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Práctica 6Nmeros Complejos
yFunciones de variable compleja.
1
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Capítulo 8
Repaso sobre números complejos
Objetivos: Aquí vamos a necesitar que el alumno ponga de su parte y haga un repaso de los principales conceptossobre números complejos, toda vez que los va a necesitar de aquí en adelante.
8.1 Preliminares
Toda vez que este tema se trata en bachillerato y luego se repasa al entrar a la Universidad, vamos a recomendar alalumno una revisión de los tópicos siguientes:
1. Forma Binómica de un complejo : .
2. Conjugado: .
3. Módulo: si .
4. Operaciones de complejos en forma binómica: ; ; ; ; .
5. Forma Polar o Trigonométrica de : . Notación: . y
Si , se toma uno de los límites del arcotangente según el caso.
6. Paso de forma binómica a trigonométrica y viceversa.
7. Fórmula de De Moivre: .
8. Operaciones de Complejos en forma trigonométrica: ; ; .
9. Potencias de la unidad imaginaria :
; ; ; ; y en general ; con ; ya que .
10. con en la forma .
Suponiendo que el alumno ha hecho el repaso correspondiente, vamos a sugerir algunos ejercicios interesantes, enalgunos daremos las soluciones correspondientes, otros serán dejados al alumno.
8.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Ilustrar los conjuntos de puntos del plano complejo, dados a continuación, siendo números reales fijoscon , , .
(a)
89
Conocimientos básicos:
2
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Problema 1.
Capítulo 8
Repaso sobre números complejos
Objetivos: Aquí vamos a necesitar que el alumno ponga de su parte y haga un repaso de los principales conceptossobre números complejos, toda vez que los va a necesitar de aquí en adelante.
8.1 Preliminares
Toda vez que este tema se trata en bachillerato y luego se repasa al entrar a la Universidad, vamos a recomendar alalumno una revisión de los tópicos siguientes:
1. Forma Binómica de un complejo : .
2. Conjugado: .
3. Módulo: si .
4. Operaciones de complejos en forma binómica: ; ; ; ; .
5. Forma Polar o Trigonométrica de : . Notación: . y
Si , se toma uno de los límites del arcotangente según el caso.
6. Paso de forma binómica a trigonométrica y viceversa.
7. Fórmula de De Moivre: .
8. Operaciones de Complejos en forma trigonométrica: ; ; .
9. Potencias de la unidad imaginaria :
; ; ; ; y en general ; con ; ya que .
10. con en la forma .
Suponiendo que el alumno ha hecho el repaso correspondiente, vamos a sugerir algunos ejercicios interesantes, enalgunos daremos las soluciones correspondientes, otros serán dejados al alumno.
8.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Ilustrar los conjuntos de puntos del plano complejo, dados a continuación, siendo números reales fijoscon , , .
(a)
89(b)(c)
(d)
(e)
Solución
Ver Figuras Correspondientes.
Figura 8.1:
Figura 8.2:
Problema 2
Reconocer
Solución
(Completando cuadrados) Lo cual representa a una circunferencia decentro el punto y radio .
90
a)
(b)(c)
(d)
(e)
Solución
Ver Figuras Correspondientes.
Figura 8.1:
Figura 8.2:
Problema 2
Reconocer
Solución
(Completando cuadrados) Lo cual representa a una circunferencia decentro el punto y radio .
90
3
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b)
(b)(c)
(d)
(e)
Solución
Ver Figuras Correspondientes.
Figura 8.1:
Figura 8.2:
Problema 2
Reconocer
Solución
(Completando cuadrados) Lo cual representa a una circunferencia decentro el punto y radio .
90
4
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c)
Figura 8.3:
Figura 8.4:
Problema 3
Reconocer
Solución
SeaVer figura 8.8
Problema 4
Expresar y en términos de y
Solución
Sea
(por fórmula de De Moivre)Pero también
91
Figura 8.3:
Figura 8.4:
Problema 3
Reconocer
Solución
SeaVer figura 8.8
Problema 4
Expresar y en términos de y
Solución
Sea
(por fórmula de De Moivre)Pero también
91
5
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d)
Figura 8.5:
Figura 8.6:
Problema 5
Describir el conjunto
Solución
eje .
Problema 6
Si y son dos complejos cualesquiera (excepto cuando se indique que alguno de ellos sea
distinto del cero complejo )
(a)
92
Figura 8.5:
Figura 8.6:
Problema 5
Describir el conjunto
Solución
eje .
Problema 6
Si y son dos complejos cualesquiera (excepto cuando se indique que alguno de ellos sea
distinto del cero complejo )
(a)
92
6
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e)
Figura 8.7:
Figura 8.8:
(b) y en consecuencia si
(c) y si
(d) ,(e)
(f) y
(g)(h)
(i)
(j)
Solución
Vamos a hacer algunas de ellas, sencillas: Demostrar que para cualquier par de complejos y se cumple que
(i)
(j)
Sean , , entonces
(i) pero .
Ahora mientras que .
93
7
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Ejercicio 1.
(b)(c)
(d)
(e)
Solución
Ver Figuras Correspondientes.
Figura 8.1:
Figura 8.2:
Problema 2
Reconocer
Solución
(Completando cuadrados) Lo cual representa a una circunferencia decentro el punto y radio .
90
Ejercicio 2.
Figura 8.3:
Figura 8.4:
Problema 3
Reconocer
Solución
SeaVer figura 8.8
Problema 4
Expresar y en términos de y
Solución
Sea
(por fórmula de De Moivre)Pero también
91
8
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Problema 2.
Figura 8.3:
Figura 8.4:
Problema 3
Reconocer
Solución
SeaVer figura 8.8
Problema 4
Expresar y en términos de y
Solución
Sea
(por fórmula de De Moivre)Pero también
91
Figura 8.3:
Figura 8.4:
Problema 3
Reconocer
Solución
SeaVer figura 8.8
Problema 4
Expresar y en términos de y
Solución
Sea
(por fórmula de De Moivre)Pero también
91
Figura 8.5:
Figura 8.6:
Problema 5
Describir el conjunto
Solución
eje .
Problema 6
Si y son dos complejos cualesquiera (excepto cuando se indique que alguno de ellos sea
distinto del cero complejo )
(a)
92
Figura 8.5:
Figura 8.6:
Problema 5
Describir el conjunto
Solución
eje .
Problema 6
Si y son dos complejos cualesquiera (excepto cuando se indique que alguno de ellos sea
distinto del cero complejo )
(a)
92
9
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Problema 3.
(j)
Mientras que
Otras son un poco más elaboradas, como por ejemplo la (g) : En efecto:
por propiedad (6) - b(se sabe que la distributividad vale en )
(se utilizó (f))
Por tanto (puesto quePor tanto (por (c) y (e)), y por conclusión .
Las demás se dejan como ejercicios.
Problema 7
Sea
(a) Hallar los tales que ,
(b) Calcular para las soluciones de (a).
Solución
(a)
(observar que esta en el primer cuadrante)
,
(Para esto es necesario repasar )
Por tanto,
Todas las raíces de la ecuación . Ahora queremos hallar aquellos tales que pero
como 4to cuadrante, los en son aquellos para los cuales 4to cuadrante y ellos son para
(b) para
Problema 8
Resolver la ecuación
Solución
94
(j)
Mientras que
Otras son un poco más elaboradas, como por ejemplo la (g) : En efecto:
por propiedad (6) - b(se sabe que la distributividad vale en )
(se utilizó (f))
Por tanto (puesto quePor tanto (por (c) y (e)), y por conclusión .
Las demás se dejan como ejercicios.
Problema 7
Sea
(a) Hallar los tales que ,
(b) Calcular para las soluciones de (a).
Solución
(a)
(observar que esta en el primer cuadrante)
,
(Para esto es necesario repasar )
Por tanto,
Todas las raíces de la ecuación . Ahora queremos hallar aquellos tales que pero
como 4to cuadrante, los en son aquellos para los cuales 4to cuadrante y ellos son para
(b) para
Problema 8
Resolver la ecuación
Solución
94
10
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(j)
Mientras que
Otras son un poco más elaboradas, como por ejemplo la (g) : En efecto:
por propiedad (6) - b(se sabe que la distributividad vale en )
(se utilizó (f))
Por tanto (puesto quePor tanto (por (c) y (e)), y por conclusión .
Las demás se dejan como ejercicios.
Problema 7
Sea
(a) Hallar los tales que ,
(b) Calcular para las soluciones de (a).
Solución
(a)
(observar que esta en el primer cuadrante)
,
(Para esto es necesario repasar )
Por tanto,
Todas las raíces de la ecuación . Ahora queremos hallar aquellos tales que pero
como 4to cuadrante, los en son aquellos para los cuales 4to cuadrante y ellos son para
(b) para
Problema 8
Resolver la ecuación
Solución
94
(j)
Mientras que
Otras son un poco más elaboradas, como por ejemplo la (g) : En efecto:
por propiedad (6) - b(se sabe que la distributividad vale en )
(se utilizó (f))
Por tanto (puesto quePor tanto (por (c) y (e)), y por conclusión .
Las demás se dejan como ejercicios.
Problema 7
Sea
(a) Hallar los tales que ,
(b) Calcular para las soluciones de (a).
Solución
(a)
(observar que esta en el primer cuadrante)
,
(Para esto es necesario repasar )
Por tanto,
Todas las raíces de la ecuación . Ahora queremos hallar aquellos tales que pero
como 4to cuadrante, los en son aquellos para los cuales 4to cuadrante y ellos son para
(b) para
Problema 8
Resolver la ecuación
Solución
94 11
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Ejercicio 3.
Ejercicio 4.
(j)
Mientras que
Otras son un poco más elaboradas, como por ejemplo la (g) : En efecto:
por propiedad (6) - b(se sabe que la distributividad vale en )
(se utilizó (f))
Por tanto (puesto quePor tanto (por (c) y (e)), y por conclusión .
Las demás se dejan como ejercicios.
Problema 7
Sea
(a) Hallar los tales que ,
(b) Calcular para las soluciones de (a).
Solución
(a)
(observar que esta en el primer cuadrante)
,
(Para esto es necesario repasar )
Por tanto,
Todas las raíces de la ecuación . Ahora queremos hallar aquellos tales que pero
como 4to cuadrante, los en son aquellos para los cuales 4to cuadrante y ellos son para
(b) para
Problema 8
Resolver la ecuación
Solución
94
,
Problema 9
Calcular
Solución
,
Problema 10
Sea
(a) Hallar todas las soluciones en forma polar.
(b) Hallar todas las soluciones en forma binómica.(c) Representar las soluciones.
Solución
.
Sabemos que Primer cuadrante pero está en el segundo cuadrante. Por tanto
Figura 8.9:
(a)(b)
(c) La representación de las soluciones es (Ver figura 8.10)
95
12
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Problema 4.
,
Problema 9
Calcular
Solución
,
Problema 10
Sea
(a) Hallar todas las soluciones en forma polar.
(b) Hallar todas las soluciones en forma binómica.(c) Representar las soluciones.
Solución
.
Sabemos que Primer cuadrante pero está en el segundo cuadrante. Por tanto
Figura 8.9:
(a)(b)
(c) La representación de las soluciones es (Ver figura 8.10)
95
,
Problema 9
Calcular
Solución
,
Problema 10
Sea
(a) Hallar todas las soluciones en forma polar.
(b) Hallar todas las soluciones en forma binómica.(c) Representar las soluciones.
Solución
.
Sabemos que Primer cuadrante pero está en el segundo cuadrante. Por tanto
Figura 8.9:
(a)(b)
(c) La representación de las soluciones es (Ver figura 8.10)
95
a)
,
Problema 9
Calcular
Solución
,
Problema 10
Sea
(a) Hallar todas las soluciones en forma polar.
(b) Hallar todas las soluciones en forma binómica.(c) Representar las soluciones.
Solución
.
Sabemos que Primer cuadrante pero está en el segundo cuadrante. Por tanto
Figura 8.9:
(a)(b)
(c) La representación de las soluciones es (Ver figura 8.10)
95
13
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,
Problema 9
Calcular
Solución
,
Problema 10
Sea
(a) Hallar todas las soluciones en forma polar.
(b) Hallar todas las soluciones en forma binómica.(c) Representar las soluciones.
Solución
.
Sabemos que Primer cuadrante pero está en el segundo cuadrante. Por tanto
Figura 8.9:
(a)(b)
(c) La representación de las soluciones es (Ver figura 8.10)
95
,
Problema 9
Calcular
Solución
,
Problema 10
Sea
(a) Hallar todas las soluciones en forma polar.
(b) Hallar todas las soluciones en forma binómica.(c) Representar las soluciones.
Solución
.
Sabemos que Primer cuadrante pero está en el segundo cuadrante. Por tanto
Figura 8.9:
(a)(b)
(c) La representación de las soluciones es (Ver figura 8.10)
95
a)
,
Problema 9
Calcular
Solución
,
Problema 10
Sea
(a) Hallar todas las soluciones en forma polar.
(b) Hallar todas las soluciones en forma binómica.(c) Representar las soluciones.
Solución
.
Sabemos que Primer cuadrante pero está en el segundo cuadrante. Por tanto
Figura 8.9:
(a)(b)
(c) La representación de las soluciones es (Ver figura 8.10)
95
14
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,
Problema 9
Calcular
Solución
,
Problema 10
Sea
(a) Hallar todas las soluciones en forma polar.
(b) Hallar todas las soluciones en forma binómica.(c) Representar las soluciones.
Solución
.
Sabemos que Primer cuadrante pero está en el segundo cuadrante. Por tanto
Figura 8.9:
(a)(b)
(c) La representación de las soluciones es (Ver figura 8.10)
95
,
Problema 9
Calcular
Solución
,
Problema 10
Sea
(a) Hallar todas las soluciones en forma polar.
(b) Hallar todas las soluciones en forma binómica.(c) Representar las soluciones.
Solución
.
Sabemos que Primer cuadrante pero está en el segundo cuadrante. Por tanto
Figura 8.9:
(a)(b)
(c) La representación de las soluciones es (Ver figura 8.10)
95
a)
,
Problema 9
Calcular
Solución
,
Problema 10
Sea
(a) Hallar todas las soluciones en forma polar.
(b) Hallar todas las soluciones en forma binómica.(c) Representar las soluciones.
Solución
.
Sabemos que Primer cuadrante pero está en el segundo cuadrante. Por tanto
Figura 8.9:
(a)(b)
(c) La representación de las soluciones es (Ver figura 8.10)
95
15
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,
Problema 9
Calcular
Solución
,
Problema 10
Sea
(a) Hallar todas las soluciones en forma polar.
(b) Hallar todas las soluciones en forma binómica.(c) Representar las soluciones.
Solución
.
Sabemos que Primer cuadrante pero está en el segundo cuadrante. Por tanto
Figura 8.9:
(a)(b)
(c) La representación de las soluciones es (Ver figura 8.10)
95
,
Problema 9
Calcular
Solución
,
Problema 10
Sea
(a) Hallar todas las soluciones en forma polar.
(b) Hallar todas las soluciones en forma binómica.(c) Representar las soluciones.
Solución
.
Sabemos que Primer cuadrante pero está en el segundo cuadrante. Por tanto
Figura 8.9:
(a)(b)
(c) La representación de las soluciones es (Ver figura 8.10)
95
a)
,
Problema 9
Calcular
Solución
,
Problema 10
Sea
(a) Hallar todas las soluciones en forma polar.
(b) Hallar todas las soluciones en forma binómica.(c) Representar las soluciones.
Solución
.
Sabemos que Primer cuadrante pero está en el segundo cuadrante. Por tanto
Figura 8.9:
(a)(b)
(c) La representación de las soluciones es (Ver figura 8.10)
95
,
Problema 9
Calcular
Solución
,
Problema 10
Sea
(a) Hallar todas las soluciones en forma polar.
(b) Hallar todas las soluciones en forma binómica.(c) Representar las soluciones.
Solución
.
Sabemos que Primer cuadrante pero está en el segundo cuadrante. Por tanto
Figura 8.9:
(a)(b)
(c) La representación de las soluciones es (Ver figura 8.10)
95
16
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,
Problema 9
Calcular
Solución
,
Problema 10
Sea
(a) Hallar todas las soluciones en forma polar.
(b) Hallar todas las soluciones en forma binómica.(c) Representar las soluciones.
Solución
.
Sabemos que Primer cuadrante pero está en el segundo cuadrante. Por tanto
Figura 8.9:
(a)(b)
(c) La representación de las soluciones es (Ver figura 8.10)
95
Figura 8.10:
Problema 11
Demuestre que el conjunto de los tales que , es un par de rectas y halle las ecuaciones
de las mismas.
Solución
x=y
x=-y
96
17
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Funciones de variable compleja:
Capítulo 9
Funciones Complejas. Límite yContinuidad
Objetivos: Aquí el alumno aprenderá los importantes conceptos de límite y continuidad para funciones de .
9.1 Definiciones
Definición 1.Una función definida en los números complejos, se llama, función de variable compleja.
Diversas notaciones: ó decir la función ó simplemente la función .
(aunque esta última no es correcta desde el punto de vista didáctico, pero por comodidad, es la más usada)
Ejemplos.(a) La función , es la función identida, va de y transforma a un complejo en si mismo.
(b) , esta función asigna a cada complejo su conjugado.(c) , , es cualquier es transformado por la función en la constante
.
(d) Un polinomio de grado en la variable es un función con , con
, .
Definición 2.SeaEntonces, así como para un complejo se llaman y
. Aqui podemos describir mediante dos “Campos Escalares” en con
yNotación.Definición 3.Un conjunto es un “Conjunto Abierto” en si para cada punto existe , tal que ,
.
Definición 4.El conjunto es un disco abierto de centro y radio .
Notación:
Ahora, si el disco abierto no contiene a , se denota.
También para la definición podría presentarse como: es abierto en si para cada punto existe.
En el texto del Prof. A. Etcheberry se encuentra la demostración de que todo disco abierto en es a su vez
un conjunto abierto en . En el mismo texto se encuentran varios ejemplos de conjuntos abiertos, entre ellos, elconjunto vacío , es un conjunto abierto así como también el propio .
Definición 5.
97
Capítulo 9
Funciones Complejas. Límite yContinuidad
Objetivos: Aquí el alumno aprenderá los importantes conceptos de límite y continuidad para funciones de .
9.1 Definiciones
Definición 1.Una función definida en los números complejos, se llama, función de variable compleja.
Diversas notaciones: ó decir la función ó simplemente la función .
(aunque esta última no es correcta desde el punto de vista didáctico, pero por comodidad, es la más usada)
Ejemplos.(a) La función , es la función identida, va de y transforma a un complejo en si mismo.
(b) , esta función asigna a cada complejo su conjugado.(c) , , es cualquier es transformado por la función en la constante
.
(d) Un polinomio de grado en la variable es un función con , con
, .
Definición 2.SeaEntonces, así como para un complejo se llaman y
. Aqui podemos describir mediante dos “Campos Escalares” en con
yNotación.Definición 3.Un conjunto es un “Conjunto Abierto” en si para cada punto existe , tal que ,
.
Definición 4.El conjunto es un disco abierto de centro y radio .
Notación:
Ahora, si el disco abierto no contiene a , se denota.
También para la definición podría presentarse como: es abierto en si para cada punto existe.
En el texto del Prof. A. Etcheberry se encuentra la demostración de que todo disco abierto en es a su vez
un conjunto abierto en . En el mismo texto se encuentran varios ejemplos de conjuntos abiertos, entre ellos, elconjunto vacío , es un conjunto abierto así como también el propio .
Definición 5.
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es un “Conjunto Cerrado”, si su complementoes abierto.
Sin embargo hay subconjuntos de que no son ni abiertos, ni cerrados.
Definición 6.Sea un subconjunto abierto de que no necesariamente contiene a .
Sea . Se dice que el límite de en para es , si dado y positivo existe un , funciónde también positivo tal que .
Notación:
(Obsérvese que en la definición de límite, puede estar en o no).
Teorema 1.Sea ,
complejo dado y Entonces
Teorema 2.(Propiedades de los límites)
Sean
Sean y en . Si y entonces:
1.
2.
3.
4. y si
5. Si se tiene y con Imagen de y abiertos en . Si además
y entonces . es composición de funciones.
Definición 7.(Continuidad)Sea abierto y es “contínua en ” se cumplen las condiciones siguientes:
1. (En el caso de límite no era necesario)
2.
3.
Esta definición, utilizando y sería:es contínua en si dado existe función de , también tal que
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es un “Conjunto Cerrado”, si su complementoes abierto.
Sin embargo hay subconjuntos de que no son ni abiertos, ni cerrados.
Definición 6.Sea un subconjunto abierto de que no necesariamente contiene a .
Sea . Se dice que el límite de en para es , si dado y positivo existe un , funciónde también positivo tal que .
Notación:
(Obsérvese que en la definición de límite, puede estar en o no).
Teorema 1.Sea ,
complejo dado y Entonces
Teorema 2.(Propiedades de los límites)
Sean
Sean y en . Si y entonces:
1.
2.
3.
4. y si
5. Si se tiene y con Imagen de y abiertos en . Si además
y entonces . es composición de funciones.
Definición 7.(Continuidad)Sea abierto y es “contínua en ” se cumplen las condiciones siguientes:
1. (En el caso de límite no era necesario)
2.
3.
Esta definición, utilizando y sería:es contínua en si dado existe función de , también tal que
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Problema 5.
Ahora bien, si es contínua para todo se dice que es contínua en .
Teorema 3.(Propiedades de las funciones contínuas)Sean y , contínuas en , entonces también son contínuas en las funciones:
con .
Además, si es continua en y lo es en , entonces será contínua la composición en .
Teorema 4.Sea ,
Entonces es contínua en y son contínuas en (Recuérdese que y son campos escalares, es
decir, funciones de como conjunto de pares en ). En simbolos: es contínua en
y son contínuas en .
9.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Sea la función polinómica :
. Hallar , .
Solución
Problema 2
Sea . Hallar , .
Solución
Problema 3Dada . Hallar , .
Solución
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Ahora bien, si es contínua para todo se dice que es contínua en .
Teorema 3.(Propiedades de las funciones contínuas)Sean y , contínuas en , entonces también son contínuas en las funciones:
con .
Además, si es continua en y lo es en , entonces será contínua la composición en .
Teorema 4.Sea ,
Entonces es contínua en y son contínuas en (Recuérdese que y son campos escalares, es
decir, funciones de como conjunto de pares en ). En simbolos: es contínua en
y son contínuas en .
9.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Sea la función polinómica :
. Hallar , .
Solución
Problema 2
Sea . Hallar , .
Solución
Problema 3Dada . Hallar , .
Solución
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Problema 6.
Ahora bien, si es contínua para todo se dice que es contínua en .
Teorema 3.(Propiedades de las funciones contínuas)Sean y , contínuas en , entonces también son contínuas en las funciones:
con .
Además, si es continua en y lo es en , entonces será contínua la composición en .
Teorema 4.Sea ,
Entonces es contínua en y son contínuas en (Recuérdese que y son campos escalares, es
decir, funciones de como conjunto de pares en ). En simbolos: es contínua en
y son contínuas en .
9.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Sea la función polinómica :
. Hallar , .
Solución
Problema 2
Sea . Hallar , .
Solución
Problema 3Dada . Hallar , .
Solución
99
Ahora bien, si es contínua para todo se dice que es contínua en .
Teorema 3.(Propiedades de las funciones contínuas)Sean y , contínuas en , entonces también son contínuas en las funciones:
con .
Además, si es continua en y lo es en , entonces será contínua la composición en .
Teorema 4.Sea ,
Entonces es contínua en y son contínuas en (Recuérdese que y son campos escalares, es
decir, funciones de como conjunto de pares en ). En simbolos: es contínua en
y son contínuas en .
9.2 Ejercicios Resueltos
Problema 1Sea la función polinómica :
. Hallar , .
Solución
Problema 2
Sea . Hallar , .
Solución
Problema 3Dada . Hallar , .
Solución
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Problema 7.
Problema 4
Sea . Hallar , .
Solución
Problema 5
Demuestre que existe para la función identidad en , en un cualquiera de
Solución
tal que
Ahora, sea cualquiera en .Fijado debemos hallar tal que
cualquier .Luego siempre.
Quedando demostrado que existe y es .
Problema 6
Utilice el ejercicio anterior para demostrar que la función identidad es contínua en .
Solución
En efecto: es contínua en cualquier puesto que sisi se elige .
Problema 7
Demuestre que es contínua para todo .
Solución
Sólo falta probar, que existe . En efecto, con .
Luego existe ya que cada es la función identidad, el ejercicio (6) nos dice que y ahora
aplicando la propiedad 3 del Teorema 2, e inducción sobre , se tiene que existe
.
Problema 8
Ahora, con el ejercicio (7) y las propiedades 2 y 1 del Teorema 2 e inducción sobre , es fácil deducir que la función
polinómica en y es una función contínua en .
100
Problema 4
Sea . Hallar , .
Solución
Problema 5
Demuestre que existe para la función identidad en , en un cualquiera de
Solución
tal que
Ahora, sea cualquiera en .Fijado debemos hallar tal que
cualquier .Luego siempre.
Quedando demostrado que existe y es .
Problema 6
Utilice el ejercicio anterior para demostrar que la función identidad es contínua en .
Solución
En efecto: es contínua en cualquier puesto que sisi se elige .
Problema 7
Demuestre que es contínua para todo .
Solución
Sólo falta probar, que existe . En efecto, con .
Luego existe ya que cada es la función identidad, el ejercicio (6) nos dice que y ahora
aplicando la propiedad 3 del Teorema 2, e inducción sobre , se tiene que existe
.
Problema 8
Ahora, con el ejercicio (7) y las propiedades 2 y 1 del Teorema 2 e inducción sobre , es fácil deducir que la función
polinómica en y es una función contínua en .
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