Rev. Acad. Canar. Cienc., XVI (Núms. 1-2), 29-38 (2004) (publicado en julio de 2005)

PLANES DE MUESTREO POR ATRIBUTOS: UN ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

Carlos J. Pérez-González & Arturo J. Fernández Departamento de Estadística e ln v. Operativa. Universidad de La Laguna

3827 1 Santa Cruz de Teneri fe . Spain (e-mail : cpgonzal@ull.es)

Resumen

Este artículo presenta un análisis de la sensibilidad frente a cambios en el tamaño

muestral y el número de aceptación en los planes de muestreo de aceptación por

atributos. Considerando que la distribución del número de un idades defectuosas en

la muestra es binomial , deducimos las expresiones analíticas que describen esos cam­

bios. Estas expresiones permiten estudiar el efecto sobre la forma de la curva carac­

terística asociada al plan de muestreo. El análisis también incluye resultados gráficos

que proporcionan una mejor comprensión del funcionamiento de dichos planes con

objeto de evaluar su robustez ante variaciones en los parámetros que determinan

por completo el plan.

Palabras y frases claves: muestreo de aceptación; número de aceptación; tamaño

muestra! óptimo; distribución binomial; curva característica

SAMPLIN G PLANS BY ATTRIBUTES: A SENSITIVITY ANALYSIS

Abstract

In this paper, a change sensitivity analysis concerning to sample size and accep­

tance nurnber of the attributives sarnpling plans is presented. Under the binomial

assumption of the number of defectives in the sarnple, analytical equations t hat

describe these changes are derived. These expressions are appliecl to study the mo­

difications of the relative shape of the sarnpling plan's characteristic curve. Graphical

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results are also included, which yield a better comprehension about the performance

of these plans with the proposal to evaluate their robustness to variations in the pa­

rameters that define the plan completely.

Keywords and phrases: Acceptance sampling; acceptance number; optimal sample

size; binomial distribution; characteristic curve.

l. Introducción

1.1 Planes por atributos

Los planes de muestreo de aceptación por atributos representan una gran parte

de la totalidad de métodos existentes en el muestreo para el control de aceptación.

Un plan de muestreo por atributos permite determinar la aceptación o el rechazo

de los lotes que han sido fabricados mediante un proceso, a efectos de ajuste a unos

niveles de calidad. Una forma de especificar dichos niveles de calidad es a través de

la proporción p de unidades defectuosas que está presente en los lotes en estudio o

que produce el proceso de fabricación que genera los mismos. El plan de muestreo

establece el tamaño muestra!, n, que han de tener las muestras que se extraen de

dichos lotes así como el número de aceptación, e, que representa el número máximo

de unidades defectuosas presentes en la muestra extraída a partir del cual se decidiría

el rechazo del lote completo. Por tanto, si D es la variable que cuenta el número de

unidades defectuosas en la muestra de tamaño n, el plan determina un criterio de

aceptación de la siguiente forma: si D ~ e, se acepta el lote; en otro caso, se rechaza

el lote.

En este caso, el propósito es encontrar el plan de muestreo para el cual se acepten

con una alta probabilidad, 1 - a, aquellos lotes fabricados con un nivel aceptable

de calidad, Pa pero que, además, acepte con una baja probabilidad, [3, los lotes

fabricados bajo un nivel de calidad rechazable, Pf3·

Los planes de muestreo por atributos se agrupan en muchos de los sistemas de

muestreo de aceptación como son los estándares MIL-STD-105 (versiones A hasta

E, [6], [7], [8], [9], [10]) , la versión comercial derivada de éstas, ANSI/ ASQC Zl.4

[l] y la norma internacional ISO 2859-1 [4], integrada en la ISO 2859. Asimismo, las

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tablas "Dodge-Romig" [2] representan otra de las conocidas referencias en sistemas

de muestreo por atributos.

1.2 Modelo del número de defectos de un plan por atributos

La variable D se puede describir a partir de una distribución hipergeométrica,

puesto que permite modelizar el número de defectos presentes en una muestra de

tamaño n extraída de un lote de tamaño nL , en el cual hay dL unidades defectuosas:

(d¡,) (n¡,-d¡, ) Prob(D = r ; n , dL, nL) = '" (nni,Y'" , (1)

El uso de la distribución hipergeométrica se justifica en casos donde el tamaño

de los lotes es bastante pequeño o cuando el tamaño muestral es una proporción

alta del tamaño del lote; también se utiliza para comparar el comportamiento de

un determinado plan de muestreo en el supuesto de diferentes tamaños de lote o

cuando se desea estudiar aproximaciones dadas por otras funciones de probabilidad

y realizar comparaciones. La distribución hipergeométrica se encuentra tabulada en

Lieberman y Owen [5] .

En los casos e11 que nL es suficientemente grande, para p = dL/nL constante, la

distribución hipergeométrica se aproxima bastante bien a la distribución binomial:

Prob(D = r; n,p) = (~ )p"(l -Pt-", (2)

Esta aproximación es bastante precisa en el caso de que nL » n (e.g. , n/nL :::;

0.1) y para un valor de p relativamente alto (mayor que 0.1) aunque la convergencia

es muy razonable en el resto de casos. La distribución binomial está tabulada en

[12], [14], [3] y [11].

La probabilidad de aceptación del lote se puede obtener, utilizando el modelo

binomial (2). como:

'Pn,c(P) = <p(n, c,p) = Prob(D:::; e; n,p) = t (~)pd(l -p)"- d, (3) d=O

cuya representación gráfica se conoce como curva característica de operación o curva

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A continuación, se estudiará el efecto que tiene sobre la curva característica una

variación tanto en el tamaño muestral como en el número de aceptación, con objeto

de poder entender mejor como se ve afectada aquella por las variaciones en estos

parámetros del plan.

2. Expresiones de cambio en los parámetros del modelo

2.1 Cambio en el número de aceptación

A partir de la ecuación (3) se puede deducir la expresión que mide el efecto del

cambio en la curva característica cuando se produce un incremento en el valor de c.

Dicha expresión viene dada por:

'Pn,c+l (p) = Prob(D '.S c + l ; n,p) = 'Pn,c(P) + Prob(D = c + 1; n,p), (4)

de donde se deduce fácilmente que:

k

'Pn,c+k(P) - 'Pn,c(P) = 8 e: i)pc+i( l - p)n- c- i.

Estos resultados generalizan un estudio particular llevado a cabo por Stephens

[13]. En la Figura 1 se observan los planes de muestreo paran = 100 y c = O, l. 3, 7,

donde p es la proporción de disconformes. Para otros valores de n, se obtienen

curvas con la misma forma relativa (sólo cambia la escala de las abscisas). A medida

que c aumenta, la curva OC va desplazándose a la derecha (en todo el rango de

probabilidades de aceptación). El efecto es el de un incremento en la probabilidad

de aceptación no necesariamente igual al aumento en el valor de p, como se ve en la

Figura l.

Observando la curvatura en la concavidad de la parte alta de las curvas para

c = O, e = 1 y e = 3, se aprecia que dicha curvatura es menor para c = 1 que

para e= 3 y es nula para c = O. Del mismo modo, excepto para e= O, es posible

ver que todas las curvas tienen un punto de inflexión que difiere de una a otra,

caracterizándose las curvas por una "caída" más o menos acentuada (caída drástica

de la probabilidad de aceptación). Una medida de esa "caída'' puede expresarse

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0.9

::::: o.a CL ü e· ! 0.7

e :g 0.6 g CL

~ 0.5 .. .. "O "O 0.4 .. ;g ~ 0.3 .a E a. 0.2

0.1

o

\ .. -...... \ . ' t--, --cp(100,0,p)

\ . \ '

- - cp(1 00,1,p)

\ ·, ••• cp(100,3,p)

\ ' ' \ ' - • cp(100,7,p)

---- -\

\ \ \ \ '

\ \ . \ \

. q>(100,7,p) , ...

\ ' ' \ .

[\.

\ ~ . \ \ .

',+--<P( 00,3,p) ' \ '

\ \ .

' ' , _ q>( 00,1,p} ', ' . \ " ' ·.,

" . I\.+- q¡(1dQ,O Pl .. .,

~ " ...... ... ~ r-. ... _ . --- .............. ---0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18

Proporción de disconformes {p)

Figura 1: Curvas características paran = 100 y e= O, 1, 3 y 7

mediante el cociente de los valores np para dos probabilidades de aceptación. Por

ejemplo, para 'Pn,c(P) = 0.10 y 'Pn,c(P) = 0.90, se obtienen los resultados de la Tabla

I.

e np('Pn,c(P) = 0.90) np('Pn.c(P) = 0.10) Cociente o 0.1 2.3 23 1 0.5 3.9 7.8 2 1.8 6.6 3.7

Tabla I: Cocientes de fracciones p para e= O, 1, 2.

Se observa en la F igura 1 que una probabilidad de aceptación baja para niveles

altos de calidad se puede mejorar incrementando el número c. La Figura 2 muestra

el incremento en la probabilidad de aceptación mencionado anteriormente.

La diferencia entre planes de muestreo a medida que aumenta el valor del número

de aceptación e también aumenta de forma progresiva y es tanto mayor cuanto más

grande sea la distancia entre los valores de e a comparar. Sin embargo, se observa en

la Figura 3 que la diferencia entre valores consecut ivos de e es mayor a medida que

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dichos valores aumentan y, además, se va trasladando hacia los niveles de calidad

más pobres.

0.7 T"""----r----,------------~---~----~ 0.65 +----+----+----f----jf----+----+---- --1f1(100.1.p)-cp(100,0,p)

" :! 0.6 +----+----+-., ....... ---_·---~· ,.,_ __ --¡ ___ _, ___ -+---- - - qi(100,3,p)-q>( 100, 1,p)

~ 0.55 +----+-------->-~---<----1----+----<;. • (100,7,p)-!p(100,3 ,p)

:! 0.5 v-, ~ 0.45 +----,-if--...... ,-,,...-t----t-----t-----t----t----+----t-----j

a o.4+---....-+---.~'c-, t----t-----to,-----t----t----+----t-----1

~ ""' \ : 0.35 +--+--"¡-t--..-~t----t-----t~----t----t----+----t-----j 'O I 1\ .. ,.+--- qt(HJ0,7,p)-qi(1P<>,3,p) i 0.3t-,t--r-, ~-~--+~,----t----+-.....--+-----1r----+---+-----t

~ 0.25 +-if-+--t'.-+V' ---t--..--,. --+----+---....-+----+----+----t-----1

[ 0.2+-f-/__,'f---+r.~---t--~',..--+----+----+----+----+----t-----1 i 0.15 +1-1_,_t _-+:-~ \'<--t---\-"d~-r--•_(1_00_,3_.P-t) ~_100_.1._p)_-t---'-;--+----+----t-----1 i 0.1 -tl-t---.+---""'r+---+'----+----+--··---.-+---+----+----1 & / '- '-*- a>l1C ,1,~nn,o, 11 ¡¡ 0.05 t-;'L...-t"-t----r-:~::....:i9p==~'----t-----t--"--,---+----+----1

_., ---- "---0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0 .14 0.16 0.18

Proporción de disconformes (p)

Figura 2: Diferencia entre las curvas características para n = lOO (1)

0.7-r-----r----..----,-----,-------------~ 0.65 +-----+-----+-----+----+---->------<>----- --!p(100.1.p)-q>(100,0,p) u_ i 0 .6 +----+----+----t----t----t-----ir---- - - qi( 100,3,p)-qi(100,2,p)

.? 0.55 +----+----+----+---->---->-----<f----­u_ ! 0 .5

:~ 0.45

• cp( 100,7.p)-qi( 100.6.p)

a o.4+----+----+----+---->---->-----<>-----<----1----1 ~ ,,...,_ ~ o.35 I \•>­ •(100,1, )-cp(100,0,p)

' i 0.3 I ~ 0.25 +-i,f----... ,----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-------1

K o .2++---~..a..)("_~_.._~~=-...,.,...,""'11.1.1o""""'-f----f----'f----+----+-----1 i 0.15 ++-'--~1+--\_,.__-+-l'-'-'-<-----~~~o----f------<f-----1----1----1 .!! / '\. ~'--· ...... - - cp(1D0,7,p)- (100,6,p) ~ 0.1.¡¡..... __ ,,,_...¡..... __ ~,r+-.-L.-'>,-l----+--.....:...;:..,,.¡.........:.;__-'-"..:....¡..:.........:-"'._+----l-----l ~ I ~K ' ..., ..._ a o.o5 +-/-~, --+----...... ~~......___--1-~--~--.... "-------<>--~~>----1----1----1

o -1-'C......-~.¡....,..:..:.. __ ._ __ -=¡::::==~~.._.:;_~=-"~~~~>-----=l:...;...:'-"'~""4~----l

o 0 .02 0 .04 0.06 0.08 0.1 0 .12 0.14 0.16 0.18

Proporción de disconformes {p)

Figura 3: Diferencia entre las curvas características para n = lOO (y 11)

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2. 2 Cambio en el tamaño muestra/

De forma similar a ( 4), también existe una expresión para medir el efecto del

cambio frente a un incremento en el valor de n:

4?n+i.c(P) = Prob(D Se: n + l ,p)

= (1-p)Prob(D S c;n,p) +pProb(D S c- l ;n,p)

= 4?n,c(P) - pProb(D =e; n,p)

A partir de la expresión anterior se obtiene que:

k-1

4?n+k.c(P) = 4?n.c(P) - p L Prob(D =e; n + i,p) ·i=O

donde Prob(D =e: n + i,p) se puede expresar , a su vez, como:

mín(c.i) .

Prob(D =e; n + i,p) = L (i.)pi(l - p)i-iProb(D =e - j ; n ,p). j=O J

En la Figura 4 se muestra un conjunto de curvas OC para n = 10, 20, 80 y 100 y

e= 1, la cuales presentan una cierta concavidad en lo alto de las curvas. A medida

que el tamaño muestral aumenta. existe un movimiento significativo hacia la izquier­

da, acercándose cada vez más las curvas entre sí. Con tamaños muestrales grandes,

el movimiento es menos significativo y su "pendiente" aumenta cada vez más. Esta

pendiente, sin embargo, es diferente de la "caída" en la curva mencionada en el es­

t udio anterior, como se puede apreciar en la Tabla 1, la cual muestra unos cocientes

de fracciones de disconformes bastante similares entre sí, independientemente del

tamaño muestra!.

n Po.10 Po.9o Po. 10/ Po.9o 10 0.2056 0.01048 19.6 20 0.10875 0.005255 20.7 80 0.02837 0.001316 21.6 100 0.02276 0.001053 21.6

Tabla 11: Cocientes de fracciones p para n = 10, 20, 80, 100.

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0.9

~ 0.8 Ci: ü E. 0.7

.!: e :2 0 .6

~ Q. ~ 0.5 .. .. 'O 'O 0.4 .. ;g :g 0.3 .e e Q.

0.2

0.1

.... .......... --qi(10,1,p) . ' i'-... l \. ,. \

" - - qi(20,1,p)

,~ ,. ' • •• qi(80, 1,p) .. I\

""' •' \ 1: ~

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" ' 1 - 11)(10 1,p)

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' ' ' ' '\ ~, ' +- <p(~ ' . '\. ,1,p) .... ' \ r--, " '-.... .... \ .. - q>(80, ,p) ' \ . "', ~r--.....

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0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0 .3 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4

Proporción de disconformes (p)

Figura 4: Curvas características para e= 1

La Figura 5 presenta las diferencias en las probabilidades de aceptación de los

planes de muestreo con distintos tamaños muestrales (n = 10, 20 , 50 , 80 y 100) para

un valor fijo del número de aceptación (e = 1).

Se advierte claramente la distinción que existe entro planes de muestreo con

tamaños muestrales relativamente bajos, y como esta diferencia se va reduciendo

progresivamente y trasladando hacia niveles de calidad altos (valores bajos de p)

a medida que los tamaños muestrales de los planes de muestreo a comparar van

aumentando. Esto significa que en el caso de tener un plan de muestreo con una alta

probabilidad de aceptación para un nivel pobre de calidad , se puede conseguir una

mejora incrementando el tamaño muestral.

Naturalmente, es posible variar tanto el tamaño muestral como el número de

aceptación para determinar planes de muestreo que alcancen un propósito particular.

Es posible disminuir la probabilidad de aceptación para fracciones de disconformes

altas (incrementando el tamaño muestra!) o aumentarla para valores bajos de la

fracción de disconformes (aumentando el número de aceptación). En este último

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e ·O ·o o.3 .!!

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~ 0.2 :¡;

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,,,. ' ... --cp(10, 1,p)-cp(20, 1,p)

I - - cp(20, 1,p)-cp (SO, 1,p)

' \ • • • cp (SO, 1,p)-cp (SO, 1,p)

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i 1/ 1\ "'"' I I /

., """ I 1\ !'.... >- q>( 0,1,p) q>(20,1 p)

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o 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4

Proporción de disconformes (p)

Figura 5: Diferencias entre las curvas características para c=l

caso, además, para compensar el incremento de la probabilidad de aceptación para

valores altos de p, se puede aumentar el tamaño muestra! conjuntamente con el

número de aceptación.

Bibliografía

[1] American Society for Quality (1993). "ANSI/ASQC z1.4 Sampling Procedures

and Tables far Inspection by Attributes", ASQC, Milwaukee.

[2] Dodge, H. F. y Romig, H. G. (1944/1959). "Sampling Inspection Tables'', second

ed. , John Wiley and Sons, Inc., New York.

[3] Harvard University Computing Laboratory (ed.) (1955). "Tables of the Cumula­

tive Binomial Probability Distribution ", Harvard University Press, Cambridge,

MA.

[4] International Organization for Standards (1989). "IS0-2859-1 Sampling Proce­

dures far Inspection by Attributes-Part 1: Sampling Plans Indexed by Acceptable

Quality Level", ISO, Geneva.

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real

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r ULP

GC

. Bib

liote

ca U

nive

rsita

ria, 2

017

[5] Lieberman, G. J . y Owen, G. B. (1961). " Tables of the Hypergeometric

Probability Distribution '', Stanford University Press, Stanford, CA.

[6] Military Standard, U.S. Departrnent of Defense (1950). "MIL-STD-105A Sam­

pling Procedures and Tables for Inspection by Attributes'', Govcrnrncnt Printing

Office, Washington, D.C.

[7] Military Standard, U.S. Department of Defcnse (1958). "MIL-STD-105B Sam­

pling Procedures and Tables for Inspection by Attributes", Government Printing

Office, ·washington , D.C ..

[8] Military Standard , U.S. Department of Defense (1961). "MIL-STD- 105C Sam­

pling Procedures and Tables for Inspection by Attributes", Governrncnt Printing

Office, Washington, D.C.

[9] Military Standard, U.S. Departrnent of Defense (1964). "MIL-STD-105D Sam­

pling Procedures and Tables for Inspection by Attributes", Governrnent Printing

Office, Washington, D.C.

[10] Military Standard, U.S. Departrnent of Defense (1989). "MIL-STD-105E Sam­

pling Procedures and Tables for Inspection by Attributes", Governrnent Printing

Office, Washington, D.C.

[11] Robertson, W. H. (1960). "Tables of the Binomial Distribution Function for

Small Values of p", Sandia Corporation Monograph, SCR-143.

[12] Rornig, H. G. (1947). "50-100 Binomial Tables", John Wiley and Sons, Inc.,

New York.

[13] Stephens, K. S. (2001). "The Handbook of Applied Acceptance Sampling: Plans,

Procedures and Principies", American Society for Quality Press (ASQC), Mil­

waukee.

[14] United States Department of Cornrnerce (ed.) (1950). "Tables of the Binomial

Probability Distribution ", Applied Mathematics Series 6, National Bureau of

Standards, Washington, DC.

38

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