Práctica 2Práctica 2

La ecuación f(x)=0La ecuación f(x)=0

La ecuación f(x)=0La ecuación f(x)=0

Problemas clásicos y Problemas clásicos y

modernosmodernos

Métodos IterativosMétodos Iterativos

Tipos de convergenciaTipos de convergencia

Método del Punto FijoMétodo del Punto Fijo

Método de BisecciónMétodo de Bisección

Regula-FalsiRegula-Falsi

Archivos de FunciónArchivos de Función

Entradas y salidasEntradas y salidas

Bucles: WHILE Bucles: WHILE

Bifurcaciones Bifurcaciones

Condicionales IFCondicionales IF

Comparaciones y Comparaciones y

operaciones lógicasoperaciones lógicas

Un problema clásicoUn problema clásico

La duplicación del cubo La duplicación del cubo

22xx

Apolo quería, en el templo Apolo quería, en el templo dedicado a él en Delfos, un dedicado a él en Delfos, un altar cúbico de volumen altar cúbico de volumen doble al del altar del templo doble al del altar del templo de Atenea...de Atenea...

xx33 = 2 = 2

Un problema modernoUn problema moderno

La amortización de un préstamoLa amortización de un préstamo

Para comprarte un coche, pides un préstamo de Para comprarte un coche, pides un préstamo de un millón a 5 años. Lo devuelves pagando 20.000 un millón a 5 años. Lo devuelves pagando 20.000 Pts. al mes. ¿Qué interés te han aplicado?Pts. al mes. ¿Qué interés te han aplicado?

C = 1.000.000C = 1.000.000 a = 20.000a = 20.000

n = 5*12 = 60n = 5*12 = 60 r = 1 + i (i=tanto por uno)r = 1 + i (i=tanto por uno)

a = C.i.r a = C.i.r nn/(r /(r nn–1)–1)

Archivos.mArchivos.m

Contienen órdenes de MATLAB.Contienen órdenes de MATLAB.

Se invocan desde la ventana de órdenes, Se invocan desde la ventana de órdenes, o desde otro archivo.m.o desde otro archivo.m.

Se editan y graban como ficheros ASCII.Se editan y graban como ficheros ASCII.

Extienden las funciones definidas en Extienden las funciones definidas en MATLAB.MATLAB.

Archivos.m de FunciónArchivos.m de Función

functionfunction [dif,pago] = plazo(C,n,a,i)[dif,pago] = plazo(C,n,a,i)

Palabra clavePalabra clave Nombre de funciónNombre de función

Argumentos de entradaArgumentos de entradaArgumentos de salidaArgumentos de salida

plazoplazo

CCnnaaii

difdifpagopago

Métodos Iterativos para la Métodos Iterativos para la ecuación f(x) = 0ecuación f(x) = 0

Estimación inicialEstimación inicial xx1 1 tal que f(x tal que f(x11) ) 00

Proceso iterativoProceso iterativo xx22, x, x33, ... , x, ... , xkk, ... , ... x x** : f(x : f(x**) = 0 ) = 0

Criterio de paradaCriterio de parada |x|xk+1 k+1 xxkk| < tol ó |f(x| < tol ó |f(xkk)| < tol)| < tol

k k maxiter maxiter

Tipos de convergenciaTipos de convergencia

Error del paso kError del paso k

eekk = |x = |xk+1 k+1 xxkk||

Convergencia linealConvergencia lineal

eek+1 k+1 / e/ ekk cte cte

Convergencia cuadráticaConvergencia cuadrática

eek+1 k+1 / e/ ekk22 cte cte

Método del Punto FijoMétodo del Punto Fijo

Transformar la ecuación Transformar la ecuación f(x) = 0f(x) = 0 en una en una

ecuación equivalente de punto fijo: ecuación equivalente de punto fijo: xx = = g(x)g(x)..

Tomar una estimación inicial Tomar una estimación inicial xx11 de la solución. de la solución.

Para Para k = 1, 2, 3, …k = 1, 2, 3, … hasta que converja, iterar hasta que converja, iterar

xxk+1k+1 = g(x = g(xkk))

La instrucción WHILELa instrucción WHILE

Bucle controlado por una condiciónBucle controlado por una condición Sintaxis:Sintaxis:

while while condicióncondición

instruccionesinstrucciones

endend Las instrucciones se repiten mientras Las instrucciones se repiten mientras

la condición se verifique.la condición se verifique.

La instrucción IFLa instrucción IF

Bifurcación condicionalBifurcación condicional Sintaxis:Sintaxis:

if if condicióncondición

instruccionesinstrucciones

endend Las instrucciones se realizan si la Las instrucciones se realizan si la

condición se verifica.condición se verifica.

IF - ELSEIF - ELSE

DilemaDilema

if if condicióncondición

instrucciones ciertainstrucciones cierta

elseelse

instrucciones falsainstrucciones falsa

endend

Se ejecutan unas u otras instrucciones Se ejecutan unas u otras instrucciones según se verifique o no la condición.según se verifique o no la condición.

Comparaciones y Comparaciones y operaciones lógicasoperaciones lógicas

Operaciones lógicasOperaciones lógicas

ConjunciónConjunción &&

DisyunciónDisyunción ||

O exclusivaO exclusiva xorxor

NegaciónNegación ~~

Comparaciones Comparaciones

MenorMenor <<

Mayor Mayor >>

Mayor o igual >=Mayor o igual >=

Menor o igual <=Menor o igual <=

IgualIgual ====

DistintoDistinto ~= ~=

Archivo pfijo.mArchivo pfijo.m

EncabezadoEncabezado Definir parámetros de entrada y salidaDefinir parámetros de entrada y salida

PreparaciónPreparación Inicializar variablesInicializar variables

ProcesoProceso Hallar nueva estimación de la soluciónHallar nueva estimación de la solución Actualizar variables para el paso siguienteActualizar variables para el paso siguiente

SalidaSalida Advertir en caso de no convergenciaAdvertir en caso de no convergencia

0 5 10 151

1.2

1.4

1.6g(x) = sqrt(2/x)

0 2 4 61

1.1

1.2

1.3

1.4g(x) = (2/x^2 + 2*x)/3

0 2 4 60

2

4

6

8g(x) = 2/x^2

0 20 400

0.5

1g(x) = sin(x)

Teorema de Punto FijoTeorema de Punto Fijo

[a,b] xpartida de punto cualquier

para converge fijo punto de iteracion La

]a,b[ xtodo para 1<K<g'(x)

b][a, en g de fijo punto x

derivable ntecontinuameR, [a,b] :g

1

*

Método de BisecciónMétodo de Bisección

Determinar un intervalo Determinar un intervalo [a,b][a,b] tal que tal que f(a)f(a)

tenga distinto signo que tenga distinto signo que f(b)f(b)..

Hallar el punto medio Hallar el punto medio cc del intervalo. del intervalo.

Elegir, entre Elegir, entre [a,c][a,c] y y [c,b][c,b], un intervalo en el , un intervalo en el

que la función cambie de signo.que la función cambie de signo.

Repetir los pasos Repetir los pasos 22 y y 33 hasta conseguir un hasta conseguir un

intervalo con la precisión deseada. intervalo con la precisión deseada.

Convergencia del método de Convergencia del método de BisecciónBisección

El error máximo se divide por El error máximo se divide por 22 en en

cada paso.cada paso.

Cota de la raíz: Cota de la raíz: (b(ba)/2a)/2kk..

La aproximación obtenida puede ser La aproximación obtenida puede ser

peor que la del paso anterior.peor que la del paso anterior.