por eugenio skerrett parrilla, m a ed introducción a los números fraccionarios
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Por Eugenio Skerrett Parrilla, M A ed
Introducción a los Números Fraccionarios
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Introducción
Ésta es una serie de 4 lecciones. La misma resume temas sobre el origen y varias características básicas del número fraccionario. A continuación, el desarrollo de los temas.
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Índice
Lección Temas página 1 Naturaleza del número fraccionario Origen 6 Escritura 7 Ejercicios 9 Respuestas 10 2 Clasificación del número fraccionario Clases de números fraccionarios 11
puedes continuar . . .
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Índice
Lección Tema página
Clasificación del número fraccionario 15
Ejercicios 16
3 El número mixto Su naturaleza 17 Expresión en mixto 19 Expresión en impropio 22 Ejercicios 23 Respuestas 24
puedes continuar . . .
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Índice
Lección Tema página
4 Números equivalentes
Su naturaleza 25
Expresión en mayores 29
Expresión en menores 33
Ejercicios 36
Respuestas 37
puedes continuar . . .
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El origen del número fraccionarioSemejante a otros muchos conceptos
matemáticos, el número fraccionario surge de una necesidad práctica.
Fracción: Pedazo, porción, fragmento, algo incompleto
Número fraccionario: Número que se utiliza para representar a una fracción
puedes continuar . . . 6
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Escritura del número fraccionario
Los números naturales y los cardinales, representan objetos y situaciones completas. Es aparente, entonces, que los fraccionarios deben escribirse de forma diferente de los primeros:
El numerador cuenta las partes disponibles, que se están utilizando o considerando.
El denominador muestra la forma en que el completo se ha dividido.
El número fraccionario supone que el entero se ha dividido en partes iguales. En conjunto, al numerador y al denominador se les llama, los términos del número.
puedes continuar . . . 7
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Escritura del número fraccionario
Ejemplo 1: Escribe el número que represente la fracción
3/4
Ejemplo 2: Presenta un diagrama para el número dado
2/5
puedes continuar . . . 8
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Ejercicios de práctica
Asigna un número o presenta un diagrama, según sea el caso en cada uno de los siguientes(verifica tus respuestas en la próxima página).
1. 2.
3. 7 / 9 4. 5. 3 / 7
9
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Respuestas de los ejercicios
1. 5 / 12 Si no tienes duda, procede
2. 2 / 3 con el próximo contenido. De
3. lo contrario, repasa.
4. 3 / 5
5.
10
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Clases de números fraccionarios
Una fracción es algo incompleto. No obstante existen situaciones en las que un “entero” se ha dividido en partes y todas están presentes. Es decir, el entero se ha subdividido en varias partes pero ninguna se ha eliminado. Llanamente, todavía existe el entero.
Ejemplo 1: puedes continuar . . . 11
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Clases de números fraccionarios
En otros casos existen varios enteros subdivididos junto con algo incompleto. Es semejante a que tuviésemos varios enteros los cuales se partieron en pedazos y al tratar de formarlos nuevamente, alguno se quedó incompleto.
Ejemplo 2:
12puedes continuar . . .
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Clases de números fraccionarios
Observa que, de acuerdo con la definición del número fraccionario, la figura del ejemplo 1 se representaría por 4/4. Para el ejemplo 2 escribiríamos 15/4. Pero hay más. Las figuras mismas sugieren otra forma numérica que las puede representar. En el ejemplo 1 la cantidad es un “completo”, un “entero”. De ahí que podemos utilizar al 1, para representarla. Claramente 4/4 = 1.
13puedes continuar . . .
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Clases de números fraccionarios
En el ejemplo 2 hay varios enteros y una fracción. Por lo tanto podemos escribir 3 ¾. Ésto nos exige que clasifiquemos al número fraccionario en tres: propio, impropio y mixto.
14puedes continuar . . .
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Clasificación del número fraccionario Número Número
Significado Significado
Escritura Escritura
propio Representa a una fracción; es una cantidad menor que el entero
Su numerador es menor que el denominador
impropio Representa a una cantidad que es igual o mayor que el entero
Su numerador es igual o mayor que el denominador
mixto Representa a una cantidad que es mayor que el entero y no alcanza al próximo
Un natural sumado adjunto a un propio
15puedes continuar . . .
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Ejercicios de práctica
Utiliza los impares de la sección 5.2, páginas 140 y 141 del libro. Las respuestas están indicadas en la página 141.
Puedes continuar de no tener dudas. De lo contrario, repasa la lección.
16
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La naturaleza del número mixto
Reconocemos al número mixto como la suma de un natural y un propio. Se escribe, llanamente hablando, con un fraccionario propio al lado de un natural. Es menester visualizar que los mixtos esencialmente realizan la misma tarea que un impropio. Podemos establecer que un mixto sencillamente es otra forma de escribir un impropio.
Ejemplo 1: = 3/2 = 1 ½
17puedes continuar . . .
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La naturaleza del número mixto
Ejemplo 2: = 11/4 = 2 3/4
El número mixto existe por razones prácticas. Es más fácil ver cuántos enteros hay en una cantidad mediante el número mixto que mediante el impropio.
Toda aquella cantidad que es igual o mayor que el entero que surja de una situación real, exige que se escriba con naturales o números mixtos. Más que matemática, ésta es una regla práctica(de sentido común).
18puedes continuar . . .
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Expresión en mixtos (o en natural)
Para expresar un impropio en natural o mixto es innecesario recurrir a diagramas. Basta con determinar cuántos enteros se pueden formar según indica la escritura del impropio. Una simple inspeción nos lleva a lo siguiente:
Para expresar un impropio en mixto o en natural, basta con dividir el numerador por el denominador.
19puedes continuar . . .
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Expresión en mixtos (o en natural)
Hay que tener claro que en el proceso, se formen todos los enteros posibles.
Ejemplo 3a: 15/4 Ejemplo 3b: 3/2
3 (cociente) 1
4 ) 15 15/4 = 3 3/4 2 ) 3 3/2 = 1 1/2
12 2
3 (residuo) 1
20puedes continuar . . .
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Expresión en mixtos (o en natural)
Ejemplo 3c: 4/4 Ejemplo 3d: 20/5
1 4 4 ) 4 4/4 = 1 5 )20 20/5 = 4 4 20 0 0
Observe que, en todos los casos, el residuo indica la cantidad de pedazos que forman el incompleto, mientras que el cociente, todos los “completos”. En los ejemplos 3c y 3d reconocemos que se formaron completos sin ninguna pieza adicional.
puedes continuar . . . 21
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Expresión en impropios
¿Qué podemos decir del proceso
inverso? ¿Cómo expresarías de la
forma mixta (o de número natural) a
impropia? Razónalo y procede con
los ejercicios.
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Ejercicios de práctica
A partir del número dado, expresa en mixto, natural o impropio, según aplique cada caso. Verifica tus respuestas en la próxima página.
1. 11/3 6. 7/5
2. 3 ¼ 7. 11/7
3. 5 ¾ 8. 23/1
4. 5/5 9. 14 ½
5. 13 10. 12/4
23
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Respuestas de los ejercicios
1. 3 2/3 Si no tienes dudas con éste,
2. 13/4 continúa con el próximo tema.3. 23/4 A tu conveniencia, repasa el 4. 1 actual antes de continuar.5. 13/16. 1 2/57. 1 4/78. 239. 29/210. 3
24
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La naturaleza de los números equivalentes
Los números fraccionarios son muy flexibles. Una muestra de ésto es que el número impropio se puede escribir como mixto. En realidad cualquier caso de número fraccionario se puede escribir de más de una forma . Veamos:
puedes continuar . . . 25
Claramente el entero fue subdividido paulatinamente de forma diferente. ¿Qué puede significar ésto?
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La naturaleza de los números equivalentes
¿Pudiste apreciar que según cambia la forma de dividir el entero, se tiene que asignar un número diferente? Por otro lado, ¿qué puedes decir de la fracción original, es decir, de la porción coloreada? ¿Aumenta de tamaño? ¿Disminuye? Debemos estar de acuerdo con que no hay cambios en el tamaño. Únicamente cambia la forma de cada pedazo.
26puedes continuar . . .
= ½
Observemos otra vez:
= 2/4 = 4/8
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Naturaleza de los números equivalentes
Cuando ésto ocurre, se dice que los números que surgen son equivalentes.
Números equivalentes: son
aquellos que se escriben
diferentes pero representan la
misma porción
puedes continuar . . . 27
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Naturaleza de los números equivalentes
Considera los equivalentes ½, 2/4, 4/8. Verifica que, partiendo del ½, los términos de cada uno van en aumento: 1 2 4 ;
2 4 8. En este sentido, se dice que el ½ se expresó en términos mayores. Visto a la inversa se le llama expresión o reducción a términos menores. Generalmente se le dice, simplificación.
28puedes continuar . . .
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Expresión en mayores
Es necesario descubrir un regla que nos permita expresar un número dado en términos equivalentes mayores. Si recordamos cómo es que surgen los equivalentes para una fracción dada, observaremos un patrón. Éste, nos permitirá conocer la regla que buscamos. Observa la serie de equivalentes ½, 2/4, 4/8. Tomando por separado los numeradores, el 1 pasa a ser 2 y luego 4.
29puedes continuar . . .
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Expresión en mayores
Existe un patrón entre los tres numeradores: el 1 multiplicado por 2 es igual a 2. También, multiplicado por 4, es 4. Tomemos los denominadores: el 2 pasa a 4 y luego a 8. Igualmente hay un patrón: 2 multiplicado por 2 es 4 y multiplicado por 4 es 8. ¿Puedes distinguir la relación existente?
30puedes continuar . . .
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Expresión en mayores
Podemos decir que:
1 x 2 = 2 ; 1 x 4 = 4
2 x 2 4 2 x 4 8
El patrón observado es siempre el mismo en todos los casos. Entonces, podemos concluir que:
para expresar un número dado en términos mayores equivalentes, basta con multiplicar ambos términos de éste por un natural mayor que 1.
31puedes continuar . . .
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Expresión en mayores
Ejemplo: Presenta dos equivalentes en términos mayores para 3/7
3 x 2 = 6 ; 3 x 3 = 9 ; entonces: 3 = 6 = 9
7 x 2 14 7 x 3 21 7 14 21
A partir de un número se pueden obtener infinitas formas equivalentes en términos mayores. La expresión en mayores es muy útil en algunos procesos.
32puedes continuar . . .
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Expresión en menores
El otro aspecto de los equivalentes es la expresión en menores o simplificación. Razonando como con el caso anterior, podemos inferir una regla para éste también.
Habíamos visualizado que simplificar es lo inverso a la expresión en mayores. Además, conocemos que la división es la operación inversa de la multiplicación. Entonces, por lógica podemos decir que:
para expresar un número dado en términos menores equivalentes(simplificarlo), basta con dividir sus dos términos por un número natural diferente de uno.
33puedes continuar . . .
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Expresión en menoresEjemplo: Simplifica la expresión 16/20
16 ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4 entonces: 16 = 8 = 4 20 ÷ 2 10 ÷ 2 5 20 10 5
A diferencia de la expresión en mayores, al simplificar encontraremos una cantidad finita de formas equivalentes. Más aún, como parte de la regla de simplificación, se indica que todo número tiene que presentarse en su forma más simple.
34puedes continuar . . .
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Expresión en menores
Ésto indica que podemos pasar directamente del
número dado, a la forma más simple. Veamos:
16 4 = 4 ; 16 = 4
20 5 5 20 5
Recuerda, todo número, especialmente los que son resultados de cómputos, tienen que presentarse en su forma más simple.
35puedes continuar . . .
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Ejercicios de práctica
Escribe los equivalentes para las porciones
1.
Simplifica o expresa en términos mayores
3. 14/18 4. 3/8 5. 7/9
6. 9/12 7. 15/20 8. 6/7
2.
36Verifica tus respuestas en la próxima página
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Respuestas de los ejercicios
1. 3/9 = 1/3
2. 4/20 = 2/10 = 1/5
3. 7/9
4. 6/16 y otros . . .
5. 14/18 y otros . . .
6. ¾
7. ¾
8. 12/14 y otros . . .
A continuación se presenta un resumen de los temas discutidos. Puedes pasar al mismo cuando así lo prefieras.
37
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Resumen
Esta serie de lecciones presentó una discusión introductoria sobre los números fraccionarios. Se discutieron aspectos del origen, naturaleza del número y la conversión del impropio en mixto y viceversa. Finalmente se presentó el manejo de los números equivalentes. Con estas palabras termina la presente serie de lecciones.