Practica No. 1 Circuito RCJESUS FRANCISCO RAMIREZ CRUZ

FCFM BUAP; 18 Sur y Av. San Claudio, Col. San Manuel, Puebla, Pue. C.P: 72570

Fısica Contemporanea con Laboratorio

RESUMEN

El objetivo fundamental de esta practica es determinar la capacitancia en un capacitor de un circuitoRC a partir de algunas condiciones inciales (voltaje inicial) y la medicion del tiempo de descarga delcapacitor, ası como la resistencia del circuito y tiempos para determinados voltajes durante la descarga,con el fin de realizar una comparacion teorica-experimental en lo relacionado al voltaje en un circuitoRC. Para ello, se tendran en cuenta algunos conceptos basicos como el voltaje inicial, la ley de Ohm,la constante de tiempo, resistencia y capacitancia.

I. INTRODUCCION

El presente trabajo consiste en un experimen-to para determinar la capacitancia de un capacitorde un circuito RC, en donde se establece en pri-mera instancia, que es un circuito RC y como esla configuracion de estos. Posteriormente, se esta-blece el desarrollo matematico para determinar elvoltaje de un circuito RC en funcion del tiempo,acompanado de un argumento teorico para apoyarlas ideas presentadas aquı.

Al cargar o descargar un capacitor, se puede en-contrar casos en que las corrientes, voltajes y po-tencias si cambian con el tiempo, los capacitorestienen muchas aplicaciones que utilizan su capaci-dad de almacenar carga y energıa; por eso, enten-der lo que sucede cuando se cargan o se descarganes de gran importancia practica. Muchos circuitoselectricos contienen resistores y capacitores. La car-ga/ descarga de un capacitor tiene muchas aplica-ciones.

Por otra parte, un circuito RC es un tipo de cir-cuito compuesto por resistencias y condensadoresalimentados por una fuente electrica. Un circuitoRC de primer orden es la forma mas simple de es-te tipo de circuitos, y se compone de un resistory un condensador, pero su forma general consis-te en una asociacion de resistencias por una parte,y por otra, un unico condensador, ademas se in-cluyen los casos en los que hay varios capacitoresque se reducen a uno equivalente, y pueden tenertambien varias fuentes tanto dependientes como in-dependientes. Los circuitos RC tienen la propiedadde ser sistemas lineales e invariantes en el tiempo.Cuando el tiempo es igual a cero, el condensadoresta descargado, en el momento que empieza a co-rrer el tiempo, el condensador comienza a cargarse

ya que hay una corriente en el circuito. Debido alespacio entre las placas del condensador, en el cir-cuito no circula corriente, es por eso que se utilizauna resistencia.

Los circuitos RC pueden usarse para filtrar unasenal, al bloquear ciertas frecuencias y dejar pasarotras. Los filtros RC mas comunes son el filtro pasoalto, filtro paso bajo, filtro paso banda, y el filtroelimina banda.

En la configuracin de paso bajo la senal de salidadel circuito se coge en bornes del condensador, es-tando este conectado en serie con la resistencia. Encambio en la configuracion de paso alto la tensionde salida es la caıda de tension en la resistencia.

.Figura 1. Diagrama que representa un circuito RC

En el diagrama se muestran las diferentes partesque conforman un circuito RC, las cuales son:

C- Capacitor

S- Interruptor

Vc Voltaje/baterıa

1

V- Voltımetro

R- Resistencia

II. TEORIA RELACIONADA

Carga de un capacitor o condensadorSuponiendo que el condensador C de la figura

anterior esta inicialmente descargado, para cargar-lo, se necesita cerrar el interruptor S , y de estamanera se completa un circuito RC, formado porel condensador, una baterıa ideal y una resistencia.Sabemos entonces, que tan pronto como el circuitoeste completo, empieza a fluir carga, ya que existecorriente, entre una placa del condensador y unaterminal de la baterıa en cada lado del condensa-dor, Esta corriente aumenta la carga q en las placasy la diferencia de potencial VC = q

Cen los termi-

nales del condensador. Cuando esa diferencial depotencial es igual es igual a la diferencia de po-tencial en las terminales de la baterıa (que en estecaso es igual a la fem ε), la corriente es cero. Deq = CV , la carga de equilibrio (final) en el enton-ces completamente cargado condensador es igual aCε.

Ahora se desea examinar el proceso de carga, enparticularse desea saber como varıan la carga q(t)sobre las placas del condensador, la diferencia depotencial VC(t) en los terminales del condensador,y la corriente i(t) en el circuito durante el procesode carga. Aplicando la regla del lazo al circuito, re-corriendolo en el sentido de las manecillas del relojdesde el terminal negativo de la baterıa, encontra-mos:

ε− iR− q

C= 0

Y sabiendo que i = dqdt

, se tiene:

Rdq

dt+q

C= ε

que es la ecuacion de carga para un circuito RC.Esta ecuacion diferencial describe la variacion

de tiempo de la carga q sobre el condensador. Pararesolverla, se necesita hallar la funcion q(t), la cualsatisface tanto esta ecuacion como la condicion deque el condensador este inicialmente descargado;esto es q = 0 y t = 0. Donde la solucion a estaecuacion diferencial es:

q = Cε(1− e−t/RC)

Y al dividir por la capacitancia C, se encuentraque la diferencia de potencial VC(t) en los termina-les del condensador, durante el proceso de carga,es:

VC =q

C= ε(1− e−t/RC)

que es el voltaje dependiente del tiempo en lacarga de un condensador.

Descarga de un condensadorSupongase ahora que el condensador esta com-

pletamente cargado a un potencial V0 igual a lafem de la baterıa. Una vez realizado este proceso,suponiendo que el condensador se ha cargado com-pletamente, el potencial V0, que es el voltaje iniciales igual a la fem de la baterıa VC . En un tiemponuevo t = 0, el interruptor S se abre para que elcondensador pueda descargarse por la resistenciaR. Como varıa con el tiempo la carga q(t) y la co-rriente i(t) por el lazo de descarga del condensadory la resistencia? Para determinar esto planteamoslas siguientes ecuaciones a manera de llegar a unaecuacion diferencial que describa q(t).Vc + VR = 0 y ademas VR = iR, entonces tene-

mos:Vc = −VR = −iR, donde i = dq

dty tambien

VC = qC

por lo que finalmente:

q

C= −Rdq

dt

Y resolviendo la ecuacion por el metodo de se-paracion de variables, se tiene:

ln(q

q0

) = − 1

RCt

q

q0

= e−t

RC

q = q0e−t/RC

y dividiendo ambos lados por la capacitancia(C), se tiene:

V = V0e−t/RC

que nos muestra el voltaje dependiente del tiem-po, en la descarga de un capacitor.

El producto RC que contiene que aparece en laecuacion tienes las dimensiones del tiempo, porqueel argumento de un exponencial debe ser sin di-mensiones. El producto RC se le llama constantede tiempo capacitiva del circuito y se representacon el simbolo τ = RC. Podemos ver que en eltiempo t = τ , el voltaje ha disminuido hasta untercio de su voltaje inicial.

III. MATERIAL UTILIZADO

2

Capacitor

Resistencia (470000Ω)

Fuente de voltaje

Cronometro

3 caimanes

2 bananas

1 multımetro

2 pinzas

1 protoboard

1 interruptor

IV. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

1. Conectar el circuito de acuerdo al diagrama dela figura 1.

2. Con la fuente de voltaje, introducir un voltajeinicial de 9V, medir el tiempo de descarga del ca-pacitor varias veces y hacer el promedio de dichostiempos.

3. Hacer mediciones en determinados intervalos detiempo, anotando el voltaje marcado en el multıme-tro en ese instante.

4. Realizar una grafica del voltaje en funcion deltiempo.

.

Figura 2. Fuente de voltaje con el voltaje inicialutilizado en este experimento (9V).

.Figura 3. Arreglo experimental utilizado.

V. RESULTADOS EXPERIMENTALES

Se realizaron las siguientes mediciones en eltiempo de descarga de un capacitor:

1. (22,3± 1)s

2. (22,6± 1)s

3. (22,3± 1)s

4. (21,0± 1)s

5. (20,8± 1)s

6. (21,0± 1)s

7. (20,8± 1)s

8. (20,2± 1)s

9. (20,7± 1)sY al realizar el promedio de estos datos, se tiene:Tiempo promedio de descarga del capacitor:

(21,3± 1)sCon este tiempo de descarga promedio, se logra-

ron tomar mediciones del voltaje en distintos ins-tantes de tiempo, en t = 4s, 8s, 12s, 16sy20s, dondese tomaron 5 mediciones del voltaje por cada ins-tante de tiempo, y al final se realizo el promediodel voltaje para cada uno de estos instantes. Ası,estos resultados se muestran en la siguiente tabla:

Tiempo (s± 1s) Voltaje (V ± 1V )

0 94 1.1768 0.462412 0.165216 0.04920 0.0038

21.3 0Tabla 1. Voltaje en determinado tiempo durante

el proceso de descarga.De esta tabla se puede obtener la siguiente grafi-

ca:

3

.Figura 4. Grafica del voltaje en funcion del

tiempo.

Esta grafica nos da un decaimiento exponencialdel voltaje en funcion de tiempo, desde un volta-je inicial de la fuente hasta que llega a su descargatotal. En la siguiente grafica se hace una aproxima-cion lineal de la funcion exponencial de la primeragrafica mostrada en la figura 4:

.Figura 5. Aproximacion lineal de la funcion en la

grafca de la figura 4.

Al analizar la ecuacion V = V0e−t/RC , se ve que

lo mostrado en la grafica es muy similar a lo mos-trado por esta ecuacion. Dado un voltaje inicial

este decae exponencialmente por tRC

, donde se co-noce esevoltaje inicial y resistencia, valores que semantienen constantes, al igual que la capacitan-cia del capacitor, la cual se desconoce, y duran-te la practica se ha trabajado con la variacion delvoltaje-tiempo. Ahora bien, en la figura 5 se mues-tra una aproximacion lineal obtenida automatica-mente por el graficador utilizado, sin embargo sepuede realizar mediante calculos una aproximacinlineal para encontrar el valor de la capacitancia delcapacitor.

Tomando la ecuacion V = V0e−t/RC y sacando

ln a ambas partes de la ecuacion se tiene:

ln(V ) = ln(V0e− t

RC )

= ln(V0) + ln(e−t

RC )

= − t

RCln(e) + ln(Vo)

por lo que se tiene una ecuacion lineal, y se tie-ne: ln(V ) = − 1

RC+ ln(V0) , donde ln(V ) varıa con

el tiempo, y el termino −1/RC es la pendiente deesta funcion, que es lineal, y ln(V0) es el termino in-dependiente de esta. Tomando en cuenta todo esto,se realiza una tabla con los valores de ln(V ) comofuncion del tiempo. La siguiente tabla muestra en-tonces estos valores:

Tiempo (s± 1s) ln(V )

0 2.1974 0.1518 -0.75312 -1.82016 -2.93720 -5.572

21.3 ∞

Tabla 2. ln(V ) como funcion del tiempo.

Graficando y realizando nuevamente una apro-ximacion lineal mas precisa se tiene:

4

.Figura 6. Grafica de ln(V ) como funcion del

tiempo con los valores de la Tabla 2.

Donde se encuentra la funcion y = −0,36x+2,1,y aquı se puede ver que ln(9) = 2,1 y m = −0,36.Entonces m = − 1

RC, por lo que finalmente se tiene:

C = − 1mR

= − 1(470000Ω)(−0,36)

= 5,91µF .

VI. CONCLUSION

Se puede observar en este experimento como el vol-taje en un capacitor con una resistencia se descar-ga exponencialmente con el paso del tiempo, desdeun voltaje inicial y un tiempo cero, donde tam-bien se puede verificar que el tiempo capacitivoτ = RC = 2,82s , muestra que en este tiempoel capacitor se ha descargado hasta un tercio desdevalor inicial en el tiempo cero, por lo que lo descri-to en la teorıa es cierto al observar estos resulta-dos. Por otra parte, por las ecuaciones descritas enla parte de teorıa vemos que un capacitor de 6µFconectado a una resistencia 470000Ω y un voltajeinicial de 9V ; el capacitor tarda aproximadamente21,3s en descargarse por completo, corroborandode esta manera la hipotesis mostrada en la teorıacon estos resultados.

VII. BIBLIOGRAFIA

S/N, (2015). Circuito RC (Resistor-Capacitor). Recuperado el 6 de mayo de 2015,de http://unicrom.com/TutcircuitoRC.asp

S/N. (2015). Ley de Ohm. Recupe-rado el 6 de mayo de 2015, dehttp://thales.cica.es/cadiz2/ecoweb/ed0184/Tema2/2.5.1.htm

D. Halliday, R. Resnick, J. Walter, Fundamen-tos de Fısica, Vol. 2, Octava Edicion GrupoEditorial Patria, Mexico, 2010.

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