Polinomio de interpolacin de Lagrange

Polinomio de interpolacin de LagrangeUNIDAD VReformulacin del polinomio de NewtonEl Polinomio de Lagrange es una reformulacin del polinomio de Newton que evita el clculo de las diferencias divididas y se representa:

dondeObtencin del Polinomio de lagrange de 1 gradoLa frmula de diferencias finitas

Se reformula como

Ecuacin 4.5-V

(Ecuacin 4-V)Obtencin del Polinomio de lagrange de 1 gradoAl sustituir la ec 4.5 en la ec. 4

Agrupando y simplificando se obtiene:

Ecuacin 7-V Polinomio de lagrange de 2 grado

La versin de segundo grado es

Ecuacin 8-V EjemploCon el polinomio de interpolacin de Lagrange de primero y segundo grado evale ln2 con los datos de la siguiente tabla.

Para el primer caso se utiliza el polinomio de primer grado

Ecuacin 7-V SolucinSustituyendo en la ecuacin 7-V se tiene:

Para el segundo caso se sustituye en la ecuacin 8-V y se tiene:

Obteniendo:Clculo del errorSi se conoce el valor verdadero para ln(2) =0.69314718El tamao del error verdadero para los valores estimados en los polinomios de primer y segundo grado son:

Polinomio de primer grado f1(2)=0.4620981 t=33.3%Polinomio de segundo grado f2(2)=0.5658444 t=18.4%Ejemplo 2Es posible usar el polinomio de LaGrange para estudiar un problema de anlisis de tendencia que se relaciona con nuestro conocido caso de la cada del paracaidista. Suponga que se tiene un instrumento para medir la velocidad del paracaidista. Los datos obtenidos en una prueba particular son:Tiempo, sVelocidad cm/s180032,31053,09073,940134,755Polinomio de grado 4Nuestro problema consiste en estimar la velocidad del paracaidista en t = 10 s para tener las mediciones faltantes entre t = 7 y t = 13 s. Estamos conscientes de que el comportamiento de los polinomios de interpolacin tal vez resulte inesperado. Por lo tanto, construiremos polinomios de grados 4, 3, 2 y 1, y compararemos los resultados.Resultados con valores crecientes

Valores de xFuncin de xX0=1f(X0)=800X1=3f(X1)=2,310X2=5f(X2)=3,090X3=7f(X3)=3,940X4=13f(X4)=4,755Resultados con valores centradosValores de xFuncin de xX0=7f(X0)=3,940X1=13f(X1)=4,755X2=5f(X2)=3,090X3=3f(X3)=2,310X4=1f(X4)=800

Resultados con valores centrados

Representacin grficaRepresentacin grficaConclusinPara el polinomio de primer orden se observa un valor estimado de la velocidad de cada del paracaidista muy congruente con el grfico de las tendencias.Para los polinomios de orden mayor el valor estimado de la velocidad de cada del paracaidista se sale del rango esperado. Chapra & Canale (2005) Mtodos Numricos para Ingenieros, Mc Graw Hill.