Hemos visto que existen leyes de desarrollo y que el desarrollo sigue un orden de sucesin, de tal manera que cada uno de sus estadios es necesario para la construccin del siguiente. Pero queda an por explicar este hecho fundamental Los tres factores clsicos del desarrollo son la maduracin, la experiencia del fsico y la accin del medio social. Estos dos ltimos no pueden explicar el carcter secuencial del desarrollo, y el primero solo no basta, dado que el desarrollo de la inteligencia no comporta un factor hereditario de programacin como los subyacentes a los instintos. Debemos, por tanto, aadir un cuarto factor (que es en realdad necesario a la coordinacin de los tres primeros): la equilibracin o autorregulacin.Est claro que la maduracin debe contribuir al desarrollo de la intelifencia, aunque sabemos muy poca cosa acerca de las relaciones entre las operaciones intelectuales y el cerebro. La caracterstica secuencial de los estadios, en panicular, es una indicacin importante de su naturaleza parcialmente biolgica y habla en favor del papel constante del genotipo y de la epignesis. Pero eso no significa que podamos suponer la existencia de un programa hereditario subyacente al desarrollo de la inteligencia humana: no hay ideas innatas. Incluso la lgica no es innata y slo da lugar a una construccin epigentica progresiva. Los efectos de la maduracin, pues, consisten esencialmente en abrir nuevas posibilidades de desarrollo, es decir, dar paso a estructuras que no podan desarrollarse antes de que se presentaran dichas posibilidades. Pero entre posibilidad y realizacin tiene que intervenir una serie de otros factores tales como el ejercicio, la experiencia y la interaccin social.Un buen ejemplo de la diferencia que existe entre las posibilidades hereditarias y su realizacin en una estructura intelectual puede ser proporcionado examinando las estructuras de Bool y las estructuras lgicas descubiertas por McCUllOCH y PlTTS (194?) en las conexiones ncutooalcs. En este contexto, las neuronas aparecen como operadores que tratan la informacin segn reglas semejantes a las deda lgica de las proposiciones. Peto la lgica de las proposiciones slo aparece en el nivel de pensamiento que se da hacia los 12 a 15 aos de edad. As es que no existe ninguna relacin directa entre la lgica de las neuronas y la del pensamiento. En este caso particular como en muchos otros, no se debe concebir el proceso como una maduracin progresiva, sino como una sucesin de construcciones, cada una de las cuales reproduce parcialmente su inmediata precedente pero a un nivel muy distinto y en un mbito mucho ms amplio. Inicialmente, lo nico que hace posible la lgica de las neuronas, es una actividad nerviosa, pero dicha actividad hace posible a su vez no orvanrrartn sensomotora en el nivede la conducta. Sin embargo, esta organizacin, al conservar ciertas estructuras de la actividad nerviosa, y siendo en consecuencia parcialmente isomorfa a. ella, desemboca primero en una. serie de. conexiones entre-las conductas que es mucho ms sencilla que la de la actividad nerviosa misma, porque dichas conductas tienen que correlacionar acciones y objetos y ya no se limitan slo a transmisiones internas. A continuacin, la organizacin sensomotora hace posible k constitucin del pensamiento y de sus instrumentos simblicos, lo que implica la construccin de una nueva lgica, parcialmente isomorfa a las anteriores, pero que se enfrenta con nuevos problemas, y as se repite el ciclo. La lgica preposicional que se construye entre los 12 y los 15 anos no es pues, en modo alguno, la consecuencia inmediata de ia lgica de las neuronas, sino el resultado de una serie de construcciones sucesivas que no estn preformadas en ia estructura nerviosa hereditaria sino que son posibilitadas por esta estructura inicia!. Estamos ahora muy lejos del modelo de maduracin continua que lo explicara todo con mecanismos preformados. A tal modelo, puramente endgeno, hay que oponer una serie de construcciones efectivas, cuyo orden de sucesin no supone una simple predeterminacin sino que implica mucho ms que eso.19. Un segundo factor que se invoca tradicinalmente para explicar el desarrollo cognitivo es la experiencia adquirida mediante el contacto con eiambiente fsico exterior. Dicho factor es esencialmente heterogneo,.j- cocts- t- fie le- menos Je c categoras y sencidos ele experiencia, enere ios que distinguiremos dos polos opuestos:1. Ia primera categora es e simple ejercicio, que supone, naturalmente. la presencia de objetos sobre los cuajes se efecta la accin, peto que no implica necesariamente la adquisicin de un conocimiento a partir de dichos objetos- En realidad, se ha visto que el ejercicio tiene un efecto positivo sobre la consolidacin de un reflejo o de un grupo de reflejos complejos tales como la succin, que mejora notablemente gracias a la repeticin durante ios primeros das de la vida. Esto tambin es vlido pata el ejercicio de las operaciones intelectuales que se pueden efectuar sobre los objetos, aunque dichas operaciones no proceden de ios mismos. En contraposicin, elpuede a ia vez proporcionar nuevas informaciones exgenas y consolidar ia actividad dei sujeto. Podemos, pues, hacer una distincin entre dos polos opuestos de actividad en el ejercicio mismo: un polo de acomodacin al objeto que es, en consecuencia la nica fuente de Jas adquisiciones basadas en las propiedades del objeto; y un polo de asimilacin funcional, es decir, de consolidacin medante una repeticin activa. En esta segunda perspectiva, el ejercicio es, sobre todo, un factor de equilibracin o autorregulacin, o sea, est ms relacionado con estructuraciones dependientes de la actividad del sujeto que con un aumento del conocimiento del ambiente externo.En cuanto a la experiencia propiamente dicha, en el sentido de adquisicin de un nuevo conocimiento mediante la manipulacin de objetos (y no ya mediante el simple ejercicio), tenemos que distinguir otra vez entre dos* polos opuestos, que correspondern a fas cateogrfas (b) y (c).b. La segunda categora, a la que llamamos experiencia fsica, comiste en sacar informacin de los propios objetos mediante un simple proceso dejKerrgrrirt5kel*rer-trs es* miM 5cubierta de las dems, que no son tenidas en asent. Es la experiencia fsica, pues, a que permite al nio descubrir el peso sin tener en cuenta el color dei objeto, etc,, o descubrir que el peso de objetos de Ja misma naturaleza va aumentando con el tamao, etc.c. Existe, adems de la experiencia fsica (b) y del simple ejercido (a), una tercera categora fundamental que, curiosamente, apenas ha sido mencionada eri este contexto. Es la que llamamos la experiencia lgica- matemtica. Desempea un papel importante eo todos los niveles de desarrollo cognoscitivo en los que la deduccin lgica o el clculo son todava imposibles, y aparece tambin cada vez que el sujeto se enfrenta con ptoblemas en los que ha de descubrir nuevos instrumentos deductivos. Este tipo de experiencia implica cambien actuar sobre los objetos, dado que no puede haber experiencia sin una accin en s origen, sea real o imaginada, y que su ausencia significara que no hay contacto con el mundo exterior. Sin embargo, el conocimiento que procede de ella no est basado en las propiedades fsicas de estos objetos sino en las propiedades de las acciones efectuadas sobre ellos, lo que no es exactamente lo mismo. Dicho conocimiento parece proceder de los objetos porque consiste en descubrir, manejndolos, las propiedades que antes de ser introducidas por ia accin no pertenecan 4 dichos objetos. Por ejemplo, si un nio ai contar piedras, lasdispone por casualidad en fila y hace el descubrimiento asombroso de que cuando las cuenta de derecha a izquierda, se encuentra con el mismo nmero que contndolas de izquierda a derecha, o disponindolas en crculo, ere., ba descubierto expcfimcniaimcntc que ia suma es independiente del orden. Pero, sta es una experiencia lgico-matemtica y oo fsica, porque ni d orden o siquiera la suma estaban presentes en las piedras antes de que las colocara de cierta manera (o sea las ordenara) y las uniera en un conjunto. Lo que ha descubierto es una relacin, nueva para l, entre la accin de ordenar y la-de reunir (en consecuencia entre las dos operaciones futuras), y no, o no slo, una propiedad de las piedras.Podemos ver, pues, que el factor de la experiencia adquirida es, en realidad, complejo y supone siempre dos polos: las adquisiciones procedentes de los objetos y las acuvdades consirucftiraf dei sujeto. Incluso la experiencia fsica () no es nunca pura, puesto que siempre supone un marco lgico- matemtico, aunque elemental (como en iids Gstales geomtricas de la percepcin). Eso significa que cualquier accin determinada, como pesar, que desemboca en un conocimiento fsico no es nunca independiente de coordinaciones de accin ms generales (tales como ordenar o reunir, etc.) que son una fuente de conocimiento lgico-matemtico.XI. El tercer factor clsico de desarrollo es el de la influencia del ambiente social. Se puede comprobar en seguida su importancia s consideramos el hecho que los estadios mencionados en ia Seccin 111 son acelerados o atrasados en el promedio de sus edades cronolgicas segn el ambiente cultural y educativo del nio, Pero el hecho mismo de que ios estadios siguen el mismo orden secucncial en cualquier ambiente basta para demostrar que el ambiente social no puede explicarlo todo. Dicho orden de sucesin constante no se puede imputar ai ambiente. En realidad, tanto las influencias sociales o-educa ti vas como la experiencia fsica estn, a este respecto, en pie de igualdad, slo pueden afectar al sujeto si ste es capar de asimilarlas, y slo puede hacerlo si ya posee los instrumentos o las estructuras adecuados (o sus formas primitivas). En.realidad, lo que se le.ensea, por ejemplo, slo es verdaderamcnte.-asimilado cuando da lugar.a.una reconstruccin activa o incluso a una reinvencin por parte dei nio.Un ejemplo excelente de esta situacin compleja es proporcionado oor el difcil problema de las relaciones entre lenguaje y pensamiento. Muchos autores han sostenido que el lenguaje no slo es ci factor esencial de ia constitucin de la 'representacin o del pensamiento, lo que plantea un primer problema, sino tambin el origen de las operaciones lgicas mismas (por ejemplo, clasificacin;scriacin, operaciones preposicionales), lo que plantea una segunda cuestin.En cuanto ai primer problema, es indudable que el lenguaje desempea un papel muy impetrante en la interiorizacin de ia accin, cri la representacin y el pensamiento. Pero este factor lingstico no es el nico que est en juego. Hemos de considerar ia funcin semitica o simblica como un todo y el lenguaje no constituye ms que una parte de dicho todo. Los otros instrumentos de representacin son la imitacin diferida, las imgenes mentales (que son una imitacin interiorizada y no una simple prolongacin de la percepcin), los juegos simblicos (o juegos de ficcin), el dibujo {o imitacin grfica), etc; Y es seguramente la imitacin en su sentido general i que constituye la transicin enere las funciones sensomotoras y las semiticas. Es, tambin, en ci contexto general de ia funcin semitica donde tiene que ser considerada el lenguaje, por mis que su papel sea muy importante. ES estudio de los sordomudos por ejemplo, muestra lo lejos que son capaces de llegar los otros instrumentos simblicos cuando el desarrollo del lenguaje articulado se ve perturbado.Volviendo ai problema de las relaciones entre lenguaje y operaciones lgicas, siempre hemos sostenido que e1 origen de las operaciones lgicas es a la ver ms profundo y genticamente ms pretor que c! lenguaje; es decir, que radica en las leyes de las coordinaciones generales de la accin que controlan todas las actividades hasta el lenguaje mismo.n la coordinacin de los esquemas sensomotores ya existe una lgica elemental (ver Seccin 1: el grupo de desplazamientos, la conservacin de los objetos, etc.). Existe en una formacin de inteligencia que no es todava ni verbal ni simblica. Pero quedan todava por establecer ms precisamente las relaciones entre el lenguaje y las operaciones lgicas en e! nivel del pensamiento interiorizado.Esto lo hizo recientemente SINCLAIR en una serte de experiencias en i os niveles psicolgicos y lingsticos ms instructivos. Estudi dos grupos de nios de 5 a 7 aos, uno en un estadio netamente pie-operatorioe incapaz de conseguir el concepto de conservacin, mientras que el otro posea . todos los instrumentos que levan a la conservacin. Pudo demostrar a continuacin que :u lenguaje xa. xnqvrztnrdQ,.mtaraidcmentc distinto cuando se les pregunta acerca de asuntos distintos a Ja consciv.d.-., por cp-molo. y cuando se les pide que comparto dos objetos o ms, tales como un lpiz largo y fino con otro corto y gordo. E! grupo prc-operatorio utiliza, principalmente. los trminos no-teJacionalcs de una escala: tiste es largo, ste es corro; ste es fino, y ste es gordo En contraposicin, el grupo opecataVio utiliza sobre todo vectores; ste es ms pequeo y mis gordo, etc. Resulta, que hay una relacin data ene e nivel lingstico y nivel operatorio (y eso tambin es verdad.cn otras situaciones). Peto en qu direccin? Para determinarlo, SINCLAIR ense a continuacin a un grupo de sujetos mis jvenes a utilizar las fofinas verbales utilizadas por los mayores. Hecho eso, volvi a estudiar sus niveles operatorios y descubri que slo el 10% aproximadamente haban mejorado; esta proporcin muy pequea podra incluso representar casos intermedios, o casos que ya je hallaban muy cctca de! umbral operatorio. Podemos rotar, pues, que ci lenguaje no parece ser ei. motor de la evolucin opetato a, sino mis bien un nsuumemq'al servido de ia propia inteligencia (ver TNCLAlR DE ZwART. 1967}./Para concluir los pargrafos 20, 21 y 22, parece que los factores tradidona- es (maduracin, experiencia, ambiente social) no bastan para explicar el desarrollo. Tenemos, pues, que recurrir a un cuarto factor, la equibr acin, y ello por dos razones. La primera es que estos tres factores heterogneos do pueden explicar un desarrollo secuencia! si no estn en cierta relacin de equilibrio mutuo, y que debe, pues, existir un cuatro factor organizador para coordinarlos en un conjunto coherente y no conuadctorio. La segunda razn es que cualquier desarrollo biolgico, como ya sabemos ahora, es autorregulador, y que os procesos de autorregulacin son incluso mis hab-Males en el nivel de conducta'y en i a elaboracin oc Jas funciones cegnojd- vs. Debemos. considerar este.factor por separado,Vn. EQUILIBRACION Y ESTRUCTURAS COGNITIVAS23- ES objetivo principal de vas. teora de desarrollo es explicar la elaboracin de las estructuras operatorias de conjunto o totalidad integrada (slruoi la sola maduracin. las estructuras lgicas no son un imple producto dt !a experiencia fsica; en a seriacin, ia clasificacin, ia corcspondcncia tcrmina-a-rmmo, las actividades dei sujeto aaden nuevas tclacioaes tales como orden y totalidad a los objetos, iz experiencia igca-rnatc/ntici exuac su informacin de las propias acciones del sujeto (como lo hemos vista en el prrafo 21), lo que implica una autorregulacin de dichas acciones, fotuta aiegaisi. ci: ~rr'n,r*< resultan de una transmisin social o educativa. Pero como ya hemos visto (prrafo 22), el nio debe ya entender Jo que se 1c transmite, y para conseguir esto son necesarias las estructuras. Adems, a explicacin social slo desplaza al problema; cmo adquirieron por primera ver ios miembtos dei grupo social dichas estructuras?Pero en rodos ios niveles de desarrollo, las acciones estn coordinadas segn modos que ya suponen unas propiedades de orden, inclusin y correspondencia, y que tambin prefiguran tales escote turas (por ejemplo, se- riacin para orden, clasificacin para inclusin, estructuras multiplicativas para correspondencia). Sin embargo, lo que es ms importante es que ia coordinacin de las acciones implica la correccin y la autorregulacin; en realidad, sabemos que ios mecanismos de regulacin caracterizan a todos los niveles de ia vida orgnica (lo que es vlido tanto para la dotacin gentica como parala conducta). Pero la regulacin es un proceso de retroaccin (feedbadc negativo) que implica un principio de reversibilidad; y la relacin entre k regulacin (que es la correccin de! ertot con na reversibilidad pardal en la retroaccin) y ia operaci, cu ya reversibilidad total permite ia prccottccdn de los errores (es decir, la regulacin perfecta en el sentido ciberntico) resulta evidente.iAsi que parece muy probable que la construccin de las estructuras resulte principalmente de la equilibracin, definida no como un equilibrio entre fuerzas opuestas sino tomo una autorregulacin; es decir que ia equilibracin consiste en una serie de reacciones activas del sujeto en respuesta a las perturbaciones exteriores que pueden set efectivas o anticipadas en varios grados. S equilibrio tesulia,. pues, idntico a a reversibilidad .peto cuando se objeta (como lo hace BRUES, por ejemplo) que el equilibrio se vuelve por consiguiente superfino porque la reversibilidad basta en s misma, se olvida que no hay que considerar slo el estado fina! del equilibrio sino que la equilibracin es esencial por ser ei proceso de autorc- gulacin que lleva a este estado final y, por consiguiente, a la reversibilidad que caracteriza laS estructuras que hay que explicar.wSh La equtlibcacin tiene un valor explicativo poique se basa en un proceso de probabilidades sucesivas crecientes. Podemos entender eso me- jot mediante un ejemplo. Cmo podemos explicar el hecho de qu, cuando se a ante l gizu de una salchicha. a -ana bola de arcilla, un nio empiece negando que se conserva Iz cantidad de arcilla despus de p ifansfor- madQ, y acabe afumando la necesidad lgica de esta conservacin? Para ecplkar eso, bonos de definir cuatro estadios, cada uno de los cuales se bate msptbablci no 2 prior, sino en fundn de la situacin presente o de aquella. que ia picccdc dcevamvntc.e. Al principio, el nio no considera una dimensin, por- ejemplo la longitud (digamos.8 de cada 10 veces). Dice cmoaccs que Ja salchicha con-tinc ms materia porque es ms larga. A veces (digamos 2 de cada 10 veces), dice que es ms delgada, pero olvidndose de su mayor longitud, concluye que la cantidad de materia ha disminuido. Por.qu mona as? Simplemente porque la probabilidad de considerar slo una dimensin es mayor. Si la probabilidad es de 8 para ia longitud y 2 para la anchura, ser 16 para ia longitud y Sa anchura, perqu son fenmenos independenles mientas no se entiende la compensacin.43i>. Si la salchicha se alarga cada vez ms o si el nio se cansa tic repetir J ,r.ic.~ ''jumento, se hace mayor (aunque ai principio no lo era) la pro-,' habilidad de que se fije en la otra onucujv."., yentreiasdos.a. Si hay oscilacin, ia probabilidad de que el sujeto observe una correlacin entre las dos variaciones (cuanto ms larga es la salchicha, ms delgada es) se hace mis grande (tercer estadio). Pero en cuanto aparece esta impresin de que existe uns solidaridad entre las variables, su razoaamico- ro ha adquirido una.nueva propiedad: ya que no se basa nicamente en configuraciones sino empieza a lencr err cuenta las transformaciones: la, salchicha no es simplemente larga; puede alargarse, ere.J. En cuanto ei pensamiento dei sujeto tiene en cuenta dichas transformaciones, se hace ms probable el estadio siguiente en el cual entiende (alterna o simultneamente) que una transformacin puede set invertida, o que dos transformaciones simultneas en longitud y anchura se compensan, a causa de la solidaridad que ha entrevisto ver estadio (c)j.Corno podemos ver, la equilibracin progresiva tiene un valor explicativo efectivo. Ei estadio (a) (que han encontrado todos los que comprobaron . nuestra invcsrigzciis} no es *>n punto de equilibrio dado que el nio si ha notado una dimensin: en ral caso la suma algebraica de los tempe> virtuales de trabajo (para citar el principio de D'ALEMBERT sobre ios sistemas fsicos) no es cero, dado que uno de ellos, que consiste en tener en . cuenta la otra dimensin, no ha sido todava entendido y lo ser tarde o . tempano. La transicin de un estadio a otro, pues, consiste, en.una equilibracin en el sentido ms clsico del.trmino. Pero puesto que estos desplazamientos del sistemo son actividades del sujeto, y dado quc:caaac una de dichas actividades consiste en corregir aquella que la precede directamente, ia equilibracin se vuelve una sucesin de autorregulaciones cuyos procesos retroactivos desembocan ai final en ia reversibilidad operatoria. Esta entonces sobrepasa ia simple probabilidad para alcanzas la necesidad lgica.Lo que acabamos de c cek acerca de un ejemplo de conservacin operatoria se podra repetir acerca de la construccin de cada esucrura operatoria. La sedacin A < 3 < C por ejemplo, cuando se hace operatoria. el resultado de una coordinacin de las relaciones < y > (teniendo cada nuevo elemento en ia serie ordenada la propiedad de ser tanto < i), C, , zl como > F, G, H...}, y esta coordinacin es, de nuevo, el resultado de un proceso de equilibracin de las probabilidades sucesivas crecientes dei tipo que ya hemos descrito. Del mismo modo, para las inclusiones de clases, < B si B - A trA' y A > 0 se consigue mediante una equilibracin del mismo tipo.No es exagerado, pues, decir que ia cquiiii.cir. a; ; heme fvadi-

menta! de! desarrollo, y que es incluso necesario para la coordinacin de ios otros tres factores.LVU. LOS ASPECTOS LOGICO-MATEMATICOS DE LAS ESTRUCTURAS:*26. Las estructuras operatorias coetecas que acabamos de mencionar presuponen todas la construccin de ciertas cantidades: extensin de las clases para la clasificacin (lo que explica a dificultad de cuantificacin de la inclusin de ciases), tamao de las diferencias para la sedacin, conservaciones cuantitativas, etc. Pero incluso antes de que estas estructuras cuantitativas estn construidas, Se pueden observar en los niveles preoperatorios unas estructuras pardales y cuiliciivis que son muy interesantes porque constituyen la primera mitad, por decirlo as, de la lgica de las opera- dona reversibles. Estas son las funciones orientadas (funciones de sentido ; Coico que no tienen inversas, lo que supondra una reversibilidad) y las identidades cualitativas (ver el pargrafo i 0).Recordemos que las funciones son trazados en el sentido matemtico que no tienen inversos porque, como lo hemos visto, estn psicolgicamente relacionados con ls esquemas de accin que persiguen un fin. Supongamos, por ejemplo, que tenemos un troz de cuerda b, cuya parre a se halla en ngulo recto respecto a la otra parte a' y puede deslizarse en un dedo cuando se le ata un peso xa'y a est-sujeta por un resorte. Todos los nios entre los 4 y los 7 aos encienden que tirando de b, a se vuelve mis corto y amis largo. Pero no posee todava la nocin de conservacin de la longitud de entero ( = a + , s!o por b correspondencia. trrikio--trrnno entre ciases' equivalentes, porque la correspondencia que utilizaron, por ibsacdn de, las cualidades {por contraste con la correspondencia cualificada entre objetos individuales con las mismas propiedades), introdujo implcitamente unidad y, por consiguiente, nmero, o que hizo su razonamiento circular. En realidad, cuando tratarnos con conjuntos determinados, los nmeros cardinales no se pueden disociar de los nmeros ordinales y estn sujetos a las tres condiciones siguientes:a.: Abstraccin de las cualidades que hace equivalentes todos los objetos individuales, as que 1 = 1=1.A) La imcrvcnrn del orden: 1 1 1.,,, que es necesario para distinguir entre los objetos si no, 1 + 1 resultara cierto.Una conclusin de (I) en (I + 1), juego de (t + l)en(l + I + 1). etctera.Los enteros, pues, resultan de una sntesis de! orden (seriacin) y de la inclusin o conjuntos encajados (clasificacin), lo que se hace necesario por la abstraccin dejas cualidades. De ah que los enteros son constituidos l panirde elementos meramente lgicos (seriacin y clasificacin), peto reorganizados en una nueva sntesis que tiene en cuenta su cuantifcacin por un procedimiento reiterativo: 1 + 1 = 2, etc.Del mismo modo, a medida en un continuum (por ejemplo, una lnea, una superficie) implica: (a) su divisin en segmentos, de los cuales se escoge uno como unidad y se considera como equivalente a los dems por congruencia ir a - a.... (b) su desplazamiento segn un orden determinado, sa~e, etc., para que sea congruente con los dems, y (c) la disposicin de las unidades en sus composiciones aditivas, es decir, e en (a + a) y (a + o) en ( no est complete todava, y el autor de estas pginas siempre se ha considerado como uno de fes prindpet revisionistas de PAGcT. (Nota dei autor).0) A kMso Je este artculo, el trmino esquema se emplea para referirte e actividades operatorias, mientra; ^n*hems se refiere e los aspectos figurativos del pensamiento intentos de representacin de la realidad sin teSaer de transformarle (imgenes, percepcin y memoria). Ms adelante se dice: las imgenes... - aunque esepaesiicci na san esquema;. OPlizaremas, pues, el trmino sebemata para dciignar/as. Un schcma es una iraegeutimplijiceda (por ejemplo, d esquema es h que es comn en les acciones de empujar* un obje- to ton un brsss con cualquier otro instrumento)*, (N. del T. Remitimos al lector ai glosario pera une de/i nicin mi Asilada de esquema y sche^saj.(A) Codsdremos T. Por ejemplo, armo ana clarificacin ya establecida de un conjunto de objetos O, que h ditidsit'dof sub-dstei distintas. ! s tus conjunto de nuevos objetos que se aaden e los objetos iniciales. j e bsales hay que extender l& dosificacin T. Hecho eso (l be sido asimilado a T), resulta que hay, digamos, docaetves svb-clstes (la esirvcixm total es ahora Al) y que unas propiedades de los nuevos objetos l (por ejempiopiinmero de elementos de\ esa forma, su tamao o su color) han sido ignorados en el proceso. Ahora tetemos T + I AT -f , donde T - las dos sub-clases iniciales, 1 m los elementos nuevos, AT = las cuatro tubdsses, y E m las propiedades are fe van tes dlos nuevos elementos, es decirlas propiedades que no se utilizaasomo criterios de clasificarn ert este ejemplo concreso.0) btsstgarBj de juego definidas por PIAGET (en La formacin del smbolo en el n\ consecuencia de dichas restricciones es que h asoctesividadno je comprueba hasta ase ios elementos entre parntesis hayan sido previamente tredveidos*: (A + A') * B' '= B 8 C pero A (A 8) no tiene sentido porque (A* + B) no est definido en si. (Paramas preaxiaaas aceres-de as regas Je reduccin, ver PSAGSX. 1959}. En contraposicin, en el grupo de los enteros con te edicin, se puede rumoro restar cualquier n- mero a cualquier otro, porque un entero puede estar totalmente desligado de ios que te siguen aunque b *con- tengan*.(9J El grupo JAfPX es na sene de operdipnej que se efectan sobre las operaciones o tes ele mensas Je otra estructuro algebraica que tiene una operacin involviiva (una operacin que es tu propu nrens: V -> * ) Un ejemplo de una operacin mvolutira es te ley de dualidad (di AlotGAS) del lgebra de Rocc s. p05-? A'q. te que podernos escribir N (p V q) ,* p A q- (N para negativa). Si definimos C (carrebrira) como siendo la regla que acte sobre tes conectivas, cambiando A en _V y a te inversa, y R (recproca) canto siendo te rega que acta sobre elsigno y las vcrhtbtes. cambiandop enjsj a te diversa, eomegutremos el mismo resultado utilizando C y R seguidas [sobre, digsptos. fpUr^J que terUrzando K.1E? diagrama siguiente muestra /as relaciones entre N, R y C actuando sobre, fp V q);

as identidad S puede definirse ahora como te regla que cambia cualquier frmula en f misma, y las propiedades siguientes pueden comprobara frdmente utilizando te figura en todas las direcciones.s) RC * N, RN * C CN R, y todos las peres son conmutativos RC * CR, etc.b) C2*RH \ (todas las transformaciones son involuteas. es decir, cada tlenttnto tiene un in- verso).c) RNC - I.A partir de esto, podemos demostrar que te serie (i, M, R, C) forma, junto con te operacin de composicin (en d sentido corriente de efectuar una freos formacin obre el resultado de otra), un grupo no-ctieO de cuatro elementos (conocido corno el grupo de las cuatro transformaciones de KWtt).El grupo 1NRC/>&. tambin, definirse sobre sistemas jarear que tienen te estructura adecuada (es decir, una rrsniformexir. involudvs que se pueda descomponer* en otras dos transformaciones invofutivjs). En una de sus experiencias sobre tes sistemas dobles de referencia, PtAGST utiliza un caracol fue puede caminar de r- ' quirete a derecha, yete muerte, por vnspequea plancho que puede, a su vez, moverse en ambos sentidos por una mese. Pedemos definir Q. como te regle que invierte te marcha del caracol:C {!. !} - (D, 1} por efembln. (donde D, l J significa que t cerezal (primera coordenada) se mueve bada te derecha y te plancha se mueve hacia te izquierda). Luego, podemos definid D como te regla que invierte te