TEMA 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

CLASIFICACIÓN DE VARIABLES

1. Clasificar las siguientes variables:

A) N' de acciones vendidas en un día en la bolsa de valoresB) La Temperatura medida en el observatorio San Calixto cada hora

C) La opinión de los ciudadanos respecto a las autonomías ( en desacuerdo, indiferente, de acuerdo)

D) Duración de los televisores SONY

E) Culto religioso de las personas de la ciudad

F) Ingresos mensuales de los catedráticos de la UMSA

G) Velocidad de un coche(km/h)

H) El número de estudiantes que reprueban la materia de Cálculo I cada año

I) El número de billetes de 100Bs. En circulación en la ciudad en este momento.

J) El lugar de nacimiento de los estudiantes de la universidad

K) La marca y modelo de los autos que estacionan en el parqueo de la UMSA

L) El consuno de corriente (kw) mensual de una familia paceña

Variables Cuantitativas => A, B, F, G, H, LVariables Cualitativas => C, E, J, KVariables Cuantitativas Discreta => IVariables Cualitativas Continua => D

3. Durante el mes de enero, se ha registrado el número de pasajeros que viajan de La Paz a Santa Cruz por la línea aérea LAB, obteniéndose los siguientes resultados:

40 41 42 25 44 20 35 38 43 3042 44 30 44 49 41 50 44 39 3545 24 23 44 47 25 50 43 27 36

a) ¿Cuál es la variable? ¿Cuál es su clasificación?

- El # de pasajeros del LAB en Enero

- Variable cuantitativa

b) Construir una distribución de frecuencias con cuatro intervalos de igual amplitud y grafique el

histograma

1º Rx= Xmax-Xmin 2º k=√n Rx= 50-20 k=√30 Rx=30 k=5,475 nos piden k=4

3º c= 304

= 7,5 8

#pasajeros ni fi Ni Fi

20-28 6 0.20 6 0.20

28-36 4 0.131

00.33

36-441

00.33

2

00.66

44-521

00.33

3

00.99

Total3

00.99

5. Se entrevistaron a 36 mujeres en la Zona Norte de la Ciudad de La paz sobre el número ideal de hijos que desearían tener, ellas respondieron lo siguiente.

2 3 3 2 4 2 3 2 2 5 2 2 3 2 0 4 2 1 4 0 3 3 2 4 1 2 1 2 5 2 2 4 2 4 2 3

a) La variable ¿es continua?

- La variable no es continua

b) Realice un gráfico de barras

xi ni fi

0 2 0.05

1 3 0.08

2 16 0.44

3 7 0.19

4 6 0.16

5 2 0.05

Total 36 0.97

MEDIDAS DE POSICIÓN CENTRAL (MEDIA - MEDIANA - MODA)

7. El gerente de producción de la embotelladora Coca Quina desea determinar el tiempo promedio que se necesita para llenar una botella de 2 litros. Utilizando un cronómetro registra los tiempos siguientes (en segundos)

10,20 10,00 11,10 11,64 11,12 12,51 11,11 11,45 14,10 12,1511,00 12,03 12,34 12,45 11,35 12,21 12,15 12,01 11,24 10,50

X=∑i=1

n

Xi

n=232.66

20=11.633

- El gerente debería estar preocupado porque el promedio por botella es 11.633 [s]

9. Como parte de una tarea del laboratorio de nutrición, quince estudiantes determinaron el número de calorías de una porción de pizza.

Obtuvieron los valores: 329, 335, 347, 318, 322, 330, 351, 362, 315, 342, 346, 353, 316, 327, y 333.a) Obtenga el promedio de las calorías

X=∑i=1

n

Xi

n=5026

15=335.06

b) Reste 300 a cada valor y luego calcule la media. Luego sume 300 al resultado. ¿Esto sugiere una simplificación en el cálculo de la media?

X=∑i=1

n

Xi

n=526

15=35.06

11. La siguiente tabla muestra la demanda diaria en unidades de un producto durante 30 días .

DEMANDA N" DE DIAS

25-30 330-35 535-40 740-45 1045-50 5

a) Calcular la media de la distribución.

Demanda#dia

sfi xi xi ni

25-30 3 0.10 27.5 82.5

30-35 5 0.17 32.5 162.5

35-40 7 0.23 37.5 262.5

40-45 10 0.33 42.5 425

45-50 5 0.17 47.5 237.5

Total 30 1 1170

X=∑i=1

n

x ini

n=1170

30=39

b) Graficar el histograma. ¿Qué asimetría tienen los datos?

13. En este año los salarios medios de los profesores de educación básica en las tres ciudades del eje principal

del país fueron: Bs.800, Bs.600 y Bs.1000 considerando que había 710, 640 y 450 profesores de

educación básica en estas ciudades, ¿Cuál es el salario promedio que se paga en las tres ciudades?

X=∑i=1

n

ni

n=800⟹∑

i=1

n

ni=800∗710⟹568000

X=∑i=1

n

ni

n=600⟹∑

i=1

n

ni=600∗640⟹384000

X=∑i=1

n

ni

n=1000⟹∑

i=1

n

ni=1000∗450⟹450000

xTot=568000+384000+450000

710+640+450=778.88≈779

15. El salario promedio que se paga una empresa es de 2500Bs. El gerente realiza dos propuestas a sus

trabajadores:

Propuesta 1.- Incrementara cada trabajador un 3% más un bono de 180 Bs.

Propuesta 2: Incrementara cada trabajador un 2.5% más un bono de 200 Bs.

Sabiendo que en la empresa trabajan 50 empleados; usted como asesor de los trabajadores ¿qué

aconsejaría?

x=2500 Bs .P1 3%=75 Bs 75Bs.+180Bs.(bono)=255Bs. Total=2755Bs

P2 2.5%=62.5Bs 62.5Bs.+200Bs.(bono)=262.5 Total=2762.5Bs.

- Yo aconsejaría la propuesta 2

17. Demostrar que la media aritmética de los primeros N números naturales coincide con la mediana de estos

números.

Mediana

Par 12 (x n2 +x(n+2 )

2 )Impar x(n+1)

2

n es impar

∑i=1

2n+1

x i

2n+1=x1+x2+x3+… ..+x2n+1

x2n+1

=x(2n+1+1)2

¿

x2n+1(x2n+1+1)2x2n+1

¿x2n+1(x2n+1+1)

2 x2n+1

¿ x(2n+1+1)/2

¿ x(2n+1 )+1 /2

¿ x(2n+2 )/2

n es par

∑i=1

2n

x i

2n+1=x1+x2+x3+… ..+x2n

x2n

=12x

2n2

+x(2n+2)2

¿x2n(x2n+1)

2(x2n)=1

2xn

+x (2n+2)2

¿x2n

2+1=1

2xn

+ xn+1

¿x2n+1

2

19. En una empresa textil, la distribución de los sueldos de los trabajadores en el año pasado se presenta en la siguiente tabla:

Salarios N° de trabajadores

De 200 a 400 Bs. 10De 400 a 800 Bs. 24De 800 a 1000 Bs. 12

De 1000 a 1200 Bs. 6

a) Calcular el salario promedio del año pasado.

Salario ni fi xi xi ni

200-400 10 0.20 300 3000

400-800 40 0.46 600 14400

800-1000 12 0.23 900 10800

1000-

12006 0.11

110

06600

52 1 34800

X=∑i=1

n

x ini

n=34800

52=669.2

b) Graficar el Histograma

21. Hallar la media aritmética de los primeros 1000 números múltiplos de 7 positivos.

7, 14, 21, 28, .......

7(1, 2, 3, 4,......193) = 72072

X=∑i=1

n

Xi

n=72073

143=504

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

23.A continuación se presentan los datos de una muestra de las atenciones diarias en un hospital:

16, 20, 17, 26, 18, 22, 21, 23, 19, 24

el director del hospital piensa que cualquier desviación típica de más de tres atenciones por día indica una

variación inaceptable en la tasa de atención. ¿Deben inquietarle las tasas de atención de la empresa?

X=∑i=1

n

Xi

n=206

10=20.6

V (x)=∑i=1

n

X i2

n−X2=4336

10−424.36=9.34

σ=√V ( x)=√9.34=3.056

- Si debería inquietarle las tasas de atención porque la desviación típica es 3.056 y es más de 3.

25. Los pesos del equipo de fútbol Bolívar tienen una media de 78 kilos, con una desviación típica de 8 Kg. mientras que el peso medio y desviación estándar de su clásico oponente son 75 y 5 respectivamente.

a) ¿Cuál de los dos equipos muestra la mayor dispersión absoluta en sus pesos?

El equipo que muestra la mayor dispersión absoluta es el equipo Bolívar con 8 Kg.

b) ¿Cuál de los dos equipos muestra la mayor dispersión relativa en sus pesos?

Bolívar σ=σ (x)

x= 8

78=0.1

The Strongest σ=σ (x)

x= 5

75=0.06

El equipo que muestra la mayor dispersión relativa es el equipo Bolívar con 0.1

27. Estos son datos de las notas en los dos paralelos de Estadística.

Paralelo N° de alumnos Media VarianzaDesv. Est. CV(x)A 28 80 100 10 12,5%B 25 14 49 7 50%

a. Calcule la nota promedio de cada paralelo

Para A σ A=σ (x)

x=10x

=12.5

X= 1012.5

Para B σ B=σ (x)

x=7x=50

X= 70.5

b. ¿Cuál es el paralelo más homogéneo en sus notas? ¿Cuál es el mejor paralelo? ¿Por qué?

- El paralelo más homogéneo en sus notas es el paralelo B

- El mejor paralelo es el paralelo A por que su media es de 80 son notas altas

29. En el ejercicio anterior. Si se incrementa el precio de cada cereal en un dólar ¿cuál es la nueva varianza? Comparando los resultados con el ejercicio anterior ¿Cual es la conclusión?

Compañia Cereal Precio al menudeo (en $)

General Mills Cheerios 3

Kellogg's Froasted Flakes 4

General Mills Honey Nut Cherios 4

Kellogg's Rice Krispies 3

Kellogg's Corn Flakes 7

Kellogg's Raisin bran 4

Kellogg's Frosted Mini-Whears 5

Kellogg's Froot Loops 2

General Mills Lucky Charms 3

Nestle Choco Krispies 4

X=∑i=1

n

Xi

n=39

10=3.9

La nueva varianza es V (x)=

∑i=1

n

X i2

n−X2=169

10−15.21=1.69

Comparando con el ejercicio anterior la varianza no varía y la conclusión es que son los mismos precios aumentados 1$ y tienen la misma varianza

TEMA 2: TEORÍA DE PROBABILIDADES

1. Suponer que en determinada escuela, el 3 % de los niños de preescolar tienen problemas preceptúales severos, y que el 6 % de los niños de la misma edad tiene problemas emocionales. Además, el 1,5 % de los ahorros sufren tanto de problemas preceptúales como emocionales. Cualquier niño con alguno de estos tipos de problemas o con ambos recibe educación especial. ¿Cuál es la probabilidad de que un niño que ingrese en preescolar necesite atención especial, es decir, cual es la probabilidad de que tema problemas preceptúales, o emocionales o ambos?

A = Problemas perceptuales severos

B = Problemas emocionales

P(A) = 3% P(B) = 6% P(AB) = 1.5%

P(A)+P(B)+P(AB) = 0.03+0.06+0.015 = 0.105 = 10.5%

La probabilidad de que un niño que ingrese en preescolar y necesite atención especial es 10,5%

3. Un grupo de 50 adultos está compuesto de 20 hombres y 30 mujeres. De 35 personas del grupo que están a favor de un candidato para alcalde, 15 son hombres. Se selecciona al azar una persona del grupo. ¿Cuál es la probabilidad de que esta persona sea una mujer que se opone al candidato?

A = la persona es mujerB = la persona se opone al candidato

P (A )=3050

=0.6

P (B )=1550

=0.3

P (A ∩BC )=2035

=0.57 Probabilidad que es mujer y este a favorP (A ∩B )=P (A )−P ( A∩BC )

P (A ∩B )=0.6−0.57

P (A ∩B )=0.03

5. La siguiente tabla muestra los resultados de una encuesta a 100 universitarios de último año señalaron sus inclinaciones políticas y manifestaron si pertenecían o no a un club estudiantil.

Miembro de unclub

Inclinación PolíticaConservador TOTAL

A Ac

Si(B) 35 20 55No (Bc) 5 40 45

Total 40 60 100

Calcular :

a) . P(A)

P (A )=¿ A¿Ω

= 40100

=0.4

b). P (B)

P (B )=¿B¿Ω

= 55100

=0.55

c) . P(B c )

P (BC )=¿BC

¿Ω= 45

100=0.45

d).P(AB)

P (A B )=¿ A B¿Ω

= 35100

=0.35

e) . P (A cB)

P (ACB )=¿ ACB¿Ω

= 20100

=0.2

7. Una caja contiene 3fichas rojas y 7 negras. Si se sacan 3 fichas a la vez. Hallar la probabilidad de

sacar solo fichas rojas.

A = Sacar 3 fichas rojas

Ω={(r , r ,r ) (r , r , n )… ..(n ,n ,n) }¿Ω=(103 )

P (A )=¿ A¿Ω

=(33)(7

0)(10

3 )=0.008

9. Cinco estudiantes forman cola en la ventanilla de la caja de la universidad.a) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante más alto este al comienzo?

A = es tudiante más al to pr imero

Ω={A ,B ,C , D ,E }¿Ω=(5 )

P (A )=¿ A¿Ω

=(11)(5 )

=15

b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos amigos se encuentren juntos en la Cola? B = dos estudiantes sean amigos

Ω={A ,B ,C , D ,E }¿Ω=(5 )

B = ⟨ A ,B ,C|E , F ⟩= ⟨ A ,B ,C|X ⟩=⟨Y|X ⟩ #B=2

P (B )=¿B¿Ω

=25

11. Si el primer hijo de una familia fue niña. ¿Cuál será la probabilidad de que el segundo hijo sea varón?

- Es una probabilidad subjetiva porque no se tiene información

13. Suponga que se escriben cuatro dígitos 1, 2, 3, 4en un orden aleatorio ¿Cuál es la probabilidad de que ningún dígito ocupe su lugar propio?

A = ningún digito ocupe su lugarΩ=4 32 1=41=24

4 3 2 13 2 1 41 4 3 21 2 4 3

P (B )=244

=6

15. En la carrera de Electrónica el 60% de los estudiantes tienen una calculadora CASIO, el 20% trabaja con una calculadora HP, sin embargo el 5% manejan ambas calculadoras. Elabore un gráfico con los datos ¿Qué porcentaje de los estudiantes maneja una marca distinta a las mencionadas?

C = CASIO 60%H = HP 20%A = AMBAS 5%O = OTROSP(O) = 1- [P(C)+P(H)-P(A)] = 1 - [0.6+0.2-0.05] = 1 – 0.75 = 0.25

- El 25% de los estudiantes maneja una marca distinta.

17. Si A es el evento de que un estudiante apruebe la materia de Ecuaciones Diferenciales y B es el evento de que aprueba Estadística. - expresar en notación de conjuntos los siguientes eventos:

a) El alumno aprueba al menos una de las dos materias( A∪B )−( A∩B )

b) El alumno no aprueba ninguna materia

( A∪B )C

c) Aprueba solamente EstadísticaB−( A∩B )

d) Aprueba ambas materias( A∩B )

19. Si P(B / A)= P(B) y P(B)≠0 ¿Será cierto que P(A / B) = P(A)?

P( BA )=P ( A∩B )P (A )

=P ( A ) ·P (B)P(A)

=P(B) No son mutuamente excluyentes entonces

P( AB )=P ( A∩B )P (B )

=P ( A ) ·P (B)P (B)

=P(A)

21. Sean A y B dos eventos mutuamente independientes, ¿será verdad que P(A / B)=P(A)?

P( AB )=P ( A∩B )P (B )

=P ( A ) ·P (B)P (B)

=P(A)

23. Una caja contiene 7 bolillas blancas y 3 rojas. Se extraen dos bolillas. Calcular la probabilidad de que:

a) ambas sean blancas;

A = ambas sean blancas

¿Ω=(102 )=45

¿ A=(30)(72)=21

P (A )=2145

=0.46

b) ambas sean del mismo color;B = ambas sean del mismo color

Ω={(r , r ) (r , b )…….(b ,b)}¿Ω=(102 )

P (B )=¿B¿Ω

=(32)(70)+(7

2)(30)(10

2 )=0.533

c) al menos una sea roja;C = al menos una sea roja

P (C )=¿C¿Ω

=(31)(71)(10

2 )=0.533

25. Un sistema para detectar humo utiliza dos dispositivos A y B. Si hay humo, la probabilidad de que sea detectado por el dispositivo A es de 0,95 y por el dispositivo B es 0,98 y por ambos es 0,96.a) Si hay humo, halle la probabilidad de que sea detectado por cualquiera

P(A) = 0.95P(B) = 0.98P (A ∩B )=0.96

P (A∪B )=P (A )+P (B )−P ( A∩B ) P (A∪B )=0.95+0.98−0.96P (A∪B )=0.97P (A∪B )=97 %

b) Encuentre la probabilidad de que el humo no sea detectado

P (AC∩BC )=P ( A∩B )C

P (AC∩BC )=1−P (A∪B)P (AC∩BC )=1−0.97

P (AC∩BC )=0.03P (AC∩BC )=3 %

27. Cuatro personas de igual preparación solicitan dos puestos idénticos en una compañía. Uno y solamente un aspirante es miembro de un grupo minoritario. Los puestos se otorgan seleccionando dos de los aspirantes al azar. Encuentre la probabilidad de que el aspirante del grupo minoritario sea seleccionado para el puesto.

4 = personas N=42 = seleccionados n=2

¿Ω=(42)=6

P (A )=¿ A¿Ω

=(11)(31)(42)

=36=0.5

29. Un restaurante popular solo ofrece dos tipos de comida: chicharrón o fricasé. 20% de los clientes de sexo masculino prefieren chicharrón; 30% de las mujeres escogen fricasé, 75% de los clientes son hombres. Considere los siguientes eventos:H: El cliente es hombre A: El cliente prefiere chicharrónM: El cliente es mujer B: El cliente prefiere fricaséCalcular:A= chicharrón H=hombreB= fricase M=mujerP(H)=0.75 P(A/H)=0.20P(M)=0.25 P(B/M)=0.30

a) P(A/H)P(A/H)=0.20 = 20%

c) P(B/M)P(B/M)=0.30 = 30%

c) P(AH)P(AH)=P(H)·P(A/H) = 0.75*0.20 = 0.15 = 15%

d) P(A U H)P(A) = (0.75*0.20)+(0.25*0.70) = 0.325P(A U H)= P(A)+P(H)-P(AH) = 0.325+0.75-0.15 = 0.925

e) P(M/A)

P(MA )= P (M∩ A )P ( A )

=0.25∗0.700.325

=0,54

31. Se lanza un dado, si sale 1 o 2 se elige una ficha de una caja que contiene 5 Fichas blancas y 5 negras, en cambio si el dado muestra otro número se elige una ficha de otra caja que tiene 1 ficha blanca y 5 negras. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar un dado, se elija una ficha blanca? ¿Cuál de que sea negra?

2/6 1--->2--->

4/6 otro--->

A = se elija una ficha blanca

P (A )=( 26 )( 5

10 )+( 46 )( 1

6 )= 518

B = se elija una ficha negra

P (B )=( 26 )( 5

10 )+( 46 )(5

6 )=1318

33. En una fabrica de cereales, las maquinas A, B y C fabrican 25%, 35% y 40% de la producción total, respectivamente. De lo que producen el 5,4 y 2 % son productos defectuosos. Ver tabla:

MAQUINA %PRODUCCION %DEFECTUOSOSA 25% 5%B 35% 4%C 40% 2%

D--25%--> A ----> 5%--35%--> B ----> 4%--40%--> C ----> 2%

Si se escoge un perno al azar, hallar

a) La probabilidad de que el perno elegido sea defectuoso.

b) R = perno elegido sea defectuoso

P (R )=P ( A ) P(DA )+P (B )P(DB )+P (C )P(DC )¿0.25∗0.05+0.35∗0.04+0.40∗0.02=0,0345=3.45 %

5b 5n

1b 5n

c) Si el perno resulta ser defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la máquina A?

P(DA )=P (D∩A )P (A )

= 0.25∗0.050.25∗0.05+0.35∗0.04+0.40∗0.02

=0.01250,0345

=0,362=36.2 %

35. Suponer que la ciencia médica ha desarrollado una prueba para el diagnóstico del cáncer que tiene 95 % de exactitud tanto entre los que tienen cáncer como entre los que no tienen. Si 0.005 de la población realmente tiene cáncer, calcular la probabilidad de que determinado individuo tenga cáncer, si la prueba dice que lo tiene.

---0.005--> PC---0.95--> EC persona con cáncer---0,995--> PSC---0.95--> EC persona sin cáncer

P (R )=P (PC ) P( PCEC )=0.005∗0.95=0,00475=0,475 %

37. En el departamento de historia clínica de un hospital, tres empleados tienen la tarea de procesar los registros de los pacientes. El primer empleado, C1, procesa el 45 % de los registros, el segundo, C2 el 30% y el tercero, C3, el 25 %. El primer empleado tiene una tasa de error en su trabajo de 0.03, el segundo de 0.05, y el tercero de 0.02. Se selecciona un registro al azar entre los que se procesaron durante una semana y se encuentra que tienen un error. El bibliotecario de registro médico desea saber la probabilidad de que el registro haya sido procesado por cada uno de los tres empleados.

---45%--> C1 ----> E 0.03---30%--> C2 ----> E 0.05---25%--> C3 ----> E 0.02

P(C1

E )=P (C1∩E )P (E )

= 0.45∗0.030.45∗0.03+0.30∗0.05+0.25∗0.02

=0,01350,0335

=0,4=4 %

P(C2

E )=P (C2∩E )P (E )

= 0.30∗0.050.45∗0.03+0.30∗0.05+0.25∗0.02

= 0,0150,0335

=0,45=4.5 %

P(C3

E )=P (C3∩E )P (E )

= 0.25∗0.020.45∗0.03+0.30∗0.05+0.25∗0.02

= 0,0050,0335

=0,15=1.5 %

39. Un empleado para llegar a su trabajo debe pasar por el puente de las Américas o por la avenida del ejército. El usa el puente 1/3 de las veces. Cuando usa el puente, llega a tiempo al trabajo el 70% de las veces, en cambio si usa la Avenida llega a tiempo el 95% de las veces. Si un día el empleado llegó a tiempo a su trabajo. ¿Cuál es la probabilidad que haya usado el puente de las Américas?

--- 1/3 --> Pue ---> T 70% --- 2/3 --> Ave ---> T 95%

P( PueT )=P (Pue∩T )P (T )

= 1/3∗0.702/3∗0.95+1/3∗0.70

=0.2330.867

=0,2692=26.92 %