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Polinomios
Polinomios Definición: Un polinomio es una expresión algebraica
que cumple con las siguientes condiciones:
Ningún término de la expresión tiene un
denominador que contiene variables
Ningún término de la expresión tiene un radical que
contiene variables
Todos los exponentes de las variables son enteros
no-negativos.
Los polinomios se pueden nombrar con una letra
mayúscula seguida por la(s) variable(s) que contiene
la expresión entre paréntesis. Ej. P(x), Q(x,y)
Polinomios
𝑷 𝒙 = 𝒂𝒏𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐𝒙𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒐
Un polinomio tiene la siguiente forma general:
Donde:
𝒂𝒏, 𝒂𝒏−𝟏 𝒂𝒏−𝟐, …., 𝒂𝟎 son coeficientes reales
y las potencias de las variables descienden en valor
Ejemplos de
Polinomios
P(x) = 3x2 – 5x + 1
Q(y) = 4y – 3 y2 + 4y5
G x =9 − 4x − 2x3
5
R(x,y) = 2xy – 7y + 6x
W(p,q) = p + q – 5pq
143 2 xx
53
4 x
x
42
772
3 xxx
354 22
3
xx
3
2
3
174
x
xx
Ejemplos de No
- Polinomios
Clasificar Polinomios
Los polinomios se pueden clasificar según la cantidad
de términos:
• monomio: un solo término
• binomio: dos términos
• trinomio: tres términos
• De ahí en adelante no reciben nombres particulares
y se les llama simplemente polinomio. (el prefijo poli
significa plural, o muchos)
Evaluación de Polinomios:
Los polinomios se evalúan de la misma forma en la que evaluamos expresiones algebraicas anteriormente. (Los polinomios SON expresiones algebraicas.)
Ejemplo: Sea P(x) = 3x2 – 5x + 1, hallar P(2).
Nota: La notación P(2) se lee “P de 2” y significa “determinar el valor de la expresión cuando x tiene el valor de 2”
Evaluación de Polinomios Ejemplo: Determinar P(0) y P(-3) si P(x) se define como en
el ejemplo anterior: P(x) = 3x2 – 5x + 1
P(0) =
P(-3) =
Evaluación de Polinomios
Ejemplo: Si R(p, q) = 2pq + 6pq2 – 4p2q, evalúe R(2, -3)
Notas:
• Es muy importante asignar correctamente los valores a las variables.
En este caso p=2 y q= -3
• Cuando en una expresión una variable se coloca al lado de otra hay
una multiplicación implícita. Por ejemplo, pq implica multiplicar el
valor de p ó el valor de q
R(2, -3) =
Grado y coeficiente principal
El coeficiente principal de un polinomio es el coeficiente del término con la potencia mayor de la variable.
El grado de un polinomio se determina de la siguiente forma:
(i) Si el polinomio es en una variable el grado será la potencia
mayor de la variable con coeficiente distinto de cero.
(ii) Si el polinomio tiene más de una variable el grado se
determina de la siguiente forma: para cada término se suman
las potencias de la variable y el grado será el total mayor.
Polinomio Grado Coeficiente Principal
P(x) = -7
P(x) = 5x – 7
Q(z) = 2+ 7z – 4z2
Q(y) = 2y – 51y2 – 2y6 – 7
F(r) = 3r2 – 5r3 + 3r + 45
F(x,y) = 2xy + 6x3y – 4xy2
R(x,y) = 4x2y – 5x2y2 + xy4
R(x,y) = 42x3y2 – x3y3 – 11x3y
Grado de Polinomios – Práctica
Operaciones entre polinomios
I. Suma y resta:
a) Sumar o se restar coeficientes de los términos
semejantes de ambos polinomios . Luego, ordena los
términos según el grado. (ascendente o descendente)
b) La operación de resta requiere aplicar la propiedad
distributiva al sustraendo. Esto afectará el signo de
TODOS los términos en éste polinomio.
c) Si no existen términos semejantes en los polinomios, el
polinomio nuevo se compone de los términos de cada
polinomio, en orden de grado
Suma y resta de polinomios - ejemplos
13)3x (4x 11) 5x 3x ( a) 22
10)– 11x (2x 7) 5x – (13x b) 22
Veamos los siguientes ejemplos:
Suma y resta de polinomios - ejemplos
4x) 3x 2(11– 8) 4x– (2x c) 22
3y) 11xy – 6xy– y (4x– 7x) 5xy– y 4x 2(3xy d) 2222
Suma y resta de polinomios - ejemplos
Multiplicación de polinomios
Propiedad de exponentes
• Antes de pasar a multiplicación y división de polinomios, debemos recordar algunas de las leyes de exponentes.
• Sea b un número real; m y n dos números enteros, entonces:
• 1era ley: bn * bm = bn+m
•
• 25 ∙ 24 = 29
Multiplicación de dos
monomios La multiplicación de monomios se realiza de
la siguiente manera:
Se multiplican los coeficientes numéricos
Si la parte variable de los términos tiene la misma
variable, su producto va a tener la misma
variable con un exponente nuevo formado con la
suma de los exponentes de los términos
Si la parte variable de los términos tiene variables
diferentes, éstos se escriben uno al lado del otro,
sin cambiar.
Ejemplos- Multiplicación de
monomios
4x2(2x4y)
-2y3(3y4z5)
5x6y6 (-4x4y)
Multiplicación de un monomio por un
polinomio.
Para multiplicar un monomio por un polinomio aplicamos
la ley distributiva de la multiplicación y la ley de exponentes:
Ejemplos:
(a) x(2x3 + 45)
(b) 2a2 (-3b3 – 12)
bn * bm = bn+m a(b+c) = ab + ac
a(b - c) = ab - ac
Multiplicación de un monomio por un
polinomio.
Ejemplos (cont):
5y2 (2y3 – 5y2 +9) – 2(4y2 – 3y)
Multiplicación de
binomio por binomio Aquí aplicamos la propiedad distributiva dos
veces:
(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d)
= ac + ad + bc + bd
Esto equivale a multiplicar cada término de un
binomio por cada término del otro binomio.
Al final, si existen términos semejantes, éstos se
reducen.
Ejemplos • (2x + 3)(4x2 – 5)
• (x – 5)(2 – x)
• (2x2 – 5)(x2 – 9)
Diferencia de cuadrados
Cuando se multiplican dos binomios que sólo difieren en el signo de uno de los términos, el resultado es un binomio
(a + b)(a – b) = a2 – ab + ba – b2
= a2 – b2
A este resultado se le conoce como diferencia de cuadrados.
Diferencia de cuadrados Multiplique (2x + 1) (2x – 1) .
Podemos multiplicar como hasta ahora:
= 2x (2x – 1) +1 (2x – 1)
= 4x2 – 2x + 2x – 1
= 4x2 – 1
Podemos hallar el producto usando la fórmula:
(2x + 1) (2x – 1) = (2x)2 – (1)2
= 4x2 – 1
Estos términos tiene
signos opuestos. Su
suma es cero.
Ejemplos Si reconocemos que los binomios siguen el
modelo establecido (a + b)(a – b) = a2 – b2
podemos aplicar la fórmula directamente
(7 + 3y)(7 – 3y)=
1
2x −
1
4
1
2x +
1
4=
Otras propiedades de exponentes
Simplificando cuando un exponente se eleva a otro exponente
(𝑏𝑛)𝑚 = 𝑏𝑛∗𝑚
En general,
Esta propiedad es útil cuando tenemos que simplificar potencias de binomios.
32 ∙ 32 ∙ 32 ∙ 32
Otros ejemplos – forma larga a) (4x2 – 5)(4x2 + 5)
b) (10 – 2x3)2
Nota: NO es una diferencia de cuadrados,
es un binomio cuadrado
Binomio cuadrado usando fórmula
(a + b)2 = a2 + 2a b + b2
(a – b)2 = a2 – 2a b + b2
• (2x – 3y)2
• (5x3 + 4x5)2
Otros ejemplos – cont. • 5x(4x – 1)(3x + 1)
• 3x2(1 – 2x)(2 – x)