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MATEMÁTICA GUÍA 2 RESPUESTAS I. EJERCICIOS DE DESARROLLO 1. Calcular el valor numérico de las siguientes potencias:
1.1. 3 22 3⋅ = Primero se desarrollan las potencias y finalmente el producto:
3 22 3⋅ = 7298 =⋅
1.2. 3 53 2− = Primero se desarrollan las potencias y finalmente la diferencia:
3 53 2− = 27 – 32 = –5
1.3. 3 24 2 3− ⋅ = Primero se desarrollan las potencias, luego el producto y finalmente la diferencia:
3 24 2 3− ⋅ = 9264 ⋅− = 64 – 18 = 46 2. Aplicando las propiedades de las potencias, resolver:
2.1. 5 5
32 48⋅
=
En el numerador, se puede aplicar potencias de igual exponente: 5 5
32 48⋅
=3
5
8)42( ⋅ =
3
5
88
Finalmente, se aplica división de potencias de igual base:
3
5
88 = 235 88 =− = 64.
Entonces: 5 5
32 48⋅
= 64
2.2. 3
2x yx y−
⋅=
Se aplica multiplicación y división de potencias de igual base:
3
2x yx y−
⋅= 2113 +− ⋅ yx = 32 yx
2.3. 5 1
2 4a ba b
−
−⋅
=⋅
Se aplica multiplicación y división de potencias de igual base: 5 1
2 4a ba b
−
−⋅
=⋅
4125 +−− ⋅ ba = 33 ba ⋅
Finalmente, se aplica potencias de igual exponente: 33 ba ⋅ = 3)(ab
Entonces: 5 1
2 4a ba b
−
−⋅
=⋅
3)(ab
3. Resolver y expresar el resultado en notación científica: 3.1. 0,056 : 16 = Primero se efectúa la división:
0,056 : 16 = 0,0035 Expresando finalmente el resultado en notación científica:
0,0035 = 3,5 310−⋅ Entonces: 0,056 : 16 =3,5 310−⋅
3.2. =⋅− 23 )000.2(2 Transformando las potencias:
=⋅− 23 )000.2(2 23
)000.12(21
⋅⋅ = 223
000.1221
⋅⋅
= 2000.121⋅ = 500.000
Por último, se expresa el resultado en notación científica: 500.000 = 5105 ⋅
Entonces: =⋅− 23 )000.2(2 5105 ⋅
3.3. 00125,0
3)25,0( 2 ⋅ =
Resolviendo productos y cuocientes:
00125,03)25,0( 2 ⋅ = 150
Finalmente se expresa el resultado en notación científica:
150 = 2105,1 ⋅
Entonces: 00125,0
3)25,0( 2 ⋅ = 2105,1 ⋅
4. Resolver las siguientes raíces:
4.1. 75 = Descomponiendo la cantidad subradical:
75 = 325 ⋅ = 325 ⋅ = 35
4.2. 3 0 0243,
=
Resolviendo primero la operación del subradical:
3 0 0243,
= 3 008,0 = 3125
1 = 51
4.3. 50 18− = Primero se descomponen las raíces:
50 18− = 29225 ⋅−⋅ = 2325 − Reduciendo raíces semejantes:
2325 − = 22
Luego: 50 18− = 22 5. Aplicando las propiedades de las raíces, resolver:
5.1. 31
4⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
Primero se expresa la raíz como: 31
4⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
3
41⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Ahora se calcula la raíz cuadrada y se eleva a 3. 3
41⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
81
21
21
3
33
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
Entonces: 31
4⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 8
1
5.2. 3 35 3 9 = Aplicando raíces de igual índice:
3 35 3 9 = 3 935 ⋅⋅ = 3 275 ⋅ = 5 · 3 = 15.
Luego: 3 35 3 9 = 15
5.3. 154 , = Primero se transforma el exponente decimal a fracción: 2/35,1 44 = Luego se transforma a raíz
( )32/3 44 = = 823 =
Luego: 154 , = 8
6. Racionalizar denominadores:
6.1. 35=
Se amplifica la fracción por 55 :
⋅5
355 =
553
6.2. 1 23
−=
Se amplifica la fracción por 33 :
⋅−
321
33 =
3)21(3 − =
363 −
6.3. 31 2
=+
Se amplifica la fracción por el conjugado del denominador:
2121
213
−
−⋅
+=
21)21(3
−− =
1)233
−− = 233 +−
O bien: 233 +− = )12(3323 −=−
7. Expresar como un solo término:
7.1. 2 38 2/ ⋅ = Se expresa 8 como potencia de base 2 y la raíz se expresa como potencia:
2 38 2/ ⋅ = 32
)2( 3 21
2⋅ = 22 21
2⋅ Queda así, una multiplicación de potencias de igual base:
22 21
2⋅ = 2/122 + = 25
2 Este puede ser expresado como raíz:
25
2 = 3225 =
Entonces: 2 38 2/ ⋅ = 32
7.2. 4
82
⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
Se expresa el 8 y la raíz de 2 como potencias de base 2:
482
⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
43
21
2
2⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Operando como potencias de igual base:
43
21
2
2⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
43 2
1
2 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ − = 4
2/52 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
Se expresa la raíz como potencia:
42/52 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ = ( ) 2
4
25
2 ⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ = 52 = 32
Entonces: 4
82
⎛ ⎞=⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠32
7.3. 3 10 53 24 3
⋅=
⋅
Se expresa todo como potencias de base 2 o base 3, según corresponda:
3
53 10
3423
⋅
⋅
31
310
32
232
5
⋅
⋅
Ahora se operan potencias de igual base:
31
310
32
232
5
⋅
⋅ = 2523 31
310
−−⋅ = 33/9 23 ⋅ = 333 )23(23 ⋅=⋅ = 36 = 216
Luego: 3
53 10
3423
⋅
⋅ = 216
8. Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones logarítmicas: 8.1. 2 64log = Aplicando la definición de logaritmo, debe darse que: x=64log2 ⇔ 642 =x Expresando 64 como potencia de base 2: 642 =x
622 =x Luego: x = 6 Entonces: 664log2 =
8.2. 0 1log , = El logaritmo que no expresa la base, se entiende que es base 10 (logaritmo común). Entonces: log 0,1 = x ⇔ 1,010 =x Expresando 0,1 como potencia de base 10: 1,010 =x
10110 =x
11010 −=x Luego: x = -1 Entonces: log 0,1 = -1
8.3. =16log 8
Aplicando la definición de logaritmo, debe darse que:
=16log 8 x ⇔ ( ) 168 =x
Expresando todo como potencia de base 2:
( ) 168 =x
43 22 =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
x
422 23
=x
; de donde:
42
3=
x
x = 8/3 Entonces: =16log 8 8/3
9. Aplicando las propiedades de los logaritmos, calcular el valor numérico de las expresiones siguientes: 9.1. 2log5log + = Aplicando la propiedad de la suma de logaritmos:
2log5log + = 110log)25log( ==⋅ Entonces: 2log5log + = 1
9.2. 21log50log − =
Aplicando la propiedad de la diferencia de logaritmos:
21log50log − = ):50log( 2
1 = log 100 = 2
Entonces: 2
1log50log − = 2
9.3. 000.1log = Expresando la raíz como potencia:
21
000.1log000.1log = Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia:
000.1log000.1log 212
1
= = 321 ⋅ = 3/2
Entonces: 23000.1log =
10. Escribir en lenguaje algebraico las siguientes proposiciones: 10.1. El doble de x menos el cubo de y
El doble de x es: 2x El cubo de y es: 3y
Entonces, el doble de x menos el cubo de y es: 2x - 3y
10.2. El triple de la diferencia de los cuadrados entre x e y
Los cuadrados de x e y son, respectivamente: 2x e 2y
La diferencia de los cuadrados entre x e y es: 2x - 2y
Entonces, el triple de la diferencia de los cuadrados entre x e y es: 3( 2x - 2y )
10.3. La mitad de la diferencia entre el cuadrado de x y el cuádruplo de y.
El cuadrado de x es: 2x El cuádruplo de y es: 4y
Entonces, la mitad de la diferencia entre el cuadrado de x y el cuádruplo de y es:
21 ( 2x - 4y ) =
242 yx −
11. Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones:
11.1. 532 +− uu ; si u = -4 Reemplazando u:
532 +− uu = 5)4(3)4( 2 +−⋅−− = 16 + 12 + 5 = 33
11.2. xyyx 23 2 − ; si x = -3 e y = 5 Reemplazando x e y:
xyyx 23 2 − = 5)3(25)3(3 2 ⋅−⋅−⋅−⋅ = 135 + 30 = 165
11.3. xxx 10log20435 2 −− ; si x = 5
Reemplazando x:
)5(2 10log)5(204)5(35
−⋅− = 10log510043
125−⋅− =
= 151043
125⋅−⋅− =
310
313512545
3125 −
=−
=−
12. Desarrollar los siguientes productos de expresiones algebraicas:
12.1. =− 2)73( x Es un cuadrado de binomio: 22 7)7()3(2)3( +⋅⋅− xx = 49429 2 +− xx Luego: =− 2)73( x 49429 2 +− xx
12.2. =−+ )65()65( xx Es un producto de una suma por su diferencia:
=−+ )65()65( xx 22 )6()5( −x = 3625 2 −x Luego: =−+ )65()65( xx 3625 2 −x
12.3. )52()98( xx −+ = Es un producto de binomios:
)52()98( xx −+ = )5(929)5(828 xxxx −⋅+⋅+−⋅+⋅
= 16 – 40x + 18x – 45 2x
= 16 – 22x – 45 2x Entonces: )52()98( xx −+ =16 – 22x – 45 2x 13. Factorizar las expresiones algebraicas siguientes:
12.1. xxx −− 23 711 = Factorizando por x:
xxx −− 23 711 = )1711( 2 −− xxx
12.2. 32 48 xx − =
Factorizando por 24x : 32 48 xx − = 24x (2 – x)
12.3. xx 45 1010 + =
Primero se expresará la potencia xxx 45 101010 ⋅= . Entonces:
xx 45 1010 + = xxx 44 101010 +⋅ Ahora se puede factorizar por x410 :
xx 45 1010 + = xxx 44 101010 +⋅ = x410 ( 110 +x ) 14. Factorizar los cuadrados perfectos:
14.1. =++ 122 xx 2)1( +x
14.2. =−− 9124 2 xx no es un cuadrado perfecto
14.3. =+− 497025 24 aa 2)75( −a
15. Factorizar los siguientes trinomios:
15.1. =−+ 2422 xx Se buscan 2 números que, multiplicados den –24 y sumen 2. Estos son el 6 y el –4. Entonces: =−+ 2422 xx (x + 6) (x – 4)
15.2. =++ 652 xx Se buscan 2 números que, multiplicados den 6 y sumen 5. Estos son el 3 y el 2. Entonces: =++ 652 xx (x + 3) (x + 2)
15.3. =+− xxx 107 23 Previamente se factoriza por x:
=+− xxx 107 23 )107( 2 +− xxx Ahora se factoriza el paréntesis, buscando dos números que, multiplicados den 10 y sumen -7. Estos son el –5 y el –2. Entonces: =+− xxx 107 23 x (x – 5) (x – 2)
II. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1. De las siguientes igualdades, indique cuáles son verdaderas
I: ( )95,1 28 = II: 3 5 = 45 III: 1010log2 = Solución:
I: ( )95,1 28 = Convirtiendo el exponente 1,5 a fracción 3/2, queda: 2/35,1 88 = Expresando el 8 como potencia de base 2: 2/35,1 88 = = 2/33 )2( Operando las fracciones del exponente: 2/33 )2( = 2/92 Transformando, finalmente a raíz:
2/92 = 99 )2(2 = ; y la igualdad I es verdadera. II: 3 5 = 45 El 3 puede expresarse como raíz de 9: 3 5 = 59 ⋅ Aplicando producto de raíces de igual exponente: 59 ⋅ = 4559 =⋅ ; y la igualdad II es verdadera. III: 1010log2 = El logaritmo en base 2 de 10 es el exponente al cual hay que elevar el 2 para obtener 10: 1010log2 = ⇔ 102 10 = ; lo que es FALSO. Respuesta: son verdaderas solo I y II.
2. Calcular el valor numérico de )25log()25log( ++− Solución: Aplicando propiedad de la suma de logaritmos:
)25log()25log( ++− = [ ])25)(25(log +− Quedando el logaritmo de un producto de una suma por su diferencia:
=+− )25()25( 5 – 4 = 1 Por lo tanto: )25log()25log( ++− = [ ])25)(25(log +− = log 1 = 0. Respuesta: )25log()25log( ++− = 0.
3. Calcular: =−−
21
31
)254(27
Solución: El primer término puede ser convertido a raíz:
331
2727 = = 3 El segundo término se convierte primero a potencia de exponente positivo, y luego a raíz:
2/121
)4
25()254( =
−=
25
425
=
Entonces:
=−−
21
31
)254(27
253 + = 5,5
211
=
Respuesta: =−−
21
31
)254(27 11/2 = 5,5
4. Calcular el valor numérico de =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−
21021110211
Solución: Corresponde a un cuadrado de binomio: El cuadrado del primer término es: 10211−
El cuadrado del segundo término es: 10211+ El doble producto del primero por el segundo es:
⋅2 10211− 10211+⋅ = ⋅2 10211()10211( +⋅− = Obsérvese que el subradical corresponde al producto de una suma por su diferencia: = ⋅2 40121− = 812 ⋅ = 1892 =⋅ Entonces:
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−
21021110211 10211− + 10211+ - 18 = 4
Respuesta: =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−
21021110211 4
5. Calcular y expresar en notación científica 3
6
000.40200
51⋅
Solución: Expresando el numerador y el denominador como producto de una potencia de base 10:
3
6
000.40200
51⋅ =
3
6
)000.104()1002(
51
⋅
⋅⋅
Aplicando potencia de igual exponente:
3
6
)000.104()1002(
51
⋅
⋅⋅ =
33
66
000.1041002
51
⋅
⋅⋅ =
63
66
10041002
51
⋅
⋅⋅ =
6
6
22
51⋅ = 2,0
51=
Ahora hay que expresar 0,2 como notación científica: 0,2 = 2 · 110−
Respuesta: 3
6
000.40200
51⋅ = 2 · 110−
6. Calcular: =⋅⋅ −
322)8(4 1363/1
Solución: Primero se transformarán los términos en potencias de base 2:
=⋅⋅ −
322)8(4 1363/1
=⋅⋅ −
5
13633/12
2
2)2()2(
Ahora las raíces a potencia, y se operarán los exponentes:
=⋅⋅ −
5
13633/12
2
2)2()2(=
⋅⋅ −
2/5
1362/33/2
22)2(2
=⋅⋅ −
2/5
132/183/2
2222
=⋅⋅ −
2/5
1393/2
2222
Ahora se divide y multiplican las potencias de igual base:
=⋅⋅ −
2/5
1393/2
2222 2/51393/22/51393/2 22222 −−+−− =⋅⋅⋅ = 6/352−
Este número puede expresarse de varias formas:
6/352− = 6/55 22 −− ⋅ = 6 55 22 −− ⋅ = ( ) 56 22−
Respuesta: =⋅⋅ −
322)8(4 1363/1
6/352− = 6/55 22 −− ⋅ = 6 55 22 −− ⋅ = ( ) 56 22−
7. Reducir la expresión: 26 24
2aa−+
Solución: El numerador puede ser factorizado por 6:
2246 2
+−
aa =
2)4(6 2
+−
aa
El factor en el paréntesis es un producto de una suma por su diferencia. Entonces:
2
)4(6 2
+−
aa =
2)2()2(6
+−+
aaa
Simplificando (a + 2):
2
)2()2(6+
−+a
aa = )2(6 −a
Respuesta: 2246 2
+−
aa = )2(6 −a
8. Reducir la expresión: 653011
2
2
−−
+−
aaaa
Solución: En el numerador se factoriza. Dos números que multiplicados den 30 y sumados den -11 son el -5 y el -6. En el denominador se factoriza. Dos números que multiplicados den -6 y sumados den -5 son el 1 y el -6. Entonces:
653011
2
2
−−
+−
aaaa =
)6()1()6()5(
−+−−
aaaa . Simplificando por (a – 6):
653011
2
2
−−
+−
aaaa =
)6()1()6()5(
−+−−
aaaa =
15
+−
aa
Respuesta: 653011
2
2
−−
+−
aaaa =
15
+−
aa
9. Un estanque tiene )1( −a litros de agua y para llenarlo se necesitan (b + 1) litros más. ¿Cuál es la capacidad del estanque? Solución: Sea x la capacidad total del estanque. Si el estanque tiene )1( −a litros y para llenarlo se agregan (b + 1) litros, entonces, su capacidad total es igual a: babax +=++−= )1()1( Respuesta: la capacidad total del estanque es (a + b) litros.
10. Una madre tiene 24 años y su hijo 4 años. ¿Dentro de cuántos años la edad de la madre será el doble de la del hijo? Solución: Hoy el hijo tiene 4 años y la madre 24. Dentro de “x” años, el hijo tendrá: ( x+4 ) años Dentro de “x” años, la madre tendrá: ( x+24 ) años Para que la madre tenga el doble de edad que su hijo, el valor de x debe ser:
xxxxxxx
=−=−+=++=+
162824
2824)4(224
Respuesta: en 16 años más, la edad de la madre será el doble de la de su hijo.
SELECCIÓN MÚLTIPLE
1. El valor de
)(0,14)(-0,1 · )(0,011,2
4
2-2
⋅
⋅ , expresado en notación científica es igual a:
Solución: Desarrollando el producto en el numerador resulta: 120 El producto en el denominador resulta: 0,0004 Realizando el cuociente 120 / 0,0004 = 300.000 Expresando 300.000 como notación científica: 5103 ⋅ Alternativa correcta: E.
2. 123
234
950 + 27 −− =
Solución: La raíz de 27, de 50 y de 12 serán descompuestas:
123
234
950 + 27 −− =
343
234
9225 + 39
⋅−−
⋅⋅ .
= 32
323
4235 + 33 −−
Racionalizando el término: 23
4 = 22
234
⋅ = 2324⋅
= 3
22
Racionalizando el término: 32
3 = 33
323
⋅ = 3233⋅
= 23
Queda, entonces:
323
2342
35 + 33 −− =
23
3222
35 + 33 −−
Sumando algebraicamente raíces semejantes:
=−−3
22235 +
23 33
2336 − +
32225 − = 23
25
+
Alternativa correcta: B.
3. Al racionalizar el denominador de la expresión:
514
−
− queda:
Solución: Para racionalizar un denominador binomial, se amplifica por su correspondiente conjugado:
514
−
− = 51
4−
−
5151
+
+⋅ =
2)5(1)51(4
−
+− = 51
)51(4−+− =
4)51(4
−+− = 51+
Alternativa correcta: A.
4. ?7
12log5626log
813log =+−
Solución: Aplicando la propiedad del logaritmo de un cuociente:
=+−7
12log5626log
813log log 13 – log 8 – log 26 + log 56 + log 12 – log 7
Algunos argumentos serán descompuestos en productos: log 13 – log 8 – log (13 · 2) + log (7 · 8) + log (4 · 3) – log 7 Ahora se aplicará la propiedad del logaritmo de un producto:
log 13 – log 8– log 13 – log 2 + log 7 + log 8 + log 4 + log 3 – log 7 Reduciendo los términos opuestos, queda:
log 4 + log 3 – log 2, que puede ser expresado como: log 23·4 = log 6
Alternativa correcta: C. Otra forma: Aplicando la propiedad que el logaritmo de una suma es el logaritmo del producto y que el logaritmo de una resta es el logaritmo del cuociente:
6log)1221log(
)122613log()
2656
712
813log(
5626
712
813
log5626log)
712
813log(
712log
5626log
813log
=⋅=
⋅=⋅⋅=⋅
=−⋅=+−
5. Si 2 log a2 = 3, entonces a4 = ? Solución: En la igualdad: 2 log a2 = 3, se aplica la propiedad del logaritmo: log 22 )(a = 3. Resolviendo la potencia:
log 4a = 3 Escribiendo el 3 como log 1.000 log 000.1log4 =a Cancelando los logaritmos, queda finalmente que: 34 10000.1 ==a Alternativa correcta: D. 6. Los divisores del polinomio xxx 82 23 −+ son: I: x II: (x + 4) III: (x – 2) Solución: Primero: se factoriza el polinomio por x, quedando: xxx 82 23 −+ = )82( 2 −+ xxx Ahora se factoriza el trinomio del paréntesis: )82( 2 −+ xxx = )2()4( −+ xxx Por lo tanto, los tres factores son divisores del polinomio original. Alternativa correcta: E.
7. =⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
22 4 - 16 - x
Solución: Se trata de un cuadrado de binomio. El cuadrado del primer término es: 162 −x
El doble producto del primero por el segundo es: -8 162 −x El cuadrado del segundo término es: 16 Por lo tanto:
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
22 4 - 16 - x 162 −x - 8 162 −x + 16
Reduciendo términos semejantes, queda: 2x - 8 162 −x
Alternativa correcta: B.
8.
94211
2
2
−
−−
aaa =
Solución: El numerador se puede factorizar como producto de dos binomios, mientras que el denominador es el producto de una suma por su diferencia.
94211
2
2
−
−−
aaa =
)3()3()14()3(
−+−+
aaaa
Simplificando por (a + 3), queda:
94211
2
2
−
−−
aaa =
)3()3()14()3(
−+−+
aaaa =
)3()14(
−−
aa
Alternativa correcta: C. 9. La expresión: “un medio de la diferencia entre los cuadrados de x e y”, algebraicamente se expresa: Solución: Primero: la diferencia entre los cuadrados de x e y se escribe 22 yx −
Segundo: Un medio de esta diferencia es: 2
22 yx −
Alternativa correcta: D.
10. Se puede calcular el valor numérico de la expresión 1
6655+
−−+y
yxxy , si:
(1) x = –5 (2) y = 13 Solución: Aparentemente, para calcular el valor numérico de la expresión, se debe conocer el valor de x y el de y. Pero, si se factoriza en numerador, queda:
1
6655+
−−+y
yxxy =1
)1()65(+
+−y
yx
Simplificando (y + 1), la expresión queda reducida a (5x – 6), que solo depende del valor de x. Por lo tanto, con la información (1) es suficiente para resolver el problema. Alternativa Correcta: A