práctica 1 solución 2012-1
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Pontificia Universidad Católica del Perú Estudios Generales Ciencias
Introducción a la Matemática Universitaria
Solución de la Práctica No. 1 Semestre académico 2012 – 1
INSTRUCCIONES � La práctica es sin libros, ni apuntes ni calculadoras. � No se permite el uso de correctores líquidos. � Duración: 2 horas
Pregunta 1
Analice la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones, justificando sus respuestas:
a) Si ] ]4;5 )2( −∈−x , entonces
∞−∈
++
9
13;
3
12
x
x. [2 p.]
b) Si 56
4≥
− b, entonces el conjunto solución de la inecuación en x: bxxx +<−<− 334212
es vacío. [2 p.]
Pregunta 2
a) Dado un número real a distinto de 1 y de -1, se definen los números reales x, y, A, B:
x = )1)(1( +− aa , )1)(1( 42 −+= aay ,
A = 4)1()1)(1()1( 244424 −++−++− aaaa , B = 22 4 −+ axy . Halle B
A. [1,5 p.]
b) Dada la ecuación cuadrática en x : 0)2(2)2( 2222 =−++− mxmxm , determine los valores de m tales que
dicha ecuación tenga dos soluciones reales iguales. [1,5 p.] Pregunta 3
a) Si los trinomios ( )83 2 +− axx y ( )63 2 −+ bxx tienen como factor común a ( )cx − , halle el valor de
( )cba + [1,5 p.]
b) Para n entero positivo, simplifique: 23
42
55
55−−
−−
−−
=nn
nn
E [1,5 p.]
Pregunta 4
Halle el conjunto solución en los números reales de:
a) 0)5)(2(
)3)(12(2
22
≤+−+−−+
xxx
xxxx [2 p.]
b) 113
1>
+−
+
x
x [3 p.]
CONTINÚA…
2 de 7
Pregunta 5
a) Racionalice el denominador en: 24
23 +
[2 p.]
b) Halle el conjunto solución en los números reales de: 34
4−≥
+−
xx
x. [3 p.]
Evaluación elaborada por los profesores del curso.
Coordinador de práctica: José Henostroza G.
Lima, 10 de abril de 2012.
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Pontificia Universidad Católica del Perú Estudios Generales Ciencias
Introducción a la Matemática Universitaria
Solución de la Práctica No. 1 Semestre académico 2012 – 1
Pregunta 1
Analice la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones, justificando sus respuestas:
a) Si ] ]4;5 )2( −∈−x , entonces
∞−∈
++
9
13;
3
12
x
x. [2 p.]
SOLUCIÓN
� Dividiendo: 3
52
3
5
3
)3(2
3
12
+−=
+−
+++
=++
xxx
x
x
x
� ] ]4;5 )2( −∈−x ⇒ 425 ≤−<− x
⇒ 63 ≤<− x ⇒ 930 ≤+< x
⇒9
1
3
1≥
+x
⇒9
5
3
5−≤
+−x
⇒9
13
3
52 ≤
+−x
⇒
∞−∈
++
9
13;
3
12
x
x
� Por tanto, la proposición es VERDADERA.
b) Si 56
4≥
− b, entonces el conjunto solución de la inecuación en x: bxxx +<−<− 334212
es vacío. [2 p.]
SOLUCIÓN
� Resolviendo la doble desigualdad: bxxx +<−<− 334212 ⇔ )34212( xx −<− ∧ )334( bxx +<−
⇔ )5( <x ∧
<−
xb
6
4
⇔ )5( <x ∧
−>
6
4 bx
� Luego, si 56
4≥
− b, se tiene que φ=CS
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Pregunta 2
a) Dado un número real a distinto de 1 y de -1, se definen los números reales x, y, A, B:
x = )1)(1( +− aa , )1)(1( 42 −+= aay ,
A = 4)1()1)(1()1( 244424 −++−++− aaaa , B = 22 4 −+ axy . Halle B
A. [1,5 p.]
SOLUCIÓN � Simplificando A mediante productos notables: A = [ ] 4)1)(1()1()1( 442424 −−++++− aaaa
= ( ) 4)1(12 88 −−++ aa
= 4122 88 −−++ aa = 18 −a � Simplificando B mediante productos notables: B = 22 4 −+ axy
= )1)(1( +− aa )1)(1( 42 −+ aa 22 4 −+ a
= )1( 2 −a )1)(1)(1( 222 +−+ aaa 22 4 −+ a
= 222 ))1)(1(( −+ aa 22 4 −+ a
= 24 )1( −a )1(2 4 −+ a = )1( 4 −a ( )1( 4 −a +2)
= )1( 4 −a )1( 4 +a = 18 −a .
� Luego, B
A = 1
1
18
8
=−−
a
a
b) Dada la ecuación cuadrática en x : 0)2(2)2( 2222 =−++− mxmxm , determine los valores de m tales que
dicha ecuación tenga dos soluciones reales iguales. [1,5 p.] SOLUCIÓN � La ecuación tendrá dos soluciones reales iguales, si su discriminante es igual a cero. Es decir,
( )( ) 0224)2( 2222 =−−− mmm .
� ( )( ) ( ) 01616044440224)2( 22442222 =−↔=+−−↔=−−− mmmmmmm
0)1(16 2 =−↔ m
� Luego, .11 −=∨= mm
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Pregunta 3
a) Si los trinomios ( )83 2 +− axx y ( )63 2 −+ bxx tienen como factor común a ( )cx − , halle el valor de
( )cba + [1,5 p.] SOLUCIÓN
� Usando la factorización por aspa para ( )83 2 +− axx : x c−
x3
c
8−
Se tiene que: ( ) axcxxc
−=−
− 38
, de donde acc
−=−− 38
. De ello: 238 cac += … (I)
� Usando la factorización por aspa para ( )63 2 −+ bxx : x c−
x3
c
6
Se tiene que: ( ) bxcxxc
=−
3
6, de donde bc
c=− 3
6. De ello: 236 cbc −= … (II)
� Sumando (I) y (II): 14=+ bcac . De donde ( ) 14=+ cba
b) Para n entero positivo, simplifique: 23
42
55
55−−
−−
−−
=nn
nn
E [1,5 p.]
SOLUCIÓN
( )( )
( )( ) ( )5
656
4
2455
515
155
55
55 1343
24
23
42
−=−=
−
=−−
=−−
= −+−−−
−
−−
−−nn
n
n
nn
nn
E
Pregunta 4
Halle el conjunto solución en los números reales de:
a) 0)5)(2(
)3)(12(2
22
≤+−+−−+
xxx
xxxx [2 p.]
SOLUCIÓN
� )3)(4(122 −+=−+ xxxx
� 2
19
2
15
22 +
−=+− xxx . De ello (u observando que su discriminante es negativo), 052 >+− xx ,
para todo x.
� La inecuación equivale a: 02
)3)(4( 22
≤+
−+x
xxx
� Haciendo la tabla de signos correspndiente: [ [ { }3;02;4 ∪−−=CS
6 de 7
b) 113
1>
+−
+
x
x [3 p.]
SOLUCIÓN
� Como 013 >+−x , para todo x, la inecuación equivale a: 131 +−>+ xx
� Trabajando por zonas con los valores de referencia -1 y 3:
φ∈
>−
++−>−−
+−−>+−
x
xx
xx
05
131
1)3()1(
φ=IIICS
2
3
131
1)3()1(
>
++−>+
+−−>+
x
xx
xx
312
3: <≤−∧> xxCSII
= 3;2
3IICS
IRx
xx
∈
−>
+−>+
30
1)3()1(
3: ≥∧∈ xIRxCSI
[ [+∞= ;3ICS
Luego:
+∞=∪∪= ;2
3IIIIII CSCSCSCS
Pregunta 5
a) Racionalice el denominador en: 24
23 +
[2 p.]
SOLUCIÓN
( )
( )
( )( )
( )( )4
416216.24
816
416216.242
416216
416216.
216
242
216
242
24
24.24
2
24
2
33 23
33 23
33 2
33 2
3
3
3
3
3
3
33
++−=
−++−
=
++
++−−
=
−−
=
−−
+=
+
b) Halle el conjunto solución en los números reales de: 34
4−≥
+−
xx
x. [3 p.]
Caso I: 3≥x Caso II: 31 <≤− x Caso III: 1−<x
3 -1
7 de 7
SOLUCIÓN � Hallando el conjunto solución de existencia (restricciones):
( ) 40044004
400
4
4≤≤↔≥∧≤<−↔
≥∧≥+−
↔
≥∧≥+−
xxxxx
xx
x
x.
Luego [ ]4;0=ExistenciaCS
� A continuación:
03:2Caso03:1Caso ≥−∨<− xx Es decir: 9:2Caso9:1Caso ≥∨< xx
� Notemos que según la condición de existencia, el caso 9≥x no se da. � Así: [ ] 94;0 <∧∈ xx
Luego, [ ]4;0== ExistenciaCSCS
Evaluación elaborada por los profesores del curso.
Coordinador de práctica: José Henostroza G.
Lima, 10 de abril de 2012.