FUNDAMENTACIÓN GENERAL PARA EL ÁREA MATEMÁTICA

Desde la antigüedad, la matemática se ha constituido en un escenario de discusión filosófica. Si bien entre

los griegos se discutía acerca de qué rama (aritmética o geometría) era la más antigua, mucho antes en

civilizaciones de la edad de bronce fue desarrollada por la necesidad de realizar y construir objetos prácticos

para la subsistencia. Tampoco es menor el aporte que hicieron pueblos de la antigüedad, como los

babilonios, egipcios, aztecas, incas y mayas entre otros que, aunque no desarrollaron teorías matemáticas,

hicieron de ella una herramienta indispensable para la supervivencia y el progreso de sus culturas y

sociedades.

Desde esa época antigua (que parte de un pensamiento filosófico) hasta la actualidad (con las más complejas

teorías de matemática aplicada) el pensamiento matemático ha evolucionado notablemente. Como

antecedente de grandes pensadores matemáticos de la antigüedad se puede viajar desde Platón (con su lógica

filosófica) hasta Arquímedes (que el método exhaustivo para calcular el área bajo el arco de

una parábola con el sumatorio de una serie infinita, y dio una aproximación extremadamente precisa

del número Pi), pasando por Eudoxo, Teeteto, hasta llegar a Euclides (con su obra “Los Elementos” )

dedicado fundamentalmente a la Geometría, entre otros. Este último generaliza el uso riguroso del método

deductivo que distingue entre principios -definiciones, axiomas y postulados-, y teoremas, que se

demuestran a partir de los principios.

En los siglos XVII y XVIII Leibniz, se destaca como uno de los grandes pensadores pues fue, entre otras

cosas filósofo, lógico, matemático, jurista, bibliotecario y político. Realizó profundas e importantes

contribuciones en diferentes áreas y le concedió a la matemática el honor del descubrimiento del cálculo

infinitesimal.

Ya en la primera mitad del siglo XIX, la matemática se orienta al campo de las abstracciones y con ello se

inicia el reto a nuevos desafíos. Por ejemplo: Georg Wilhelm Friedrich Hegel (1770-1831) es autor de

Ciencia de la Lógica, trabajo en el que desarrolla una lógica dialéctica, que permite conocer el ser (el

Absoluto) sin excluir el devenir y el cambio. Más adelante De Morgan (1806 - 1871)

un matemático y lógico británico nacido en la India, formula las llamadas leyes de De Morgan (en su

memoria) y establece un concepto riguroso del procedimiento, inducción matemática, como así también el

de la matemática simbólica moderna o lógica matemática. Mientras tanto George Boole ( 1815- 1864) aplica

el cálculo matemático a la lógica, fundando el álgebra de la lógica, el empleo de símbolos y reglas

operatorias adecuadas permite representar conceptos, ideas y razonamientos mediante variables y relaciones

(ecuaciones) entre ellas. El álgebra de Boole es lo que fundamenta la aritmética computacional moderna.

Benoit Mandelbrot (1924- 2010) fue un gran impulsor de la matemática contemporánea y pionero de la

geometría fractal a quien la computación pura revela la moderna Geometría de la Naturaleza. Sus principios

se aplican hoy prácticamente a la totalidad de disciplinas dando por sentado paradigmas como la Teoría del

Caos. Es conocido por sus trabajos sobre los fractales, popularizando, en los años sesenta, una herramienta

tecnológica, la computadora, para trazar los más conocidos ejemplos de geometría fractal.

A mediados del siglo XX, se destacan los aportes de Jean Piaget (1896-1980) a la educación. Si bien él

fue epistemólogo, psicólogo y biólogo suizo, es considerado el padre de la Teoría Constructivista del

Aprendizaje por sus estudios sobre la transición de la manera de razonar de los adolescentes .el desarrollo de

la inteligencia. Sostiene que existe un “pensamiento lógico” que actúa por medio de operaciones sobre las

proposiciones, un “pensamiento matemático” que versa sobre el número y sobre el espacio, dando lugar a la

aritmética y a la geometría y existe además un “pensamiento físico” que utiliza los dos anteriores, ligado con

la realidad y la experiencia. El aporte de Piaget, abre nuevos desafíos, que aún hoy se encuentran presentes

en el campo de la educación.

En esta breve síntesis se puede observar que la evolución del pensamiento matemático recorre desde lo

meramente utilitario (necesario en la vida cotidiana de los pueblos primitivos y antiguos) hasta las grandes

teorías modernas que hoy dan base a los avances tecnológicos.

En el campo de la enseñanza de la matemática, ha sucedido algo equivalente. La semilla que sembró Piaget,

ha dado origen a importantes ramas de la Didáctica de la Matemática, que se ha desprendido, por su

especificidad, de la Didáctica General. En los albores del siglo XXI, se perfilan nuevos paradigmas

asociados a la enseñanza en general y de la matemática en particular. Uno de ellos, proveniente de la escuela

anglosajona, es la Educación por Competencias, entendida esta como la habilidad de aplicar conocimiento,

comprensión práctica y destreza mental, tanto para la resolución de problemas, como para ser un individuo

lo suficientemente flexible para adaptarse a los cambios requeridos por la vida en sociedad.

La definición de competencia matemática hace referencia a la capacidad del individuo para formular,

emplear e interpretar las matemáticas. Estos tres términos, «formular», «emplear» e «interpretar», ofrecen

una estructura útil y significativa para organizar los procesos matemáticos que describen lo que hacen los

individuos para relacionar el contexto de un problema con las matemáticas y, de ese modo, resolverlo.

La matemática estudia desde los conceptos más básicos como números, figuras geométricas, conjuntos,

funciones, etc. hasta estructuras jerárquicas mucho más complejas que se conforman desde los conceptos

básicos, tales como fórmulas, teorías y sus modelos y que además conforman el lenguaje de la matemática.

Sus fundamentos, como un todo no apuntan a contener los fundamentos de cada tópico matemático, sino

más bien se refieren a un análisis más o menos sistemático de sus conceptos fundamentales más básicos, su

unidad conceptual y su ordenamiento natural o jerarquía de conceptos, los cuales podrían ayudar a

conectarlos con el resto del conocimiento humano. La matemática es una herramienta esencial para los

jóvenes a la hora de afrontar cuestiones y desafíos relativos a aspectos personales, profesionales, sociales y

científicos de su vida. Un porcentaje creciente de problemas y situaciones encontradas en la vida diaria,

incluidos los contextos profesionales, requieren un cierto grado de comprensión de las matemáticas,

razonamiento matemático y herramientas matemáticas antes de poder entenderlos y abordarlos en su

totalidad. Las matemáticas son una herramienta esencial para los jóvenes a la hora de afrontar cuestiones y

desafíos relativos a aspectos personales, profesionales, sociales y científicos de su vida.

Por tanto, el desafío es preparar a los jóvenes para que puedan, una vez finalizada su escolarización, aplicar

la matemática en la comprensión de cuestiones importantes y en la resolución de problemas significativos

para la vida en la sociedad moderna.

FUNDAMENTACIÓN ESPECÍFICA PARA 4º AÑODurante el Ciclo Orientado de la Educación Secundaria, la escuela ofrecerá situaciones de enseñanza que

promuevan en las y los estudiantes:

La confianza en las propias posibilidades para resolver problemas y formularse interrogantes, reconociendo

que con dedicación, trabajo y estudio la Matemática es accesible para todos.

La disposición para defender sus propios puntos de vista, considerar ideas y opiniones de otros, debatirlas y

elaborar conclusiones, aceptando que los errores son propios de todo proceso de aprendizaje.

La comprensión de que los objetos matemáticos no son objetos físicos sino objetos conceptualizados a partir

de una práctica matemática, que no se accede a ellos en forma directa sino a través de sus representaciones,

y que es necesario establecer diferencias y relaciones entre los objetos y dichas representaciones.

La producción, reinversión e integración de nuevos conocimientos mediante la resolución de problemas y la

reflexión sobre lo realizado, y el reconocimiento de que existen distintos caminos para resolver un problema,

como así también que los problemas pueden tener solución única, más de una solución, aún infinitas, y que

algunos problemas no tienen solución.

La identificación de los objetos propios de la matemática, de sus propiedades, de sus relaciones con otras

nociones y procedimientos, como así también de las situaciones que permiten resolver.

La interpretación y producción de textos con información matemática, avanzando en el uso del lenguaje

apropiado.

La identificación de los límites del trabajo empírico a partir de la confrontación de diferentes tipos de

pruebas en función de su valor explicativo y su generalidad. La interpretación de algunas formas de pruebas

características de esta disciplina, tales como la referida al rol del contraejemplo para probar la invalidez de

una afirmación y la demostración por el absurdo.

La producción e interpretación de conjeturas, admitiendo que es posible acudir a ejemplos o a dibujos para

elaborarlas, pero que no es suficiente para validarlas.

La validación de conjeturas y afirmaciones de carácter general mediante propiedades matemáticas,

acercándose así a las demostraciones.

La generalización de procedimientos, resultados o relaciones mediante el establecimiento de regularidades o la transferencia de propiedades de una situación a otra, analizando el campo de validez.

La comprensión de que la mayoría de las nociones matemáticas pueden abordarse desde diferentes marcos

(algebraico, geométrico, numérico, probabilístico), y de la potencia que ofrece cambiar de un marco a otro

tanto en la resolución de un problema, como en el control de procedimientos y resultados.

El reconocimiento de que la modelización constituye un aspecto esencial de la práctica matemática, y que

supone identificar las relaciones relevantes y las variables sobre las que se va a operar, las representaciones

que se van a utilizar, las propiedades que permiten justificar los procedimientos puestos en juego, el análisis

de la pertinencia del modelo y la reinterpretación de los resultados a la luz del problema planteado

inicialmente.

La valoración y uso de los recursos tecnológicos para la exploración y formulación de conjeturas, para la

resolución de problemas y para el control de los resultados, considerando sus alcances y limitaciones al

validar los procedimientos utilizados y los resultados obtenidos.

La justificación de decisiones al abordar situaciones de certeza o de incertidumbre, recurriendo a nociones

matemáticas adecuadas.

EXPECTATIVAS DE LOGRO EN RELACIÓN A LOS CONTENIDOS CONCEPTUALES PARA CUARTO AÑO:En relación a los campos numéricos, se pretende que el alumno sea capaz de:

Identificar y modelizar situaciones que involucren el uso de números reales mediante recursos

tecnológicos y de cálculo mental, lo que supone:

o Expresar las soluciones mediante diferentes formas y escrituras.

o Acotar el error en función del contexto de situación como así también de lo que se busca

comunicar.

Representar números reales de diferentes maneras y la argumentación sobre las relaciones entre las

mismas.

Identificar y aplicar las propiedades de las operaciones de números reales para transformar números

irracionales expresados como radicales aritméticos, si la situación lo requiere.

Identificar situaciones que excedan el campo numérico real y que pongan en evidencia requerir al

campo numérico complejo, identificando primeramente su concepto, sus diversas formas de

representación algebraica y su representación gráfica.

Identificar y efectuar operaciones con números complejos (suma, resta, multiplicación, división.)

Efectuar operaciones combinadas con números complejos atendiendo a la prioridad en la resolución

de las mismas en función de paréntesis, corchetes y llaves.

Calcular potencias de la unidad imaginaria requiriendo solo a los valores de las primeras potencias

de una unidad imaginaria.

En relación con las funciones y el álgebra se pretende que el alumno sea capaz de:

Modelizar situaciones extramatemáticas e intramatemáticas mediante funciones lineales que

impliquen:

o Usar las nociones de dependencia y variabilidad

o Identificar los coeficientes de una función lineal.

o Interpretar en el contexto de cada situación la información que pueden brindarnos los

parámetros de una función lineal.

Analizar el comportamiento de una función lineal, de manera tal de:

o Interpretar la información que brindan sus gráficos cartesianos y sus fórmulas.

o Vincular las variaciones de sus gráficos con la de sus fórmulas y establecer la incidencia de

tales variaciones en las características de una función lineal.

Analizar relaciones de los coeficientes de las variables, las posiciones de las rectas.

Identificar condiciones de paralelismo y perpendicularidad de rectas.

Identificar expresiones algebraicas y las condiciones que permiten diferenciar una expresión

algebraica de un polinomio.

Caracterizar a los polinomios a partir del coeficiente principal y grado del mismo.

Identificar y efectuar operaciones con polinomios (suma, resta, multiplicación)

Identificar la forma de un polinomio divisor y en función de esto, analizar cuál de los métodos para

dividir es conveniente.

Obtener el resto de la división entre dos polinomios sin efectuar la misma.

Identificar a partir del teorema del resto si dos polinomios son o no divisibles.

CONTENIDOS CONCEPTUALESUNIDAD N° 1: NÚMEROS REALES

El conjunto de los números reales . Ecuaciones e Inecuaciones de primer grado.

Números irracionales. Intervalos en la recta real. Raíz n-ésima de un número real.

Radicales. Operaciones con radicales. Adición y sustracción. Simplificación de radicales.

Multiplicación y división de radicales.

Racionalización de denominadores.

UNIDAD N° 2: NÚMEROS COMPLEJOS

Definición de números complejos . Forma binómica y cartesiana de un número complejo. Números

imaginarios y puros. Representación gráfica de los números complejos. Opuesto de un número complejo.

Conjugado de un número complejo.

Operaciones con complejos (suma, resta, multiplicación y división). Operaciones combinadas. Potencias de

la unidad imaginaria .

UNIDAD N° 3: POLINOMIOS

Definición de polinomios. Características y grado de un polinomio. Operaciones: Suma, resta y

multiplicación. Operaciones combinadas. División de polinomios. Raíces de un polinomio. Regla de Ruffini.

Teorema del resto. Divisibilidad de polinomios.

UNIDAD N° 4: FUNCIÓN LINEAL

Definición de función lineal, pendiente de una recta. Ordenada al origen. Gráfico de una recta, dada su

pendiente y su ordenada al origen. Rectas paralelas y perpendiculares. Ecuación de la recta, dada la

pendiente y un punto de la misma.

Ecuación de una recta, dados dos puntos de la misma.

CONTENIDOS ACTITUDINALES Confianza en sus posibilidades de plantear y resolver problemas Participación ordenada en el desarrollo de la clase. Respeto por las ideas y el trabajo de los pares. Valoración de un lenguaje preciso como expresión del pensamiento. Respeto por las normas de trabajo áulico Interés por generar estrategias personales de resolución de problemas. Disciplina, esfuerzo y perseverancia en la búsqueda de resultados.

EVALUACIÓN

La palabra evaluación se usa con diferentes significados: Como examen o como sistema de calificación;

como sistema de seleccionar los alumnos para el acceso a una determinada escuela o para ser promovidos

de un curso a otro o simplemente, como método de informar a los alumnos sobre su progreso.

Desde nuestra concepción, la evaluación es el estudio de la correspondencia entre el significado

institucional de los conceptos que se trata de enseñar en una cierta institución escolar y el significado

personal construido por los estudiantes y tiene, por tanto, un carácter social.

La evaluación tendrá lugar en el transcurso del año lectivo, adquiriendo características particulares en cada

etapa:

Inicial: Con un diagnóstico que me permita visualizar y detectar cuáles son los saberes previos relacionados

a la temática con los cuales los alumnos cuentan o no.

Proceso: Se prevén instancias de evaluación grupal, individual, oral y escrita, como indicadores de los

avances y dificultades que se presenten durante el desarrollo del proyecto.

Final: Para evaluar el resultado obtenido, se realizará una evaluación integradora que dé cuenta del

desarrollo del proceso y de los logros alcanzados.

Instrumentos de Evaluación

Los instrumentos y situaciones de evaluación deben estar en consonancia con la enseñanza. Por tanto, será

necesario que las situaciones de evaluación tengan en cuenta las actividades realizadas en clase y el

conocimiento matemático que se derivan de ellas.

Observación sistemática de las intervenciones de los alumnos en clase a lo largo del curso;

Revisión periódica de los cuadernos y apuntes de los alumnos.

Controles teóricos sobre los contenidos impartidos en las clases anteriores.

Pruebas específicas escritas tipo examen.

Preguntas realizadas en clase a alumnos particulares o a toda la clase.

Trabajos de síntesis sobre un tema o una colección de lecturas. que muestren la comprensión y

capacidad de síntesis.

Problemas para realizar en la clase o como trabajo de casa.

"Dossier" donde el profesor va recogiendo información diversa acerca del alumno.

"Diario" elaborado por los alumnos con resúmenes de lo aprendido en clase.

En relación a los contenidos actitudinales, como criterio de evaluación se tendrá en cuenta lo siguiente:

La puntualidad.

El orden en la realización de las tareas.

La calidad de los trabajos.

La responsabilidad grupal que asume como integrante de un equipo y su propia responsabilidad

individual.

La disposición adecuada.

BIBLIOGRAFIA

Matemática 1 Activa. Ed. Puerto de Palos

Matemática 2 Activa. Ed. Puerto de Palos

Una puerta abierta a la Matemática – Polimodal 1. Ed. Comunicarte

Matemática 1 – Polimodal. Ed. Santillana

Cuadernillos de la UNSJ (2015). Disponibles en: http://www.fi.unsj.edu.ar/ingreso.php.