Potencia

Circuitos Eléctricos 2

Potencia instantánea

La potencia instantánea se define como:

p(t) = v(t) i(t)

Para una resistencia es:

p(t) = v(t) i(t) = i2(t)R = v2(t)/R

Para una bobina:

Para un capacitor:

tdttvtv

Ldttdi

tLititvtp ')'()(1)(

)()()()(

tdttiti

Cdttdv

tCvtitvtp ')'()(1)(

)()()()(

Potencia en el circuito RL

)(1)( 0 tueR

Vti LRt

)(1)()()(2

0 tueR

Vtvtitp LRt

)(1)()(2

202 tueR

VRtitp LRt

R

)(1)()()(2

0 tueeR

Vtitvtp LRtLRt

LL

Potencia de excitación senoidal

RL 1tan222 LR

VI m

m

La respuesta al estado senoidal es:

i(t) = Im cos (t –)

ttIVtvtitp mm cos)cos()()()(

)2cos(2

cos2

cos)2cos(2

)(

tIVIV

tIV

tp

mmmm

mm

Potencia promedio

coscoscoscos 21

21Usando

Ejemplo en Matlab

%Potencia instantanea% senoidal en un circuito RLw = 1000;Vm = 1;R = 50;L = 100e-3;Im = Vm/sqrt(R*R+w*w*L*L);fi = -atan(w*L/R);t = 0:0.00005:0.01;i = Im*cos(w*t+fi);v = Vm*cos(w*t);p = v.*i;plot(t,v,t,i*100,t,p*100)grid

Factor de escala

Potencia promedio = (1)(0.0089)(cos(–1.107)) = 0.002

Voltaje corriente potencia

EjemploUna fuente de tensión de 40 + 60 u(t) un capacitor de 5 F y un resistor de 200 están en serie. Determine la potencia que absorbe el resistor y el capacitor en t = 1.2 ms.

vC(0–) = vC(0+) = 40 V

vR(0+) = 60 V

por tanto

i(0+) = 60/200 = 300 mA

i está dada por

i(t) = 300e– t / mA

= RC = 1 ms

en t = 1.2 ms i = 90.36 mA

la potencia en R es

pR(1.2m) = i2R = 1.633 W

La potencia en C es

i(t)vC(t)

es fácil ver que

vC(t) = 100 – 60e– t / V

vC(1.2m) = 100 – 60e–1.2 V

= 81.93 V

la potencia es

(90.36)(81.93) = 7.403 W

Tarea #14

Una fuente de corriente de 12 cos(2000t) A, un resistor de 200 y un inductor de 0.2 H, están en paralelo. En t = 1ms determine la potencia que absorbe el resistor, el inductor y la fuente senoidal.

13.98 kW, –5.63 kW, –8.35 kW

Potencia promedio o activa

La potencia promedio se define como

2

112

1 t

tdttp

ttP

Para una función periódica

f(t) = f(t + T)

Tt

t

x

x

dttpT

P1

t1 t1+ Ttx tx+ T

p(t)

t

Potencia promedio o activa

nTt

t

x

x

dttpnT

P1

Podemos calcular la potencia promedio como

Si n se hace muy grande y con un intervalo simétrico

2/

2/

1lim

nT

nTndttp

nTP

Ejemplo

T 2T

Im

–T

i(t)

t

T 2T

Im2R

–T

p(t)

t

i(t) = Im t/T 0<t<T

i(t) = Im (t – T)/T T<t<2T

p(t) = Im2 Rt2/T2 0<t<T

p(t) = Im2R (t – T)2/T2 T<t<2T

P = Im2R/3

Potencia en estado senoidal

v(t) = Vm cos(t + )

i(t) = Im cos(t + )

p(t) = Im Vm cos(wt + ) cos(t + )

p(t) = ½Im Vm cos()+½Im Vm cos(2t + )

P = ½Im Vm cos()

Para el estado senoidal

La potencia promedio es:

Ejemplo

Dada la tensión en el domino del tiempo v = 4cos(t/6) V, determine la potencia promedio y una expresión para la potencia instantánea que se produce cuando la tensión fasorial correspondiente a V = 4/_0° V se aplica a través de una impedancia Z = 2/_60° .

Ejemplov(t) = 4cos(t/6) V

Z = 2 60° Ohm

i(t) = 2 cos(t/6–60°) A

P = ½(4)(2)cos() = 2 W

p(t) = 8 cos(t/6) cos(t/6–60°)

=2 + 4 cos(t/3–60°) W

Voltaje corriente potencia

Tarea #15

Dada la tensión fasorial V = 115245° V en una impedancia Z = 16.2619.3° , obtenga una expresión para la potencia instantánea y calcule la potencia promedio (activa) si = 50 rad/s.

767.5 + 813.2 cos(50t + 70.7°)W; 767.5 W

Potencia promedio absorbida por un resistor ideal

En este caso la diferencia de fase es cero, de modo que:

P = ½Im Vm cos(0) = ½Im Vm

RV

RIP mmR 2

22

21

Potencia promedio absorbida por elementos puramente reactivos

En este caso la diferencia de fase es 90° de modo que:

P = ½Im Vm cos(90°) = 0

La potencia promedio entregada a una red formada solo de inductores y capacitores es cero.

Ejemplo

Encuentre la potencia promedio (activa) entregada a cada uno de los elementos pasivos.

ZL = 45j;ZC = -100j;R = 2;V1 = 10*(cos(50*pi/180)+j*sin(50*pi/180));V2 = -5;% Matriz del sistemaZ = [ZL+R, -R; -R, ZC+R];% vector de voltajesV = [V1;V2];% corrientesI = inv(Z)*V;% corriente en RIR = I(1)-I(2);% potencia promedio en RPR = R*abs(IR)*abs(IR)/2;PV1 = abs(I(1))*abs(V1)/2*cos(angle(V1)-angle(I(1)));PV2 = abs(I(2))*abs(V2)/2*cos(angle(V2)-angle(I(2)));fprintf('Potencia promedio en la resistencia = %8.6f\n',PR)fprintf('Potencia suministrada por V1 = %8.6f\n',PV1)fprintf('Potencia suministrada por V2 = %8.6f\n',PV2)fprintf('Suma = %8.6f\n',PV1+PV2)

% +---ZL---+----ZC---+% | | |% V1 R V2% | | |% +--------+---------+

Potencia promedio en la resistencia = 0.037576Potencia suministrada por V1 = 0.042007Potencia suministrada por V2 = -0.004431Suma = 0.037576

Tarea #16

En el circuito de la figura, calcule la potencia promedio que absorbe cada uno de los elementos del circuito.

% +---R1---+----R2---+% | | |% V1 ZL ZC% | | |% +--------+---------+

V1 = 100 VR1 = 4 OhmsR2 = 10 OhmsZL = 5j OhmsZC = -5j Ohms

Transferencia de potencia máxima

Una fuente de tensión independiente en serie con una impedancia Zth o una fuente de corriente independiente en paralelo con una impedancia Zth entrega una potencia promedio (activa) máxima a una impedancia de carga ZL, que es el complejo conjugado de Zth o ZL = Zth

*.Zth

ZL

+

–

Potencia promedio para funciones no periódicas

i(t) = sent + sent no periódica

i(t) = sent + sen 3.14t si periódica

2/

2/

22 sensen2sensen1

lim dtttttnT

P

El valor promedio de sen2t es ½, también el de sen2t es ½. El valor promedio de sent sent es 0. Por lo tanto

P = ½ + ½ = 1 W

Generalizando

i(t) = Im1cosw1t + Im2cosw2t +...+ ImNcoswNt

RIIIP mmm2

N2

22

121 ...

Superposición de potencia para frecuencias diferentes.

EjemplosDetermine la potencia promedio que entrega la corriente I1 = 2 cos 10t – 3 cos 20t A a un resistor de 4 .

Dado que las frecuencias son diferentes

P = ½ (2)24 + ½ (3)24 = 8 + 18 = 26 W.

Determine la potencia promedio que entrega la corriente I2 = 2 cos 10t – 3 cos 10t A a un resistor de 4 .

Como la frecuencia es la misma, se debe escribir la corriente como una sola cosenoidal.

I2 = –cos 10t

P = ½ 124 = 2 W

Valores eficaces de I y V

La potencia entregada a una resistencia R es:

TT

dtiTR

RdtiT

P0

2

0

21

La potencia que entrega una corriente directa es:

P = Ief2R

Igualando y despejando Ief

T

ef dtiT

I0

21

Esta expresión define es el valor RMS (raíz cuadrada media)

RMS de una senoidal

Si

i(t) = Im cos(wt + )

2

2

022cos21

21

2

cos1

/20

/2

0

0

22

m

m

m

T

mef

I

tI

dttI

dttIT

I

RMS y potencia promedio

La potencia promedio en una resistencia R es:

P = ½ Im2 R

Como Im = 2 Ief, la potencia promedio es

P = Ief2 R

P = Vef Ief cos( – )

P = Vef2 /R

Ejemplo

La amplitud de un valor de tensión o corriente senoidal difiere del valor eficaz por un factor de 2.

50/_30° V = 35.4/_30° Vrms

Valor eficaz para varias frecuencias

RIIIP efef2Nef

22

21 ...

Por tanto

Entonces para frecuencias diferentes

2Nef

22

21 ... IIII efefef

RIIIP mmm2

N2

22

121 ...

La potencia promedio de una señal de múltiples frecuencias esta dada por:

EjemploCalcule el valor eficaz de 6 cos 25t

25/2

0 21

21

25/2

0

2

252

50cos36225

25cos361

dtttdt

24.418505018

18225

25/2

0

tsent

Calcule el valor eficaz de 6 cos 25t + 4 sen(25t + 30°)

function y = rms(f,T)% calcula la raiz cuadrada mediaF = inline(strcat('(',f,').*(',f,')'));Q = quad(F,0,T);y = sqrt(1/T*Q);

La siguiente función en MatLab calcula el valor rms.

rms('6*cos(25*x)+4*sin(25*x+30*pi/180)',2*pi/25)

ans = 6.1644

EjemploCalcule el valor eficaz de 6 cos 25t + 5 cos225t

Calcule el valor eficaz de 6 cos 25t + 5 cos30t + 4

Para este caso hay que utilizar

rms('6*cos(25*x)+5*cos(25*x).*cos(25*x)',2*pi/25)

ans = 5.23221

sqrt(rms('6*sin(25*x)',2*pi/25)^2+rms('5*sin(30*x)',2*pi/30)^2+16)ans = 6.8191

2Nef

22

21 ... IIII efefef

Tarea #17Utilice la función rms definida para Matlab para encontrar el valor rms de:

a) 5 cos 40t

b) v(t) = 10 + 9 cos 100t + 6 cos 100t

c) h(t) = 2 + 3 cos100t + 4 cos(101t – 120°)

Potencia aparente

v(t) = Vm cos(wt + )

i(t) = Im cos(wt + )

La potencia promedio es

P = Ief Vef cos()

Al término Ief Vef se le llama potencia aparente y se mide en VA (Volt-Ampere).

Factor de potencia = Potencia promedio/potencia aparente

= cos()

Al ángulo () se le llama ángulo de FP.

Para el estado senoidal

EjemploCalcule valores para la potencia promedio suministrada a cada una de las cargas de la figura, así como la potencia aparente que proporciona la fuente y el factor de potencia de las cargas combinadas.

2-j1

1+j560/_0° Vrms

La tensión eficaz es 60 V rms que aparece a la combinación de la carga

2–j1+1+j5 = 3+j4

La corriente que suministra la fuente es

Is = (60/_0°)/(3+j4) = (60/_0°)/(5/_53.13°) =

12/_–53.13°

La potencia promedio que suministra la fuente es

Ps = (60)(12)cos(0°–53.13°) = 432 W

La potencia aparente es

VefIef = (60)(12) = 720 W

El factor de potencia es

PF = 342/720 = 0.6 (retrasado)

La potencia promedio que se entrega a cada carga es

Psuperior = 122(2) = 288 W

Pderecha = 122(1) = 144 W

Potencia complejaLa potencia promedio esta dada por

P = Ief Vef cos()

Puede escribirse como:

P = Ief Vef Re{e j()}

P = Re{Vef e j Ief e j)}

P = Re{Vef Ief*}

Definimos la potencia compleja como:

S = Vef Ief*

S = P + jQ

Donde Q es la potencia reactiva

S

Q

PRe

Im

Triángulo de potencia

Potencia compleja

Vef

Re

Im

Ief

Iefcos(Iefsen|

El signo de la potencia reactiva caracteriza la naturaleza de la carga a la cual se especifican Vef e Ief.

Si la carga es inductiva, entonces (– ) es un ángulo entre 0 y 90°, el seno de este ángulo es positivo y la potencia reactiva es positiva.

Una carga capacitiva produce una potencia reactiva negativa.

Medición de la potenciaUn wattímetro registra la potencia real promedio consumida por una carga y con un varmetro se obtendrá la potencia reactiva Q consumida por la carga.

La potencia compleja entregada a varias cargas interconectadas es igual a la suma de las potencias complejas entregadas a cada una de las cargas individuales, sin importar cómo están interconectadas.

Ejemploun consumidor industrial opera un motor de inducción de 50 kW (67.1 hp) a FP retrasado de 0.8. La tensión de la fuente corresponde a 230 V rms. Para obtener tarifas eléctricas inferiores, el consumidor debe elevar el FP retrasado. Especifique una solución plausible.Se debe agregar una impedancia para corregir el FP en paralelo con el motor.

S1 S2

I1

V

I2I

–

+

La potencia S1 tiene parte real P = 50 kW y parte imaginaria Q = 50*tan(cos-1(.8)) = 37.5 VA, entonces

S1 = 50 + j37.5 kVA

Si se desea FP = 0.95, la potencia acompleja total debe ser S = 50 + j50*tan(cos-1(.95)) = 16.43 kVA y

S2 = S – S1 = 50 + j16,43 – 50 – j37.5 kVA

= – j21.07 kVA

La corriente que atraviesa S2 es

I2* = S2 /V = – j21.07/230 = – j91.6 A

I2 = j91.6 A

Z2 = V/I2 = 230/ j91.6 = – j2.51

Si f = 60 Hz, un capacitor de

C = 1/(2.51*2**60) = 1.056 mF

Terminología de potenciaTérmino Símbolo Unidad Descripción

Potencia instantánea p(t) W p(t) = v(t)i(t) valor de la potencia en un instante cualquiera

Potencia promedio P W En el estado senoidal

Valor eficaz o rms Vrms o Irms V o A Senoidal Im/2

Potencia aparente |S| VA |S| = Vef Ief

Factor de potencia PF Ninguna 1 para cargas puramente resistivas y para cargas puramente reactivas

Potencia reactiva Q VAR Para medir flujo de energía en cargas reactivas

Potencia compleja S VA S = P + jQ

ejemploEl voltaje suministrado por la fuente es de 440 a una carga ZL = 10+2j a través de una línea de transmisión que tiene una resistencia total de 1.5 . Determine a) potencia promedio y aparente suministrada a la carga; b) potencia promedio y aparente perdida en la línea; c) potencia promedio y aparente suministrada por la fuente; d) factor de potencia de la fuente.

Vm = 440;ZL = 10+2j;R = 1.5;% a) potencia pormedio y aparente suministrada a la cargaI = Vm/(ZL+R); % corriente totalIm = abs(I); % amplitud de la corrienteVmL = abs(I*ZL);P = real(ZL)*Im*Im % potencia promedio cargaPA = VmL*Im % potencia aparente carga% b) potencia pormedio y aparente perdida en la lineaVmlinea = abs(I*R);Plinea = R*Im*Im % potencia promedio lineaPAlinea = Vmlinea*Im % potencia aparente carga% b) potencia pormedio y aparente suministrada por la lineaPfuente = real(ZL+R)*Im*Im % potencia promedio fuentePAfuente = Vm*Im % potencia aparente carga% d) factor de potenciaPfuente/PAfuenteRespuestas: 14.21 KW, 14.49 kVA; 2.131 kW; 16.34 kW, 16.59 kVA; 0.985 retrasado

TareaPara el circuito determine la potencia compleja que absorbe: a) el resistor de 1 Ohm, b) el capacitor dr -10j Ohms, c) la impedancia de 5 + 10j Ohms, d) la fuente.

+---R1---+-------+ R1 = 1 Ohms| | | R2 = 5 Ohms| R2 | L = 10j Ohms| | | C = -10j OhmsV | C V = 120 Vrms| | || L || | |+--------+-------+

Solución: 26.6 + 0j VA; 0 – 1.331j VA; 532 + 1065j VA; -559 + 266j VA.