PotenciasPotencias

Objetivos:

• Reconocer la definición de potencia de base racional y de exponente entero.

• Aplicar las propiedades de las potencias.

• Diferenciar notación científica de notación de potencia de base 10.

• Analizar problemas de crecimiento o decrecimiento Exponencial.

NÚMEROS

CONJUNTOSNUMÉRICOS

REGULARIDADESY

PATRONESPOTENCIAS

1. Potenciación1.1 Definición

1.2 Propiedades

1.3 Potencias de base 10

1.4 Signos de una potencia

Potencias

1.1 DefiniciónCorresponde a una multiplicación reiterada de términos o números iguales. El término o número que se va multiplicando, se llama “base” y la cantidad de veces que se multiplica dicha base se llama “exponente”.

1. Potenciación

an =

a ∙

a ∙

a ∙

a ∙ … a ∙

∙ a

n veces

Ejemplo:73 =

7 ∙

7 ∙

7 =

(-0,6)2 = (-0,6) ∙(-0,6)= 0,36

343

-32 = (-3)2 ya que: -32 = - 3 ∙ 3 = -9 y

(-3)2 = (-3)·(-3) = 9

= 23

3 23

3ya que:

y = 23

3= 2∙2∙2

3 83

23

3= = 8

27 23

23

23

∙ ∙

1.2 Propiedades• Multiplicación de Potencias De Igual Base:

23 ∙24=

Se conserva la base y se suman los exponentes.

an+man ∙ am =

Ejemplo:

53+453 ∙ 54 = = 57

(2 ∙2 ∙2)(2 ∙2 ∙2 ∙2)= 27 =128

(0,3) ∙(0,3)2=(0,3)3

Se multiplican las bases, conservando el exponente.

(a ∙ b)nan ∙ bn =

Ejemplo:

85 ∙

42 ∙

22 =

85 ∙

(4 ∙ 2)2 = 85 ∙

82 = 87

• Multiplicación de Potencias De Igual Exponente:

=

•

44

7

4

3

544

21

20

7

4

3

5

=

•

• División de Potencias De igual Base:

Se conserva la base y se restan los exponentes.

an-man : am =Ejemplo:

923

96= = 917923-6

23

5222

222

22222

2

2 =•=••

••••=

Se dividen las bases y se conserva el exponente.

(a : b)nan : bn =

Ejemplo:

75 : 42

282 =

75 : (28:4)2 = 75 : 72 = 73

• División de Potencias De igual Exponente:

• Potencia de Potencia:

Se multiplican los exponentes.

(an )m = am ∙ n

Ejemplo:

(210 )4 = 210 ∙ 4 = 2 40

[ ] 2173 )8,2()8,2( −−=

• Potencia de Exponente Negativo:

Se invierte la base y se eleva al exponente positivo.

Potencia de exponente negativo y base entera:

1 a-n =

a

n

(Con a, distinto de cero)

Ejemplo:

5-2 ∙ 15 3

2

= ∙ (5)2

5

2

1 = 25 1

∙ 25 = 1

33 =4 3

Potencia de exponente negativo y base fraccionaria:

a b

-n

=b a

n

(Con a, distinto de cero

y b distinto de cero)

Ejemplo:

3 4

-3

=

3

4

3 =64

27

• Potencias de exponente cero:

a0 = 1(para todo a, distinto de cero)

00 : indefinido

Ejemplo:

7 3

- 40

7 – (15-8)

= 7 3

- 40

0

= 1

1.4 Signos de una potencia• Potencias con exponente par:

Las potencias con exponente par, son siempre positivas.

Ejemplo:

(-11) ∙ (-11) =

121

2) -3

5

4

= 81

625 5

(-3)

4

4=

1) (-11)2 = (-11) ∙ (-11) =

• Potencias con exponente impar:

En Las potencias con exponente impar, la potencia conserva el signo de la base.

Ejemplo:

1) (-12)3 = (-12) ∙ (-12) ∙ (-12) = -1.728

2) -2

3

-5

= 3

-2

5

=(3)

5

(-2)=

5243 -32

= 243 32

-

1.3 Potencias de base 10• Con exponente positivo:

101 = 10

102 = 100

103 = 1000

Ejemplo:

54.000.000 = 54 ∙ 1.000.000= 54 ∙ 106 (Notación en base 10)

100 = 1

= 4 ∙ 10 -5 (notación en base 10)

• Con exponente negativo:

Ejemplo:

10= 1 0,1

100

= 1 0,01

10-3 = 1

1.000= 0,001

10-1 =

10-2 =

0,00004 4

100.000= 4 ∙ 0,00001

Ejemplo:

Determinar el número de bacterias que hay en una población, después de 38 horas, si se sabe que inicialmente había 10.000 bacterias, y que la población se triplica cada una hora.

Solución:

Por lo tanto, el número de bacterias después de 38 horas es:

.

Cantidad inicial = 10.000

Después de: 1 hora = 10.000·3 = 10.000·31 = 30.000

2 horas = 10.000·3·3 = 10.000·32 = 90.000

3 horas = 10.000·3·3·3 = 10.000·33 = 270.000...

Después de x horas = 10.000 · 3x

.

f(x)= 10.000 · 338

DesafíoSi una cierta cantidad de bacterias se duplica cada media hora, y consideramos que un alimento está contaminado cuando la cantidad de bacterias es mayor que 160.000 por cm3. ¿Cuánto tiempo puede permanecer un alimento no contaminado si inicialmente tiene 10.000 bacterias por cm3

Notación CientíficaLa notación científica (o notación índice

estándar) es una manera rápida de representar un número utilizando potencias de base diez.

Esta notación se utiliza para poder expresar fácilmente números muy grandes o muy pequeños.

Los números se escriben como un producto:a•10n

siendo:– a un número entero o decimal mayor o igual que 1 y

menor que 10, que recibe el nombre de coeficiente.– n un número entero, que recibe el nombre de exponente

Ejemplo1) 23.000 = 2,3 • 104

2) 456.000 = 4,56 • 105

3) 0,00087 = 8,7 • 10-4

4) 0,00107 = 1,07 • 10-3