Departamento de Ciencias Exactas

Ing. Mecanica

STELIOS MOLINA

ING: CUMANDA DEL ROCIO VASCONEZ ESPINOZA

Aula: A-219 NRC:1113

Consulta Teorema de Picard

Existencia y unicidad de una solucion a una ecuacion diferencial dada.El teorema de Picard establece cuando existe solucion para una ecuacion diferencial y si esta es unica.

Se debe expresar la ecuacion diferencial de la forma:dy

dx= f(x, y) en cualquier (X0, YO).

Condiciones:

1. f(x, y) exista para todos lo valores de x e y. Esto nos asegura la existencia.

2.∂f

∂ysea continua en todos los valores de x e y. Esto nos asegura la unicidad si y solo si x e y

convergen al dominio del primer numeral.

Ejemplo 1:

dy

dx= −y + sen(x), ¿existe y es unica en todo (XO, Y0)?

1. f(x, y) exista para todos los valores de x e y.El dominio de x son todos los reales, es decir, x ∈ < .El dominio de y son todos los reales, es decir, y ∈ < .

2.∂f

∂ysea continua en todos los valores de x e y.

f(x, y) = −y + sen(x)⇒ ∂f

∂y= −1

El dominio de x son todos los reales, es decir, x ∈ < .El dominio de y son todos los reales, es decir, y ∈ < .

Como el dominio de x e y son los < en ambos numerales, se concluye que existe solu-

cion parady

dx= −y + sen(x), y esta es unica.

Ejemplo 2:

dy

dx= xy

1

2 , ¿existe y es unica en todo (XO, Y0)?

1

1. f(x, y) exista para todos los valores de x e y.El dominio de x son todos los reales, es decir, x ∈ < .El dominio de y es[0,∞), es decir, y ≥ 0

2.∂f

∂ysea continua en todos los valores de x e y.

f(x, y) = xy

1

2 ⇒ ∂f

∂y=

x

2√y

El dominio de x son todos los reales, es decir, x ∈ < .El dominio de y es(0,∞), es decir, y > 0

Como el dominio de x e y no es todo < en ambos numerales, se concluye que puede existir

solucion parady

dx= xy

1

2 , pero esta no es unica.

BIBLIOGRAFIA

El teorema de existencia y unicidad de Picard el 18 de octubre de 2015, dehttp://departamento.us.es/edan/php/asig/LICMAT/LMEDO/TEMA2EDO.pdf

Teorema de Picard el 18 de octubre de 2015, dehttps://www.youtube.com/watch?v=3cRyI1482MI

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