PLANO DE FASE:

Cuando se utilizan para describir un sistema sus variables de estado, aparece un espacio n-dimensional, que es el espacio de estados, cuya cantidad de coordenadas dependerá del orden del sistema, por ejemplo para uno de tercer orden se obtendrá un espacio de estados tridimensional.

Si el sistema es de 2º orden, el espacio se transforma en un plano de estado y, si además, las variables de estado se eligen de tal modo que la segunda de ellas sea la derivada de la primera, (x2 = y’ ; x1= y) entonces la representación de ambas en un par de ejes coordenados se denomina plano de fase.

La respuesta se puede investigar, considerando distintos estados iniciales, a través de una gráfica que se denomina retrato de fase.

Particularmente, utilizaremos el plano de fase para analizar sistemas autónomos, que son aquellos cuya característica es que la variable tiempo aparece sólo en forma implícita en las ED, por ejemplo:

x’ = F(x,y)

y’ = G(x,y)

lo que debe interpretarse como:

dx/dt = F(x,y)

dy/dt = G(x,y)

Para estos sistemas, cualquier solución de los mismos, de la forma x = t é y (t); se llama trayectoria del sistema en el plano de fase.

En el caso en que sean: t= cte. y (t) = cte.; entonces, la trayectoria se representa gráficamente como un único punto.

Se pueden pensar las funciones x = t é y (t) como ecuaciones paramétricas de una curva en el plano.

Como ya se ha expresado, el plano (x,y) para el sistema autónomo es un Plano de Fase y el gráfico de las trayectorias en el plano de fase se denomina retrato fásico del sistema.

Punto crítico:

Se define al punto (xo,yo) como punto crítico o punto de equilibrio de un sistema autónomo como el siguiente:

x’ = F (x,y)

y’ = G (x,y)

siempre que:

F (xo,yo) = G (xo,yo)

Se dice que un punto crítico es aislado si existe un disco circular de radio finito alrededor de (xo,yo) que no contenga ningún otro punto crítico del sistema.

Se analizarán solamente sistemas con puntos críticos aislados, de manera que el término punto crítico deberá interpretarse como punto crítico aislado.

Normalmente se considerará a las funciones F y G como continuas, con derivadas parciales primeras continuas en todo el plano.

Debe notarse que si (xo,yo) es un punto crítico del sistema autónomo mencionado últimamente, la solución del problema del valor inicial, teniendo en cuenta el sistema y las condiciones x (to) = xo é y(to) = yo ; tiene una trayectoria de un solo punto, desde que la solución no puede apartarse del punto (xo,yo) en ningún momento t, porque;

x (to) = F [x (to); y (to)] = F (xo,yo) = 0

y(to) = G [x (to); y (to)] = G (xo,yo) = 0

La trayectoria a través de un punto crítico será, en consecuencia, el único punto (xo,yo).

Como las diferentes trayectorias de un sistema autónomo no pueden cruzarse unas a otras, ninguna otra trayectoria puede atravesar el punto crítico.

Así, si una trayectoria comienza en un punto cualquiera, no crítico, nunca podrá alcanzar un punto crítico.

Sin embargo, puede aproximarse arbitrariamente cerca de un punto crítico, en muchas formas diferentes.

Los puntos críticos se pueden clasificar de acuerdo con el comportamiento de las trayectorias que comienzan cerca de ellos o se les aproximan.

Esta clasificación permite, a su vez, describir los diferentes tipos de soluciones, según su comportamiento.

Clasificación de puntos críticos. Estabilidad:

El retrato fásico de un sistema autónomo, consiste de los dibujos de las trayectorias en el plano (x,y), para una forma genérica del sistema como:

x’ = F(x,y)

y’ = G(x,y)

En ese dibujo, usualmente, se grafica una flecha sobre cada trayectoria para indicar la dirección de avance de un punto móvil en el sentido del tiempo t creciente.

A continuación se analizarán las distintas configuraciones de trayectorias, tales como las de la figura que se acompaña.

La información concerniente al retrato fásico, aporta datos sobre las diferentes soluciones del sistema.

Por ejemplo, las trayectorias formadas por curvas cerradas constituyen soluciones periódicas del sistema.

Retrato fásico típico:

Un retrato fásico típico podría ser el siguiente:

Hay dos preguntas importantes que deben considerarse cuando se habla de un retrato fásico, a saber:

1) Si dos trayectorias se aproximan entre sí en algún instante, ¿permanecerán cercanas en tiempos ulteriores o se alejarán una de la otra?

Esta pregunta es acerca de la estabilidad. En un punto estable del sistema, las trayectorias permanecerán próximas, como se especificará posteriormente.

En cambio, en un punto inestable, las trayectorias se comportarán en forma divergente la una de la otra.

2) ¿Cómo se comportan las trayectorias para t ?

Esta pregunta concierne al comportamiento asintótico y será considerada bajo el título de estabilidad asintótica.

En todo el análisis siguiente se considerará a (xo,yo) como un punto crítico aislado del sistema autónomo:

x’ = F(x,y) y’ = G(x,y)

y las trayectorias x(t) é y(t) serán soluciones del sistema.

Clasificación de los puntos críticos:

A continuación, se distinguen diferentes clase de puntos críticos, de acuerdo con el comportamiento de las trayectorias cerca del mismo.

Centro:

Un punto crítico (xo,yo) es un centro, si está rodeado por trayectorias constituidas por una familia infinita de curvas cerradas, y algunas de ellas se acercan arbitrariamente a (xo,yo), pero ninguna se aproxima al punto, en el sentido de las definiciones dadas anteriormente.

Montura:

También llamado “silla de montar”, un punto crítico lo es, si las trayectorias están constituidas por cuatro semirrectas, dos de las cuales (APo y BPo) ingresan al punto (xo,yo), cuando t , y las otras dos (CPo y DPo) se alejan de (xo,yo), cuando t .

El resto de las trayectorias presentes en este retrato, tienen a las semirrectas como asíntotas y son similares por su forma a familias de hipérbolas.

La dirección a lo largo de las semirrectas es “hacia” (xo,yo), cuando t , y alejándose de (xo,yo), cuando t .

El gráfico correspondiente a este punto de equilibrio o crítico es el que se detalla a continuación:

xy

Foco:

También llamado “espiral” es aquel punto crítico (xo,yo), tal que una circunferencia C, alrededor del mismo, contiene una o varias trayectorias cuyo radio de curvatura se modifica progresivamente, de manera que se acercan indefinidamente al punto; formando una o varias “espirales alrededor del mismo.

Oportunamente se verán ejemplos de este retrato fásico, que corresponde a un sistema periódico “no ideal”, es decir, con un comportamiento cíclico pero amortiguado o con algún tipo de fricción disipativa de la energía.

Nodo:

Un punto crítico (xo,yo), es un nodo, cuando ingresan al mismo, como trayectorias, una familia infinita de curvas.

Punto crítico estable:

A continuación se definirá qué significa para un punto crítico ser estable. Intuitivamente, y conforme al concepto de estabilidad, se puede presumir que un punto crítico será estable si las trayectorias que están próximas al mismo, en algún instante, permanecen en la vecindad del punto para instantes posteriores.

“Un punto crítico (xo,yo) es estable, si para cada radio R > 0, existe algún radio r, siendo 0 r R, tal que cada trayectoria entrante al círculo de radio r, alrededor del punto (xo,yo), en algún instante to, permanece dentro del círculo de radio R, alrededor del punto crítico, para todo instante t > to.”

Si Po es estable, cualquier trayectoria entrante en el círculo interior, de radio r, en un instante to, permanecerá siempre dentro del círculo de radio R, pero no necesariamente dentro del de radio r.

Si un punto crítico fuera inestable, cualquier pequeña perturbación aleja al sistema de su posición y el sistema describe trayectorias que se alejan cada vez más del punto.

Punto crítico asintóticamente estable:

Un punto crítico es asintóticamente estable, cuando, 1º es estable, en el sentido definido previamente, y, además, existe un círculo C alrededor de (xo ,yo) tal que cada trayectoria entrante a C, en algún instante to, se aproxima al punto Po cuando t .

Clasificación de puntos críticos:

Desde el punto de vista de la posición en el plano complejo, de las raíces de la ecuación característica del sistema, los puntos críticos descriptos anteriormente se pueden clasificar de la siguiente manera:

Sea el siguiente sistema lineal:

x’ = a x + b y

y’ = c x + d y

donde a, b,c y d son números reales, tales que :

a d – b c 0;

relación cuya razón de ser se explicará más adelante. En estas condiciones, el origen (0,0); es el único punto crítico del sistema lineal.

x’ a b x = y’ c d y

La ecuación característica del sistema permitirá estudiarlo mejor y analizar sus propiedades, a saber:

Donde la ecuación característica surge de resolver la igualdad matricial:

donde A es la matriz de los coeficientes, por lo tanto el determinante señalado anteriormente, será el de la siguiente matriz:

El determinante de esta última matriz es:

2 (a+d) + (ad – bc)

donde se, ahora, por qué razón la diferencia (ad - bc) debía ser distinta de cero, ya que en caso contrario, la ecuación no tendría término independiente y por lo tanto, una de las raíces sería siempre cero.

En este caso, surgirán dos raíces distintas, 1 y 2, cuyos valores dependerán de los coeficientes de las ecuaciones del sistema.

0 a b -a -b - =

0 c d -c -d

Se puede establecer la siguiente clasificación de puntos críticos según la posición relativa de 1 y 2 en el plano complejo, a saber:

1) Nodo :

El origen será un nodo si 1 y 2 son reales, distintas y del mismo signo; además, desde el punto de vista de la estabilidad, se podrán presentar los siguientes casos:

y, cuando las dos raíces se encuentren en el semiplano izquierdo, vale decir, adopten valores reales negativos, se tendrá el caso estable:

2) Montura :

El origen será una montura o silla de montar, si las raíces 1 y 2 son reales, distintas y de signo opuesto. En este evento, el origen es siempre un punto inestable.

3) Foco :

El origen será un foco o punto espiral, si las raíces 1 y 2 son complejas conjugadas y de parte real no nula. Además, el origen será asintóticamente estable, si 1 y 2 tienen parte real negativa e inestable si la parte real es positiva, a saber:

4) Centro :

El origen es un centro cuando las raíces 1 y 2 son Nos imaginarios puros. En este caso el origen podrá ser estable, pero no asintóticamente estable. Corresponde el siguiente diagrama: