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Práctica 6Nmeros Complejos

yFunciones de variable compleja.

1

Capítulo 8

Repaso sobre números complejos

Objetivos: Aquí vamos a necesitar que el alumno ponga de su parte y haga un repaso de los principales conceptossobre números complejos, toda vez que los va a necesitar de aquí en adelante.

8.1 Preliminares

Toda vez que este tema se trata en bachillerato y luego se repasa al entrar a la Universidad, vamos a recomendar alalumno una revisión de los tópicos siguientes:

1. Forma Binómica de un complejo : .

2. Conjugado: .

3. Módulo: si .

4. Operaciones de complejos en forma binómica: ; ; ; ; .

5. Forma Polar o Trigonométrica de : . Notación: . y

Si , se toma uno de los límites del arcotangente según el caso.

6. Paso de forma binómica a trigonométrica y viceversa.

7. Fórmula de De Moivre: .

8. Operaciones de Complejos en forma trigonométrica: ; ; .

9. Potencias de la unidad imaginaria :

; ; ; ; y en general ; con ; ya que .

10. con en la forma .

Suponiendo que el alumno ha hecho el repaso correspondiente, vamos a sugerir algunos ejercicios interesantes, enalgunos daremos las soluciones correspondientes, otros serán dejados al alumno.

8.2 Ejercicios Resueltos

Problema 1Ilustrar los conjuntos de puntos del plano complejo, dados a continuación, siendo números reales fijoscon , , .

(a)

89

Conocimientos básicos:

2

Problema 1.

Capítulo 8

Repaso sobre números complejos

Objetivos: Aquí vamos a necesitar que el alumno ponga de su parte y haga un repaso de los principales conceptossobre números complejos, toda vez que los va a necesitar de aquí en adelante.

8.1 Preliminares

Toda vez que este tema se trata en bachillerato y luego se repasa al entrar a la Universidad, vamos a recomendar alalumno una revisión de los tópicos siguientes:

1. Forma Binómica de un complejo : .

2. Conjugado: .

3. Módulo: si .

4. Operaciones de complejos en forma binómica: ; ; ; ; .

5. Forma Polar o Trigonométrica de : . Notación: . y

Si , se toma uno de los límites del arcotangente según el caso.

6. Paso de forma binómica a trigonométrica y viceversa.

7. Fórmula de De Moivre: .

8. Operaciones de Complejos en forma trigonométrica: ; ; .

9. Potencias de la unidad imaginaria :

; ; ; ; y en general ; con ; ya que .

10. con en la forma .

Suponiendo que el alumno ha hecho el repaso correspondiente, vamos a sugerir algunos ejercicios interesantes, enalgunos daremos las soluciones correspondientes, otros serán dejados al alumno.


Problema 1Ilustrar los conjuntos de puntos del plano complejo, dados a continuación, siendo números reales fijoscon , , .

(a)

89(b)(c)

(d)

(e)

Solución

Ver Figuras Correspondientes.

Figura 8.1:

Figura 8.2:

Problema 2

Reconocer

Solución

(Completando cuadrados) Lo cual representa a una circunferencia decentro el punto y radio .

90

a)

(b)(c)

(d)

(e)

Solución


Figura 8.1:

Figura 8.2:

Problema 2

Reconocer

Solución


90

3

b)

(b)(c)

(d)

(e)

Solución


Figura 8.1:

Figura 8.2:

Problema 2

Reconocer

Solución


90

4

c)

Figura 8.3:

Figura 8.4:

Problema 3

Reconocer

Solución

SeaVer figura 8.8

Problema 4

Expresar y en términos de y

Solución

Sea

(por fórmula de De Moivre)Pero también

91

Figura 8.3:

Figura 8.4:

Problema 3

Reconocer

Solución

SeaVer figura 8.8

Problema 4


Solución

Sea


91

5

d)

Figura 8.5:

Figura 8.6:

Problema 5

Describir el conjunto

Solución

eje .

Problema 6

Si y son dos complejos cualesquiera (excepto cuando se indique que alguno de ellos sea

distinto del cero complejo )

(a)

92

Figura 8.5:

Figura 8.6:

Problema 5


Solución

eje .

Problema 6



(a)

92

6

e)

Figura 8.7:

Figura 8.8:

(b) y en consecuencia si

(c) y si

(d) ,(e)

(f) y

(g)(h)

(i)

(j)

Solución

Vamos a hacer algunas de ellas, sencillas: Demostrar que para cualquier par de complejos y se cumple que

(i)

(j)

Sean , , entonces

(i) pero .

Ahora mientras que .

93

7

Ejercicio 1.

(b)(c)

(d)

(e)

Solución


Figura 8.1:

Figura 8.2:

Problema 2

Reconocer

Solución


90

Ejercicio 2.

Figura 8.3:

Figura 8.4:

Problema 3

Reconocer

Solución

SeaVer figura 8.8

Problema 4


Solución

Sea


91

8

Problema 2.

Figura 8.3:

Figura 8.4:

Problema 3

Reconocer

Solución

SeaVer figura 8.8

Problema 4


Solución

Sea


91

Figura 8.3:

Figura 8.4:

Problema 3

Reconocer

Solución

SeaVer figura 8.8

Problema 4


Solución

Sea


91

Figura 8.5:

Figura 8.6:

Problema 5


Solución

eje .

Problema 6



(a)

92

Figura 8.5:

Figura 8.6:

Problema 5


Solución

eje .

Problema 6



(a)

92

9

Problema 3.

(j)

Mientras que

Otras son un poco más elaboradas, como por ejemplo la (g) : En efecto:

por propiedad (6) - b(se sabe que la distributividad vale en )

(se utilizó (f))

Por tanto (puesto quePor tanto (por (c) y (e)), y por conclusión .

Las demás se dejan como ejercicios.

Problema 7

Sea

(a) Hallar los tales que ,

(b) Calcular para las soluciones de (a).

Solución

(a)

(observar que esta en el primer cuadrante)

,

(Para esto es necesario repasar )

Por tanto,

Todas las raíces de la ecuación . Ahora queremos hallar aquellos tales que pero

como 4to cuadrante, los en son aquellos para los cuales 4to cuadrante y ellos son para

(b) para

Problema 8

Resolver la ecuación

Solución

94

(j)

Mientras que



(se utilizó (f))



Problema 7

Sea



Solución

(a)


,


Por tanto,



(b) para

Problema 8


Solución

94

10

(j)

Mientras que



(se utilizó (f))



Problema 7

Sea



Solución

(a)


,


Por tanto,



(b) para

Problema 8


Solución

94

(j)

Mientras que



(se utilizó (f))



Problema 7

Sea



Solución

(a)


,


Por tanto,



(b) para

Problema 8


Solución

94 11

Ejercicio 3.

Ejercicio 4.

(j)

Mientras que



(se utilizó (f))



Problema 7

Sea



Solución

(a)


,


Por tanto,



(b) para

Problema 8


Solución

94

,

Problema 9

Calcular

Solución

,

Problema 10

Sea

(a) Hallar todas las soluciones en forma polar.

(b) Hallar todas las soluciones en forma binómica.(c) Representar las soluciones.

Solución

.

Sabemos que Primer cuadrante pero está en el segundo cuadrante. Por tanto

Figura 8.9:

(a)(b)

(c) La representación de las soluciones es (Ver figura 8.10)

95

12

Problema 4.

,

Problema 9

Calcular

Solución

,

Problema 10

Sea



Solución

.


Figura 8.9:

(a)(b)


95

,

Problema 9

Calcular

Solución

,

Problema 10

Sea



Solución

.


Figura 8.9:

(a)(b)


95

a)

,

Problema 9

Calcular

Solución

,

Problema 10

Sea



Solución

.


Figura 8.9:

(a)(b)


95

13

,

Problema 9

Calcular

Solución

,

Problema 10

Sea



Solución

.


Figura 8.9:

(a)(b)


95

,

Problema 9

Calcular

Solución

,

Problema 10

Sea



Solución

.


Figura 8.9:

(a)(b)


95

a)

,

Problema 9

Calcular

Solución

,

Problema 10

Sea



Solución

.


Figura 8.9:

(a)(b)


95

14

,

Problema 9

Calcular

Solución

,

Problema 10

Sea



Solución

.


Figura 8.9:

(a)(b)


95

,

Problema 9

Calcular

Solución

,

Problema 10

Sea



Solución

.


Figura 8.9:

(a)(b)


95

a)

,

Problema 9

Calcular

Solución

,

Problema 10

Sea



Solución

.


Figura 8.9:

(a)(b)


95

15

,

Problema 9

Calcular

Solución

,

Problema 10

Sea



Solución

.


Figura 8.9:

(a)(b)


95

,

Problema 9

Calcular

Solución

,

Problema 10

Sea



Solución

.


Figura 8.9:

(a)(b)


95

a)

,

Problema 9

Calcular

Solución

,

Problema 10

Sea



Solución

.


Figura 8.9:

(a)(b)


95

,

Problema 9

Calcular

Solución

,

Problema 10

Sea



Solución

.


Figura 8.9:

(a)(b)


95

16

,

Problema 9

Calcular

Solución

,

Problema 10

Sea



Solución

.


Figura 8.9:

(a)(b)


95

Figura 8.10:

Problema 11

Demuestre que el conjunto de los tales que , es un par de rectas y halle las ecuaciones

de las mismas.

Solución

x=y

x=-y

96

17

Funciones de variable compleja:

Capítulo 9

Funciones Complejas. Límite yContinuidad

Objetivos: Aquí el alumno aprenderá los importantes conceptos de límite y continuidad para funciones de .

9.1 Definiciones

Definición 1.Una función definida en los números complejos, se llama, función de variable compleja.

Diversas notaciones: ó decir la función ó simplemente la función .

(aunque esta última no es correcta desde el punto de vista didáctico, pero por comodidad, es la más usada)

Ejemplos.(a) La función , es la función identida, va de y transforma a un complejo en si mismo.

(b) , esta función asigna a cada complejo su conjugado.(c) , , es cualquier es transformado por la función en la constante

.

(d) Un polinomio de grado en la variable es un función con , con

, .

Definición 2.SeaEntonces, así como para un complejo se llaman y

. Aqui podemos describir mediante dos “Campos Escalares” en con

yNotación.Definición 3.Un conjunto es un “Conjunto Abierto” en si para cada punto existe , tal que ,

.

Definición 4.El conjunto es un disco abierto de centro y radio .

Notación:

Ahora, si el disco abierto no contiene a , se denota.

También para la definición podría presentarse como: es abierto en si para cada punto existe.

En el texto del Prof. A. Etcheberry se encuentra la demostración de que todo disco abierto en es a su vez

un conjunto abierto en . En el mismo texto se encuentran varios ejemplos de conjuntos abiertos, entre ellos, elconjunto vacío , es un conjunto abierto así como también el propio .

Definición 5.

97

Capítulo 9

Funciones Complejas. Límite yContinuidad

Objetivos: Aquí el alumno aprenderá los importantes conceptos de límite y continuidad para funciones de .

9.1 Definiciones

Definición 1.Una función definida en los números complejos, se llama, función de variable compleja.

Diversas notaciones: ó decir la función ó simplemente la función .

(aunque esta última no es correcta desde el punto de vista didáctico, pero por comodidad, es la más usada)

Ejemplos.(a) La función , es la función identida, va de y transforma a un complejo en si mismo.

(b) , esta función asigna a cada complejo su conjugado.(c) , , es cualquier es transformado por la función en la constante

.

(d) Un polinomio de grado en la variable es un función con , con

, .

Definición 2.SeaEntonces, así como para un complejo se llaman y

. Aqui podemos describir mediante dos “Campos Escalares” en con

yNotación.Definición 3.Un conjunto es un “Conjunto Abierto” en si para cada punto existe , tal que ,

.

Definición 4.El conjunto es un disco abierto de centro y radio .

Notación:

Ahora, si el disco abierto no contiene a , se denota.

También para la definición podría presentarse como: es abierto en si para cada punto existe.

En el texto del Prof. A. Etcheberry se encuentra la demostración de que todo disco abierto en es a su vez

un conjunto abierto en . En el mismo texto se encuentran varios ejemplos de conjuntos abiertos, entre ellos, elconjunto vacío , es un conjunto abierto así como también el propio .

Definición 5.

97

18

es un “Conjunto Cerrado”, si su complementoes abierto.

Sin embargo hay subconjuntos de que no son ni abiertos, ni cerrados.

Definición 6.Sea un subconjunto abierto de que no necesariamente contiene a .

Sea . Se dice que el límite de en para es , si dado y positivo existe un , funciónde también positivo tal que .

Notación:

(Obsérvese que en la definición de límite, puede estar en o no).

Teorema 1.Sea ,

complejo dado y Entonces

Teorema 2.(Propiedades de los límites)

Sean

Sean y en . Si y entonces:

1.

2.

3.

4. y si

5. Si se tiene y con Imagen de y abiertos en . Si además

y entonces . es composición de funciones.

Definición 7.(Continuidad)Sea abierto y es “contínua en ” se cumplen las condiciones siguientes:

1. (En el caso de límite no era necesario)

2.

3.

Esta definición, utilizando y sería:es contínua en si dado existe función de , también tal que

98

19

es un “Conjunto Cerrado”, si su complementoes abierto.

Sin embargo hay subconjuntos de que no son ni abiertos, ni cerrados.

Definición 6.Sea un subconjunto abierto de que no necesariamente contiene a .

Sea . Se dice que el límite de en para es , si dado y positivo existe un , funciónde también positivo tal que .

Notación:

(Obsérvese que en la definición de límite, puede estar en o no).

Teorema 1.Sea ,

complejo dado y Entonces

Teorema 2.(Propiedades de los límites)

Sean

Sean y en . Si y entonces:

1.

2.

3.

4. y si

5. Si se tiene y con Imagen de y abiertos en . Si además

y entonces . es composición de funciones.

Definición 7.(Continuidad)Sea abierto y es “contínua en ” se cumplen las condiciones siguientes:

1. (En el caso de límite no era necesario)

2.

3.

Esta definición, utilizando y sería:es contínua en si dado existe función de , también tal que

98

20

Problema 5.

Ahora bien, si es contínua para todo se dice que es contínua en .

Teorema 3.(Propiedades de las funciones contínuas)Sean y , contínuas en , entonces también son contínuas en las funciones:

con .

Además, si es continua en y lo es en , entonces será contínua la composición en .

Teorema 4.Sea ,

Entonces es contínua en y son contínuas en (Recuérdese que y son campos escalares, es

decir, funciones de como conjunto de pares en ). En simbolos: es contínua en

y son contínuas en .


Problema 1Sea la función polinómica :

. Hallar , .

Solución

Problema 2

Sea . Hallar , .

Solución

Problema 3Dada . Hallar , .

Solución

99



con .


Teorema 4.Sea ,






. Hallar , .

Solución

Problema 2

Sea . Hallar , .

Solución


Solución

99

21

Problema 6.



con .


Teorema 4.Sea ,






. Hallar , .

Solución

Problema 2

Sea . Hallar , .

Solución


Solución

99



con .


Teorema 4.Sea ,






. Hallar , .

Solución

Problema 2

Sea . Hallar , .

Solución


Solución

99

22

Problema 7.

Problema 4

Sea . Hallar , .

Solución

Problema 5

Demuestre que existe para la función identidad en , en un cualquiera de

Solución

tal que

Ahora, sea cualquiera en .Fijado debemos hallar tal que

cualquier .Luego siempre.

Quedando demostrado que existe y es .

Problema 6

Utilice el ejercicio anterior para demostrar que la función identidad es contínua en .

Solución

En efecto: es contínua en cualquier puesto que sisi se elige .

Problema 7

Demuestre que es contínua para todo .

Solución

Sólo falta probar, que existe . En efecto, con .

Luego existe ya que cada es la función identidad, el ejercicio (6) nos dice que y ahora

aplicando la propiedad 3 del Teorema 2, e inducción sobre , se tiene que existe

.

Problema 8

Ahora, con el ejercicio (7) y las propiedades 2 y 1 del Teorema 2 e inducción sobre , es fácil deducir que la función

polinómica en y es una función contínua en .

100

Problema 4

Sea . Hallar , .

Solución

Problema 5

Demuestre que existe para la función identidad en , en un cualquiera de

Solución

tal que

Ahora, sea cualquiera en .Fijado debemos hallar tal que

cualquier .Luego siempre.

Quedando demostrado que existe y es .

Problema 6

Utilice el ejercicio anterior para demostrar que la función identidad es contínua en .

Solución

En efecto: es contínua en cualquier puesto que sisi se elige .

Problema 7

Demuestre que es contínua para todo .

Solución

Sólo falta probar, que existe . En efecto, con .

Luego existe ya que cada es la función identidad, el ejercicio (6) nos dice que y ahora

aplicando la propiedad 3 del Teorema 2, e inducción sobre , se tiene que existe

.

Problema 8

Ahora, con el ejercicio (7) y las propiedades 2 y 1 del Teorema 2 e inducción sobre , es fácil deducir que la función

polinómica en y es una función contínua en .

100

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