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MB0003_M1AA1L2_RadicalesVersión:Septiembre2012Revisor:PatriciaCardonaTorres

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1

Radicales

porOliverioRamírezJuárez

Cuandosehabladeradicales,sehabladedeterminarlaraízdeunaexpresión.Elsímboloquese

utilizaparaexpresarunaraízes Ylaspartesdelradicalson:Cuandoelíndicenoseespecifica,seleecomo“raízcuadrada”,esdecir,elvalordelíndicees2,asípodrásleerlassiguientesraícescomosigue:

49 raízcuadradede49

324

raízcuartade32

x125

raízquintade x12

PropiedadesdelosradicalesParapoderdeterminarunaraízdecualquieríndice,utilizalaspropiedadesdelaraíz.



2

Propiedad Observación

ann= a

Cuandoelexponentedelabasedelradicandoesigualalíndice,elresultadodelaraízeslamismabase.

abn

= an

bn

Laraízenésimadelamultiplicacióndedosbasesdiferentes,sepuederepresentarcomolamultiplicacióndedosraícesdelmismoíndice.

a

b

n =a

n

bn

Laraízenésimadeladivisióndedosbasesdiferentes,sepuederepresentarcomoladivisióndedosraícesdelmismoíndice.

anm

= amn

Laraízdeunaraíz,semultiplicansusíndices.

Tabla1.Propiedadesdelosradicales.

Recuerdasquecuandoquieresdeterminarlasraícesde: 16 25 49 lasrealizaspensandoenunnúmeroque,multiplicadoporsimismo,nosdéelvaloralcuállequeremossacarlaraíz.Así,paralosejemplosanteriores:

16 4x4=16,porlotanto 16 = 42

=4

25 5x5=25,porlotanto 25 = 52

=5

49 7x7=49,porlotanto 49 = 72

=7Aplicandoestamismapropiedad,puedesdeterminarlasraícesdediferentesíndices.Ejemplos:



3

a) 2435

b) 164

c) x77

Respuestasa)Recuerdaqueelnúmero243sepuededividirensusfactoresprimoscomo:

243=3.3.3.3.3=35 Porlotanto:

2435

= 355

=3ysepuedeleercomo:laraízquintade243es3.b)Elnúmero16sepuededividirensusfactoresprimoscomo:

16=2.2.2.2=24 Porlotanto:

164

= 244

=2ysepuedeleercomo:laraízcuartade16es2.

c)Enelcasodelaraízde x77

,sepuededeterminaraplicandodirectamentelapropiedadcomo:

x77

=x

¿Cómopuedodeterminarlaraíz x73

?



4

Observaqueenestecasoelexponenteyelíndicenosoniguales,peropuedesutilizarlasegundapropiedaddelasraíces.

abn

= an

bn

Paraestecasoyhaciendousodelasleyesdelosexponentes,puedesrepresentarlaraízcomosigue:

x73

= x3.

3x3. x yaplicandolaspropiedadesdelasraíces.

x3.

3x3. x = x

3.

3x33. x3

x3.

3x3. x = x. x. x

3= x

2. x3

Ejemplos:

Determinala 323

Losfactoresprimosde32=22222=25

323

= 253= 2

3. 2

23= 2

33. 2

23= 2. 2

23

Porlotanto,

323

= 2. 223= 2. 4

3

Determinala 162x6y44 z

3

Porlotanto:



5

162x6y44 z

3

= 1624

. x64. y

44 . z34

Losfactoresprimosde162=33332=34. 2

Determinandolasraícesdecadafactor.

1624

= 34. 2

4= 3. 2

4

x64= x

4. x

24= x. x

24

y44 = y

z34

162x6y4z34

= 1624

. x64. y

44 . z34

162x6y4z34

=3. 24. x. x

24. y. z

34

162x6y4z34

=3xy. 2x2z34

OperacionesconradicalesSumayrestaderadicales



6

Parapodersumarorestarradicalesdebesdetomarenconsideraciónlosiguiente:

1. Simplificaralmáximocadaunodelosradicales.2. Identificarradicalessemejantes(mismoíndiceymismoradicando).3. Sumarorestarloscoeficientesdelosradicales.

Ejemplos:Realizalassiguientesoperacionesconradicales.

a) 3 + 5 3 = ,

b)5 23

+ 8 23

! 3 23

= ,

c)3 3x3

! 5 3x ! 4 3x3

+ 8 3x Soluciones:

a) 3 + 5 3 = 6 3 ,

b)5 23

+ 8 23

! 3 23

= 10 23

c)3 3x3

! 5 3x ! 4 3x3

+ 8 3x = 3 3x ! 3x3

Realizalasiguientesuma: 50 ! 32 Solución:Simplificaralmáximocadaunodelosradicales.

50 = 52*2 = 5 2



7

32 = 25= 2

4*2 = 2

22 = 4 2

Identificarradicalessemejantes(mismoíndiceymismoradicando)ysumarorestarloscoeficientesdelosradicales.

50 + 32 = 5 2 ! 4 2 = 2

Porlotanto: 50 + 32 = 2

Realizalasiguienteoperación:2 18 ! 5 48 + 3 50 ! 4 75 = Solución:Simplificaralmáximocadaunodelosradicales.

18 = 32. 2 = 3 2

48 = 24. 3 = 2

2. 2

2. 3 = 2

23 = 4 3

50 = 52. 2 = 5 2

75 = 52. 3 = 5 3

Sustituyelosvaloresobtenidosenlaoperación.

2 18 ! 5 48 + 3 50 ! 4 75 =

2 3 2( )! 5 4 3( ) + 3 5 2( )! 4 5 3( ) =



8

Observaquelosvaloresquequedanfueradelaraízseestánmultiplicando.

6 2 ! 20 3 +15 2 ! 20 3 = Porúltimo,sumayrestatérminossemejantes.

6 2 ! 20 3 +15 2 ! 20 3 = 21 2 ! 40 3 Porlotanto:

2 18 ! 5 48 + 3 50 ! 4 75 = 21 2 ! 40 3 MultiplicaciónderadicalesPararealizarlamultiplicaciónderadicales,sedebeconsiderarlosiguiente:

1. Verificaquelosradicalesquesevanamultiplicartenganelmismoíndice.

2. Utilizalapropiedaddelosradicales: an

bn

= abn

3. Simplificaelresultado.

Multiplicaysimplifica 6x3y2. 8x

4y5

Solución:

1. Losdosradicalestieneníndice2.2. Aplicalapropiedaddelosradicales:

an

bn

= abn



9

6x3y2. 8x

4y5= (6x

3y2)(8x

4y5) = 48x

7y7

3. Simplifica 48x7y7

48 = 24. 3 = 2

2. 2

2. 3 = 2

23 = 4 3

x7= x

2. x

2. x

2. x = x

3x

y7= y

2. y

2. y

2. y = y

3y

48x7y7= 4x

3y33xy

Porlotanto: 6x3y2. 8x

4y5= 4x

3y33xy

Multiplicaysimplifica 30a6b33. 25a

2c53

Solución:

1. Enestecasocomosondoscantidadesgrandes,esconvenienteprimeroencontrarlosfactoresprimosde30=235yde25=55

2. Aplicalapropiedaddelosradicales.



10

30a6b33. 25a

2c53= 2. 3. 5. a

6b33. 5

2a2c53= 2. 3. 5

3*a

8b3c53

3. Simplifica.

2. 3. 53. a

8b3c53= 5a

2bc 2. 3. a

2c23= 5a

2bc 6a

2c23

Elresultadosimplificadodelproductodelasdosraíces.

30a6b33. 25a

2c53= 5a

2bc 6a

2c23

DivisiónderadicalesPararealizarladivisiónderadicalessedebeconsiderarlosiguiente:

1. Verificarquelosradicalesquevasamultiplicartenganelmismoíndice

2. Utilizalapropiedaddelosradicales.

a

b

n =a

n

bn

oa

n

bn

=a

b

n

3. Simplificaelresultado.

Ejemplo:

Realizalasiguientedivisiónysimplificaalmáximo50

2

Solución:Verificaquelosradicalesquevasamultiplicartenganelmismoíndice.



11

Utilizalapropiedaddelosradicales.a

n

bn

=a

b

n

50

2=

50

2

Comolareglapermiteacomodarlaenlamismaraízylasdoscantidadessepuedensimplificar:

50

2=

50

2= 25 =5

Porlotanto:50

2=5

Realizalasiguientedivisiónysimplifica16x

5

81y7

4

Observacomoenesteejemplotienesunasolaraízparaladivisión,sinembargo,puedesaplicarla

regladelcocienteparalosradicalesensentidoinversoa

b

n =a

n

bn

,dondenosindicaqueunaraíz

lapodemosdividirendosraícesdelmismoíndice.



12

Paraesteejercicioesmássencillohacerelcálculodecadaunadelasraícesporseparadoquesimplificar.

16x5

81y7

4

16x5

81y7

4 =16x

54

81y74

Simplificaseparandoenfactores.

16x5

81y7

4 =16x

54

81y74

=24. x

4. x

4

34. y

4. y

34

=2x x4

3y y34

=2x

3y

x

y3

4

porlotanto:

16x5

81y7

4 =2x

3y

x

y3

4

Comopudistedartecuentaenlosejerciciosanteriores,pararealizarunadivisiónderadicalesdebesdeanalizarquéteconvienehacerprimero:hacerladivisiónyluegosimplificarlaraízósimplificaryluegohacerlaraíz.Enalgunasocasionessetienequehacerunacombinacióndeambas,segúnconvenga.Realizalasiguienteoperaciónysimplificaalmáximo=Puedescomenzarporlosfactoresprimosde80y54:



13

Simplificaloqueseencuentradentrodelaraíz,basándoteenlasreglasdelosexponentes.

Determina los factores y simplifica la raíz.

80𝑎!𝑏!𝑐!

54𝑎!𝑏𝑐!!

=2! ∙ 5 ∙ 𝑏! ∙ 𝑐!

3! ∙ 𝑎!

=2! ∙ 5 ∙ 𝑏! ∙ 𝑐! ∙ 𝑐!

3! ∙ 𝑎!

=2𝑐3

5𝑏!𝑐!

𝑎!

Por lo tanto:

80𝑎!𝑏!𝑐!

54𝑎!𝑏𝑐!!

=2𝑐3 ∙

5𝑏!𝑐!

𝑎!

RacionalizaciónCuandosetieneunaexpresiónracionalconradicaleseneldenominador,sedicequeracionalizamoslaexpresióncuandoencontramosunaexpresiónequivalentequenotengaraíceseneldenominador.Sepuedenpresentardoscasos:

� Cuandoeldenominadordelafracciónesunmonomio.� Cuandoeldenominadordelafracciónesunbinomio.

Cuandoeldenominadordelafracciónesunmonomio.Pararacionalizarunafracciónquetieneunmonomioeneldenominador,esnecesariomultiplicarelnumeradoryeldenominadorporunaexpresiónracional,quepermitasacarunaraízexactaenel



14

denominador.Ejemplos:Racionaliza =¡Recuerda!Unradicandosepuedesimplificar(salirdelaraíz)sielradicandotieneunexponentequesepuedadividirenformaexactaentreelvalordelíndice.Enestecaso,comoesunaraízcuadrada,elexponentequenecesitamoses2.

Podemosmultiplicarporla 3 ,yaquesimultiplicamos 3. 3 = 32= 3

Ahora,parahacerunaexpresiónequivalente,esnecesariomultiplicartantoelnumeradocomoel

denominadopor 3

2

3.3

3=2 3

32=2 3

3

Deestaformatienesunaexpresiónequivalente,sinunaraízeneldenominador,esdecir,yaestáracionalizada.

Racionaliza2

5a23

Parapodersimplificarla 5a23

,tienesquemultiplicarpor 5!! 𝑎eldenominadoryelnumeradorparaobtenerunafracciónequivalente.



15

Porlotanto:Cuandoeldenominadordelafracciónesunbinomio.Pararacionalizarunbinomioeneldenominador:

1. Determinaelconjugadodeldenominador.2. Multiplicatantoelnumeradorcomoeldenominadorporelconjugado.3. Simplifica.

Paradeterminarelconjugadodeunbinomio,seescribeelmismobinomioperoconelsignoopuesto.Ejemplo:

2 + 5 suconjugadoserá2 ! 5

3 ! 4 suconjugadoserá 3 + 4

5 ! 7 suconjugadoserá5 + 7 Almultiplicardosbinomiosconjugadosseobtieneunadiferenciadecuadrados.

(a + b)(a ! b) = a2! b

2

Así,paralosejemplosanteriores:

(2 + 5)(2 ! 5) = (2)2! ( 5 )

2= 4 ! 5 = !1

( 3 ! 4)( 3 + 4) = ( 3)2! (4)

2= 3!16 = !13

(5 ! 7)(5 + 7) = (5)2! ( 7 )

2= 25 ! 7 = 18



16

Racionalizalasiguienteexpresión2

3! 2

Determinaelconjugadodeldenominador3! 2 es3+ 2 Multiplicaelnumeradoryeldenominadorporelconjugado.

Simplifica:

3 2 + 2

9 ! 2=3 2 + 2

7

Racionalizalasiguienteexpresión5 + 7

3! 7

Elconjugadode3! 7 es3+ 7 Multiplicaelnumeradoryeldenominadorporelconjugado



17

Simplifica:

Porlotanto:

5 + 7

3! 7=22 + 8 7

2

EcuacionesconradicalesAlgunasocasionesesnecesarioresolverecuacionesenlasquelavariableindependiente(oincógnita)aparecedentrodelsignoradical,aestetipodeecuacionesselesconocecomoecuacionesradicales.Lossiguientesejemplosmuestranelprocedimientopararesolverlas.Ejemplos:

Resuelvelaecuaciónradical 3x +1 = 4 Solución.Enestaecuaciónseobservaqueelúnicosímboloradicalseencuentrasoloenunladodelsignoigual;cuandoésteeselcasoseelevanalcuadradoambosmiembrosdelaecuación,yseobtiene:

3x +1( )2

= 42

Enelprimermiembrosecancelaelradicalconelcuadrado,porlotanto:



18

3x +1( )2

= 42

3x +1= 16

3x = 16 !1= 15

x =15

3= 5

Lasolucióndelaecuaciónesx=5;paraverificarlavalidezdelasoluciónsesustituyeenlaecuaciónoriginal,porlotantotenemos:Porloquex=5síeslasolucióndelaecuacióninicial.Enecuacionesconradicales,siempreesnecesarioprobarlassolucionesencontradasporquepuededarseelcasodequelasoluciónencontradanoseasolucióndelaecuaciónoriginal.Elsiguienteejemplomuestraestecaso.

Resuelvelaecuaciónradical x + 6 ! x ! 2 = 4 Solución.Elprimerpasoesdejarenunladodelsignoigualunodelosradicales.Paraesto,pasa

sumandoeltérmino! x ! 2 delotroladodeligual,ytienes:

x + 6 = x ! 2 + 4

3x +1 = 4

3(5)+1 = 4

15 +1 = 4

16 = 4

4 = 4



19

Posteriormenteseelevanalcuadradoambosmiembrosdelaecuación,yobtienes:

x + 6( )2

= x ! 2 + 4( )2

Enelprimermiembrosecancelanelradicalconelcuadrado;enelsegundotérminoquedaunbinomioalcuadrado,elcualsedebedesarrollar.Porlotanto:

x + 6( )2

= x ! 2 + 4( )2

x + 6 = x ! 2( )2

+ 2(4) x ! 2 + 42

x + 6 = x ! 2 + 8 x ! 2 +16

Reduciendotérminosydejandoelradicalenunladodelaecuación,tienes:

8 x ! 2 = !8

x ! 2 =!8

8= !1

x ! 2( )2

= (!1)2

x ! 2 = 1

x = 1+ 2 = 3

Lasolucióndelaecuaciónesx=3,paraverificarlavalidezdeestasoluciónsesustituyeenlaecuaciónoriginal,yobtienes:



20

x + 6 ! x ! 2 = 4

3+ 6 ! 3! 2 = 4

9 ! 1 = 4

3!1= 4

2 " 4

Porloquex=3noessolucióndelaecuacióninicial.Lasexpresionesradicalespuedenaparecerendistintassituaciones,porello,esimportantequecuandoestosuceda,apliqueslasreglasyprocedimientosestudiadosenestalectura.Siguecontuaprendizaje.

Referencias

Gustafson,R.D.(1997).ÁlgebraIntermedia(V.GonzálezPozo,Trad;1a.ed).México:InternationalThomsonEditores.

Leithold,L.(1995).Álgebra(A.ErolesGómez.Trad;1a.ed).México:EditorialHarla.

Rees,P.K.&Sparks,F.W.(1990).Álgebracontemporánea.(L.M.RosTorres.Trad;5a.ed).México:McGrawHill.

Swokowski,E.W.&Cole,J.A.(2002).Álgebraytrigonometríacongeometríaanalítica(H.Villagómez,Trad;10a.ed).México:ThomsonLearning.

Zill,D.G.&Dewart,J.M.(1992).Álgebraytrigonometría.(G.RamírezMariñoyY.GarcíaRodríguez,Trad;2a.ed).SantaFedeBogotá,Colombia:McGrawHill

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