.678096791, 7.66786684,4.972713849, 7.458042593,5.268765083, 7.303638158,5.567760117, 7.209622994,5.865511568, 7.182027388,6.166057506, 7.224950566,6.474730163, 7.34665478,6.783373004, 7.54941056,7.088822695, 7.829829934,7.388462247, 8.178034043,7.669348938, 8.561771566,7.926893797, 8.950642465,8.173071345, 9.341247799,8.4153514, 9.727264314,8.65964778, 10.09943986,8.912562831, 10.44592354,9.184321238, 10.75136602,9.466869167, 10.97451306,9.723506165, 11.08224646,9.967504308, 11.0978993,10.20702229, 11.03405793,10.44713532, 10.89863346,10.69209659, 10.69749185,10.94646218, 10.43491377,11.21636884, 10.11289912,11.51262945, 9.728021025,11.83610772, 9.293524972,12.16614527, 8.857488833,12.4974623, 8.44627878,12.80600525, 8.10045262,13.10409461, 7.809425914,13.39891659, 7.569904064,13.69392053, 7.383706387,13.99111345, 7.254917693,14.2892879, 7.189339637,14.58760528, 7.191594212,14.89135652, 7.267481718,15.20037853, 7.424096182,15.50804123, 7.661118007,15.81121817, 7.972277112,16.10801521, 8.345411214,16.37690575, 8.73193071,16.62831279, 9.122096955,16.8720152, 9.511665081,17.11445678, 9.89289465,17.36160368, 10.25542913,17.62111936, 10.58607091,17.90706428, 10.86720632,18.1759861, 11.0350376,18.42560384, 11.09967,18.66686197, 11.07876628,18.90609824, 10.98222976,19.14784912, 10.81691906,19.39637798, 10.58800503,19.65673801, 10.29892178,19.93652646, 9.94993382,20.25148658, 9.531938982,20.57840797, 9.093490906,20.90977723, 8.665650429,21.22958911, 8.28471897,21.53214327, 7.964319973,21.82819913, 7.696243769,22.12278675, 7.480105119,22.41857368, 7.31889778,22.71716538, 7.217419274,23.01490908, 7.181725325,23.31482071, 7.215872247,23.62331213, 7.328085173,23.93211568, 7.52132753,24.23810417, 7.792984861,24.53850934, 8.133882149,24.82335454, 8.517023256,25.08291323, 8.905504261,25.32996451, 9.296165555,25.57238616, 9.683138572,25.81614304, 10.05746791,26.06764885, 10.40762619,26.33644387, 10.71876122,26.62334914, 10.95679611,26.88214319, 11.07548976,27.12700779, 11.1001737,27.36673211, 11.04433364,27.60657675, 10.91618888,27.85082201, 10.72177909,28.10394253, 10.46556402,28.37181698, 10.14986506,28.66446646, 9.772161313,28.98704049, 9.339368379,29.31659757, 8.902245013,29.64805834, 8.487320516,29.95833734, 8.13510584,30.25710005, 7.838452697,30.55207173, 7.593320116,30.84694139, 7.401181907,31.14382735, 7.265931118,31.44220507, 7.193213692,31.74029931, 7.187948939,32.04310482, 7.255432956,32.35208803, 7.40328022,32.6600542, 7.631807749,32.96384108, 7.935467819,33.2613501, 8.302622723,33.53292787, 8.68840354,33.78570367, 9.078292122,34.02991819, 9.468258973,34.27221311, 9.850892536,34.51850539, 10.21611897,34.77612813, 10.55110594,35.05792378, 10.83888642,35.32995245, 11.02077892,35.58119592, 11.09666838,35.82306381, 11.08544817,36.06228619, 10.99761481,36.30351266, 10.84028073,36.55098451, 10.61880216,36.80959344, 10.33686097,37.086471, 9.995265435,37.39569668, 9.586836895,37.72175129, 9.148911767,38.05287777, 8.718245255,38.37627808, 8.328308675,38.68025658, 8.001050486,38.97676836, 7.726624797,39.27136402, 7.503944473,39.56689895, 7.335711926,39.8650827, 7.226537925,40.16287585, 7.182465975,40.46222624, 7.20759761,40.76950835, 7.309544999,41.07843555, 7.492613056,41.3849537, 7.754791182,41.68615984, 8.087684708,41.97561877, 8.470347053,42.2374982, 8.858438609,42.48556954, 9.249073733,42.72822162, 9.636916768,42.97150435, 10.01333009,43.22166832, 10.36711366,43.48763933, 10.68390063,43.74845669, 10.91598464,44.01011839, 11.05748038,44.25708494, 11.10199816,44.49744604, 11.06362631,44.73687457, 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Presa

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14.5455946, 43.48763933, 13.96500894, 43.74845669, 13.32208196, 44.01011839, 12.64458569, 44.25708494, 12.00937774, 44.49744604, 11.42116619, 44.73687457, 10.88368086, 44.97974949, 10.40131618, 45.23041244, 9.978765352, 45.49427564, 9.621615471, 45.77997507, 9.337882288, 46.10052652, 9.145119786, 46.42886799, 9.08062121, 46.76042731, 9.145941889, 47.07496419, 9.323415954, 47.37541165, 9.593002984, 47.67082961, 9.948507935, 47.96549939, 10.38668206, 48.26179537, 10.90371866, 48.56070562, 11.49199992, 48.85851278, 12.12928342, 49.15967774, 12.80411464, 49.46847735, 13.49766014, 49.77694639, 14.15344116, 50.08190551, 14.72057241, 50.38088357, 15.15211894, 50.65864187, 15.40479699, 50.91458543, 15.48660529, 51.16008211, 15.41666246, 51.40230136, 15.20392552, 51.64713539, 14.85330343, 51.90137817, 14.3661805, 52.17593868, 13.73520929, 52.45499369, 13.02853967, 52.70986526, 12.36651151, 52.9531561, 11.75107366, 53.19253484, 11.18410506, 53.43293058, 10.66971708, 53.678582, 10.2124088, 53.9341302, 9.817140701, 54.20597095, 9.490270491, 54.50573332, 9.241844283, 54.83000409, 9.102190923, 55.16042506, 9.092412842, 55.49155791, 9.210612096, 55.79865149, 9.429370608, 56.09618901, 9.736639758, 56.39090706, 10.12833053, 56.68605498, 10.60124371, 56.98354282, 11.15061828, 57.2815621, 11.76145684, 57.58013773, 12.4163313, 57.88486075, 13.10392847, 58.193888, 13.78725534, 58.50123505, 14.41117855, 58.80382538, 14.92513944, 59.09996687, 15.2869397, 59.36652906, 15.46066726, 59.61676054, 15.4736567, 59.86005348, 15.33960082, 60.0, 15.19787145,

Figura N5. Datos insertados en el software populus

Figura N6. Grfica obtenida del software populus en funcin al depredador y la presa en un tiempo de 60 aos

Entre ambas especie existen una competencia inter-especifica, ya que se encuentran en un mismo ecosistema. De la figura N6 podemos observar que cuando la presa decae en su nmero poblacional tambin lo hace el depredador y lo mismo sucede cuando la presa aumenta su nmero poblacional tambin aumenta la del depredador y esa relacin se mantiene en el transcurso del tiempo.

4.2 Para el ejercicio 2, asignamos los parmetros del cuadro 2 para especie 1 y especie 2.

DepredadorPresa

Po10

d20.8

g0.5

No15

r10.9

C0.2

Cuadro N2. Parmetros para el ejercicio 2

Resultados de Lotka Volterra (Depredador Presa): Tiempo de trayectoriaDepredadorTiempo(t) N0.0, 10.0, 0.09672966814, 10.61813677, 0.2078761512, 11.16332788, 0.3198126893, 11.51653462, 0.4290492624, 11.67317258, 0.5309113781, 11.66608602, 0.6307016196, 11.53562176, 0.7314107388, 11.30214489, 0.8352714077, 10.97764606, 0.9446557047, 10.56831899, 1.062850249, 10.07358401, 1.195973883, 9.479052017, 1.346625502, 8.788710684, 1.507160264, 8.060094784, 1.659168672, 7.394800147, 1.805723898, 6.786082375, 1.952691367, 6.213249949, 2.102391775, 5.671021869, 2.256208668, 5.157864859, 2.415174619, 4.673499539, 2.580189596, 4.218065474, 2.7521342, 3.791778386, 2.931928953, 3.394821284, 3.120538576, 3.027386764, 3.318889284, 2.689833403, 3.527637583, 2.382917592, 3.746730256, 2.107997967, 3.974840676, 1.86695251, 4.209150287, 1.661468075, 4.446094359, 1.491881263, 4.682777655, 1.356642936, 4.917873254, 1.253067474, 5.14074666, 1.181509362, 5.349345431, 1.137628281, 5.544862828, 1.117448898, 5.72906285, 1.118568894, 5.903633166, 1.140099019, 6.070043666, 1.182506857, 6.229593383, 1.247585044, 6.383527437, 1.338627083, 6.533198404, 1.460922741, 6.680310624, 1.622858482, 6.827417132, 1.838493195, 6.979415976, 2.135134553, 7.135162144, 2.541255711, 7.281858173, 3.045918117, 7.397531836, 3.546528728, 7.514065453, 4.15669873, 7.622640908, 4.828249001, 7.726380921, 5.56235626, 7.828270088, 6.361515153, 7.931173757, 7.225934322, 8.039099003, 8.157750931, 8.154626558, 9.127659055, 8.269633787, 10.00005126, 8.38861172, 10.74223107, 8.499352876, 11.24793518, 8.612330354, 11.56437692, 8.719517071, 11.68312886, 8.820626601, 11.64896114, 8.920405398, 11.49652182, 9.021573087, 11.24399888, 9.1263369, 10.90214934, 9.237177779, 10.47599239, 9.357720183, 9.96309333, 9.495253588, 9.343780727, 9.647639441, 8.644953152, 9.810600742, 7.909551534, 9.960604765, 7.25970997, 10.10695242, 6.659610242, 10.25436158, 6.093637368, 10.40485081, 5.557754694, 10.5596992, 5.05081705, 10.71989735, 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4.666923631, 29.85504853, 5.415872374, 30.06975321, 6.245954103, 30.27071858, 7.150025255, 30.4595926, 8.124452066, 30.63813235, 9.16658618, 30.80790292, 10.27329322, 30.97026564, 11.44017806, 31.12647187, 12.66128373, 31.27780438, 13.92912172, 31.42577594, 15.23497403, 31.57247944, 16.56963574, 31.72146718, 17.92590395, 31.88132444, 19.31254739, 32.0316186, 20.45727271, 32.15251949, 21.18452758, 32.27479177, 21.66327557, 32.38666034, 21.80628866, 32.49204293, 21.63029926, 32.59437557, 21.13780345, 32.69646972, 20.32035139, 32.80163249, 19.15653922, 32.9158954, 17.58360335, 33.03045895, 15.78791565, 33.14854413, 13.84209111, 33.26107099, 12.01942903, 33.37213684, 10.3412191, 33.48427101, 8.825058645, 33.58724659, 7.612110483, 33.68718108, 6.600259373, 33.78748738, 5.738317634, 33.89046301, 4.99708644, 33.99839312, 4.355458713, 34.11426809, 3.796026936, 34.24325317, 3.3017111, 34.39213939, 2.863564318, 34.55021762, 2.517135438, 34.70511877, 2.267274183, 34.85213545, 2.092845106, 34.99875797, 1.96652066, 35.14772094, 1.877302031, 35.30053792, 1.819450555, 35.45829394, 1.789904732, 35.62190605, 1.787413346, 35.79225237, 1.812231306, 35.97024208, 1.86609842, 36.1568335, 1.952403396, 36.35297475, 2.076472118, 36.55941155, 2.245869467, 36.77629448, 2.470453406, 37.00261836, 2.7617483, 37.23586728, 3.131468037, 37.47252532, 3.590205889, 37.70943894, 4.148015901, 37.94491255, 4.816823523, 38.1709088, 5.583591566, 38.38262443, 6.429611098, 38.58090463, 7.348678728, 38.76747003, 8.337526787, 38.94404832, 9.393499615, 39.11215767, 10.5132439, 39.27312663, 11.69204919, 39.42820006, 12.92362542, 39.5786897, 14.2001917, 39.72619233, 15.51284201, 39.87300121, 16.85246672, 40.02323092, 18.213162, 40.18129747, 19.55970404, 40.32979424, 20.64767006, 40.44770638, 21.30862625, 40.56703634, 21.71706106, 40.6772522, 21.79670315, 40.78180151, 21.55913437, 40.8838681, 21.00413762, 40.98626298, 20.12134747, 41.09256669, 18.88503786, 41.20896771, 17.2299293, 41.32362668, 15.40328668, 41.44372152, 13.42161331, 41.55511547, 11.63771297, 41.66700451, 9.982978557, 41.77633307, 8.545872723, 41.87823033, 7.382406506, 41.97802335, 6.405583085, 42.07871575, 5.571381994, 42.18254188, 4.852927248, 42.29187003, 4.23016629, 42.40997463, 3.686089073, 42.54293407, 3.202943506, 42.69351819, 2.785237502, 42.85395887, 2.455348346, 43.00605981, 2.225529125, 43.15262762, 2.062658607, 43.29957986, 1.944839053, 43.4492508, 1.862610253, 43.6030285, 1.810921277, 43.76194733, 1.787138874, 43.92690782, 1.790343353, 44.09879043, 1.821097723, 44.27851522, 1.881471122, 44.46704673, 1.975234466, 44.66531221, 2.108164261, 44.87397196, 2.288320766, 45.09298108, 2.525996983, 45.32102557, 2.832900443, 45.55529785, 3.220576004, 45.7922337, 3.699373491, 46.0289271, 4.27951113, 46.26403703, 4.973657365, 46.48703104, 5.758216103, 46.69574866, 6.62023963, 46.89137081, 7.554463996, 47.07566035, 8.557905797, 47.25030664, 9.627844171, 47.41678137, 10.76067345, 47.57638461, 11.9513519, 47.73036133, 13.19325398, 47.88006233, 14.47831651, 48.02718741, 15.79747899, 48.17427854, 17.14185472, 48.32619911, 18.50754123, 48.48203273, 19.80563137, 48.62879607, 20.83228057, 48.74455363, 21.42757598, 48.86119035, 21.76166636, 48.9698265, 21.77205797, 49.07359581, 21.46631447, 49.17548938, 20.84171078, 49.27836924, 19.88557169, 49.38622275, 18.56598134, 49.50177982, 16.87213712, 49.61676577, 15.01639328, 49.73588694, 13.05315746, 49.8466447, 11.30097238, 49.95957648, 9.665647051, 50.06683547, 8.293550096, 50.16797062, 7.172846039, 50.26774783, 6.227411591, 50.36889584, 5.418345369, 50.47362232, 4.720601228, 50.58440336, 4.114980689, 50.70484869, 3.584713067, 50.84219469, 3.110952591, 50.99450989, 2.712430599, 51.1573719, 2.398109847, 51.30744517, 2.185846812, 51.45379725, 2.033872901, 51.60118659, 1.924323129, 51.75164253, 1.849005214, 51.906448, 1.803489803, 52.06659515, 1.785550724, 52.23297269, 1.794596866, 52.40646621, 1.831507168, 52.58800725, 1.898696237, 52.77856316, 2.000339659, 52.97902954, 2.142687918, 53.18995919, 2.33430656, 53.41107998, 2.585895699, 53.64074927, 2.909272126, 53.87589655, 3.315753195, 54.11297898, 3.815492205, 54.34938641, 4.419001386, 54.58312247, 5.136421687, 54.80302854, 5.938488846, 55.00877457, 6.816473253, 55.20179151, 7.765901574, 55.38385744, 8.783986653, 55.55661726, 9.867889282, 55.72149821, 11.01372349, 55.87977703, 12.21610592, 56.0327062, 13.46807848, 56.18168687, 14.76131189, 56.32854417, 16.08663706, 56.47613034, 17.4355707, 56.63032872, 18.80730922, 56.78399975, 20.05223264, 56.91295342, 20.91904463, 57.02824129, 21.48339225, 57.1436592, 21.7791208, 57.2515487, 21.75298346, 57.35496084, 21.41097261, 57.45681497, 20.74917005, 57.56002279, 19.75353891, 57.66884407, 18.3880693, 57.78405633, 16.67393616, 57.89936513, 14.8021648, 58.01677127, 12.87024249, 58.12736196, 11.13265879, 58.24092963, 9.506619306, 58.34727408, 8.165700837, 58.44809213, 7.066084559, 58.54790329, 6.136455738, 58.6493242, 5.340131322, 58.75455998, 4.652907842, 58.86615542, 4.055982571, 58.98792723, 3.532650842, 59.12787665, 3.063247681, 59.28114944, 2.674745536, 59.44536123, 2.368569644, 59.59457075, 2.165074678, 59.74088862, 2.018796352, 59.88855881, 1.91365954, 60.0, 1.857668404,

Figura N7. Datos insertados en el software populus

Figura 8. Grfica obtenida del software populus en funcin al depredador y la presa en un tiempo de 60 aos

Semejante al caso anterior, ambas especies poseen competencia inter-especffica, sin embargo se diferencia del ejercicio anterior, que en sta competencia la poblacin de la presa crece rpidamente hasta cierto punto, aumentando tambin la poblacin del depredador, pero luego decae desproporcionalmente, esto se puede deber a que cuando la poblacin del depredador se est recuperando la presa tiene ms habilidad de escapar, adems de que la inanicin al morir tan rpido las presas proporciona un decaimiento en la poblacin del depredador.

V. DISCUSIN

La competencia tanto dentro de una especie como entre especies diferentes es un tema importante enecologa, especialmente de ecologa de comunidades. La competencia es uno de varios factoresbiticosyabiticosque afectan la estructura de lascomunidades ecolgicas. La competencia entre miembros de la misma especie se llama competencia intra-especfica y la que tiene lugar entre miembros de diferentes especies es competencia inter-especfica. La competencia no siempre es un fenmeno simple y directo y puede ocurrir en formas indirectas. Segn elprincipio de exclusin competitivalas especies menos aptas para competir deben adaptarse o, de lo contrario, se extinguen. De acuerdo a lateora de la evolucinla competencia dentro de una especie y entre especies juega un papel fundamental en laseleccin natural (GRANDT E., PEDERSEN E., MARN S. 2001.)Reafirmando lo que dice el autor comprobamos que la relacin entre una especie depredadora y otra presa es importante para mantener un equilibrio ecolgico, en los ejercicios anteriores se comprob que cuando la poblacin de una de las especies decae, la otra tambin y lo mismo sucede cuando una aumenta su poblacin la otra tambin lo hace. Sin embargo existen mltiples factores que estn involucrados dentro de est relacin ya sean climticos u otros. En el ejercicio 1 la relacin era equilibrada, las proporciones eran parecidad cuando aumentaban o disminuan las poblaciones, pero para el ejercicio 2 habia un incremente y a la vez una disminucin mucho ms grande para que las presas que para los depredadores, debindose al incremento de la tasa de la mortalidad para las presas y el incremento de la presa para escapar o el nmero de presas que un depredador pueda poseer.

VI. CONCLUSIONES

Se graficaron los sistemas de un modelo continuo depredador presa para los ejercicios 1 y 2 correspondientes a las figura N6 y la figura N8 respectivamente.

Se identific la diferencia entre ambos ejercicios siendo esta el crecimiento o la disminucin acelerada para el ejercicio 2 debido al incremento de la tasa de mortalidad de la presa y de la habilidad de espacar de las presas.

Se determin que en ambos ejercicios de competencia inter-especfica ambas poblaciones colaboran al equilibrio de su ecosistema y la preservacin de las especies.

VII. REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

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UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA DE LA SELVA

DEPARTAMENTO ACADMICO DE CIENCIAS AMBIENTALESECOLOGA APLICADA

MODELO CONTINUO DE UN SISTEMA DEPREDADOR-PRESAN3

APELLIDOS Y NOMBRES: FERNNDEZ ESCOBAR, ANGIE TATYANA CICLO : V

CDIGO: 0020130457

MAYO 2015