Potencias en la Geometra y en los Nmeros

1. Secuencia de actividades

a) Lugar de implementacin b) Actividades

2. Experiencia de la implementacin de la secuencia. 3. Evidencias de la Experimentacin.

.

1. Secuencia de actividades

Diseo 1

a) Lugar de implementacin

Colegio San Ignacio, Via del Mar

b) Actividades

Actividad 1 - Actividad 2 - Actividad 3 - Actividad 4 - Actividad 5 Evaluacin de la secuencia de actividades. Pauta de correccin de la evaluacin.

Diseo 2

c) Lugar de implementacin

Colegio San Ignacio, Via del Mar

d) Actividades

Actividad 1 - Actividad 2 - Actividad 3 - Actividad 4 - Actividad 5 Actividad 6 Evaluacin de la secuencia de actividades.

ACTIVIDAD 1 Objetivo de la actividad:

Sortear el obstculo didctico que se crea en la diferencia existente entre la suma iterada y la multiplicacin iterada

Modelo de tarjetas Contenido de tarjetas

1. En una distribuidora de huevos tienen que guardar un pedido en 3 cajas de una docena de huevos cada una. Cuntos huevos son del pedido? (Recuerda que una docena son 12 huevos) Desarrollo: 12+12+12 Respuesta: 36

2. Se quieren colocar en un saln 10 filas de 10 sillas cada una Cuntas sillas se necesitarn? Desarrollo: 1010 Repuesta: 100

3. Ayud en una librera a empaquetar cuadernos para un pedido; hice paquetes de 5 libros.

Cuntos libros caben en una caja si se alcanzan a colocar 3 paquetes de libros dentro de ella? Desarrollo: 5+5+5 Respuesta: 15

4. Doa Mara tiene un almacn y tiene que poner 3 bandejas de huevos en una caja. Si cada

bandeja tiene 6 huevos Cuntos huevos hay dentro de la caja? Desarrollo: 6+6+6 Respuesta: 18

Observaciones. La actividad est diseada para un trabajo

dual o de tres integrantes.

Se debe repartir 50 tarjetas las cuales se encuentran divididas en tres grupos: las situaciones (10 tarjetas), el desarrollo (20 tarjetas) y la respuesta (20tarjetas).

Los alumnos deben encontrar el desarrollo y la respuesta para cada una de las 10 situaciones planteadas en las respectivas tarjetas.

El tiempo estimado para su implementacin flucta entre los 15 a 20 minutos.

Se debe considerar que par culminar la actividad se debe realizar una puesta en comn (15 minutos) donde cada grupo exponga sus resultados y la estrategia que ocuparon para resolver la actividad.

Si en la puesta en comn existen

discusiones entre los grupos entonces la profesora puede intervenir en cada una de las discusiones aclarando dudas, pero sin entregar an la respuesta correcta.

Situacin Un condominio tiene 3 edificios. Cada edificio tiene 3 pisos y cada piso tiene 3 departamentos. Cuntos departamentos tiene el condominio?

Respuesta

27

Desarrollo 333

5. Si tengo cuatro cajas, y dentro de cada una de ellas hay 4 paquetes de velas que contienen

4 velas cada uno Cuntas velas son? Desarrollo: 444 Respuesta: 64

6. Tengo 2 plantas con 2 flores cada una Cuntas flores hay en total en la planta?

Desarrollo: 22 Respuesta: 4

7. Durante los 7 das de la semana mi entrenamiento consiste en trotar 2 kilmetros diarios Cuntos kilmetros recorr en mi entrenamiento semanal? Desarrollo: 2+2+2+2+2+2+2 Respuesta: 14

8. Un condominio tiene 3 edificios. Cada uno de 3 pisos. Si cada edificio tiene 3

departamentos por edificio. Cuntos departamentos tiene el condominio? Desarrollo: 333 Respuesta: 27

9. Una nia colecciona boletos de micro, cada da junta 2. Cuntos boletos tiene al cabo de 2 das? Desarrollo: 2+2 Respuesta: 4

10. Andrea trajo de su viaje 2 paquetes con 2 cajas cada uno, cada caja tiene 2 bolsas, cada bolsa tiene 2 estuches y en cada estuche hay 2 lpices Cuntos lpices trajo Andrea de su viaje?

Desarrollo: 22222 Respuesta: 32

Es conveniente que la puesta en comn se realice por pregunta y que cada grupo exponga sus argumentos.

Se debe considerar que a los alumnos se les debe explicar la actividad utilizando los trminos sumando" y factor.

Si los alumnos comenten errores, es recomendable no tajarlos (marcar una x), sino que enmarcarlos en un circulo.

Informacin: Rol de la profesora: Mediador o gua de la actividad. Rol del alumno: Participante activo de su aprendizaje. Secuencia temporal:

10-15 min. Recepcin de los alumnos

05-10 min. Instrucciones de la actividad y entrega del material a utilizar. 15-20 min. Desarrollo grupal de la actividad por parte de los alumnos. 15-20 min. Discusin y plenario sobre las respuestas de cada grupo. 05-10 min. Resolucin de dudas por parte de la profesora. 05-10 min. Explicacin y ejercicios sobre diferencia entre multiplicacin iterada y suma iterada.

Materiales: Tarjetas (de preguntas, desarrollo y respuesta), pizarra y plumones.

ACTIVIDAD 2

Objetivos de la actividad: Los alumnos en base a la actividad planteada puedan descubrir el concepto de Potencias. Adems de conocer los elementos que la componen. El rey Arturo y Rupertn

Cierto da el rey Arturo, rey de Bangladesh, se encontraba muy aburrido en su castillo y mand a sus sbditos a buscar plebeyos de su reino que estuvieran dispuestos a entretenerlo. Si lograban entretenerlo les dara un premio, el que ellos quisieran. Si no lo lograban seran severamente castigados en el calabozo de su castillo. Es as, como pasaron muchos plebeyos antes que Rupertn, un nio de 8

aos, que hizo rer a carcajadas al rey Arturo y lo mantuvo entretenido toda la tarde. Luego de esto el rey le dijo a Rupertn que le pidiera lo que fuera, que l se lo dara, entonces Rupertn le dijo: Deseo que a partir de maana (primer da) me regales dos semillas, al segundo da me regales el doble de lo del primer da, al tercer da me regales el doble de lo que me diste el segundo da y as sucesivamente hasta completar todos los casilleros del tablero de ajedrez. El rey acept muy confiado la propuesta de Rupertn.

Observaciones

Se recomienda entregar a los

alumnos la actividad impresa o fotocopiada.

La actividad est diseada para poder trabajarla en forma grupal.

El tiempo para el trabajo de los alumnos (sin la puesta en comn) es de 35 minutos, aproximadamente.

Es necesario realizar la puesta en comn, donde los grupos debern exponer sus estrategias y resultados.

Se debe fomentar el debate de los alumnos realizando preguntas en relacin a el resultado y estrategias utilizadas, como por ejemplo, Cmo lo hicieron?, Porqu de esa manera?, etc.

Ahora responde las siguientes preguntas en relacin al cuento:

1. Habr sido adecuado que el rey aceptara el trato de Rupertn? Qu opinas? 2. Cuntos chocolates tendr Rupertn en el quinto da? Y en el noveno da?

3. Cuntas semillas tendr en el da 25?

Para poder lograr concretamente el objetivo de la actividad, el profesor deber realizar la contextualizacin del concepto, en base a las estrategias que los alumnos desarrollan, u dar uno que otro ejemplo de potencia.

Contextualizacin:

1. Cuando se realice la puesta en comn de los alumnos y stos se equivoquen, el desarrollo del ejercicio no borrarlo de la pizarra, ya que servir a modo de ejemplo para los dems compaeros que ese camino est incorrecto. Lo ideal es encerrarlo en un crculo y que el profesor argumente a los alumnos el porqu dicho procedimiento es incorrecto.

2. Al momento de realizar la puesta en comn, lo ideal es utilizar la siguiente estrategia:

Para posteriormente concluir con:

Informacin: Rol de la profesora: Mediador o gua de la actividad. Rol del alumno: Participante activo de su aprendizaje. Secuencia temporal: 05-10 min. Recepcin de los alumnos 05-10 min. Instrucciones de la actividad y entrega del material a utilizar. 15-30 min. Desarrollo de la actividad grupal por parte de los alumnos. 10-20 min. Discusin a nivel de curso sobre las conclusiones de cada grupo, argumentando cada una de sus

respuestas. 10-20 min. Contextualizacin del concepto Potencia. Dar definicin y algunos ejemplos.

Materiales: Un tablero de ajedrez (como el que se muestra en la figura), semillas (pueden ser semillas de mote por ejemplo) y hoja de preguntas.

ACTIVIDAD 3 Objetivos de la actividad: Conjeturar mediante las situaciones planteadas que en una potencia si la base y el exponente se invierten , el resultado no es el mismo , es decir, ab ba . Carola y Cristina conversan: Al da siguiente se encuentran nuevamente

Observaciones. Esta actividad es recomendable

que sea entregada a los alumnos en formato impreso.

Est diseada para trabajarla en forma individual o dual.

El tiempo para el desarrollo de

la actividad (sin considerar la puesta en comn), incluyendo ejercicios, vara entre los 50 y 60 minutos.

Cristina: Yo compr dos saquitos de dulces y cada saquito contiene dos

cajitas y cada cajita tiene dos compartimientos con dos dulces cada

Carola: Mi madre me compr cuatro cajas de dulces y cada caja contena cuatro dulces.

Cristina: Yo compr 4 cajas con dulces y dentro de cada una de ellas vienen 4 envases plsticos.

Y cada envase trae 4 dulces.

Carola: Compr 3 cajas con dulces que contienen 3 envases plsticos cada una. Y cada

envase, a su vez, trae 3 bolsas con 3 dulces.

Y al tercer da se vuelven a encontrar. En cada situacin anterior responde: 1. En cada situacin responde Cuntos dulces tiene cada una? Tienen la misma cantidad? Qu sucede? 2. Podras expresarlo en potencias? Cules son las potencias? Cul es el resultado de dichas potencias? 3. En cada situacin puedes determinar semejanzas o diferencias? 4. Tienen alguna relacin? Generaliza y ejemplifica tus conjeturas.

Observaciones.

Tener en cuenta que cada una

de las preguntas se deben responder para las tres situaciones.

El tiempo estimado para la puesta en comn de esta actividad es de 20 a 30 minutos aproximadamente.

Para poder lograr obtener concretamente el objetivo planteado, es recomendable seguir con algunos ejercicios (ver ejemplos ms abajo).

Cristina: Yo compre tres cajitas y cada caja tenia tres dulces.

Carola: Yo compr dos cajas y cada caja tena dos compartimientos con dos dulces.

Gua de ejercicios

I. Determina el valor de las siguientes potencias: a) 56 = 65 = b) 32 = 23 = c) 42 = 24 = d) 35 = 53 =

Algn resultado te llama la atencin? Por qu?

II. Son verdaderas las siguientes igualdades?

a) b) c) Existira un par de nmeros diferentes para que una igualdad de este tipo se cumpla? Comenta con tus compaeros y compaeras. Puedes conjeturar al respecto? Justifica y ejemplifica.

Observaciones.

Estos ejercicios pueden servir

como gua para ayudar a los alumnos a tener claro que la conmutatividad entre la base y el exponente no se cumple para todos lo nmeros, slo ocurre en este caso para el ejercicio I c.

El tiempo estimado para la resolucin de estos ejercicios vara entre 10 y 15 minutos

Informacin: Rol de la profesora: Mediador o gua de la actividad Rol del alumno: Participante activo de su aprendizaje Secuencia temporal:

05-10 min. Recepcin de los alumnos

05-10 min. Instrucciones de la actividad y entrega del material a utilizar. 15-20 min. Desarrollo individual de la actividad por parte de los alumnos. 10-15 min. Discusin a nivel curso sobre las respuestas de cada grupo, argumentando cada respuesta. 05-10 min. Trabajo individual de los alumnos en la gua de ejercicios.

05-15 min. Se realiza una breve sntesis de la clase utilizando como ejemplo los ejercicios de la gua, donde explicita que la generalidad encontrada tambin tiene por lo menos una excepcin y se muestra en la clase.

Materiales: Dos hojas, una con la situacin problema y la otra con los ejercicios.

ACTIVIDAD 4 Objetivos de la actividad: Los alumnos formulan conjeturas a travs del razonamiento y de la utilizacin de recursos geomtricos y numricos

Actividad

Sergio y Mara resuelven por separado la siguiente multiplicacin: 32 22

Fjate muy bien en ambas estrategias Sergio piensa en filas de cubos:

Mara, en cambio, resuelve de la siguiente forma: Como y entonces , pero 422 823 328422 32 y puedo escribir . 2222232 3225

Observaciones

Es recomendable que la entrega de la actividad sea impresa.

Se recomienda que la actividad sea trabajada de forma individual o grupal pero a lo ms de tres personas por grupo.

Una vez entregada las impresiones, el docente las lee en voz alta y aclara dudas de comprensin a los alumnos.

Se esperan que en la puesta en comn los alumnos logren el objetivo.

Las preguntas propuestas tiene por fin orientar a los alumnos a conseguir los objetivos.

4 6 24

Ahora lee con atencin y responde a las siguientes preguntas

Ambas estrategias son correctas? Argumenta Explica con tus palabras la estrategia correcta Cul es la potencia asociada al resultado de la siguiente multiplicacin 32 22 ? Qu igualdad surge de la estrategia de mara? Apyate en la pregunta anterior. Esa igualdad se cumple para cualquier multiplicacin de potencias? En qu casos se cumple?

Prueba en las siguientes multiplicaciones la igualdad encontrada en la estrategia de Mara.

32 33 a) = b) = 34 22 c) = 32 44

Se puede aplicar la igualdad descubierta en las siguientes adiciones.

32a) 22 b) 24 33 c) 32 44 d) 34 22 e) 32 33

Qu aprendiste con esta actividad?

Se presentan ejercicios con el fin de los alumnos validen sus conjeturas.

Posteriormente se les pregunta lo que han aprendido para verificar la obtencin del aprendizaje.

Informacin: Rol de la profesora: Mediador o gua de la actividad Rol del alumno: Participante activo de su aprendizaje Secuencia temporal:

10-15 min. Recepcin de los alumnos, la profesora pasa la lista.

05-10 min. Instrucciones de la actividad y entrega del material a utilizar. 15-30 min. Desarrollo individual de la actividad por parte de los alumnos. 15-30 min. Discusin y plenario sobre las respuestas de cada alumno. 05-10 min. Resolucin de dudas por parte de la profesora. 05-10 min. Explicacin del objetivo de la actividad.

Materiales: Actividad impresa, pizarra y plumones.

ACTIVIDAD 5 Objetivos de la actividad: Los alumnos validan la propiedad de las potencias: con nmmn aaa /Nnma ,, Realizar ejercicios para comprender los aprendizajes antes trabajados.

tem 1

Encuentre el resultado de las siguientes multiplicaciones y djelo expresado como una potencia.

a. 577

b. 24 22

c. 23 101010

d. 243 555

Encuentra el exponente que falta en cada caso para que se cumpla la igualdad:

a. 5__3 666

b. 1034__ 2222

c. 13__23 7777

d. 34444

e. __325 5555

f. __762 3333

Observaciones La implementacin de esta gua

esta dada para 90 minutos. Entregar la gua impresa

fotocopiada. Posteriormente realizar una lectura general de ella. (15 minutos).

Modalidad de trabajo: en parejas. El tem nmero uno esta diseado

para reforzar la propiedad de multiplicacin de potencia de igual base.

tem 2

1. A continuacin se presentan los desarrollos de Fernanda y Camila de un mismo ejercicio:

Son correctos ambos procedimientos? Si hay un error Quin lo cometi? Cul fue su error? Cmo lo resolveras t?

El tem nmero dos pregunta 1

tiene por objetivo el trabajo de operaciones combinadas de potencias.

2. Completa el cuadro.

POTENCIA BASE EXPONENTE DESARROLLO VALOR 122 93 8 3 10 5 6 4 5555 33333 172 222222

3. Completa las igualdades y descubre alguna regularidad.

Qu puedes concluir?

En el enunciado dos se presenta

un cuadro resumen con la intencin de que los alumnos identifiquen las partes de una potencia y apliquen la definicin de esta misma.

En el tercer enunciado se enfoca a verificar las igualdades y las sumas escribirlas como potencias cuadradas cbicas dependiendo de la recurrencia.

975317531531

23111

2

2

2927252321191715131197

25311

3

3

4. Lee con atencin las siguientes situaciones y responde las preguntas, desarrollando detalladamente el procedimiento utilizado.

a. Juan Pablo baja desde Internet 4 canciones cada hora, l se conecta 4 horas diarias, 4 das a la semana

y cada cancin dura 4 minutos. Si cada mes tiene 4 semanas. Cuntos minutos de msica baja al mes? A cuntas horas corresponden?

b. Paula compra para una fiesta 8 cajas con pasteles, cada caja tiene bandejas y cada bandeja 8 pasteles.

Cada persona come 2 pasteles. Cuntas personas van a la fiesta?

c. Carlos se propone reunir litros de aceite para donar a las familias de escasos recursos. El primer da Carlos dona 1 litro de aceite, al segundo da decide llamar a dos amigos para que cada uno done 1 litro de aceite con el compromiso de que ellos llamen a dos amigos ms al otro da y hagan su donacin y as sucesivamente hasta completar 4 das. Cuntos amigos se llamaron para hacer la donacin? Observacin: los amigos no se deben repetir.

5. Escribe la potencia asociada

Cinco elevado a siete = 39 = Dos elevado a seis = 52 = Veintids elevado a ocho = Cuatro al cubo =

6. Observa las figuras y completa.

22= 22=

222= 23=

En el enunciado nmero cuatro

se presentan problemas de aplicacin del concepto de potencia en donde se les solicita a los alumnos un cambio de registro, es decir, pasar de un registro verbal a un registro aritmtico grfico, presentndose as diversas estrategias para la resolucin de estos.

El enunciado nmero cinco

fomenta al alumno a asimilar el cambio de registro, es decir, del registro aritmtico al registro verbal.

El enunciado nmero seis ayuda a

comprender el concepto de potencia a partir de una representacin grfica, adems fomenta la comprensin del volumen de la superposicin de cubos.

33= 32=

333= 33=

44= 42=

444= 43=

Qu puedes concluir?

Informacin: Rol de la profesora: Mediador o gua de la actividad Rol del alumno: Participante activo de su aprendizaje Secuencia temporal: 10-15 min. Recepcin de los alumnos, la profesora pasa la lista. 05-10 min. Instrucciones de la actividad y entrega del material a utilizar. 15-20 min. Desarrollo individual de la actividad por parte de los alumnos. 15-20 min. Discusin en grupos sobre las respuestas de cada alumno. 05-20 min. Resolucin de dudas por parte de la profesora en la pizarra para todo el curso.

ones. Materiales: Actividad impresa, pizarra y plum

EVALUACIN DE LA SECUENCIA

Prueba de Matemticas Nombre:_________________________________________ Curso:_____ Fecha:_________________ Objetivos de la prueba:

I. Que los alumnos entiendan las potencias como una forma de expresar cantidad y que implican una multiplicacin iterada.

II. Que los alumnos utilicen la escritura de potencias para realizar operaciones aritmticas con grandes y/o pequeas cantidades en el contexto de la resolucin de problemas.

Instrucciones: - Lea atentamente cada una de las siguientes preguntas y responda adecuadamente.

- Dispone de 10 minutos para hacer preguntas sobre la comprensin de los ejercicios.

I. Seleccin mltiple Lee atentamente y marca con una cruz la alternativa correcta. (2 puntos cada una)

1. 22 + 32 es igual a:

a) 52 b) 13 c) 10 d) 12 e) 62

2. El resultado de 52 + 5 es: a) 125 b) 15 c) 20 d) 10 e) 30

3. La expresin siete al cubo se escribe como:

a) 37 b) 72 c) 27 d) 73 e) 74

4. 3+32+3 es igual a:

a) 27 b) 81 c) 15 d) 13 e) 12

5. La expresin tres al cuadrado se escribe como:

a) 34 b) 43 c) 23 d) 32 e) 33

6. El resultado de ,se lee como:

2323 a) tres elevado a dos. b) tres elevado a tres. c) dos elevado a tres. d) tres elevado a cuatro. e) nueve elevado a dos.

Observaciones.

La entrega de esta prueba debe ser fotocopiada o impresa.

Los primeros 10 minutos

despus de haber entregado la prueba, realizar una lectura general y responder preguntas respecto a la comprensin de los enunciados.

La prueba se basa

principalmente en evaluar los aprendizajes alcanzados por los alumnos fundamentados en la presentacin de las secuencias anteriores.

Cada pregunta se basa en un tema en especfico (que fue tratado en clases), que posteriormente se realizar un estudio determinando que aprendizajes fueron logrados o no, debiendo retomarlos si es necesario.

El tiempo estimado para la resolucin de la prueba es para 40 a 60 minutos.

II. Completa el siguiente cuadro: (0,5 puntos cada una)

III. Observa los siguientes diagramas de rbol y encuentra la potencia asociada a cada uno de ellos.

(2 puntos cada una) ________ ________ IV. Explica con tus palabras que es una potencia y qu elementos tiene. ( 2,5 puntos)

V. Encuentra el exponente que falta en cada uno de los siguientes casos. (1 punto cada una)

a) 51 4 44 b) 73 22 22 c) 107 77777

Potencia Base Exponente Desarrollo Valor 32 4 64 22222

VI. Lee atentamente y responde las preguntas. (4 puntos)

Benjamn est guardando un juego de bloques de su hermana pequea, comienza a contarlos y cuenta 104 bloques. En ese instante aparece su mam y le dice: te faltan bloques que guardar Benjamn!, Cuntos me faltan? , dice Benjamn, su mam responde: Lee la caja donde vena el juego all dice el total. Benjamn lee en voz alta a su madre: La caja dice, el juego consta de bloques de 5 formas (crculos, tringulos, cuadrados, rombos y rectngulos), cada bloque viene en 5 colores diferentes y cada color viene en 5 tamaos distintos. La mam pregunta: Entonces Benjamn Cuntos bloques son en total? Cuntos te faltan guardar?

Ayuda a Benjamn, para que d respuesta a su madre. Desarrolla detalladamente cada procedimiento y no olvides dar respuesta.

VII. Observa Existe alguna regularidad? (3 puntos)

65455543444323332122

3

3

3

3

(a) Describe la regularidad dada.

(b) Escribe las 2 regularidades que siguen a continuacin.

(c) Ocupando la secuencia anterior, cunto es 103 10?

Procedimiento: Respuesta 1: Respuesta 2:

EVALUACIN DE LA SECUENCIA (PAUTA DE CORRECCIN)

I. Seleccin mltiple. (2 puntos cada una)

1. b 2. e 3. d 4. c 5. d 6. dII. Complete el siguiente cuadro. (0,5 puntos cada una)

Potencia Base Exponente Desarrollo Valor 32 3 2 33 9 43 4 3 444 64 25 2 5 22222 32

III. Observalossiguientesdiagramasderbolyencuentralapotenciaasociadaacadaunodeellos.(2puntoscadauna)

________________IV. Explicacontuspalabrasqueesunapotenciayquelementostiene.(2,5puntos)

33 24

Una potencia es una multiplicacin iterada de un nmero por s mismo, sus elementos son la base y el exponente.

V. Encuentraelexponentequefaltaencadaunodelossiguientescasos.(1puntocadauna)

a) 541 444 b) bien 7133 22 22 7223 22 22 c) bien bien etc.1022222 777777 1011116 777777 1022321 777777 Observacin:Cadaunodelosejerciciosanterioressepodrndesarrollarbajolapropiedadmultiplicacindepotenciasdeigualbasequediceque:

mnmn aaa VI. Leeatentamenteyrespondelaspreguntas.(4puntos)

Benjamnestguardandounjuegodebloquesdesuhermanapequea,comienzaacontarlosycuenta104bloques.Eneseinstanteaparecesumamy ledice:tefaltanbloquesqueguardarBenjamn!,Cuntosmefaltan? ,diceBenjamn, sumamresponde:Lee lacajadondevenaeljuegoalldiceeltotal.Benjamnleeenvozaltaasumadre:Lacajadice,eljuegoconstadebloquesde5formas(crculos,tringulos,cuadrados,rombos y rectngulos), cada bloque viene en 5 colores diferentes y cada color viene en 5 tamaos distintos. Lamam pregunta: EntoncesBenjamnCuntosbloquessonentotal?Cuntostefaltanguardar?AyudaaBenjamn,paraquedrespuestaasumadre.Desarrolladetalladamentecadaprocedimientoynoolvidesdarrespuesta.Estrategia1:Desarrollandocadapasodelasituacin

Sisonbloquesde5formasde5coloresdistintosy5tamaosdistintos,entoncesenformadepotenciaseescribe: bloquesentotal.

1255555 3

SiBenjamnencontr104bloques,entonceshayquerestaresacantidadalacantidadtotal: 21104125 Porlotanto,aBenjamnlefaltan21bloquesparacompletareltotal.

Estrategia2:RealizandoeldiagramaderbolElalumnopodraconstruirunrbolcomoelquesemuestraacontinuacin,paracadaformadelbloque.Esdecir,unoparaloscrculos,otroparalostringulos,otroparaloscuadrados,otroparalosrombosyotroparalosrectngulos.

Yllegaralaconclusindequehay bloquesentotal.12555553

SiBenjamnencontr104bloques,entonceshayquerestaresacantidadalacantidadtotal: 21104125 Porlotanto,aBenjamnlefaltan21bloquesparacompletareltotal.

VII. Observalasiguienteregularidad.(3puntos)

65455543444323332122

3

3

3

3

(a) Describelaregularidaddada.

Laregularidadconsisteenrestarleaunapotenciade ,unnmero iguala labasedeesapotencia,esdecir,a leresto .Luegoseigualaaunamultiplicaciniteradadetresnmerosconsecutivos,dondeelprimeroeselantecesordelabasedelapotencia;elsegundolabasedelapotenciayelterceroelsucesordelabasedelapotencia.

3 3a a

Enformageneral,laregularidadpuedeescribirsecomo: 11 aa3 aaa .

(b) Escribelas2regularidadesquesiguenacontinuacin.

8767776566

3

3

(c) Ocupandolasecuenciaanterior,cuntoes10310?

1110910103

Sesin 1

Objetivo: Diferenciar entre suma y multiplicacin iterada a partir del mtodo inductivo. Tiempos esperados: 1hora pedaggica (45 min.) Caractersticas: En esta clase desarrollamos ejercicios de tipo deductivo, asociados al clculo de

sumas y productos iterados.

Descripcin de la clase Indicaciones para la clase: Cuando los alumnos ya han completado la tabla, el profesor rellenara la tabla de la siguiente forma:

Arista rea Basal

Altura Volumen

2

(22)

(2+2)

22(2+2)

Y les recomendara a sus alumnos que tambin se puede escribir como 22(22) , para luego preguntarles: Ser siempre cierto que el volumen se puede calcular de esta nueva manera? Si cambiamos la medida de la arista a 3 resulta que 33(3+3) 33(33), ac nos damos cuenta que (3+3) (33), porqu son distintos? Debido a que la primera es (23), esperamos la respuesta que la multiplicacin y la suma son operaciones distintas, en estos momentos se le agrega, pero estas son operaciones distintas y se conserva la igualdad 33 = 3+3+3, Qu podemos notar de estas expresiones, al compararla con las que son distintas?, esperamos la respuesta: Que la suma y la multiplicacin de un mismo nmero dan resultado distinto cuando tiene la misma cantidad de veces, a excepcin del nmero 2 cuando se repite dos veces.

Desarrollo de la clase

Actividades de la enseanza Recomendaciones al profesor 1) Llenemos la siguiente tabla:

Arista 2

Altura rea Volumen

Se observa en clases la descripcin de la igualdad: 22 (22)= 22 (2+2) Ser siempre cierto que el volumen se puede calcular de esta nueva manera? Posibles respuestas: 3 3 (3 +3 )=54 3 3 (3 3)= 81

2 2 (2 +2 +2)= 24 2 2 (2 2 2)= 32

2) Qu sucedi? Por qu no son iguales? Por ej.: 3+3 33 , 2+2+2 222 Respuestas de los alumnos: Que son diferentes ya que la suma y la multiplicacin son distintas operaciones. 3) Llenen los siguientes cuadrados con el nmero

que satisfaga esta igualdad. = + + = + + + + Qu podemos notar de estas expresiones, al compararla con las que son distintas? Respuesta esperada: Que la suma y la multiplicacin de un mismo nmero son distintas cuando tiene la misma cantidad de veces, a excepcin del nmero 2 cuando se repite dos veces.

Se plantea la tabla escrita en una

cartulina pegada a la pizarra. Indicar a los alumnos la forma de

escribir los resultados por ej. volumen 22(2+2)

Se les pide que prueben es sus

cuadernos. Se pasea por la sala observando las

producciones de los alumnos. Se buscan tipos de ejemplos para

escribir en la pizarra. Pedir a los alumnos seleccionados

que lo escriban en la pizarra. Los ejemplos dependen de las

producciones de los alumnos. Guiar a los alumnos hasta que den

una respuesta parecida. Luego de esto se agrega: pero

fjense que este resultado, donde utilizamos una suma y una multiplicacin, si son iguales 222=2+2+2+2.

Guiarlos para que se den cuenta que

la respuesta dada anteriormente, falta complementarla. Compare mostrando en la pizarra las

igualdades y las que no lo son. Ej.: 3+3 33 con 3 3 = 3 + 3 + 3+3 Escribir en la pizarra las respuestas,

hasta encontrar o generar la buscada. Que escriban en sus cuadernos lo

aprendido en la clase y lo escrito en la pizarra.

Sesin 2

Objetivo: Que los alumnos generalicen la multiplicacin iterada de las potencias de base dos en forma implcita.

Tiempos esperados: 60 min. Caractersticas: En esta clase se busca a travs de la resolucin de un problema la

identificacin de un patrn que les permita resolver en forma rpida el problema, utilizando la multiplicacin iterada.

Descripcin de la clase:

Se dar a los alumnos el siguiente problema Actividad El chiste El da 1 de junio una persona A cuenta un chiste a otras dos personas B y C, el da dos de junio B les cuenta el chiste a otras dos personas, D y E, y C les cuenta el chiste a otras dos personas, F y G. El da 3 de junio cada una de las personas D, E, F y G les cuentas el chiste a otras dos personas.

Manteniendo la misma regularidad, donde cada persona cuenta el chiste a otras dos personas. a) Cul ser el nmero de personas que escuchan el chiste en el da 15? y en el da 16? b) Cuntos lo escuchan en el da 40? c) Cul es la relacin que existe entre los das y la cantidad de personas que escuchan el chiste?

Un alumno leer el problema al curso, y se preguntar ante de empezar la actividad por el da 4 y 5, buscando una respuesta intuitiva por partes de los alumnos, respondern que 16 y 32 respectivamente, algunos utilizando dibujo, otros multiplicando por dos. Para responder la pregunta a) es posible que los alumnos abandonen la estrategia del dibujo, utilizando la multiplicacin de 2. Luego respondern 222222222222222 calcularn el resultado, lo mismo para el da 40, con esto se darn cuenta del crecimiento vertiginoso involucrado al aumentar los das. Con la pregunta c) buscamos que los alumnos sean capaces de concluir y fundamentar los resultados obtenidos anteriormente. Lo ms importante es que quede claro a nivel de curso, que la solucin se puede escribir como una multiplicacin iterada de base 2. Todas las posibles respuestas es recomendable escribirlas de ese modo. Esto no ayudar para las siguientes sesiones.

Desarrollo

Actividades de la enseanza Recomendaciones al profesor Resolver el siguiente problema:

El da 1 de junio una persona A cuenta un chiste a otras dos personas B y C, el da dos de junio B les cuenta el chiste a otras dos personas, D y E, y C les cuenta el chiste a otras dos personas, F y G. El da 3 de junio cada una de las

personas D, E, F y G les cuentas el chiste a otras dos personas. Manteniendo la misma regularidad, donde cada persona cuenta el chiste a otras dos personas. a) Cul ser el nmero de personas que escuchan el chiste en el da 15? y en el da 16? Estrategias de los alumnos: -Seguir ocupando el diagrama. - como en el primer da el chiste fue contado a 2 personas, en el segundo a 4 personas, en el tercero 8 personas, luego por da que avanza hay que multiplicar por 2. b) Cuntos lo escuchan en el da 40? Posibles respuestas: -Que hay que multiplicar el 2, cuarenta veces. -calculen el resultado de multiplicar 2, cuarenta veces. c) Cul es la relacin que existe entre los das y la cantidad de personas que escuchan el chiste? Respuesta esperada: Que al pasar un da, la cantidad de chiste contados, crecen el doble.

Formar grupos de cuatro personas, dejar utilizar calculadoras. Que el problema sea ledo por un

alumno Antes de iniciar la actividad

preguntar por los das 4 y 5. As nos aseguramos que el problema

haya sido entendido. Se trabaja en grupo El profesor recorre los puestos

viendo el trabajo de los alumnos y respondiendo sin dar respuestas claras.

Fijarse que los alumnos sientan la necesidad de resolverlo en forma ms rpida, que estar calculando a cada momento por 2 el resultado que obtienen.

Mostrarles el crecimiento potencial, a travs de la cantidad que se agranda el nmero de chistes contados al avanzar un da.

Incentivar a los alumnos que escriban slo la expresin como multiplicacin.

Que los grupos al terminar la pregunta a) y b), un representante explique su procedimiento y justifique las respuestas, anotando todo en la pizarra.

Se responda a nivel de curso, anotando el resultado final en la pizarra.

Sesin 3

Objetivo: Construir la definicin de Potencia Tiempos esperados: 2 hora pedaggica (90 min.) Caractersticas: Se utiliza los conocimientos previos de los alumnos para encontrar la

notacin de Potencias. La definicin es construida utilizando la capacidad de sintetizar una idea matemtica en una frase.

Descripcin de la clase Se comienza la clase recordando expresiones vistas anteriormente, como 2*2*2*2 este momento se escribe en la pizarra y se trabaja en conjunto con los alumnos, luego se escribe la lista de problemas del 2 al 5 y se pide que los alumnos los trabajen individualmente, en el problema 4, deber ser explicado por la profesora con anterioridad, esto debe suceder cuando los alumnos ya hayan terminado el 2 y 3, es necesario que tengan un tiempo donde lo trabajen individualmente luego desarrollen sus ideas en la pizarra, cuando quede claro, la profesora pedir que respondan Si tuvieras que describir todas las expresiones antes vistas con tus palabras Cmo lo haras?, para esto la profesora encierra en la pizarra tales expresiones, luego en la puesta en comn se construye la definicin a partir de aquellas respuestas, donde el profesor identificar la base y el exponente.

Desarrollo

Actividades de la enseanza Recomendaciones al profesor 1-. Recordando la clase anterior, Se puede escribir estas multiplicaciones en formas ms abreviadas sin resolverlo? a)2*2= b)2*2*2= c)2*2*2*2= 2-.Escribe los siguientes nmeros como multiplicacin de un mismo nmero.

a)16= b)8= c)27=

3-.Escribe en forma abreviada las siguientes multiplicaciones. a)3*3*3*3= b)4*4*4*4*4= c)5*5*5*5*5*5= 4-. Recordando el problema de los chistes, visto en la clase anterior, sabemos que en el da 15 se cuentan 215, para el da 40 sern 240, para el da 100 Cuntos chistes sern? Y para el da n? 5-. Si tuvieras que describir todas las expresiones antes vistas con tus palabras Cmo lo haras?

Se hace la pregunta al curso, para que los alumnos respondan en conjunto.

Procurar que los alumnos, escriban en sus cuadernos.

En los problemas 2 y 3

cerciorarse del trabajo de sus alumnos por medio de paseos por la sala, para que en la puesta en comn saque a la pizarra a alumnos que encontraron la respuesta y los que no.

Es importante que recuerdan el

problema, haciendo preguntas al curso.

La profesora puede escribir en la pizarra 2*2*2*2*2*2*2 n veces, y explicar que se trata de un nmero finito, es necesario que quede claro lo que se refiere el da n. Si se menciona el concepto infinito, mostrar la diferencia.

El profesor escribe en la pizarra 3n, y pregunta Qu nmero puede representar la n?

Con esto buscamos darnos cuenta del entendimiento de los alumnos con respecto a la n, que se entienda que puede ser tambin un nmero pequeo.

Se deja tiempo para que respondan esta pregunta en sus cuadernos, luego el profesor hace leer a 3 compaeros que note que sus respuestas son diferentes con anterioridad.

Al momento de construir la definicin no se debe olvidar pedir a los alumnos que la escriban en sus cuadernos dejando bien en claro lo que es base y exponente.

Sesin 4

Objetivo: Aplicar lo aprendido en las clases anteriores, para desarrollar los ejercicios Tiempos esperados: 2 horas Caractersticas: Ejercicios de aplicacin que se centran en lo visto en las clases

anteriores.

Descripcin de la clase

En la clase bsicamente se va ejercitar lo que se ha visto en las clases anteriores, los ejercicios del 1 al 3 son de bajo nivel cognitivo, slo se basan en calcular y aplicar bien la idea de potencia que se ha visto hasta ahora. En los ejercicios 4 y 5 se pretende que los alumnos analicen, creen sus propias formas de resolver los problemas. En el ejercicio 6 se requiere un mayor nivel cognitivo, donde tienen que identificar el tipo de expresin (como suma no como multiplicacin), calcular las potencias, sumar el resultado, analizar si es que se puede escribir como potencias, creando sus propias estrategias para encontrar el nmero.

Desarrollo

Actividades de la enseanza Recomendaciones al profesor 1. Escribe cada potencia como un producto de factores

iguales. a) 55 b) 23 c) 84

2. Escribe cada una de las siguientes multiplicaciones

como una potencia y calcula su valor.

a) 13 13 13 b) 7 7 7 77 c) 3 3 3 3 3 3 3 3. Escribe cada potencia como una multiplicacin de factores iguales y escribe su valor. a) 23 b) 72 c) 65

4. Completa con el nmero que falta para que cada igualdad sea verdadera.

a) 2 = 32 b) 3 = 81 c) 3 = 243 d) 3 = 64

5. Encuentra la potencia escondida a) 1+8= b) 1+3+12= c) 18+7= 6. Puedes expresar alguno de estos resultados como una potencia? Por qu?

a) b) c)

Observar el trabajo de los

alumnos Buscar si es que poseen alguna

deficiencia, para apoyarlos cuando sea oportuno.

Observar el procedimiento de

los alumnos. Pedir que los alumnos

comuniquen sus resultados del ejercicio 4 ,5 y 6 a nivel de curso.

Sesin 5

Objetivo: Formular la expresin aman = am+n a travs del razonamiento inductivo Tiempos esperados: 60 minutos Caractersticas: En esta clase hicimos actividades del tipo deductivo, donde

secuencialmente el alumno va construyendo la propiedad Descripcin de la clase

Al comienzo se escribirn las siguientes expresiones con ayuda de los alumnos 33= 32 y 333= 33, luego se multiplicar 32 33, los resultados y estrategias se escribirn en la pizarra, as vemos distintos caminos para llegar a un mismo resultado, luego se calcular 4346, escribiendo el desarrollo de los alumnos. Ahora ser necesario que los alumnos puedan inventar ejercicios de esos tipos con su resolucin, se escribirn en la pizarra de manera ordenada, uno bajo del otro, y se les dar el siguiente desafo, resuelva lo siguiente 527535. Cuando descubran la propiedad, se les pide que expresen su procedimiento en palabras y lo escriban en sus cuadernos.

Desarrollo

Actividades de la enseanza Recomendaciones al profesor 1) Cmo podemos escribir estos nmeros en potencias? 1) 33 = 2) 333= Calcule en su cuaderno: Posible respuestas:

= (33) (333) = (33333) = 35

9 27 243

2)Calculen lo siguiente 4346= 3) Inventen un ejercicio parecido al anterior, pero usando otra base. Posible respuesta: Ej. 2324=27 Resuelvan lo siguiente 527535 Respuesta esperada:

- 562 4) Resuelvan utilizando lo aprendido.

Se escriben en la pizarra. Se

pregunta Estn bien estos resultados?

Posibles argumentaciones: No, ya que son nmeros distintos. Si, ya que si lo resolvemos da

243 lo que es lo mismo.

Que los alumnos anoten en sus cuadernos.

El profesor de vuelta observando el trabajo de los alumnos

Sacar a alumnos que presenten distintos procedimientos.

Incentivar a los alumnos a escribir como potencias.

Observar si se comete el error

usando distintas bases. Que lo escriban en sus cuadernos Sacar distintos tipos de ejemplos No borrar de la pizarra ninguna

produccin de los alumnos. Incentivar a que encuentren

relaciones en las resoluciones escritas en la pizarra.

Observar que se utiliza la misma

base y se sumen los exponentes. Nos fijamos que utilicen lo

formulados por ellos, que sera de la forma

n m = m+n

Pedir que concluyan con sus

palabras lo que aprendieron, anotndolo en su cuaderno.

Sesin 6

Objetivo: Dar hincapi en que la propiedad vista en la clase anterior, solo se cumple cuando las bases son iguales.

Tiempos esperados: 45 minutos Caractersticas: A travs de la resolucin de problemas buscamos que el alumno distinga

las situaciones donde se presentan productos de potencias de igual y distintas bases Descripcin de la clase Se presentarn tres problemas, en el primero los alumnos utilizaran la forma de calcular el rea de un rectngulo, donde se busca que apliquen la propiedad de la multiplicacin de potencias, resolviendo 57 = 511. En el segundo problema se dan distintas bases, se preguntar Cul es el rea de este nuevo rectngulo?, donde nos daremos cuenta que no se puede utilizar la propiedad cuando la base es distinta, donde estarn obligados a resolver calculando.

Desarrollo

Actividades de la enseanza 1) A Ren le piden calcular el rea de una parcela ya que decide cercarla esta tiene forma rectangular de dimensiones 57 y siendo el ancho y el largo respectivamente. Entonces Cul es rea de la parcela? 5754

2)Quesucedesison y losladosdeunnuevorectngulosiendoelanchoyellargorespectivamente,entoncesCuleselreadeestenuevorectngulo?

Recomendaciones al profesor

Recordar la definicin de rea yvolumen,atravsdepreguntasalosalumnos.

Entregar una gua a cada alumno que contenga esta actividad.

Observareltrabajodelosalumnos,dondeutilicencorrectamentelapropiedad.

Pedir que cada alumno realice el trabajo individualmente.

Buscar distintas estrategias de los alumnos.

Escribirlas en la pizarra. Analizar las metodologas. Buscar que los alumnos se den

cuenta que la propiedad solo se puede utilizar cuando la base es la misma.