PRCTICA N 5REDES DE COMPENSACION MEDIANTE RESPUESTA EN FRECUENCIA1. OBJETIVO Conocer las diferentes tcnicas de compensacin de sistemas de control Realizar el control mediante respuesta en frecuencia para satisfacer las especificaciones de desempeo.2. FUNDAMENTO TEORICO Respuesta en frecuencia para diversos sistemas Mtodos de diseo de controladores mediante respuesta en frecuencia3. TRABAJO EXPERIMENTAL3.1. Considere el sistema de lazo abierto. Disee un compensador tal que la constante de error esttico de velocidad sea de 4 seg-1, el margen de fase sea de 50 y el margen de ganancia sea de 10 dB o ms.La funcin de transferencia en laso abierto:

La funcin de tf en laso cerrado:

Diagrama de bode

Respuesta en el tiempo

La red de atraso es:

Donde . Si definimos , entonces tendremos:La funcin de transferencia de lazo abierto del sistema compensado ser:

Donde:

Determinamos la ganancia para que cumpla la especificacin de desempeo en estado estable, o proporcione la constante de error esttico de velocidad requerida, para el ejemplo :

Donde , por lo tanto:

De donde obtenemos:

Con , el sistema compensado cumple el requerimiento en estado estable, verificando:

El paso siguiente es la grfica de las diagramas de Bode de

La siguiente figura, muestra las curvas de magnitud y de fase del sistema y de . A partir de estas diagramas, vemos que los mrgenes de fase y de ganancia del sistema son y , respectivamente. (Un margen de fase de implica que el sistema es muy oscilatorio. Por tanto, satisfacer la especificacin en estado estable produce un desempeo deficiente de la respuesta transitoria)

Diagramas de bode de , margen de fase

Segn las especificaciones de desempeo se requiere de un margen de fase sea al menos . Por tanto, resulta necesario encontrar el adelanto de fase adicional a fin de satisfacer el requerimiento de que la estabilidad relativa, para este ejemplo ser Si consideramos que la curva de magnitud del compensador en adelanto no modifica la curva de magnitud del sistema , asumimos que el requerimiento de ngulo es y se debe dar en . Por lo tanto tenemos:

Remplazando el valor de , obtenemos:

La frecuencia se selecciona como la frecuencia de cruce de ganancia. Esta frecuencia corresponde a:

Y el cambio de fase mximo ocurre en ella. Por lo tanto si:

Determinamos las frecuencias de esquina del compensador de adelanto: Cero:

Polo:

El compensador en adelanto queda determinado:

El valor de determinamos de la relacin :

La funcin de transferencia del compensador en adelanto es:

La grafica de bode del sistema, y del compensador se dan en la siguiente figura:

La funcin de transferencia del sistema compensado es:

Graficas de bode del sistema compensado:

Del diagrama de bode concluimos que por el efecto de la magnitud del compensador de adelanto no se cumple los requerimientos de margen de fase ().

Para obtener un margen de fase de sin disminuir el valor de K y considerando el aporte de magnitud del compensador; el compensador de adelanto debe contribuir al ngulo de fase requerido, tomando en cuenta que la adicin del compensador de adelanto modifica la curva de magnitud de las diagramas de Bode, vemos que la frecuencia de cruce de ganancia se mover hacia la derecha y disminuye el margen de fase, de la siguiente figura:

Considerando el cambio de la frecuencia de cruce de ganancia, suponemos que adelanto de fase mximo requerido, es de aproximadamente . (Esto significa que se han agregado para compensar el cambio en la frecuencia de cruce de ganancia; pudiendo ser entre 5 y 12)Por lo tanto tenemos:

Remplazando el valor de , obtenemos:

La modificacin de magnitud a la frecuencia por la inclusin de la red de adelanto se puede calcular:

Que en dB es igual a:

Determinar la frecuencia a la cual la magnitud del sistema no compensado es igual a la magnitud determinada previamente ()De la siguiente grafica de bode, podemos obtener que a la magnitud de tenemos a una frecuencia de

La frecuencia hallada se selecciona como la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Esta frecuencia corresponde a , y el cambio de fase mximo ocurre en ella. Por lo tanto si:

Determinamos las frecuencias de esquina del compensador de adelanto: Cero:

Polo:

El compensador en adelanto queda determinado:

El valor de determinamos de la relacin , donde:

La funcin de transferencia del compensador en adelanto es:

La grafica de bode del compensador, figura a.

Figura a.La grafica de Bode del sistema y del compensador, figura b.

Figura N b.La funcin de transferencia del sistema compensado es:

Graficas de bode del sistema sin compensar y compensado:

La respuesta ante una entrada escaln y rampa al sistema no compensado y compensado la hallamos a partir de las funciones de transferencia de lazo cerrado, las cuales se hallan: Sistema no compensado:Lazo abierto

Lazo cerrado

Sistema compensado:Lazo abierto

Lazo cerrado

La respuesta escaln del sistema sin compensar y compensado:

La respuesta ante una entrada rampa para los sistemas no compensado y compensado:

3.2. Disee un compensador de atraso-adelanto tal que la constante de error esttico de velocidad Kv sea de 20 seg-1, el margen de fase sea de 60 y el margen de ganancia no sea menor que 8 dB.

En la figura esta el diagrama de Bode para el sistema no compensado, la FT de lazo abierto del sistema :

Las especificaciones de desempeo para el sistema:

Constante de error esttico de velocidad sea de , Margen de fase sea de Margen de ganancia sea de Suponemos el compensador adelanto:

Para cumplir la constante de error esttico de velocidad sea de , hacemos:

Si definimos , constante del sistema:

La nueva FT que satisface los requerimientos de la constante de error esttico de velocidad, con el nuevo valor de es:

Verificando el cumplimiento de :

Los diagramas de bode para este nuevo valor de constante tenemos en la siguiente figura c. para la funcin de transferencia siguiente

Figura N c.La figura N 2.32, muestra las curvas de magnitud y de fase del sistema y de . A partir de estas diagramas, vemos que los mrgenes de fase y de ganancia del sistema son y , respectivamente.Segn las especificaciones de desempeo se requiere de un margen de fase de cuando menos . Por tanto, resulta necesario encontrar el adelanto de fase adicional a fin de satisfacer el requerimiento de que la estabilidad relativa, para este ejemplo ser Para obtener un margen de fase de sin disminuir el valor de K, el compensador de adelanto debe contribuir al ngulo de fase requerido. Tomando en cuenta que la adicin de un compensador de adelanto modifica la curva de magnitud de las diagramas de Bode, vemos que la frecuencia de cruce de ganancia se mover. Debemos compensar el incremento en el atraso de fase de , debido a este incremento en la frecuencia de cruce de ganancia. Considerando el cambio de la frecuencia de cruce de ganancia, suponemos que adelanto de fase mximo requerido, es de aproximadamente . (Esto significa que se han agregado para compensar el cambio en la frecuencia de cruce de ganancia; pudiendo ser entre 5 y 12)Por lo tanto tenemos:

Remplazando el valor de , obtenemos:

De donde obtenemos:

Lo que se modifica en la frecuencia por la inclusin de la red de adelanto se puede expresar:

Que en dB es igual a:

Determinar la frecuencia a la cual la magnitud del sistema no compensado es igual a la magnitud determinada previamente ()De la grafica de bode, figura d. podemos obtener que a la magnitud de tenemos a una frecuencia de

La frecuencia hallada se selecciona como la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Esta frecuencia corresponde a:

Y el cambio de fase mximo ocurre en ella. Por lo tanto si:

Determinamos las frecuencias de esquina del compensador de adelanto: Cero:

Polo:

El compensador en adelanto queda determinado:

El valor de determinamos de la relacin , si asumimos :

La funcin de transferencia del compensador en adelanto es:

La grafica de bode del sistema y compensador separados :

La grafica de Bode del sistema y del compensador:

La funcin de transferencia del sistema compensado es:

Graficas de bode del sistema compensado:

La respuesta ante una entrada escaln al sistema no compensado y compensado la hallamos a partir de las funciones de transferencia de lazo cerrado, las cuales se hallan: Sistema no compensado:Lazo abierto

Lazo cerrado

Sistema compensado:Lazo abierto

Lazo cerrado

La respuesta del sistema no compensado y del sistema compensado ambos en la misma grfica:

La respuesta ante una entrada rampa para los sistemas no compensado y compensad:

3.3. Disee un compensador de atraso-adelanto tal que la constante de error esttico de velocidad Kv sea de 10 seg-1, el margen de fase sea de 50 y el margen de ganancia no sea menor que 10 dB.

3.4. Proponer un programa en MATLAB que realice la compensacin para los casos Compensacin en adelantoclc, clear all,disp('===================================================================')disp(' INGRESO DE DATOS: ')disp('===================================================================')

num=input('Ingrese el Numerador: ');%den=conv([1 0],conv([1 1],[1 5]));den=input('Ingrese el Denominador: ');KVc=input('Ingrese el KVc: ');%MGc=8;MGc=input('Ingrese el Margen de Ganancia: ');%MFc=60;MFc=input('Ingrese el Margen de Fase: '); Realim=1;integr=tf([1],[1 0]);disp('===================================================================')disp(' Caracteristicas Iniciales: ')disp('===================================================================') PlantaLA=tf(num,den);PlantaLC=feedback(PlantaLA,Realim); clear x; syms x; numsim=poly2sym(num);densim=poly2sym(den); GsNoComp=factor(simplify(x*numsim/densim));KVnc=limit(GsNoComp,x,0);KVnc=double(KVnc); disp(['Kv: Coeficiente de Error Estatico: ' num2str(KVnc)])% ECUACION DE BODE%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Y1=20*log10(2)-20*log10(abs(i*X))-20*log10(abs(X*i/2+1))-20*log10(abs(X*i/6+1))[z,p,k]=tf2zp(num,den);ceros=roots(num); ceros1=ceros; for d=1:length(ceros1); if ceros1(d)==0, ceros1(d)=1; end,end % Con el for se reemplaza los ceros por unospolos=roots(den); polos1=polos; for d=1:length(polos1); if polos1(d)==0, polos1(d)=1; end,end ECBODE=20*log10(k*abs(prod(ceros1))/abs(prod(polos1)));syms x w;for m=1:length(ceros) % SUMA LOS 20LOGS DEL NUMERADOR if ceros(m)==0 ECBODE=ECBODE+20*log10(sqrt((w)^2)); else ECBODE=ECBODE+20*log10(sqrt(1+(w/ceros(m))^2)); endend for m=1:length(polos) % RESTA LOS 20LOGS DEL NUMERADOR if polos(m)==0 ECBODE=ECBODE-20*log10(sqrt((w)^2)); else ECBODE=ECBODE-20*log10(sqrt(1+(w/polos(m))^2)); endend %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ECUACION DE BODE PARA HALLAR WF%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %ECWBODEN=k*abs(prod(ceros1))/abs(prod(polos1));ECWBODEN=1;syms x w;for m=1:length(ceros) % SUMA LOS 20LOGS DEL NUMERADOR if ceros(m)==0 ECWBODEN=ECWBODEN*(sqrt((w)^2)); else ECWBODEN=ECWBODEN*(sqrt(1+(w/ceros(m))^2)); endend ECWBODED=1;for m=1:length(polos) % RESTA LOS 20LOGS DEL NUMERADOR if polos(m)==0 ECWBODED=ECWBODED*(sqrt((w)^2)); else ECWBODED=ECWBODED*(sqrt(1+(w/polos(m))^2)); endend ECWBODE=(ECWBODEN/ECWBODED)^2-(((k*abs(prod(ceros1))/abs(prod(polos1))))^-1)^2;WFFS=sort(double(solve(ECWBODE))); WF1R=imag(WFFS);WF11=[];for c=1:length(WFFS) if and(0