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Solución deecuacionesSimbólica

Alfonso Cubillos V

Introducción

Maxima - UnaIntroducción

Trabajo y EnergíaMétodo Variacional

Tracción Pura

Flexión

2.1

Capitulo 2Solución de ecuaciones SimbólicaAplicación a la Mecánica de Materiales

Aplicaciones computacionales de la Mecánica de Materiales

Alfonso Cubillos VPrograma de Ing. Mecánica

Universidad de Ibagué


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Introducción



Tracción Pura

Flexión

2.2

Herramientas de Calculo simbólico

Qué se puede hacer con una herramienta de calculo simbólico?

• Manipulación de expresiones simbólicas y numéricas• Diferenciación• Integración• Expansión en series de Taylor• Transformadas de Laplace• Ecuaciones diferenciales ordinarias• Sistemas de ecuaciones lineales• Vectores, matrices y tensores.

Y todo esto de forma simbólica !!!

Cuál es el software más conocido para realizar cálculossimbólicos?

• Maple• Mathematica• Maxima


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2.2



• Manipulación de expresiones simbólicas y numéricas

• Diferenciación• Integración• Expansión en series de Taylor• Transformadas de Laplace• Ecuaciones diferenciales ordinarias• Sistemas de ecuaciones lineales• Vectores, matrices y tensores.





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2.2



• Manipulación de expresiones simbólicas y numéricas• Diferenciación

• Integración• Expansión en series de Taylor• Transformadas de Laplace• Ecuaciones diferenciales ordinarias• Sistemas de ecuaciones lineales• Vectores, matrices y tensores.





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• Manipulación de expresiones simbólicas y numéricas• Diferenciación• Integración

• Expansión en series de Taylor• Transformadas de Laplace• Ecuaciones diferenciales ordinarias• Sistemas de ecuaciones lineales• Vectores, matrices y tensores.





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2.2



• Manipulación de expresiones simbólicas y numéricas• Diferenciación• Integración• Expansión en series de Taylor

• Transformadas de Laplace• Ecuaciones diferenciales ordinarias• Sistemas de ecuaciones lineales• Vectores, matrices y tensores.





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2.2



• Manipulación de expresiones simbólicas y numéricas• Diferenciación• Integración• Expansión en series de Taylor• Transformadas de Laplace

• Ecuaciones diferenciales ordinarias• Sistemas de ecuaciones lineales• Vectores, matrices y tensores.





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• Manipulación de expresiones simbólicas y numéricas• Diferenciación• Integración• Expansión en series de Taylor• Transformadas de Laplace• Ecuaciones diferenciales ordinarias

• Sistemas de ecuaciones lineales• Vectores, matrices y tensores.





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• Manipulación de expresiones simbólicas y numéricas• Diferenciación• Integración• Expansión en series de Taylor• Transformadas de Laplace• Ecuaciones diferenciales ordinarias• Sistemas de ecuaciones lineales

• Vectores, matrices y tensores.





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• Maple

• Mathematica• Maxima


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• Maple• Mathematica

• Maxima


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2.2








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2.3

¿De dónde viene Maxima?

• Maxima desciende del sistema Macsyma, desarrollado enel MIT (Massachusetts Institute of Technology) entre losaños 1968 y 1982 como parte del proyecto MAC.

• El MIT pasó una copia del código fuente al DOE(Department of Energy) en 1982, en una versión conocidacomo DOE-Macsyma.

• Una de estas copias fue mantenida por el Profesor WilliamF. Schelter de la Universidad de Texas desde el año 1982hasta su fallecimiento en 2001.

• En 1998 Schelter había obtenido del Departamento deEnergía permiso para distribuir el código fuente deDOE-Macsyma bajo licencia GNU-GPL, iniciando en elaño 2000 el proyecto Maxima en SourceForge con el finde mantener y seguir desarrollando DOE-Macsyma, ahoracon el nombre de Maxima.


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2.4

La primera impresión

Cuando se abre el programa lo primero que se encuentra es

wxMaxima 0.7.2 http://wxmaxima.sourceforge.netMaxima 5.12.0 http://maxima.sourceforge.netUsing Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.8 (aka GCL)Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.Dedicated to the memory of William Schelter.This is a development version of Maxima. The function bug_report()provides bug reporting information.

(%i1)

El indicador (%i1) señala que el program esta esperando laprimera entrada

(%i1) 3 + 4;

a lo que el programa responde

(%o1) 7

La letra i significa input (entrada) y la o significa output (salida)


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2.5

Algunos cálculos iniciales

Tips iniciales

• La asignación de variables se realiza por medio del operador dospuntos (:)

• Puede usar la etiqueta (%i*) o (%o*) para referirse a eseelemento

• Puede utilizar el operador (%) para referirse a la última salida

• Al final de cada orden debe ir el operador punto y coma (;)

• Si no desea ver la salida utilice al final ($)

(%i2) u: expand ((x + y)^6);

(%i3) diff (u, x);

(%i4) factor (%o3);


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2.6

Algunos cálculos inicialesPuede resolver sistemas de ecuaciones lineales y cúbicas

linsolve ([3*x + 4*y = 7, 2*x + a*y = 13], [x, y]);

solve (x^3 - 3*x^2 + 5*x = 15, x);

Así como generar gráficas

plot2d (sin(x)/x, [x, -20, 20]);

plot2d ([atan(x), erf(x), tanh(x)], [x, -5, 5]);

plot3d (sin(sqrt(x^2 + y^2))/sqrt(x^2 + y^2), [x, -12, 12],[y, -12, 12]);

Manipulación algebraica

eq1 : expand((a-2)*(b+1)^2*(a+b)^5);

factor(eq1);

eq1,a=2,b=2*c;

eq2 : 1/(x+y)-(y+x)/z+(x+y)^2;

subst(k,x+y,eq2);


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2.7

Algunos cálculos inicialesSimplificación de ecuacioneseq3 : (x^(a/2)-1)^2*(x^(a/2)+1)^2 / (x^a-1);

ratsimp(eq3);

ratsimp(%);

fullratsimp(eq3);

También permite manejo matricialm1 : matrix([3,4,0],[6,0,-2],[0,6,a]);

m2 : matrix([3],[b],[2]);

m3 : addcol(m1,m2);

Algebra matricialm4 : m1^2; /* Potenica */

m1 + m4; /* Suma */

m1.m4; /* Multiplicacion */

transpose(m1); /* Transpuesta */

determinant(m1); /* Determinante */

invert(m1); /* Inversa */


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2.8

Derivadas e Integrales

Derivadas

diff(x^log(a*x),x); /* Derivada respecto a x*/

diff(x^log(a*x),x,2); /*Segunda Derivada respecto a x*/

Derivadas parciales

depends(x,t);

eq : sin(x) + y;

diff(eq,t);

diff(eq,x);

diff(eq,y);

Integrales

integrate(cos(x)^3/sin(x)^4,x); /* Integral indefinida */

integrate(2*x/((x-1)*(x+2)),x,3,5); /* Integral definida */


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2.9

Trabajo y Energía

Concepto Fundamental

Energía Total de un sistema es la suma de su energíaPotencial + Cinética

ET = EP + EK

Para sistemas estáticos

Se toma la EK = 0, y por lo tanto

EP = U + WP

U es la energía de deformación, y WP es el potencial detrabajo de las fuerzas externas


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2.10

Trabajo y Energía

Energía de Deformación Paramateriales elásticos lineales

U =12

∫V

−→σ · −→ε dV

donde −→σ es el vector de esfuerzos,y −→ε es el vector de deformaciones,y por lo tanto

−→σ = [ σx σy σz τx τy τz ]T

−→ε = [ εx εy εz γx γy γz ]T

Potencial de Trabajo

WP = −∫

V

−→u ·−→f dV −

∫S

−→u ·−→T dS −

∑i

−→ui ·−→Pi


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2.11

Método de Rayleigh-Ritz

Energía Total

Para medios continuos

Π =12

∫V

−→σ · −→ε dV −∫

V

−→u ·−→f dV −

∫S

−→u ·−→T dS −

∑i

−→ui ·−→Pi

El método

Consiste en la construcción de un campo de desplazamientosupuesto, como

u =∑

aiφi(x , y , z) i = 1 a lv =

∑ajφj(x , y , z) j = l + 1 a m

w =∑

akφk (x , y , z) k = m + 1 a n

Donde las funciones φi usualmente son polinomios.


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2.12


Y cómo se solucionan?

Los desplazamientos u, v y w deben ser cinemáticamenteadmisibles. Es decir:

• u, v y w deben satisfacer las condiciones de frontera• Se debe satisfacer el conjunto de r ecuaciones

δΠ

δai= 0

para i = 1, 2, 3, . . . r

Carga Axial

U =12

∫E

A(

dudx

)2

dx


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2.12




• u, v y w deben satisfacer las condiciones de frontera

• Se debe satisfacer el conjunto de r ecuaciones

δΠ

δai= 0

para i = 1, 2, 3, . . . r

Carga Axial

U =12

∫E

A(

dudx

)2

dx


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2.12




• u, v y w deben satisfacer las condiciones de frontera• Se debe satisfacer el conjunto de r ecuaciones

δΠ

δai= 0

para i = 1, 2, 3, . . . r

Carga Axial

U =12

∫E

A(

dudx

)2

dx


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2.13

Ejemplo TracciónProblema 3.37 Shigley. La figura muestra una barra de acerorectangular de 3

8 por 1 12 in soldada a apoyos fijos en cada

extremo. La barra está axialmente cargada por las fuerzasFA = 10 kip y FB = 5 kip que actúan en los pasadores en A yB. Suponiendo que la barra no se pandee en forma lateral,determine el diagrama de deformación de la barra.

Energía Total del Sistema

Π =12

E A∫ l

0

(dudx

)2

dx − FA · uA − FB · uB


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2.14

Ejemplo Tracción

Campo de deformaciones supuesto. Polinomio de segundoOrden

u = a0 + a1 x + a2 x2

Definir las condiciones de frontera

u(x=0) = 0u(x=l) = 0

Aplicar las condiciones de Frontera

u(x=0) = a0 = 0u(x=l) = a1 · l + a2 · l2 = 0

a1 = −a2 · l


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2.15

Ejemplo Tracción

El campo de deformaciones con las condiciones de frontera

U = a2 x2 − a2 l x

Cálculos necesarios

dUdx

= 2 a2 x − a2 l

Ua = a2 la2 − a2 l la

Ub = a2 lb2 − a2 l lb

La energía del sistema

Π =12

a22 l3 A E

3+

(a2 l lb − a2 lb2

)Pb −

(a2 la2 − a2 l la

)Pa


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2.16

Ejemplo Tracción

Extremizar la energía

dΠ

da2=

a2 l3 A E3

+(

l lb − lb2)

Pb −(

la2 − l la)

Pa = 0

Despejar a2 y a1

a2 =

(3 lb2 − 3 l lb

)Pb +

(3 la2 − 3 l la

)Pa

l3 A E

a1 = −

(3 lb2 − 3 l lb

)Pb +

(3 la2 − 3 l la

)Pa

l2 A E

La función Aproximada

U = 2,49 · 10−4 x − 5,55 · 10−6 x2


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2.17

Ejemplo Tracción


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2.18

Ejemplo Tracción


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2.19

Ejemplo Tracción


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2.20

Ejemplo Tracción


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2.21

Ejercicio Tracción

Dibuje el diagrama de deformación aproximado. Calcule losesfuerzos y las fuerzas en los apoyos.


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2.22

Ejercicio TracciónUn cono sólido truncado es sometido a una carga axial Pcomo se muestra en la figura. Escriba un programa que puedausarse para obtener una aproximación de la elongación delcono. Sabiendo que el valor exacto de la elongación del conoes (P L)/(2πc2E) y utilizando valores de su elección para P, L,c y E , determine el porcentaje de error involucrado cuando seutiliza un polinomio de segundo, cuarto y seto orden.


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2.23

Para Momento Flector

La energía de deformación

U =12

∫V

−→σ · −→ε dV =12

∫ L

0E I

(d2vdx2

)2

dx

Ejemplo Carga Puntual


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2.24

Ejemplo Flexión

Campo de deformaciones supuesto. Polinomio de segundoOrden

v = a0 + a1 x + a2 x2

Definir las condiciones de frontera

v(x=0) = 0dvdx (x=0)

= 0

Aplicar las condiciones de Frontera

v(x=0) = a0 = 0devdx (x=0)

= a1 = 0


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Flexión

2.25

Ejercicio Flexión

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