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POTENCIA EXTRAÍDA POR LA TURBINA

Teoría del momento unidimensional (Betz, 1926)

Supone que la extracción de energía del viento es realizada por una turbina genérica ideal denominada disco actuador

Se considera un volumen de control (tubo) en el cual el flujo de aire ingresa y egresa sólo por los extremos.

Se asumen las siguientes condiciones:

Fluido en estado estacionario, homogéneo e incompresible

No hay pérdidas por fricción

Número de palas infinito

Fuerza uniforme sobre el disco

No hay rotación en el flujo de aire

A una distancia suficientemente alejada del disco, la presión estática anterior y posterior son iguales.

DIE

C-U

NS

-1

er c

ua

t. 20

19

FA

E -

Cla

se

20

1


Teoría del momento unidimensional (cont.)

Se aplica Bernoulli (conservación de la energía) a los volúmenes de control antes y después del disco actuador

Considerando que (4) está suficientemente alejado del disco , y que se tiene

Restando ambas expresiones resulta

La diferencia de presiones producirá una fuerza de empuje Tsobre el disco actuador de área

2 21 11 1 2 22 2

2 21 13 3 4 42 2

p U p U

p U p U

2 3U U1 4p p

2 21 11 1 2 22 2

2 21 11 4 3 22 2

p U p U

p U p U

2 211 4 2 32

U U p p

2 212 3 1 42

T p p A A U U

2 3A A A

DIE

C-U

NS

-1

er c

ua

t. 20

19

FA

E -

Cla

se

20

2



Por conservación de la cantidad de movimiento a ambos lados del disco, la fuerza de tracción se puede expresar en términos de la variación en la cantidad de movimiento de entrada y salida del tubo

Como se asume flujo estacionario

Entonces

Anteriormente, se obtuvo

Igualando ambas expresiones de T, se tiene la relación de velocidades

1 1 4 4T m U m U

1 4 2 2m m m AU

2 1 4T AU U U

1 42

2

U UU

2 211 42

T A U U

DIE

C-U

NS

-1

er c

ua

t. 20

19

FA

E -

Cla

se

20

3



Definiendo el factor de inducción axial o factor de interferencia aerodinámico

Resulta

y reemplazando en la expresión de la fuerza de tracción

La potencia debido al salto de presión en el disco resulta

1 1 1

2112

1 1 2

1 4

T AU a U U a

AU a a

1 2

1

U Ua

U

2 1

4 1

1

1 2

U U a

U U a

212 1 12

1 4 1P TU AU a aU a

231

124 1P AU a a

DIE

C-U

NS

-1

er c

ua

t. 20

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FA

E -

Cla

se

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4



Coeficiente de potencia de la turbina

Valor máximo teórico (límite de Betz)

Idealmente la turbina puede extraer un máximo de 59.26% de la energía del viento

2

4 1p

w

PC a a

P

máx

160.593

27pC

1

3opta

1 min

4 1 1 3 0 1max

3

p

aC

a aa a

2 1

2

3U U 4 1

1

3U U

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-1

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5



Coeficiente de tracción o empuje de la turbina

Observaciones

Para a = 1/3, CP=CPmáx y CT = 0.88

Para a = 0.5, CT = 1 (máximo), v4 = 0

Para a > 0.5, el modelo no es válido (teoría de Betz) y el torque real puede alcanzar valores cercanos a 2.

212

212

4 14 1T

w

AU a aTC a a

T AU

DIE

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-1

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Coeficientes de potencia y par de la turbina

4 1TC a a 2

4 1pC a a

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En la práctica la potencia extraída por la turbina es inferior al límite de Betz (59.3%).

Los principales efectos que intervienen y que no fueron tenidos en cuenta en la derivación anterior son:

Rotación de la estela detrás del rotor

Número de palas finito

Arrastre aerodinámico no nulo

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Cla

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Rotación de la estela

El torque que produce el aire al pasar por la turbina requiere de un par igual y opuesto sobre el aire (acción y reacción)

Como consecuencia el aire, luego de pasar por la turbina, además de la componente axial tiene una tangencial que lo hace rotar en sentido opuesto a la turbina.

Disminuye la potencia aprovechada porque parte de la energía se transfiere al movimiento de rotación del aire.

El efecto es mayor cuanto menor es la velocidad de rotación de la turbina.

Se puede extender el análisis anteriorpara incluir este efecto.

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Rotación de la estela (cont.)

Tracción sobre un elemento anular

El volumen de control considerado es un anillo.

El disco se mueve con velocidad angular (Ω) y la impartida al aire (ω) es opuesta a la del disco.

La velocidad angular del aire relativa al disco se incrementa de Ω a Ω+ωmientras que la componente axial permanece constante.

La velocidad tangencial del aire es cero antes del disco y ωr luego del disco.

Considerando que el volumen de control se mueve con la velocidad angular de las palas,se puede aplicar Bernoulli a la sección anterior y posterior al disco, resultando

y el empuje sobre el elemento anular resulta

La representación de la turbina

es ilustrativa, se considera disco

actuador ideal.

212 3 2

p p r

212 3 2

dT p p dA r dA

DIE

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t. 20

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Cla

se

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Tracción sobre un elemento anular (cont.)

Se define el factor de inducción angular o de interferencia rotacional

La fuerza de tracción en función de este parámetro resulta

Además teníamos que

Igualando ambas expresiones se obtiene la relación local de velocidades

En particular, se define el coeficiente de punta de pala o velocidad específica de punta de pala (TSR de tip speed ratio en inglés) como

2a

R

U

1

1r

a ar

U a a

2 21

24 1dT r dA a a

21

24 1dT U dA a a

DIE

C-U

NS

-1

er c

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FA

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Cla

se

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Torque y potencia sobre un elemento de sección anular

El torque es igual a la variación en el momento angular del aire que lo atraviesa

Entonces la potencia generada en cada elemento anular es

El coeficiente de potencia se obtiene integrando el diferencial a lo largo de todo el rotor

2 21

2

2 23 3 31 1

2 22 2

1 4

81 4 1

p

r r

dC

dP dQ U a a r dA

r dAAU a a AU a a d

U A

2

21

2

vel. tangencial

1 2 1 4

dQ dm r U dA r r

U a dA a r r U a a r dA

3

2

0

81p r rC a a d

DIE

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E -

Cla

se

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Valor máximo del coeficiente de potencia

Se da cuando el producto a’(1-a) es máximo

Para calcularlo se expresa a’ en función de a y λr

Se busca el máximo para cada sección anular.

Luego se expresan λr y dλr en función de a y da y se resuelve la integral en función de a para distintos λ.

El resultado se muestra en la figura, donde se observa que cuanto mayor es λ, el valor máximo de Cp se aproxima más al límite de Betz.

3

2

0

81p r rC a a d

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Rotores reales

Se utilizan perfiles aerodinámicos (airfoils)

Son estructuras con formas geométricas específicas utilizadas para generar fuerzas mecánicas debido al movimiento relativo entre la estructura y el fluido que la rodea.

Las turbinas eólicas usan este principio para capturar la energía del viento, por lo cual la sección de pala tiene forma de perfil aerodinámico (ala).

DIE

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se

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Perfiles aerodinámicos

Parámetros característicos

Línea de comba media (mean camber line): puntos equidistantes entre la superficie superior e inferior del perfil.

Línea de cuerda (chord line): línea recta que une los extremos del perfil (bordes de ataque y de fuga). Su longitud se denomina cuerda (c).

Comba o curvatura: distancia máxima entre la línea de cuerda y la línea media. Se mide perpendicular a la cuerda y se da como porcentaje de c.

Grosor: distancia entre la superficie superior e inferior (perpendicular a la cuerda).

Radio del borde de ataque y ángulo del borde de fuga

Ángulo de ataque: ángulo entre la velocidad relativa del aire y la línea de cuerda.

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-1

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Perfiles aerodinámicos (cont.)

Ejemplos de perfiles

NACA (National Advisory Committee for Aeronautics): las series originales de 4 y 5 dígitos generan el perfil usando ecuaciones que describen la comba de la línea media y la distribución del espesor.

4 dígitos NACA MPXX

M: define la comba máxima (M=2 comba del 2% de c).

P: define la posición de la máxima comba (P=4 la comba está en el 40% de c).

XX: espesor dividido 100 (XX=12 12% de c).

Simétrico con 12% de espesor

Comba suave con 15% de espesor

Comba mayor con 17% de espesor

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Fuerzas y momentos sobre el perfil

El flujo de aire sobre el perfil produce una variación de la presión en su entorno

El aire se acelera por la curvatura del perfil y se produce un gradiente de presión en la dirección de cada línea de flujo.

Líneas de flujo que se comprimen indican aumento de velocidad y disminución de presión.

DIE

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Fuerzas y momentos sobre el perfil (cont.)

Distribución de fuerzas sobre el perfil

Fuerza de sustentación (lift): perpendicular a la dirección del viento.

Se produce por la diferencia de presión entre las superficies superior e inferior.

Fuerza de arrastre (drag): paralela a la dirección del viento.

Se debe a las fuerzas viscosas sobre ambas superficies y a la distribución de presiones desigual a ambos lados.

Momento de ataque o de pitch: actúa sobre un eje perpendicular a la sección del perfil.

α: ángulo de ataque. Es el ángulo

entre la dirección relativa del viento

y la línea de cuerda de la pala.

DIE

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-1

er c

ua

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Cla

se

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Coeficientes de fuerza y momento adimensionales

Se pueden definir para objetos 2D o 3D en base a experimentos en túnel de viento (dependen del número de Reinolds)

Coeficiente de sustentación

Coeficiente de arrastre

Coeficiente de momento de ataque

Fuerza de sustentación/longitud

Fuerza dinámica/longitudlC

Fuerza de arrastre/longitud

Fuerza dinámica/longituddC

Momento de ataque

Momento dinámicomC

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Cla

se

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Coeficientes de fuerza

Para ángulos de ataque relativamente chicos

El coeficiente de sustentación es alto respecto al de arrastre.

Para perfiles simétricos el coeficiente de sustentación es cero cuando el ángulo de ataque es nulo, y crece con este, hasta valores superiores a 1. Se puede incrementar (y el de arrastre disminuir) usando un perfil con comba.

Para ángulos de ataque grandes

La fricción viscosa sobre la superficie desacelera el aire y se separa del perfil, perdiendo sustentación.

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Cla

se

20

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El comportamiento puede clasificarse en tres regímenes de operación

Flujo pegado al perfil

Para ángulos de ataque bajos, el flujo de aire se mantiene pegado al perfil y la sustentación aumenta al aumentar el ángulo.

Alta sustentación y comienzo de pérdida

Luego de alcanzar la máxima sustentación comienza a separarse el flujo de la superficie y se inicia la pérdida de sustentación (stall). Se puede utilizar para disminuir la velocidad de rotación de la turbina.

Régimen de pérdida

Para ángulos de ataque de ~45°, los coeficientes de arrastre y sustentación son iguales. Hacia 90° se pierde totalmente la sustentación.

Experimento en túnel: http://www.youtube.com/watch?v=6UlsArvbTeo

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