INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica “Unidad Culhuacan”

Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica

Espacio de Estados

PRACTICA 3°

Simulacion de sistema MIMO

Profesor: Ing. Maya Pérez Edgar

Alumnos:

Ramirez Solano Jesus

Checa Ortega Luis Angel

Gallegos Barrancos Alfredo Adrian

Seballos Castro Daniel

Grupo: 7EV1

1

Índice.

Introducción ------------------------------------------------------------------------ 3

Objetivo ------------------------------------------------------------------------ 3

Marco teórico ------------------------------------------------------------------------ 3

Desarrollo ------------------------------------------------------------------------ 7

Conclusiones ----------------------------------------------------------------------- 20

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Introducción

Hasta el momento hemos venido estudiando problemas donde una señal de entrada genera una señal de salida (SISO). Pero se presentan muchas variables a controlar a la vez, que responden a los estímulos de distintas señales de entrada a la vez (MIMO).

En esta práctica se hará una simulación de un sistema MIMO con ayuda de Matllab y simulink. Para el modelo en variables de estado de un sistema con múltiples entradas y múltiples salidas, en condiciones iniciales que definirán a dicho sistema.

Objetivo

Obtener y comprender el comportamiento de un sistema MIMO con ayuda de Matlab cuyo sistema es modelado en variables de estado y observar las distintas condiciones a las que se someta un motor de C.D.

Marco teórico.

Teniendo un modelo, es posible predecir el impacto de distintos diseños de sistemas de control posibles sin comprometer al sistema real.

Los modelos matemáticos nos brindan los medios de capturar el comportamiento de un proceso sujeto a condiciones iniciales, entradas de control y perturbaciones mediante un conjunto de ecuaciones matemáticas.

Consideraremos un sistema MIMO con m entradas y n salidas, el cual se representa por el modelo básico de función de transferencia: y(s) = G(s)u(s), donde y(s) es el vector de variables controladas de dimensión n ×1, u es el vector de variables manipuladas de dimensión m×1 y G(s) es la matriz de funciones de transferencia de dimensiones n x m, o en forma matricial se tiene:

[ y1⋮⋮yn

(s )⋮⋮

(s ) ]=[ G11 (s ) G12 (s )⋯ G1n(s)G21 ( s) G 22 (s )… G2n (s )⋮

G x 1(s)⋮

Gx 2 (s )…⋮

Gnm(s)][ u1⋮⋮ux1

(s)⋮⋮

(s ) ]Los sistemas de control multivariable son sistemas con varias entradas y salidas, en los que una entrada afecta a varias salidas y recíprocamente una salida es afectada por varias entradas (Figura.3.) . El control de estos procesos, en la mayoría de los casos,

3

es altamente complejo y por lo general se deben tener en cuenta varios interrogantes para dar solución al problema de control.

Figura 3. Proceso MIMO

Representación de motores en espacio de estados.

Ya que los motores de CD se usan en forma extensa en sistemas de control, para propósitos de análisis, es necesario establecer modelos matemáticos para los motores de CD para aplicaciones de control.

Circuito equivalente para representar un motor de CD

Esta modelado como un circuito con resistencia conectada en serie a una inductancia, y a una fuente de voltaje que representa la fuerza contra electromotriz en la armadura cuando el rotor gira. Las variables y parámetros del motor se definen como sigue:

ia (t )=corriente dearmadura La=inductancia de la armadura

Ra=resistencia dearmadura ea ( t )=voltaje aplicado

eb (t )=fuerzacontraelectromotriz Kb=constante de la f . e .m .

T L ( t )=Par decarga φ=flujomagnético enentre hierro

T m (t )=par delmotor ωm (t )=velocidad angular del rotor

4

ϴm (t )=desplazamiento delmotor Jm ( t )=inercia delrotor

K i=constantedel par Bm=coeficientede fricción viscosa

Con referencia al Circuito equivalente para representar un motor de CD el control del motor se aplica a las terminales de la armadura en la forma del voltaje aplicado ea (t). Para un análisis lineal, se supone que el par desarrollado por el motor es proporcional al flujo en el entre hierro y a la corriente de la armadura. Por tanto:

T m=Km (t )φia (t ) -------1

Ya que es constante, la ecuación se escribe como:φ

T m=K i ia (t ) -------2

En donde Ki es la constante del par en N-m/A, lb-pie/A, u oz-plg/A

Al comenzar con el voltaje de entrada de control ea (t), las ecuaciones de causa y efecto para el circuito del motor son:

ea=eb+La

d iadt

+Ra ia --------3

T m=Jm

dωm

dt+Bmωm+T L ---------4

dϴm

dt=ωm ---------5

eb=K aωm ---------6

Sustituyendo la ecuación 6 en la ecuación 3, tenemos:

eb=K aωm+La

d iadt

+Raia --------7

Y sustituyendo 2 en 4, obtenemos:

K i ia=Jm

dωm

dt+Bmωm+T L --------8

Separando los términos derivativos de 7 y 8 en el lado izquierdo, se tiene las ecuaciones siguientes (9 y 10):

5

d iadt

=ea

La

−K aωm

La

−RaiaLa

d ωm

dt=

K i iaJm

−Bmωm

Jm

−T L

Jm

De donde se tiene que los estados del sistema son:

x=[ iaωm]

Y las entradas al sistema son:

u=[ ea

T L]

Por lo tanto el Modelo en Espacio de Estados se muestra en la ecuación:

[ iaωm]=[−Ra

La

−Ka

La

K i

Jm

−Bm

Jm][ iaωm]+[ 1La

0

0−1Jm

][ ea

T L]

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Desarrollo

Determinar y aplicar la función de los siguientes comandos:1) ss2tf 2) tf2ss

1°-Espacio de estado a función de transferencia:

Suponiendo que le un conjunto de ecuaciones de estado quiere convertirlas a la equivalente función de transferencia. Se puede realizar con el siguiente comando:

[num,den] = ss2tf(A,B,C,D,iu)

Creando el numerador y el denominador de la función de transferencia para la iu'ésima entrada. Note que en la mayoría de los sistemas considerados, hay sólo una entrada y por lo tanto el término "iu" no necesita incluirse. Por ejemplo.

m=1000b=50u=500

Si quiere cambiarlo a función de transferencia, solo corra el siguiente archivo-m:

A = [0 1 0 -0.05]; B = [0; 0.001]; C = [0 1]; D = 0;

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)

Matlab le debe devolver lo siguiente en la ventana de comandos:

7

num =

0 0.0010 0

den =

1.0000 0.0500 0

Esta es la forma en que Matlab presenta:

0.001s + 0 ------------------ s^2 + 0.05s + 0

Ahora tiene la función de transferencia que describe el sistema. Como puede ver este comando es muy fácil de usar. Aquí tiene algunas notas acerca de ss2tf:

2°-Función de transferencia a espacio de estado.

El comando contrario a ss2tf es el tf2ss, el cual convierte la función de transferencia de un sistema en la forma espacio de estado.

[A,B,C,D] = tf2ss(num,den)

Hay una única función de transferencia que describe al sistema, puede obtener múltiples ecuaciones de espacio de estado que describen al mismo sistema. El comando tf2ss devuelve las matrices de espacio de estado en la forma canónica controlable . Por lo tanto, si toma un conjunto de ecuaciones de espacio de estado, y las convierte a función de transferencia, y entonces lo convierte de nuevo, no obtendrá el mismo conjunto de ecuaciones de estado con el que ha empezado, a menos que lo haya hecho con matrices en la forma canónica controlable.

Tomando el numerador y el denominador de arriba y conviértalos a espacio de estado. Esto puede hacerse con el siguiente código de Matlab:

[A,B,C,D] = tf2ss(num,den)

Dando como resultado el conjunto de matrices:

A =-0.1818 31.1818 4.4541 0

8

1.0000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000 0

B = 1 0 0 0

C = 0 1.8182 0 -44.5460 0 4.5455 0 0

D= 0 0

Dando como resultado un conjunto diferente de matrices que se usó inicialmente, pero el comportamiento entrada-salida de este sistema es el mismo que el del anterior. Existen diferentes formas de representar una función de transferencia dada en la forma espacio de estado; Matlab elige la forma canónica controlable

Aplicándolo :

A=[-50.0 -150.0;1.5 -0.29166]B=[83.33 0;0 -0.833]C=[1 0;0 1]D=[0 0;0 0]in=[1 1;1 1][a,b]=ss2tf(A,B,C,D,in)

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a) Obtener las gráficas de las variables de salida (ia, ωm), del modelo de un motor de C.D.

con excitación separada, ante cambios de carga, considerando un voltaje de armadura constante y de 240VCD con un torque máximo de 29.2N.mea= 240VτL=29.2N.m

Los cambios de carga requeridos son:o De vacío a plena carga.o De ½ carga a plena carga.o De vacío a ½ carga.o De vacío a ½ carga a plena carga.

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o De plena carga a vacío a ½ carga.

Cada cambio se aplicará cada 4seg.

El modelo queda de la siguiente forma:

Al aplicar todo el torque y todo el voltaje las gráficas quedan de la siguiente forma:

ia=

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ωm=

Al obtener los cambios requeridos. De vacío a plena carga.

ia

12

ωm

De ½ carga a plena carga.

ia

13

ωm

De vacío a media carga.

Ia

ωm

14

De vacio a ½ carga a plena carga.

ia

ωm

15

De plena carga a vacío a ½ carga.

Ia

ωm

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1) Obtener la F.T. del sistema modelado en variables de estado.

[ iaωm]=[−Ra

La

−Ka

La

K i

Jm

−Bm

Jm][ iaωm]+[ 1La

0

0−1Jm

][ea

τ L]Sustituyendo valores:

[ iaωm]=[−50.0 −150.0

1.5 −0.29166 ][ iaωm]+[83.33 0

0 −0.833] [eaτL ]

G (s )=C (SI−A )−1B+Dx=Ax+Buy=Cx+Du

G (s )=(1 00 1)[S (1 0

0 1)−(−50 −150.01.5 −0.29166)]

−1

(83.33 00 −0.833)+(0)

G (s )=(1 00 1)[(S 0

0 S)−(−50 −150.01.5 −0.29166)]

−1

(83.33 00 −0.833)+(0)

G (s )=(1 00 1)[(S+50 150.0

−1.5 S+0.29166)]−1

(83.33 00 −0.833)+(0)

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A−1= 1det(A) [ a22 −a12

−a21 a11 ]det (A)=(S+50 150.0

−1.5 S+0.29166)det (A)= [(S+50 ) (S+0.29166 ) ]−[ (−1.5 ) (150.0 ) ]

det (A)= [S2+50.29166 S+14.583 ]−[−225 ]

det (A)=S2+50.29166 S+239.583

A−1= 1S2+50.29166 S+239.583 [ S+0.29166 −150.0

1.5 S+50 ]

A−1=[ S+0.29166S2+50.29166S+239.583

−150.0S2+50.29166 S+239.583

1.5S2+50.29166S+239.583

S+50S2+50.29166 S+239.583

]G(s)=(1 0

0 1)(S+0.29166

S2+50.29166S+239.583−150.0

S2+50.29166 S+239.5831.5

S2+50.29166S+239.583S+50

S2+50.29166 S+239.583)(83.33 0

0 −0.833)

(S+0.29166

S2+50.29166S+239.583−150.0

S2+50.29166S+239.5831.5

S2+50.29166S+239.583S+50

S2+50.29166S+239.583)(83.33 0

0 −0.833)

( S+0.29166S2+50.29166S+239.583 ) (83.33 )+( −150.0

S2+50.29166S+239.583 ) (0 )= 83.33S+24.3040278S2+50.29166 S+239.583

( S+0.29166S2+50.29166S+239.583 ) (0 )+( −150.0

S2+50.29166S+239.583 ) (−0.833 )= 124.95

S2+50.29166 S+239.583

18

( 1.5

S2+50.29166S+239.583 ) (83.33 )+( S+50S2+50.29166S+239.583 ) (0 )= 124.995

S2+50.29166 S+239.583

( 1.5

S2+50.29166S+239.583 ) (0 )+( S+50S2+50.29166S+239.583 ) (−0.833 )= −0.833 S−41.65

S2+50.29166 S+239.583

(83.33 S+24.3040278

S2+50.29166S+239.583124.95

S2+50.29166S+239.583124.995

S2+50.29166S+239.583−0.833S−41.65

S2+50.29166S+239.583)(1 00 1)

( 83.33 S+24.3040278S2+50.29166S+239.583 ) (1 )+( 124.95

S2+50.29166 S+239.583 )(0 )= 83.33 S+24.3040278S2+50.29166S+239.583

( 83.33 S+24.3040278S2+50.29166S+239.583 ) (0 )+( 124.95

S2+50.29166S+239.583 ) (1 )= 124.95

S2+50.29166S+239.583

( 124.995

S2+50.29166S+239.583 ) (1 )+( −0.833 S−41.65S2+50.29166 S+239.583 )(0 )= 124.995

S2+50.29166S+239.583

( 124.995

S2+50.29166S+239.583 ) (0 )+( −0.833S−41.65S2+50.29166S+239.583 ) (1 )= −0.833S−41.65

S2+50.29166S+239.583

(83.33 S+24.3040278

S2+50.29166S+239.583124.95

S2+50.29166S+239.583124.995

S2+50.29166S+239.583−0.833S−41.65

S2+50.29166S+239.583)

( 83.33 S+24.3040278S2+50.29166S+239.583 )( −0.833 S−41.65

S2+50.29166 S+239.583 )

19

−( 124.95

S2+50.29166 S+239.583 )( 124.995

S2+50.29166S+239.583 )

(−69.41389S2−3490.939755 S−1012.262758

(S2+50.29166S+239.583 )2 )−( 15618.12525

(S2+50.29166S+239.583 )2 )−69.41389S2−3490.939755S−16630.38801

(S2+50.29166 S+239.583 )2

Conclusiones

Checa ortega luis angel:

Pudimos realizar las simulaciones para predecir la reacción o los efectos a las distintas condiciones en que se somete un motor y observar como alcanza su estabilidad usando Matlab y su herramienta de simulink.

Alfredo Adrián Gallegos Barranco:

En esta práctica concluyo que por medio del programa MATLAB se pudo observar la variable de salida de un motor de C.D. y así conocer su comportamiento en los diferentes cambios de carga en su forma matricial.

Ramírez Jesús:

En la realización de esta práctica se concluyó que un motor de Corriente Directa (CD) forma parte del sistema MIMO ya que cuentan con múltiples entradas y salidas, y esto pudo comprobarse mediante las variaciones en sus entradas.

Ceballos Castro Daniel:

En esta práctica pudimos observar la simulación del sistema MIMO y su resultado obtenido en su simulación en Matlab y observar su variación en de vacío a plena carga, de ½ carga a plena carga, de vacío a ½ carga, de vacío a ½ carga a plena carga, de plena carga a vacío a ½ carga.

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Bibliografía

1. Sistemas de Control Automático, Benjamin C. Kuo, Editorial Pearson Educación, 7ª Edición, 1996.

2. http://es.slideshare.net/madeci95/sistemas-mimo

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