Benemrita Universidad Autnoma de Puebla Facultad de Ciencias de la Electrnica

Reporte de Prcticas

Nombre de la prctica: Compensacin en tiempo y frecuencia.

Alumnos que la presentan:

Objetivo:

Disear un compensador en tiempo para que el sistema de segundo orden obtenido en la prctica anterior, tenga un factor de amortiguamiento relativo de 0.7 y mantenga la misma frecuencia natural de oscilacin. As mismo, disear un compensador en frecuencia para que el mismo sistema tenga un margen de fase de 90, como mnimo.

Evidencias:

Para comenzar, tomemos en cuenta los datos obtenidos de la respuesta de nuestro sistema de segundo orden fsico obtenido en la prctica 3, los cuales son:

6.5 : = 0.559 0.12 = 583.098 A partir de estos datos podemos generar la funcin de transferencia de lazo cerrado de nuestro sistema de segundo orden, siguiendo la frmula general:

+ 2 + =340002.884

+ 652.389 + 340002.884

El sistema que tenemos se puede representar como se muestra en la Figura 2.

Para compensar el sistema se requiere modificar el coeficiente de amortiguamiento, para que pase de ser 0.559 a 0.7. Los dems parmetros del sistema se desea conservarlos igual; por consiguiente, la nueva ecuacin caracterstica ser:

+ 2 + = + 2!0.7#!583.098# + 583.098 = $% + &'(. ))*$ + )+,,,%. &&+ De la ecuacin anterior obtenemos los polos de lazo cerrado deseados, los cuales se encuentran en 408.168 /416.415.

De la Figura 1 se puede observar que en el caso de la presente prctica, no podremos mover los polos del sistema a la localizacin deseada con un simple ajuste de la ganancia del sistema, ya que el lugar de lar races no pasa por los polos deseados. Por lo tanto se proceder a realizar el diseo de un compensador de adelanto para el sistema, el cual se describe a continuacin.

A partir de las especificaciones que se nos pide que tenga el sistema, es decir, que el factor de amortiguamiento relativo sea igual a 0.7 y que la frecuencia natural del sistema se mantenga igual.

= 0.559, = 583.098

Figura 1. Lugar de las races del sistema que se quiere compensar. Se muestran los polos de lazo cerrado del sistema original (-326.194 j 483.322) y los polos deseados (-408.168 j 416.415).

340002.884! + 652.389# 0!# 1!#

Figura 2. Diagrama a bloques del sistema utilizado para esta prctica, donde G(s) es la funcin de transferencia de lazo abierto. Se puede ver que los polos de lazo abierto se encuentran en el origen y en -652.389 en el plano s.

2!#

Con los valores anteriores se obtuvieron los polos deseados de lazo cerrado del nuevo sistema, los cuales son: 408.168 /416.415. Calculamos ahora el ngulo de compensacin 3 que se necesita.

3 = 180 134.427 60.195 = 14.036 En la Figura 3 se pueden ver grficamente estos ngulos, donde se observa que a 180 se le restan los ngulos formados por los polos en lazo abierto del sistema sin compensar con respecto al polo deseado. Esto es lo que le da origen al ngulo de compensacin.

Ahora se puede proceder con la obtencin del polo y el cero del compensador, basndonos en el valor del ngulo de compensacin 3. Existen diferentes mtodos para obtener los valores del pueblo y el cero del compensador, sin embargo, en esta prctica se utilizar el siguiente:

Primero se dibuja una lnea horizontal que pasa por el punto P, que es la localizacin deseada para uno de los polos dominantes en lazo cerrado. Esto corresponde a la lnea PA de la Figura 4. Posteriormente se dibuja una lnea que conecta el punto P con el origen, y a continuacin se dibuja una lnea que divida a la mitad el ngulo formado por las lneas PA y PO. Despus se dibujan dos lneas (PC y PD) que formen ngulos de 3/2 con respecto a la bisectriz PB. Las intersecciones de PC y PD con el eje real negativo proporcionan la localizacin necesaria para el polo y el cero de la red de adelanto. Recurdese que para una compensacin con una red de adelanto, el polo del compensador se encontrar a la izquierda (punto C) y el cero del compensador a la derecha (punto D).

67

689

Figura 3. ngulos formados entre el polo deseado en lazo cerrado (Pd) y los polos de lazo abierto (PLA) del sistema sin compensar.

689

A manera de comentario: en la clase se mencion que los ngulos formados por las lneas PC y PD con respecto a la bisectriz PB, era recomendable manejarlos como !3 + 5#/2 para tener un cierto margen de error. Sin embargo, ya que se ha utilizado Matlab como apoyo para realizar los clculos, estos ngulos se manejaron, como se mencion anteriormente, como 3/2. No obstante, se tuvieron que realizar antes algunos procesos de despeje (utilizando ley de senos principalmente) para posteriormente evaluar las expresiones en Matlab y que el programa arrojara los resultados de los ngulos y los catetos desconocidos.

Con lo hecho hasta ahora, ya podemos saber los valores del polo y el cero del compensador y son los siguientes:

6: = 646.695 ;: = 525.754 Con estos valores ya se tiene una aproximacin a la funcin de transferencia del compensador. Slo falta encontrar su ganancia, la cual se obtiene a partir de sustituir por el valor del polo deseado 67 en la siguiente expresin, y despejar

Con lo anterior podemos representar nuestro nuevo sistema (incluyendo el compensador) como se muestra en la Figura 5.

A continuacin, en la Figura 6se muestra el lugar de las races para el sistema resultante. En ella se puede observar que los polos deseados ahora ya se encuentran sobre el lugar de las races del sistema compensado. De la misma forma se puede ver que el factor de amortiguamiento es ahora de 0.7 y que la frecuencia natural se mantiene igual (LOPQ =0.7, STU!TOV/# = 583).

+ 525.754 + 646.695

340002.884! + 652.389#

En la Figura 7 se muestran las respuestas obtenidas en la simulacin de Simulink. Se comparan las salidas del sistema original (como diagrama a bloques y con opams virtuales) con respecto a las salidas del sistema compensado (como diagrama a bloques y con opams virtuales).

De la Figura 7 se tiene que el sobre impulso del sistema sin compensar es en promedio 0.12 V, como ya se saba de acuerdo a los datos originales. Por otro lado, el sobre impulso del sistema compensado es en promedio 0.033 V y su tiempo pico de 7.58 ms.

De acuerdo a las expresiones de sobre impulso y de tiempo de respuesta se esperaba que:

= 0.045 y = 7.54 Por lo tanto, hasta ahora los resultados de la simulacin concuerdan bastante bien con los resultados tericos esperados. Ahora resta disear el compensador con opams, lo cual es sencillo, pues ya se tiene un modelo. A este modelo hay que ponerle los valores de resistencias y capacitores adecuados. El modelo del compensador con opams se muestra en la Figura 8.

La funcin de transferencia de este modelo es:

W = 0D1D; YW = 01;

Necesitamos saber el valor de W y de Y. W = 1|;:| =

1525.754 = 0.0019

Y = 1|6:|W =1

646.695!0.0019# = 0.813 Proponemos que los valores de los capacitores sean 1D = 1 = 1\S. Entonces tenemos lo siguiente:

0D = W1D =0.0019

1\ = 1.9]^ 1.8]^

0 = YW1 =0.813!0.0019#

1\ = 1.54]^ 1.5]^ Por sencillez, se tomar una ganancia de aproximadamente 1, lo que implica que 0Z = 0A =1 ]^. Con estos valores, nuestro circuito queda como se muestra en la Figura 9.

Fotos de los resultados fsicos y comentarlos.

Conclusiones:

Figura 9. Diagrama esquemtico del circuito implementado para esta prctica. Se ha abierto el circuito original (de la prctica 3) despus del punto suma para introducir la parte del compensador:

Compensador de red de adelanto

Bibliografa: