Escuela superior politécnica del litoral

Facultad de ingeniería en electricidad y computación

Sistemas de Potencia III

Trabajo #1

>>Calculo de la matriz admitancia Y barra ' ' LU y LDU ' a través de MATLAB<<

Estudiantes grupo #5:

Jonathan Gabriel Castro Daniel Flores Tómala Ítalo Orozco Lema

Fecha de entrega: Miércoles 04/Nov/2009

Profesor: Dr. Cristóbal Mera

Objetivos:

Dar a conocer a los alumnos de este curso la importancia de la matriz de admitancia.

Recordar los conceptos básicos de Admitancia, líneas de transmisión, y la matriz Admitancia.

Crear un algoritmo para determinar la matriz admitancia en un sistema eléctrico de potencia.

Y dar a conocer básicamente la programación en matlab para el cálculo de la matriz admitancia.

Fundamento Teórico

Admitancia.

En ocasiones descubrimos que el reciproco de la impedancia es una cantidad más conveniente. Definimos la admitancia Y de un elemento de circuito como la proporción entre la corriente fasorial y la tensión fasorial.

Y= IV

Y por ello:

Y= 1Z

La parte real de la Admitancia es la Conductancia G, y la parte imaginaria de la Admitancia es la Susceptancia B. de tal manera:

Y=G+ j B= 1Z

= 1R+ j X

La admitancia, la conductancia y la Susceptancia se miden en siemens.

Líneas de Transmisión

Línea Corta: Se designan así, aquellas líneas cuya longitud es menor a 50 km y su tensión deOperación es menor que 110 KV. En estas condiciones es posible despreciar los efectos de la capacitanciaDistribuida y representar la resistencia e inductancia por parámetros concentrados. El circuito equivalente enRégimen permanente sinusoidal, se muestra en la figura siguiente, con su correspondiente diagrama fasor.

Línea de Mediana Longitud: Se consideran líneas de longitud media, a aquellas que operan a Tensiones mayores o iguales a 110 KV y su longitud está comprendida entre los 50 y 200 km. En este caso No es posible despreciar el efecto de la capacitancia sin cometer un error apreciable, por lo que laAproximación más aceptada es considerar la capacidad concentrada en uno o más puntos, entonces seTienen los dos circuitos más empleados: π nominal y T nominal.

Circuito Equivalente π Nominal: Concentrando la resistencia e inductancia enUn solo punto y considerando la capacidad concentrada en mitades en los extremos transmisor y receptor,De modo que C, es la capacidad total por fase de la línea.

Matriz Admitancia en SEP (Sistemas Eléctricos de Potencia)

La siguiente figura muestra una red representada por una representación de diagrama unifilar de los nodos (barras 1-4) y la representación circuital de las ramas que conecta a los nodos y las ramas a tierra.

Las ramas que se conectan a los nodos se representan como líneas.las ramas a tierra representan cualquier elemento shunt en las barras, incluyendo capacitancias de carga en ambos extremos de la línea.Todas las ramas son denotadas ya sea por valores de admitancia Yij ya sea por valores de admitancia Yij por una rama que la conecta i y j, y Yi para los elementos shunt de la barra i.La inyección de corriente de cada barra i es denotada por Ii.

La ley de corrientes de Kirchoff (KCL) requiere que cada una de las inyecciones de corriente sea igual a la suma de las corrientes que fluyen fuera de la barra y a través de las líneas que la conectan a otras barras, o a tierra.Modificando la ley de Ohm:

I=VZ

=VY

La corriente inyectada en la barra 1, es:I 1=(V 1−V 2 )Y 12+(V 1−V 3 )Y 13+V 1Y 1

Para completar, se considera que la barra 1 esta “conectada” a la barra 4 a través de una impedancia infinita, la cual implica que la correspondiente admitancia Y14= 0

Se tienes entonces: I 1=(V 1−V 2 )Y 12+(V 1−V 3 )Y 13+(V 1−V 4 )Y 14+V 1Y 1

Reordenando la ecuación se obtiene:

I 1=V 1 (Y 1+Y 12+Y 13+Y 14 )+V 2 (−Y 12 )+V 3 (−Y 13 )+V 4(−Y 14)

Similarmente se pueden desarrollar las inyecciones de corrientes en las barras 2,3 y 4:

I 2=V 1 (−Y 21 )+V 2 (Y 2+Y 21+Y 23+Y 24 )+V 3 (−Y 23 )+V 4 (−Y 24)

I 3=V 1 (−Y 31 )+V 2 (−Y 32 )+V 3 (Y 3+Y 31+Y 32+Y 34 )+V 4 (−Y 34 )

I 4=V 1 (−Y 41 )+V 2 (−Y 42 )+V 3 (−Y 34 )+V 4 (Y 4+Y 41+Y 42+Y 43)

Se reconoce que la admitancia del circuito desde la barra k a la i es la misma que desde la barra i a la k, es decir Yki = Yik.De tal modo se puede escribir esas ecuaciones de un modo más compacto empleando matrices:

[ I 1I 2I 3I 4

]=[Y 1+Y 12+Y 13+Y 14 −Y 12 −Y 13 −Y 14−Y 21 Y 2+Y 21+Y 23+Y 24 −Y 23 −Y 24−Y 31 −Y 32 Y 3+Y 31+Y 32+Y 34 −Y 34−Y 41 −Y 42 −Y 43 Y 4+Y 41+Y 42+Y 43

][V 1V 2V 3V 4

]La matriz que contiene las admitancias de la red, es la matriz admitancia, también conocida como Ybarra, denotada por:

Y=[Y 1+Y 12+Y 13+Y 14 −Y 12 −Y 13 −Y 14−Y 21 Y 2+Y 21+Y 23+Y 24 −Y 23 −Y 24−Y 31 −Y 32 Y 3+Y 31+Y 32+Y 34 −Y 34−Y 41 −Y 42 −Y 43 Y 4+Y 41+Y 42+Y 43

]Podemos denotar el elemento de la fila i, columna j como Yij, obtenemos:

[ I 1I 2I 3I 4

]=[Y 11 Y 12 Y 13 Y 14Y 21 Y 22 Y 23 Y 24Y 31 Y 32 Y 33 Y 34Y 41 Y 42 Y 43 Y 44

] [V 1V 2V 3V 4

]Definimos los vectores V y I, se puede reescribir en una forma mas compacta:

V=[V 1V 2V 3V 4

],

I=[ I 1I 2I 3I 4

]I=YV

Establecemos los siguientes puntos importantes:

la matriz es simétrica Yij= Yji. El elemento de la diagonal Yii es obtenido de la suma de

las admitancias de todas las ramas conectada a la barra i, incluyendo los elementos paralelos. Yik ≠ 0 cuando existe conexión física entre i y k.

Los elementos fuera de la diagonal son negativos de las admitancias que conectan las barras i y j, Yij = -Yji.

Procedimiento:

%CODIFICADO PARA CALCULAR LA MATRIZ ADMITANCIA%

%Algoritmo de la MATRIZ IMPEDANCIAn=input('Ingrese el numero de barras: ');MN=zeros(n,n);for i=1:n sprintf('Para la barra %f ingrese: ',i) Yp=input('Admitancia paralela total de la barra: '); for j=i+1:n sprintf('Tramo %f y %f', i,j) y=input('Ingrese la admitancia serie de la linea: '); MN(i,j)= -y; MN(j,i)=MN(i,j); end S=0; for k=1:n MN(i,i)=0; cont=-MN(i,k)+S; S=cont; end MN(i,i)=S + Yp;end sprintf('La matriz admitancia es:')F=MN

La Factorización LU

En el álgebra lineal, la factorización o descomposición LU es una forma de factorización de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. Debido a la inestabilidad de éste método, por ejemplo si un elemento de la diagonal es cero, es necesario premultiplicar la matriz por una matriz de permutación. Método llamado factorización PA = LU o LU con pivote.

Esta descomposición se usa en el análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones (más eficientemente) o encontrar las matrices inversas.

A una matriz no singular (si lo fuera, entonces la descomposición podría no ser única)

Para matrices , esto es:

Por otro lado la descomposición PLU tiene esta forma:

Lm − 1Pm − 1...L2P2L1P1A = U

Con Lm − 1...L1 matrices triangulares inferiores, Pm − 1...P1 matrices de permutación y U una matriz triangular superior.

Para determinar L:

L = (L'm − 1 * ... * L'2 * L'1) − 1

y cada L'k está dado por:

L'k =

Esto se debe a que L'k es igual a Lk, pero con los elementos de la subdiagonal permutados.

Otra forma de ver éste tipo de factorización es: A = PTLU Recordando que las matrices de permutación matriz permutación son invertibles y su inversa es su traspuesta

Las matrices L y U son únicas, si la matriz no es singular. En caso contrario pueden no ser únicas.

Demostración:

Dada la matriz A ∈ Rmxn

A = L1U1 y A = L2U2

Recordemos que L1,U1,L2,U2 son invertibles por tener el determinante distinto de cero entonces:

L1U1 = L2U2

Entonces es una matriz triangular inferior, con unos en

la diagonal y es triangular superior, con unos en la diagonal (recordando que el producto matricial de triangulares superiores/inferiores es triangular superior/inferior). La única matriz que cumple estas dos propiedades es la identidad. Por lo tanto:

y

Con lo cual:

L1 = L2 y U1 = U2

La factorización LU es básicamente una forma modificada de la eliminación gaussiana. Transformamos la matriz A en una triangular superior U anulando los elementos debajo de la diagonal.

E1 * E2 * ... * En * A = U

Donde E1,E2,...,En son matrices elementales, que representan los distintos pasos de la eliminación. Luego recordando que la inversa de una matriz elemental, es otra matriz elemental:

Llamamos L a una matriz triangular inferior.

Factorización LDU’

Si A = LU es la descomposición LU de A , entonces A = LUU ′ es una nueva descomposición de A , donde D es una matriz diagonal, con los pivotes en la diagonal principal, y U ′ es una matriz triangular superior, con 1 en la diagonal principal y el resto coincide con U .Si A = LDU′ es la descomposición LDU′ de A y A es una matriz simétrica, entonces A = LDLt.

Para que una matriz admita factorización LDU es necesario en primer que sea no singular, es decir, que tiene inversa, que su determinante es distinto de cero, entre otros.Además, si los n menores principales de la matriz A de 'n x n' son no singulares, entonces la matriz tiene descomposición LDU, recuerda que los menores principales no son más que las matrices cuadradas que puedes armar a partir de A y que contengan al primer elemento diagonal.para ponerte un ejemplo, si tienes la matriz:

| 1 0 2 3 || 0 6 4 5 || 1 1 0 2 || 3 2 0 9 |

entonces los menores principales serán:

| 1 0 2 || 0 6 4 || 1 1 0 |y| 1 0 || 0 6 |

Ahora bien, esta factorización no es única,ya que puedes obtenerla a partir de eliminación gaussiana, es decir, a partir del método del algoritmo pivotante, otro método es la descomposición de Cholesky en el que U es la transpuesta de L.Para asegurarte que sea única podemos ver lo siguiente:Si A simétrica y definida positiva, entonces tiene una factorización única A=L.I.L(t) en donde L es una matriz triangular inferior con diagonal positiva, y L(t) es la

transpuesta de L.Recuerda que una matriz es simétrica si para cada elemento a(i,j) tenemos que:

a(i,j) = a(j,i)

Es el único modo en que sé que se puede asegurar que una matriz A tenga factorización LDU única.

Para la descomposición LDU queremos que la matriz triangular ,

tendremos que dividir la fila i de la matriz U por y así lograremos nuestro objetivo.

Como

superior solo tenga unos en la diagonal, como A es

invertible sabemos que todos los aii son no nulos, por lo tanto, para convertirlos en unos

%Algoritmo de la Matriz A Ndp=n-1;Y=F; for k=1:Ndp for i=k+1:n for j=k+1:n Y(i,k)=F(i,k)*inv(F(k,k)); Y(i,j)= F(i,j)-F(i,k)*F(k,j)*inv(F(k,k));

end end F=Y;endsprintf('La MATRIZ A es:') A=F

%Algoritmo de la Matriz LUL=zeros(n,n);U=zeros(n,n); for i=1:n for j=1:n if i==j L(i,j)=1; U(i,j)=X(i,j); else if i<j L(i,j)=0; U(i,j)=X(i,j); else L(i,j)=X(i,j); U(i,j)=0; end end endend sprintf('La MATRIZ L es:')ML=Lsprintf('La MATRIZ U es:')MU=U%Algoritmo de la Matriz LDUD=zeros(n,n);Up=zeros(n,n); for i=1:n for j=1:n if i==j D(i,j)=MU(i,j); Up(i,j)=1; else if j>i Up(i,j)=MU(i,j)*inv(MU(i,i)); end end endendsprintf('La MATRIZ Up es:')MUp=Upsprintf('La MATRIZ D es:')MD=D

Conclusiones:

La matriz admitancia es una herramienta muy importante en un sistema de potencia, porque nos sirve para calcular los flujos de potencia del sistema, y las corrientes de falla 3Ø en las diferentes barras

Matlab es una herramienta matemática en el cual nos permite calcular, y ver qué ocurre en la teoría de los sistemas eléctricos de potencia, dándonos una gran facilidad en el cálculo en este caso, de la matriz admitancia.

Al finalizar el trabajo notamos claramente como conceptos básicos de corriente y voltaje nos sirven para hacer el cálculo de la matriz impedancia.

El avance de la tecnología nos ayuda significativamente a realizar cálculos para nuestro estudio, realizando cálculos que antes tomábamos horas para realizar.

Al concluir el proyecto encontramos una nueva manera para trabajar con flujo de potencia, simplificando análisis matemáticos.

Las metodologías utilizadas de factorización LU y LDU nos sirven como herramientas futuras para simplificar cálculos matemáticos que toman tiempo al realizar cualquier estudio.

Bibliografía.

http://www.fglongatt.org.ve/Archivos/Archivos/SP_II/PPTCapitulo1.2SP2.pdf

Análisis en circuitos en ingeniería: William Hayt jr. Simulación de sistemas eléctricos. Ma Inmaculada

Zamora, Ángel Javier Moran, Elvira Fernández, Koldobika Joseba Sagastabeitia, Igor Albizu, Pablo Eguia, Esther Torres, Víctor Valverde.

http://www.uv.es/diaz/mn/node28.html http://ensfisforo.foroes.net/metodos-numericos-

f8/factorizacion-lu-t11.htm http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma95-843/

lecturas/l843-34.pdf