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ESTUDIO DE FENÓMENOS DE TRANSFERENCIADE CALOR Y DINÁMICA DE FLUIDOS MEDIANTELOS MÉTODOS DE LATTICE BOLTZMANN YVOLÚMENES FINITOSTRANSCRIPT
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ESCOLA TCNICA SUPERIOR DENGINYERIES INDUSTRIAL IAERONUTICA DE TERRASSA
PROYECTO FINAL DE CARRERA
ESTUDIO DE FENMENOS DE TRANSFERENCIA
DE CALOR Y DINMICA DE FLUIDOS MEDIANTE
LOS MTODOS DE LATTICE BOLTZMANN Y
VOLMENES FINITOS
AUTOR: TIGRAN SARGSYANDIRECTOR: FRANCESC XAVIER TRIAS MIQUEL, ASENSI OLIVA
LLENAINGENIERA AERONUTICA
CURSO 2011-2012
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Resumen
El trabajo se divide en tres partes fundamentales. En la primera parte (captulo 1)
se tratan las ecuaciones que rigen la dinmica de fluidos, que son las de Navier-
Stokes. Se presentan las adimensionalizaciones de las ecuaciones de Navier-Stokes
para problemas de conveccin natural y conveccin forzada, identificando en cada
caso los grupos adimensionales que rigen el problema. La segunda parte (captulo 2
y 3) trata sobre los mtodos numricos LBM (Lattice Boltzmann Method) y FVM
(Finite Volume Method). En cada caso se presentan el fundamento terico sobre el
que se basa y tambin su implementacin a nivel esquemtico. Por ltimo, en la
tercera parte (captulo 4) se presenta la aplicacin prctica (numrica) de LBM y
FVM en problemas de referencia (los cuales sirven para validar nuevas herramientas
de simulacin). Se discuten los resultados obtenidos de ambos mtodos y se comparan
entre ellos. En los ltimos captulos se presentan las conclusiones (captulo 5), el
impacto medioambiental (captulo 6), el presupuesto (captulo 7) y tambin diferentes
temas que son importantes pero han quedado fuera de alcance de este proyecto
(captulo 8). En los anexos se presentan los cdigos fuentes de los programas.
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ndice general
0.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.2. Justificacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.3. Alcance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1. Las ecuaciones de Navier Stokes 9
1.1. Ecuaciones integrales de conservacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Forma diferencial de las ecuaciones de conservacin . . . . . . . . . . 15
1.2.1. Conveccin forzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.2. Conveccin natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2. Lattice Boltzmann Method (LBM) 24
2.1. La Ecuacin Continua de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2. Modelos de LBM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1. Single Relaxation Time (SRT) . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2. Multiple Relaxation Time (MRT) . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3. Aspectos de implementacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.1. Tratamiento de las condiciones de contorno . . . . . . . . . . 51
2.3.2. Evaluacin de fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3.3. Adimensionalizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.4. Aspectos de implementacin paralela . . . . . . . . . . . . . . 59
3. Finite Volume Method (FVM) 61
4. Casos prcticos 78
4.1. Lid Driven Cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2. Differentially Heated Cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5. Conclusiones 99
1
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6. Impacto medioambiental 100
7. Presupuesto 101
8. Futuros estudios 102
A. Cdigo fuente de LBM 106
B. Cdigo fuente de FVM 133
C. Cdigo fuente de Driven Cavity 144
D. Cdigo fuente de Differentially Heated Cavity 153
2
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ndice de figuras
1.1. Hiptesis del medio continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Sistema aislado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Sistema cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Sistema abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5. Flujos de masa para un volumen de control 2D . . . . . . . . . . . . 16
1.6. Flujos de momento lineal en la direccin x para un volumen de control
2D y las tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1. Espacio de fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2. Modelo D2Q9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3. Ejemplo de discretizacin D2Q9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4. Mtodo push de propagacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5. Mtodo pull de propagacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6. Mtodo de propagacin utilizando una nica matriz . . . . . . . . . . 49
2.7. El estado postpropagacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.8. Ejemplo de un contorno horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.9. Ejemplo de un contorno esquina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.1. Proyeccin del trmino convectivo/difusivo mediante el gradiente de
presiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2. Ejemplo de una malla rectangular uniforme . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3. Ejemplo de una malla rectangular no uniforme . . . . . . . . . . . . 66
3.4. Definicin de la malla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5. Ejemplo de colocacin de las variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6. Funcin de proyeccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.7. Definicin del volumen de control para evaluar la ecuacin de conti-
nuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3
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3.8. Solver Gauss-Sheidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.9. Solver Conjugate Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.10. Definicin del volumen de control para evaluar la componente x de la
ecuacin de momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.11. Definicin del volumen de control para evaluar la componente y de la
ecuacin de momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.12. Algoritmo de clculo para conveccin forzada . . . . . . . . . . . . . 75
3.13. Algoritmo de clculo para conveccin natural . . . . . . . . . . . . . 76
4.1. Driven Cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2. Tiempo de computacin total, norma L2 del error relativo de la com-
ponente horizontal y vertical de la velocidad en funcin del error de
solver y error en estacionario para N = 40 y Re = 100 . . . . . . . . 81
4.3. Frecuencia de relajacin adimensional para Re = 100 y Re = 1000 . . 82
4.4. Tiempo de computacin total, norma L2 del error relativo de la com-
ponente horizontal y vertical de la velocidad en funcin de la frecuencia
de relajacin adimensional para N = 40, Re = 100 con est = 103 y
est = 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5. Comparacin de LBM y FVM para diferentes tamaos de discretizacin 85
4.6. Comparacin de LBM y FVM para diferentes tamaos de discretizacin 86
4.7. Comparacin de LBM y FVM para diferentes tamaos de discretizacin 86
4.8. Comparacin de LBM (lnea continua) y FVM (lnea discontinua) para
diferentes tamaos de discretizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.9. Heated Cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.10. Frecuencia de relajacin adimensional para Ra = 103, Ra = 104, Ra =
105 y Ra = 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.11. Perfiles de velocidad horizontal y vertical para diferentes nmeros de
Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.12. Perfil de temperatura para diferentes nmeros de Rayleigh . . . . . . 91
4.13. Comparacin de LBM (lnea continua) y FVM (lnea discontinua) pa-
ra el contorno de la velocidad horizontal para diferentes nmeros de
Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.14. Comparacin de LBM (lnea continua) y FVM (lnea discontinua) para
el contorno de la velocidad vertical para diferentes nmeros de Rayleigh 97
4
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4.15. Comparacin de LBM (lnea continua) y FVM (lnea discontinua) para
la funcin de corriente para diferentes nmeros de Rayleigh . . . . . 98
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ndice de tablas
2.1. Cuadratura de Hermite de orden 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2. Velocidades discretas D2Q9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3. Magnitudes caractersticas en unidades lattice . . . . . . . . . . . . . 59
4.1. Combinaciones del error del solver y del error estacionario para Re =
100 y N = 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2. Efecto de variacin de la frecuencia de relajacin adimensional y del
error estacionario para Re = 100 y N = 40 . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3. Comparacin de LBM y FVM para diferentes tamaos de discretizacin 84
4.4. Comparacin de LBM y FVM para Ra = 103 . . . . . . . . . . . . . 93
4.5. Comparacin de LBM y FVM para Ra = 104 . . . . . . . . . . . . . 94
4.6. Comparacin de LBM y FVM para Ra = 105 . . . . . . . . . . . . . 95
4.7. Comparacin de LBM y FVM para Ra = 106 . . . . . . . . . . . . . 96
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0.1. Objetivo
El objetivo de este trabajo es investigar, implementar y comparar mediante casos
de referencia, dos mtodos de simulacin de dinmica de fluidos: Finite Volume
Method (FVM) y Lattice Boltzmann Method (LBM).
0.2. Justificacin
En la actualidad, las simulaciones de dinmica de fluidos son imprescindibles en
muchas industrias. Por ejemplo, en la industria aeronutica se utilizan las herramien-
tas de simulacin de dinmica de fluidos para determinar los coeficientes de fuerzas y
momentos de los modelos de diseo de las aeronaves con el fin de hacer que stas sean
ms eficientes enrgicamente. En la industria de las energas renovables se utilizan
para disear los labes de las elicas y hacer que stos sean eficientes. En la industria
automotora se utilizan para hacer que los coches tengan coeficientes de resistencia
pequeos y, por tanto, consuman menos combustible.
La herramientas de simulacin pueden estar basadas en diferentes mtodos. El
ms extendido en el mbito de la dinmica de fluidos es el mtodo de volmenes
finitos (FVM en siglas inglesas). Sin embargo, en el mbito cientfico hay investiga-
ciones continuas con el fin de descubrir nuevos mtodos de simulacin o mejorar los
existentes.
El mtodo de volmenes finitos es relativamente antiguo comparado con el m-
todo de Lattice Boltzmann (LBM en siglas inglesas). En los ltimos aos ha habido
mucho movimiento en la comunidad cientfica en el desarrollo terico del LBM.
0.3. Alcance
Para abordar el trabajo:
se presentarn las ecuaciones de Navier Stokes y sus adimensionalizaciones para
problemas de conveccin natural y conveccin forzada;
se presentar la teora sobre la cual se basa LBM;
se presentar la teora sobre la cual se basa FVM;
se implementarn y se compararn LBM y FVM para el caso de Driven Cavity
para diferentes nmeros de Reynolds;
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y se implementarn y se compararn LBM y FVM para el caso de Heated
Cavity para diferentes nmeros de Rayleigh.
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Captulo 1
Las ecuaciones de Navier Stokes
1.1. Ecuaciones integrales de conservacin
En primer lugar, se introduce un concepto muy importante llamado hiptesis
del medio continuo. La velocidad en un punto del espacio es indefinida en un medio
molecular, ya que sera cero en todo el tiempo excepto cuando una molcula ocupa
dicho punto, y entonces sera la velocidad de la molcula y no la velocidad media de la
vecindad de las molculas en el punto. Otro ejemplo es la densidad de un fluido. Por
definicin, la densidad es igual a un incremento de masa dividido por un incremento
del volumen. Si el volumen escogido es muy pequeo (de escala de molcula), la
densidad oscilar. Existe un volumen mnimo a partir del cual la propiedad deja
de oscilar y se vuelve continuo. Esta oscilacin de la densidad se representa en la
Figura (1.1). De manera similar se puede hablar de la presin. En un recipiente que
Figura 1.1: A partir de un cierto valor del volumen del elemento escogido, para evaluar ladensidad, la densidad deja de oscilar.
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contiene gas en equilibrio, el fluido ejerce presin en las paredes del recipiente, lo
que a nivel microscpico equivale a la fuerza de choque de las molculas con la pared
del recipiente. La presin se define como la fuerza normal dividida por la superficie.
Si la superficie escogida es muy pequea, el nmero de molculas que chocan con la
pared del recipiente es pequeo y por tanto se contemplar el choque individual de
las molculas haciendo que la presin sea una magnitud oscilante. Sin embargo, si se
escoge una superficie mayor, la presin se vuelve ms continua ya que el nmero de
molculas que impactan en dicha superficie es elevada.
Por motivos explicados anteriormente, la estructura molecular se reemplaza por
un medio hipottico llamado medio continuo. Esto supone que existen diferenciales
de volumen que engloban una vecindad de molculas. El diferencial de volumen tiene
las siguientes caractersticas:
es lo suficientemente grande como para albergar un nmero enorme de mol-
culas de forma que las fluctuaciones en las propiedades se anulen entre s;
es lo suficientemente pequeo como para que la propiedad pueda ser conside-
rada local.
Sistema aislado
Un sistema aislado es tal que no interacciona con el exterior, lo que implica
que el momento lineal, el momento angular y la energa permanecen constantes a
lo largo del tiempo. Sea un volumen material en el espacio que tiene un volumen
Figura 1.2: Representacin de un sistema aislado en el instante de tiempo t y t+ t.
Vm(t) y un contorno Sm(t). El material dentro del volumen puede estar dotado de
movimiento y, por tanto el volumen como el contorno pueden ir modificndose a lo
largo del tiempo. La propiedad que cumple dicho volumen material es que la masa
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que contiene se mantiene constante. Las ecuaciones que describen el comportamiento
del volumen material son las siguientes:
D
Dt
Vm(t)
dV = 0 Conservacin de la masa (1.1a)
D
Dt
Vm(t)
udV = 0 Conservacin del momento lineal (1.1b)
D
Dt
Vm(t)
r udV = 0 Conservacin del momento lineal (1.1c)D
Dt
Vm(t)
(u + ec) dV = 0 Conservacin de la energa (1.1d)
D
Dt
Vm(t)
sdV = Sgen 0 Segundo principio de la termodinmica (1.1e)
La notacin DDt indica que se trata de una derivada material (sustancial) y por tanto
se evala en un sistema Langrangiano. El planteamiento Lagrangiano fija una cierta
cantidad de masa y observa qu pasa con dicho material (planteamiento de volumen
material). En la ecuacin de la conservacin de la energa, la energa especfica se
separa en energa interna especfica u y en energa cintica especfica ec en [J/kg].
El segundo principio de la termodinmica, efectivamente, no es una ecuacin de
conservacin. Sgen es la entropa generada por unidad de tiempo, y conforme el
segundo principio de la termodinmica, dicha propiedad es positiva para un proceso
real y para un hipottico caso llamado proceso reversible, dicha magnitud vale cero.
Sistema cerrado
Un sistema cerrado es tal que no intercambia masa con el exterior pero s energa
mediante flujo de calor por radiacin, conduccin o bien, mediante la aplicacin de
una fuerza distribuida sobre el contorno o en el interior del mismo material. El volu-
men material puede interaccionar con el exterior mediante los siguientes mecanismos:
f (n) es el vector de tensiones, fuerza por unidad de superficie actuando en el
contorno del volumen material. Dicha fuerza depender del punto del contorno
y del vector normal al contorno n;
b es la fuerza interna msica, fuerza por unidad de volumen actuando dentro del
volumen material. En cada punto del volumen puede tener un valor diferente.
Un ejemplo de la fuerza interna es la de la gravedad que tendr un nico
componente (segn el criterio de seleccin del sistema de referencia).
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Figura 1.3: Representacin de un sistema cerrado en el instante de tiempo t y sus medios deinteraccin.
q es el flujo de calor por radiacin o conduccin a travs del contorno del
volumen material.
Las ecuaciones de conservacin para un sistema cerrado son:
D
Dt
Vm(t)
dV = 0 (1.2a)
D
Dt
Vm(t)
udV =
Sm(t)
f (n)dS +
Vm(t)
bdV (1.2b)
D
Dt
Vm(t)
r udV =Sm(t)
r f (n)dS +Vm(t)
r b (1.2c)D
Dt
Vm(t)
(u + ec) dV = Sm(t)
q ndS +Sm(t)
u f (n)dS +Vm(t)
u bdV
(1.2d)D
Dt
Vm(t)
sdV = Sm(t)
q nT
dS + Sgen 0 (1.2e)
En la ecuacin de energa, el primer trmino representa el flujo de energa debido
al flujo de calor por conduccin / radiacin. Cuando el producto escalar es positivo,
significa que el flujo sale del volumen de control y, por tanto, la energa del volumen
material disminuye y debe haber un signo negativo para indicar dicha disminucin.
El segundo trmino representa el trabajo por unidad de tiempo que se genera por el
hecho de tener una fuerza aplicada en un punto y que dicho punto tenga una cierta
velocidad. La potencia es positiva si la componente paralela de la fuerza sobre la
velocidad tiene el mismo sentido que la velocidad. El tercer trmino es la potencia
generada por las fuerzas msicas internas. Por ejemplo, en el caso de considerar la
fuerza de gravedad, cuando el volumen material cae, la fuerza de gravedad produce
una potencia positiva y por tanto la energa del volumen material va aumentando
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con el tiempo. Si hay un intercambio de calor, habr tambin un intercambio de
entropa. No hay intercambio de entropa por trabajo de fuerzas externas. Con el
segundo principio de la termodinmica, el trmino de la entropa generada sigue
siendo positivo, es decir la entropa generada puede aumentar o, en el caso de proceso
reversible, mantenerse constante, pero nunca puede disminuir.
Sistema abierto
Todas las ecuaciones de mecnica y termodinmica deducidas anteriormente se
refieren a volumen material. Es necesario deducirlas para un sistema abierto donde
s que pueda haber intercambio de masa. Un volumen de control es una zona del
espacio arbitraria que tiene una frontera y un volumen que pueden ir modificndose
de manera deseada. A diferencia del volumen material, el volumen de control no est
asociado a ninguna masa de material fija, sino a una cierta zona del espacio. Dicho
planteamiento es Euleriano, es decir, se fija una zona del espacio y se observa que pasa
en dicha zona. Para poder continuar es necesario introducir el Teorema de Transporte
Figura 1.4: Representacin de un sistema abierto en el instante de tiempo t en la que se vecmo la materia atraviesa a travs de su frontera.
de Reynolds. Se considera un volumen material y un volumen de control que en un
instante genrico t coinciden. En un instante posterior t + t, el volumen material
se mueve e incluso cambia su volumen debido a que el fluido que contiene puede ser
compresible, mientras que el volumen de control tambin puede ir modificndose con
una velocidad ub (definida en todos los puntos del contorno del volumen de control).
Se define una magnitud extensiva ; es la misma magnitud por unidad de masa del
fluido (dicha magnitud puede ser masa, momento lineal, energa, etc.). La relacin
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entre las dos magnitudes mencionadas anteriormente es la siguiente:
=
V (t)
dV (1.3)
La integral anterior se evala en el volumen de control en un cierto instante del
tiempo t. A continuacin se definen las siguientes magnitudes asociadas al volumen
material y al volumen control, siendo la nica diferencia entre ellas el instante y la
regin de integracin:
m =
Vm(t)
dV (1.4a)
+m =
Vm(t+t)
dV (1.4b)
a =
Va(t)
dV (1.4c)
+a =
Vm(t+t)
dV (1.4d)
En el instante inicial t, el volumen de control coincide con el volumen material
(m = a). La variacin de la magnitud durante el t ser:
m = +m m (1.5a)
a = +a a (1.5b)
A continuacin se define s, la cantidad que abandona el volumen de control, y e,
la cantidad que ingresa en el volumen de control durante el intrvalo t. Teniendo
estas definiciones en cuenta, se puede afirmar que:
+m = +a + s e (1.6)
Restando de los dos lados de la Ecuacin (1.6) m y a y teniendo en cuenta que
m = a (dado que en el instante inicial el volumen de control coincide con el
volumen material), se obtiene:
m = a + s e (1.7)
A continuacin se divide la ecuacin anterior por t y se evala el lmite cuando el
incremento del tiempo tiende a cero.
lmt0
mt
= lmt0
at
+ lmt0
s et
(1.8)
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El primer trmino corresponde a la derivada Lagrangiana ya que la derivada se evala
en el volumen material. El segundo trmino representa la derivada Euleriana ya que
se evala en el volumen de control. El ltimo trmino es el flujo de la cantidad
a travs de la superficie del volumen de control. Se obtiene la siguiente ecuacin
integral 1:
D
Dt
Vm(t)
dV =d
dt
Va(t)
dV +
Sa(t)
(u ub) ndS (1.9)
A continuacin, particularizando la magnitud a 1, u, u + ec y s, se obtienen las
ecuaciones integrales de conservacin de masa, momento lineal, energa y el segundo
principio de la termodinmica para un sistema abierto, respectivamente.
d
dt
Va(t)
dV +
Sa(t)
(u ub) ndS = 0 (1.10)
d
dt
Va(t)
udV +
Sa(t)
u (u ub) ndS =Sa(t)
f (n)dS +
Va(t)
bdV (1.11)
d
dt
Va(t)
(u + ec) dV +
Sa(t)
(u + ec) (u ub) ndS =
= Sa(t)
q ndS +Sa(t)
u f (n)dS +Va(t)
u bdV (1.12)
d
dt
Va(t)
sdV +
Sa(t)
s (u ub) ndS = Sm(t)
q nT
dS + Sgen (1.13)
1.2. Forma diferencial de las ecuaciones de conservacin
A partir de las ecuaciones de conservacin en forma integral se puede pasar a
forma diferencial utilizando teoremas matemticos (teorema de divergencia, etc.).
Pero su deduccin resulta ser poco intuitiva, as que se har de una forma diferente
aunque partiendo de la formulacin integral. Las deducciones se harn para el caso
bidimensional aunque su extensin a tres dimensiones es inmediata.1La notacin D
Dthace referencia a que la derivada se evala en un volumen material, y se llama
derivada material o sustancial (asociada a un volumen material), mientras que la notacin ddt
hace
referencia a que la derivada se evala en un volumen de control asociado a un sistema abierto, y
se llama derivada total (asociada a un volumen de control). Por ltimo, la notacin de derivada
parcial t
indica que la derivada se evala sobre un volumen de control esttico.
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Conservacin de la masa (continuidad)
Se escoge un volumen de control cuadrado esttico centrado en una cierta zona
del espacio tal y como se muestra en la Figura (1.5). A continuacin se aplica la
Figura 1.5: Representacin de un volumen de control diferencial bidimensional con los flujosde masa.
ecuacin de conservacin de masa integral (1.10). Al ser el volumen de control esttico
ub = 0, la derivada total se convierte en derivada parcial. Por otro lado, al ser el
volumen de control diferencial, hacer la integral es lo mismo que evaluar su valor.
Se introducen los trminos de flujos en las caras de entrada (mx)x y (my)y y se
aproximan linealmente los flujos en las caras de salida (mx)x+dx = (mx)x + mxx dx
y (my)y+dy = (my)y +myy dy. Por ltimo, teniendo en cuenta que mx = udydz,
my = vdxdz y dV = dxdydz, se obtiene la ecuacin diferencial de conservacin de
masa.
t+ (u)
x+ (v)
y= 0 (1.14)
siendo u y v las dos componentes de la velocidad en el sistema de referencia inercial.
Utilizando la notacin vectorial y extendiendo a un caso tridimensional, la expresin
anterior se convierte en:
t+ (u) = 0 (1.15)
Si la densidad no es homognea en el espacio pero s constante en los mismos puntos,
entonces el trmino transitorio desaparecer, pero al ser no homogneo, aunque no
haya variacin en el valor de la densidad en los mismos puntos, s que puede haber una
variacin de la densidad en el espacio y por tanto no se puede sacar la densidad del
operador de divergencia. Si el campo fluido es incompresible, la densidad no variar
en funcin del tiempo y tampoco en el espacio, y por tanto la Ecuacin (1.15) se
convierte en:
u = 0 (1.16)
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Conservacin del momento lineal
Se parte de la ecuacin de conservacin del momento lineal (1.11) particularizada
para la direccin x. El trmino de fuerzas superficiales se puede representar como
f (n) = n , siendo el tensor de tensiones que se puede separar en una parteisotrpica representando los esfuerzos normales pI (siendo I la matriz identidad yp la presin hidrosttica) y en una parte anisotrpica, con traza nula, representando
los esfuerzos tangenciales o viscosos . De esta manera:
= pI + (1.17)
Si el fluido es Newtoniano, existe una expresin para el tensor de esfuerzos tangen-
ciales para un problema de dimensin D (2 en el caso bidimensional y 3 en el caso
tridimensional):
= (u+ (u)T
) 2
D( u) I + v ( u) I (1.18)
siendo la viscosidad dinmica (o el primer coeficiente de viscosidad), el segundo
coeficiente de viscosidad y v el coeficiente de viscosidad volumtrica definida como
v = +23. La divergencia del tensor de esfuerzos tangenciales ser:
= u+ D 2D ( u) + v ( u) (1.19)
Segn la hiptesis de Stokes v = 0 y por tanto:
= u+ D 2D ( u) (1.20)
Se observa que el segundo trmino de la izquierda se anula cuando el flujo es incom-
presible o bien cuando se trata de un problema bidimensional.
Una vez discutido el trmino de fuerzas superficiales se utiliza el mismo procedi-
miento de evaluacin de flujos (en este caso el flujo de momento lineal en la direccin
x representados en la Figura (1.6)), y se obtiene la ecuacin del momento lineal para
la direccin x.
(u)
t+ (uu)
x+ (uv)
y= p
x+xxx
+yxy
+ bx (1.21)
Utilizando la notacin vectorial y extendiendo a un caso tridimensional la expresin
anterior se convierte en:
(u)
t+ (uu) = p+ + b (1.22)
17
-
Figura 1.6: Representacin de un volumen de control diferencial bidimensional con los flujosde momento lineal en la direccin x, junto a las tensiones que se ejercen en las caras delvolumen de control.
Si la variacin de la viscosidad es pequea en el dominio del espacio, entonces com-
binando la Ecuacin (1.22) con (1.19), se obtiene:
(u)
t+ (uu) = p+ u+ D 2
D ( u) + b (1.23)
Por otro lado, si el campo fluido es incompresible, la Ecuacin (1.23) se convierte en:
u
t+ (uu) = 1
p+ u+ b (1.24)
siendo la viscosidad cinemtica definida como = . Por ltimo, si se desprecia el
trmino de las fuerzas viscosas se obtiene la ecuacin de Euler:
(u)
t+ (uu) = p+ b (1.25)
Conservacin de la energa
De manera anloga, se puede obtener la ecuacin de conservacin de energa
diferencial a partir de la forma integral.
(u)
t+ (uu)
x+ (vu)
y= q
Cx
x q
Cy
y q
Rx
x q
Ry
y p
(u
x+v
y
)+
+xxu
x+ xy
v
x+ yx
u
y+ yy
v
y(1.26)
siendo qC y qR los flujos de calor por conduccin y radiacin, respectivamente.
Suponiendo que se trata de un gas semiperfecto (du = cvdT ) e introduciendo la
definicin de la conductividad trmica k = qCT con unidades de [W/(mK)] seobtiene:
cvT
t+ cvu T = (kT ) qR p u+ : u (1.27)
18
-
Normalmente se desprecia el ltimo trmino de la derecha de la Ecuacin (1.27),
que representa la disipacin de energa debida a los efectos viscosos. Si el medio es
transparente a la radiacin, tambin se puede despreciar el trmino de transferencia
de calor por radiacin.
1.2.1. Conveccin forzada
Se habla de conveccin forzada para referirse al mecanismo de transferencia de
energa y momentum producido por una fuerza externa (ventilador, bomba de suc-
cin, etc.). Dicho de otra forma, el movimiento del fluido en las condiciones de con-
torno vienen impuesto por una fuerza externa de velocidad o presin, y son las
responsables de la generacin del movimiento dentro del dominio del problema. Para
la formulacin matemtica se va a suponer que:
el medio es transparente a la radiacin;
la conductividad trmica es constante;
la viscosidad dinmica es constante;
la variacin de la densidad ref es suficientemente pequea como para que se
pueda considerar el flujo incompresible;
y que la nica fuerza fuerza volumtrica que acta es la gravitacional b = gey.
Teniendo todas las suposiciones anteriores en cuenta, las Ecuaciones (1.15), (1.22)
y (1.22) se convierten en:
u = 0 (1.28a)
refu
t+ ref (u )u = p+ u+ refg (1.28b)T
t+ (u )T = aT (1.28c)
siendo a = kref cp la difusividad trmica [m2/s], que es una relacin entra la capacidad
de conduccin y acumulacin del calor (por ejemplo si un material o fluido tiene una
difusividad trmica alta significa que transfiere el calor por conduccin rpidamente).
Con el fin de disminuir la cantidad de parmetros (densidad, viscosidad, etc.)
y por otro lado revelar la importancia de los diferentes trminos de las ecuaciones
que rigen el movimiento, se adimensionalizan las Ecuaciones (1.31). Para hacerlo se
19
-
definen las variables adimensionales: t = tt0 , siendo t0 un tiempo caracterstico del
problema, u = uU0 , siendo U0 una velocidad caracterstica del problema, r = rL0
siendo L0 una longitud caracterstica del problema, p = pp0p1p0 , siendo p0 y p1 dos
presiones caractersticas del problema y por ltimo T = TT0T1T0 , siendo T0 y T1 dos
temperaturas caractersticas del problema. Introduciendo las definiciones anteriores
en las Ecuaciones (1.31) se obtienen:
u = 0 (1.29a)L0U0t0
u
t+ (u )u = p1 p0
U20p +
U0L00u gL0
U20ey (1.29b)
L0U0t0
T
t+ (u )T = a
U0L0T (1.29c)
El trmino L0U0t0 es el nmero de Strouhal St =L0U0t0
, y es la relacin entre el tiempo
de residencia (el invertido por una partcula en recorrer la longitud caracterstica L0,
con la velocidad caracterstica U0) y el tiempo caracterstico (que podra ser, por
ejemplo, el periodo de oscilacin de la fuerza de sustentacin que opone un cilindro
dentro de un conducto). En los movimientos oscilatorios de alta frecuencia St 1, elmovimiento resulta ser isentrpico y con un balance entre la fuerza de inercia debida
a la aceleracin local y las fuerzas de presin. Los efectos viscosos quedan confinados
en la llamada capa de Stokes, muy delgada frente a la longitud caracterstica L0. El
caso lmite opuesto St 1, es el tpico del movimiento alrededor de aviones, el cualpuede tratarse como casiestacionario, si se utilizan ejes ligados al avin.
El trmino gL0U20
es la inversa al cuadrado del nmero de Froude Fr = U0gL0
y es la
relacin entre la energa cintica y la gravitatoria. En el movimiento del aire alrededor
de aviones y automviles el nmero de Froude es Fr 1 y la fuerza gravitatoria esdespreciable, lo que no es el caso de la hidrodinmica de buques, en la que Fr es del
orden de la unidad.
El trmino U0L00 es la inversa del nmero de Reynolds Re =U0L00
, que mide la
relacin entre las fuerzas de inercia convectivas y las viscosas. Sirve para caracterizar
los flujos laminares (Re pequeo) y turbulentos (Re grande).
El trmino p1p0U20
es el nmero de Euler Eu = p1p0U20
, y representa la relacin entre
la energa de presin y la energa cintica. Normalmente se utiliza para caracterizar la
prdida de carga en las tuberas o en los conductos. Cuando la diferencia de presiones
est asociada a la presin de vapor, se habla del nmero de Cavitacin Ca = p0pvU20
.
20
-
El trmino aU0L0 es la inversa del nmero de Peclet Pe =U0L0a que, a su vez,
es el producto de los nmeros de Reynolds y Prandtl, Pe = Pr Re. El nmero dePrandtl, Pr = a , es la relacin entre las difusividades viscosa y trmica. Si el nmero
de Prantdl es pequeo, el espesor de la capa lmite trmica es mayor que el de la
capa lmite de momentum.
Identificando los nmeros adimensionales en las Ecuaciones (1.29) se obtienen:
u = 0 (1.30a)
Stu
t+ (u )u = Eup + 1
Reu 1
Fr2ey (1.30b)
StT
t+ (u )T = 1
PeT (1.30c)
Si el problema a tratar carece de un tiempo caracterstico, se puede eliminar el nmero
de Strouhal definiendo el tiempo caracterstico como t0 = L0/U0. De manera anloga,
si el problema carece de una diferencia de presiones caracterstico, se puede eliminar
el nmero de Euler adimensionalizando la presin mediante la expresin p0 = 0U20 .
Si se eliminan los nmeros de Euler y Strouhal, se puede ver que los dos principales
parmetros en conveccin forzada son los nmeros de Reynolds y Peclet (o Prandtl).
1.2.2. Conveccin natural
Se habla de conveccin natural para referirse al mecanismo de transferencia de
energa y momentum producido por la diferencia de densidad en el fluido que, a su
vez, es causada debido al gradiente de temperatura impuesto. El fluido recibe calor
y, debido a que aumenta su temperatura, la densidad baja y se eleva respecto a la
masa de fluido con densidad mayor. Al elevarse la masa, el fluido de mayor densidad
ocupa el lugar de la masa de fluido de menor densidad. De esta forma, se forma el
flujo de conveccin natural. La fuerza que hace posible esto es la fuerza de flota-
cin. Es normal pensar que, al haber una variacin en la densidad, se tendran que
utilizar las ecuaciones de Navier-Stokes compresibles. Sin embargo, esto complica-
ra mucho la solucin numrica ya que la ecuaciones se vuelven ms complicadas y
adems se establece un acoplamiento entre la ecuacin de energa y la de momen-
tum. Para facilitar la resolucin se introduce la aproximacin de Boussinesq. Si la
variacin de la densidad no es muy grande, se pueden utilizar las mismas ecuaciones
de Navier-Stokes incompresibles pero haciendo que la densidad que aparece junto al
trmino de las fuerzas volumtricas (gravitatorias) sea funcin de la temperatura.
21
-
Esta aproximacin puede introducir errores de orden del 1 % si la diferencia entre
la temperatura mxima y mnima (T1 T0) est por debajo de 2 C para agua ypor debajo de 15 C para el aire [18]. Para encontrar la expresin de la variacin
de la densidad en funcin de la temperatura se define el coeficiente de expansin
volumtrica a presin constante:
=
( 1T
)p=cte.
(1.31)
Suponiendo que las desviaciones de la densidad y de la temperatura respecto a los
valores de referencia son pequeas, se puede aproximar la Ecuacin (1.31) de la
siguiente manera:
(
1 10T T0
)= = 0 (1 (T T0)) (1.32)
Teniendo en cuenta la Ecuacin (1.32) y definiendo el tiempo y presin caractersticos
como t0 = L0/U0 y p0 = 0U20 , respectivamente, se obtienen las siguientes ecuaciones
adimensionales:
u = 0 (1.33a)u
t+ (u )u = p +
U0L00u +
gL0 (T T0)U20
T ey (1.33b)
T
t+ (u )T = a
U0L0T (1.33c)
La nica novedad en la ecuacin anterior es el ltimo trmino de la derecha de la
ecuacin de momentum. Se puede ver fcilmente que el trmino gL0(TT0)U20
es el
nmero de Grashof dividido por el cuadrado del nmero de Reynolds. El nmero
de Grashof, Gr = gL30(T1T0)2
, representa la relacin entre la fuerza de flotacin y
la fuerza producida por la viscosidad. Para acabar, el nmero de Rayleigh se define
como el producto del nmero de Grashof y el nmero de Prandtl Ra = Pr Gr.Es evidente que en conveccin natural no habr una velocidad de referencia (ca-
racterstico del problema) U0 y por este motivo se define la velocidad caracterstica
como U0 = a/L0, teniendo unidades de velocidad. Teniendo esto en cuenta, el n-
mero de Reynolds desaparece de la ecuacin de momentum y el nmero de Peclet
22
-
tambin desparece de la ecuacin de energa. Se obtienen las siguientes ecuaciones:
u = 0 (1.34a)u
t+ (u )u = p + Pru + Ra PrT ey (1.34b)
T
t+ (u )T = T (1.34c)
Se puede ver que los dos principales parmetros en conveccin natural son los nmeros
de Prandtl y Rayleigh.
23
-
Captulo 2
Lattice Boltzmann Method (LBM)
2.1. La Ecuacin Continua de Boltzmann
Se puede caracterizar el estado de una partcula en el espacio mediante su vector
posicin r y su vector momentum o velocidad .
A continuacin se introduce el espacio de fases , que se define como un espacio
6-dimensional que est formado por las coordenadas de vector posicin y vector
velocidad, es decir, (r,). Un punto en dicho espacio representa el estado de una
partcula en un cierto instante de tiempo. Por tanto, el estado del sistema fsico
formado por N partculas en un cierto instante de tiempo quedar caracterizado por
N puntos en el espacio de fases. Las partculas interaccionan entre ellas y, por tanto,
a medida que avanza el tiempo, los N puntos en el espacio de fases irn movindose.
La idea principal de Boltzmann era que, en general, no es imprescindible conocer
el movimiento de cada partcula en detalle. Ms bien, es ms til el concepto de la
funcin de distribucin f(r, , t). Dicha funcin se define de tal manera que la canti-
dad f(r, , t)d3rd3 (siendo d3r un volumen en el espacio fsico y d3 un volumen en
espacio de velocidades1) representa la cantidad de partculas existentes en el volumen
6-dimensional del espacio de fases d3rd3 centrado en el punto (r,) en el instante
t. En la Figura (2.1) se representa esquemticamente un espacio 2-dimensional de
fases y un volumen en dicho espacio. Por tanto, la cantidad f(r, , t)d3rd3 por de-
finicin indica la cantidad de partculas que tienen su estado (posicin y velocidad)
comprendido en el volumen dibujado en la Figura (2.1).
El objetivo principal es encontrar la dinmica que rige la funcin de distribucin.1Si r = (x, y, z) entonces d3r = dxdydz, mientras que si = (xyz) entonces d3 = dxdydz
24
-
Figura 2.1: Representacin del espacio de fases y un volumen de dicho espacio para un ciertoinstante del tiempo. La grfica es ilustrativa y no representa la realidad ya que se tendraque dibujar en un espacio 6-dimensional.
Evidentemente la funcin de distribucin cambia con el tiempo ya que las partculas
entran y salen de los volmenes en el espacio . Si se supone la ausencia de colisiones,
una molculas en instante t con coordenadas en el espacio (r,)t se mover a otro
punto en el espacio (r,)t+t en el instante t+ t, siendo:
r = r + t (2.1a)
= + Ft
m(2.1b)
siendo F las fuerzas externas que actan sobre la partcula y m su masa. El intervalo
t se define de tal manera que es mayor que el Tiempo de Colisin Medio (la mayora
de las colisiones duran t). Sin embargo, t debe ser ms pequeo que el Tiempo de
Recorrido Medio (el tiempo medio que tarda una partcula que acaba de tener una
colisin en colisionar con otra partcula).
Con la ausencia de colisiones se puede afirmar que la cantidad de partculas en el
volumen d3rd3 en el instante t ser igual a la cantidad de partculas en el volumen
d3rd3 para el instante t+ t. Escrito dicha igualdad de forma matemtica resulta:
f(r, , t)d3rd3 = f
(r + t, + F
t
m, t
)d3rd3 (2.2)
En el caso de la presencia de colisiones, la cantidad:
f(r, , t)d3rd3 f(r + t, + F
t
m, t
)d3rd3 = C (2.3)
25
-
representa la cantidad de partculas que entran en el volumen d3rd3 menos la can-
tidad de partculas que salen del volumen d3rd3 causadas por las colisiones durante
el intervalo de tiempo t. A continuacin, se define el trmino de colisin[ft
]cde
la siguiente manera: [f
t
]c
d3rd3 = C (2.4)
Se puede relacionar el volumen d3rd3 con el volumen d3rd3 calculando el deter-
minante de la matriz Jacobiana J de la transformacin:
d3rd3 = |J |d3rd3 (2.5)
Para calcular el determinante se supone que la fuerza exterior F puede ser funcin
del vector de posicin y del vector de velocidad microscpica. De esta manera la
matriz Jacobiana resulta ser:
|J | = (r, )
(r, )=
1 0 0 t 0 0
0 1 0 0 t 0
0 0 1 0 0 tFxrx
tm
Fxry
tm
Fxrz
tm 1 +
Fxx
tm
Fxy
tm
Fxz
tm
Fyrx
tm
Fyry
tm
Fyrz
tm
Fyx
tm 1 +
Fyy
tm
Fyz
tm
Fzrx
tm
Fzry
tm
Fzrz
tm
Fzx
tm
Fzy
tm 1 +
Fzz
tm
(2.6)
Calculando el determinante de la matriz J y quedndose con los trminos de primer
orden en t se obtiene el siguiente resultado:
|J | = 1 + F t
m+O
(t2)
(2.7)
En la Ecuacin (2.7), la expresin representa el gradiente respecto la velocidad.
Tambin se introduce la notacin r , que representa el gradiente respecto la posi-
cin2.
A continuacin se expande el trmino f(r, , t)d3rd3 = f(r + t, + F tm , t
)en series de Taylor hasta el primer orden en t:
f
(r + t, + F
t
m, t
)= f(r, , t)+t f
r
(r,,t)
+Ft
m f
(r,,t)
+tf
t
(r,,t)
+O(t2)
(2.8)
2 r r =
(x, y, z
)y =
(x
, y
, z
)26
-
Introduciendo las Ecuaciones (2.4,2.5,2.7) dentro de la Ecuacin (2.3), dividiendo
por t y evaluando el lmite cuando t 0, se obtiene la conocida ecuacin deBoltzmann:
f(r, , t)
t+ rf(r, , t) + 1
m (F f(r, , t)) =
[f
t
]c
(2.9)
En el caso en el que la fuerza externa F no sea funcin de la velocidad de las
partculas, como por ejemplo en el caso de la fuerza de gravitacin, la Ecuacin (2.9)
se simplifica obteniendo la siguiente ecuacin:[
t+ r + F
m
]f(r, , t) =
[f
t
]c
(2.10)
Se trata de una ecuacin integrodiferencial donde el trmino de colisin, como se
ver ms adelante, es una ecuacin integral. Otra caracterstica importante es la
linealidad del trmino de conveccin que, a diferencia de las Ecuaciones de Navier
Stokes, es lineal.
En un intervalo de tiempo t pueden ocurrir colisiones entre las partculas origi-
nalmente en d3rd3, que arrojan molculas fuera del volumen. Pero tambin pueden
haber colisiones en los volmenes vecinos que pueden mandar partculas al interior
del d3rd3. De esta manera se separa el trmino de colisiones en dos contribuciones:
Q [f
t
]c
=
[f
t
]+c
[f
t
]c
(2.11)
siendo[ft
]+c
la parte correspondiente a la ganancia de partculas y[ft
]+c
la parte
correspondiente a la prdida de partculas.
El hecho de que tenga lugar una colisin entre dos partculas significa que ambas
deben ocupar una cierta configuracin en el espacio simultneamente en el instante
de tiempo t. Por ejemplo, deben ocupar posiciones r1 y r1, y deben tener velocida-
des 1 y 2. Para que ocurra una colisin la distancia entre ambas debe ser menor
o igual al alcance del potencial de interaccin y las velocidades tambin deben tener
direcciones apropiadas. El nmero total de partculas con las caractersticas descri-
tas anteriormente proviene de la funcin de distribucin binaria, f2(r1, r2, 1, 2, t).
Para poder avanzar, se introduce lo que se llama la hiptesis del caos molecular o
Stosszahlansatz (hiptesis sobre el nmero de colisiones) [1, 2]. La hiptesis supone
que la presencia de ambas partculas, en las condiciones apropiadas para la colisin,
solamente depende de la posicin y que es el producto de dos eventos totalmente
27
-
independientes. Al suponer esto, se suprimen todas las correlaciones entre las mo-
lculas. En otras palabras, las molculas que intervienen en una colisin no han
colisionado nunca ni lo harn en el futuro. Escrita la hiptesis del caos molecular
matemticamente resulta:
f2(r1, r2, 1, 2, t) = f(r, 1, t)f(r, 2, t) (2.12)
En [3, 4, 5] se puede encontrar la deduccin del trmino de colisiones:
Q(f, f) =
[f(r, 1, t)f(r,
2, t) f(r, 1, t)f(r, 2, t)
]()rdd
32 (2.13)
siendo 1, 2 las velocidades de las partculas antes de la colisin, 1,
2 las veloci-
dades despus de la colisin, () la seccin eficaz de colisin, el ngulo slido y
r el mdulo de la velocidad relativa antes de la colisin. El hecho de escribir Q(f, f)
en vez de Q(f) sirve para remarcar que el trmino de colisin no es lineal (segundo
grado de no linealidad).
Se supone que cuando se deja evolucionar infinitamente el sistema, ste alcanza
el estado de equilibrio caracterizado por la funcin de distribucin de equilibrio g
definida como un estado en el que el trmino de colisiones se anula. Esto significa que
la prdida de partculas es igual a la ganancia de partculas durante las colisiones,
y no significa precisamente que no haya colisiones. De esta manera, si Q(g, g) = 0
implica que:
g(r, 1)g(r, 2) = g(r, 1)g(r, 2) (2.14)
A continuacin se evala el logaritmo en ambos lados de la Ecuacin (2.14) y se
obtiene:
ln(g(r, 1)) + ln(g(r, 2)) = ln(g(r, 1)) + ln(g(r, 2)) (2.15)
En [5], la funcin ln(g) que cumple la Ecuacin (2.15) recibe el nombre de invariante
respecto la suma y debe ser de la siguiente forma:
ln(g) = A+B + C ||2 (2.16)
siendo A y C constantes y B un vector de la misma dimensin que el vector de
velocidad. Para demostrar la condicin de suficiencia de la Ecuacin (2.16) para
cumplir la Ecuacin (2.15), nicamente hace falta tener en cuenta que el proceso
de colisin es elstico y por tanto, tanto el momentum como la energa cintica se
conservan ( 1 + 2 = 1 +
2 y |1|2 + |2|2 =
12 + 22, donde se ha supuesto28
-
que todas la partculas tienen la misma masa). Demostrar la condicin necesaria ya
no es tan trivial y se puede encontrar en [5].
A continuacin se definen , y de la siguiente manera: A = ln() ||2,B = 2 y C = . Introduciendo las definiciones anteriores en la Ecuacin (2.16)se obtiene la funcin de distribucin de equilibrio local:
g = exp( | |2
)(2.17)
Para determinar las constantes , y se aplicaran las leyes de conservacin, las
cuales sern introducidas ms adelante.
Segn el trabajo de Bhatnager, Gross & Krook (BGK) 1954 [7], el trmino de
colisin se interpreta como un proceso de relajacin hasta el estado de equilibrio
local g. Dicho de otra forma, la variacin de la funcin de distribucin f debida a la
colisin es proporcional a la diferencia del estado de equilibrio local y el estado actual
del sistema. El parmetro de proporcionalidad se introduce mediante el tiempo de
relajacin , que es una funcin compleja de la funcin de distribucin (tambin se
habla del tiempo de relajacin adimensional y de la frecuencia de relajacin adimen-
sional = t y =t , respectivamente). Por tanto, el trmino de colisin se escribe
como:
Q(f) [f
t
]c
= 1
(f g) (2.18)
A continuacin se va a deducir una propiedad muy importante que debe cumplir
el trmino de colisin. Para ello se multiplica el trmino de colisin Q(f, f) por
una funcin escalar arbitraria (r, , t) y se integra en todo el rango de velocidades
microscpicas, y tal y como se demuestra en [5], da el siguiente resultado:
(r, , t)Q(f, f)d3 =
[f
t
]c
d3 =1
4
(2+121)[f
t
]c
d3
(2.19)
De la anterior expresin se deduce que, en el caso de que la funcin arbitraria sea
una combinacin lineal de las invariantes de colisin, la Ecuacin (2.19) se anula:
(r, , t) = A+B + C ||2 =
(r, , t)Q(f, f)d3 = 0 (2.20)
En el caso de suponer el tiempo de relajacin constante, el trmino de colisin
BGK Q(f) de la Ecuacin (2.18) tambin debe cumplir la Ecuacin (2.20), con lo
29
-
cual:
(r, , t) = A+B + C ||2BGK con = constante
}=
gd3 =
fd3 (2.21)
La Ecuacin (2.21) indica que los momentos3 de la Ecuacin de Boltzmann se pueden
evaluar tanto respecto la funcin de distribucin f , como respecto la funcin de
distribucin de equilibrio g.
La funcin de distribucin es una variable primaria y a partir de ella se deben
calcular las propiedades macroscpicas, que son de ms utilidad. Una propiedad
macroscpica, en un punto del dominio fsico en un cierto instante de tiempo, se
define como el promedio en todo el rango de velocidades microscpicas de la funcin
de distribucin. Cabe mencionar que, una vez evaluado el momento de la funcin de
distribucin, el resultado obtenido deja de ser funcin de la velocidad microscpica.
A continuacin se definen las siguientes cantidades macroscpicas:
Densidad de masa[kgm3
]
(r, t) =
mf(r, , t)d3 (2.22)
Densidad de momentum[kgm3
(ms
)]
(r, t)u(r, t) =
mf(r, , t)d3 (2.23)
Densidad de energa total[kgm3
(ms
)2]
(r, t)e(r, t) =1
2
m ||2 f(r, , t)d3 (2.24)
La velocidad peculiar C = u, es la velocidad de la partcula medida por unobservador que se encuentra en una referencia que se mueve a la velocidad macros-
cpica. Teniendo la definicin anterior en cuenta, se demuestra que la densidad de
energa total se puede separar en la densidad de energa cintica macroscpica y la3La expresin general del momento de grado n en el caso de tener una nica variable x es
Mn =Axnf(x)dx siendo A una constante.
30
-
densidad de energa interna definida con la velocidad peculiar:
e =1
2
m |C|2 f(r, , t)d3 + 12 |u|2 (2.25)
En la deduccin anterior se ha utilizado el hecho de que:
m |C| f(r, , t)d3 = |u| |u| = 0 (2.26)
Tensor de presin
pij(r, t) =
mCiCjf(r, , t)d3 (2.27)
El tensor de tensiones ij se define con el signo negativo del tensor de presin (ij =
pij). La presin hidrosttica se define como un tercio de la traza del tensor depresin, es decir:
p(r, t) =1
3tr(p) =
1
3
m |C|2 f(r, , t)d3 (2.28)
El tensor de tensiones ij se puede dividir en una parte isotrpica (esfuerzos norma-
les) pij , siendo p la presin hidrosttica, y en una parte anisotrpica (esfuerzostangenciales) con traza nula ij .
ij = pij + ij (2.29)
Comparando la Ecuacin (2.28) con la Ecuacin (2.25) se observa que hay una rela-
cin entre la presin hidrosttica y la densidad de energa interna:
p(r, t) =2
3(r, t)(r, t) (2.30)
A continuacin se utiliza la ecuacin de estado de gases ideales p = nkBT (siendo n
la cantidad de partculas por unidad de volumen y kB la constante de Boltzmann)
para obtener una expresin para la temperatura:
T (r, t) =2
3
m
kB(r, t) (2.31)
Tensor de segundo orden (second order momentum flux tensor)
ij =
mijf(r, , t)d3 (2.32)
31
-
Utilizando la definicin del tensor de tensiones se demuestra que:
ij = ij + uiuj (2.33)
Flujo de calor
qi(r, t) =1
2
m |C|2Cif(r, , t)d3 (2.34)
A continuacin se va a deducir la Ecuacin de Transferencia, que permitir recu-
perar las leyes de conservacin de las propiedades macroscpicas. La multiplicacin
de la Ecuacin de Boltzmann (2.10) por una funcin escalar arbitraria (r, , t) y la
integracin de la ecuacin en todo el rango de las velocidades microscpicas, da el
siguiente resultado:
f
td3 +
( rf)d3 +
(F
m f
)d3 =
[f
t
]c
d3
(2.35)
A continuacin se desarrollan los diferentes trminos de la Ecuacin (2.35) utilizando
la regla de la cadena:
t
fd3 =
tfd3 +
f
td3 (2.36a)
r
fd3 =
( r) fd3 +
( rf)d3 (2.36b)
F
mfd3 =
(F
m
)fd3 +
(F
m f
)d3 (2.36c)
Introduciendo las Ecuaciones (2.36) en la Ecuacin (2.35) queda de la siguiente
manera:
t
fd3 +r
fd3 +
F
mfd3
[
t+ ( r) +
(F
m
)]fd3 =
[f
t
]c
d3 (2.37)
32
-
Se aplica el teorema de divergencia4 al tercer trmino de la izquierda de la Ecua-
cin (2.37):
F
mfd3 =
S
F
m nfdS 0 (2.38)
En la Ecuacin (2.38) la integral se evala sobre el contorno del espacio de veloci-
dades, siendo n y dS el vector normal unitario y el elemento de superficie de dicho
contorno, respectivamente. La integral tiene un valor aproximadamente nulo ya que
la funcin de distribucin decrece rpidamente para los valores grandes de la velo-
cidad microscpica, que es precisamente lo que pasa en el contorno del espacio de
velocidades.
En [5] se demuestra que el trmino de colisiones de la Ecuacin (2.37) se puede
escribir de la siguiente manera:
[f
t
]c
d3 =1
4
(2 + 1 2 1)[f
t
]c
d3 (2.39)
siendo 1 y 2 el valor de la funcin para las partculas antes de la colisin, y 1y 2 el valor de la funcin despus de la colisin binaria.
A continuacin se definen las siguientes magnitudes:
=
fd3 =
Cd3 S =
(Fm
)fd3
P = P1 + P2 P1 =
[t + ( r)
]fd3
P2 =14
(2 + 1 2 1)[ft
]cd3
(2.40)
Introduciendo las definiciones en la Ecuacin (2.37) se obtiene la Ecuacin de Trans-
ferencia:
t+r (u+ ) = S + P (2.41)
Escogiendo de forma apropiada la funcin se pueden obtener las leyes de con-
servacin macroscpicas:4El teorema de divergencia relaciona la integral de la divergencia de un campo vectorial sobre
un voumen con la integral sobre su frontera .
a =
(a n) dS
siendo n el vector normal a la frontera y dS un elemento diferencial de superficie en la frontera.
33
-
Conservacin de la masa: = m
Al particularizar = m, la cantidad representa la densidad. El trmino
se anula ya que = u u. El trmino fuente S tambin se anula ya queel gradiente de una constante es 0. Por otro lado, los trminos de produccin
tambin son 0, ya que en P1 tanto la derivada respecto el tiempo como el
gradiente de una constante son 0 y, por ltimo, P2 es 0 ya que la masa es
un invariante de colisin. Teniendo todo lo dicho anteriormente en cuenta, se
obtiene la ecuacin de continuidad macroscpica:
t+r (u) = 0 (2.42)
Conservacin del momento lineal (componente i): = mi
Al particularizar = mi en la Ecuacin (2.41), la cantidad representa el
momento lineal ui, representa una parte del tensor de presiones pi definida
como(pi1 pi2 pi3
)T, S representa el trmino de fuerzas externas Fi, P2
vale 0 ya que el momento lineal es un invariante de colisin y, por ltimo, P1tambin vale 0.
(ui)
t+r (uiu+ pi) = Fi (2.43)
Al tener en cuenta todos los componentes de la velocidad microscpica se ob-
tiene una ecuacin vectorial.
(u)
t+r (uu) = r + F (2.44)
Conservacin de la energa: = m||2/2De manera anloga a los dos casos anteriores, se obtiene la siguiente ecuacin
escalar:
t
[
(+
1
2|u|2
)]+r
(
(+
1
2|u|2
)u+ q + pu
)= F u (2.45)
Ahora que se conoce como calcular las propiedades macroscpicas se procede a
determinar las constantes , y de la funcin de distribucin de equilibrio (2.17).
Para hacerlo se utiliza la propiedad (2.21), de manera que se evalan la densidad
de masa, la densidad de momentum y la densidad de energa interna utilizando la
34
-
funcin de distribucin de equilibrio. 5
=
m exp( | |2
)dD = m
(pi
)D2
(2.46a)
u =
m exp( | |2
)dD = m
(pi
)D2
(2.46b)
=1
2
m ||2 exp( | |2
)dD =
3
4mpi
D2
D2 1 (2.46c)
siendo D la dimensin del problema (2 en caso bidimensional y 3 en caso tridimen-
sional). Comparando las dos primeras ecuaciones resulta ser que = m(pi
)D2 y
= u. Por ltimo, combinando la tercera ecuacin con la Ecuacin (2.31) se obtiene
= 12RT , donde se ha introducido la definicin de la constante del gas R =kBm .
Finalmente la Ecuacin de Distribuacin de Equilibrio local queda de la siguiente
manera:
g =
m (2piRT )D/2e|u|2
2RT (2.47)
2.2. Modelos de LBM
El Mtodo de Lattice Boltzmann (LBM) se fundamenta en la discretizacin del
espacio de velocidades de la Ecuacin continua de Boltzmann (2.10). Para poder
implementarlo es necesario tambin una discretizacin en el espacio y en el tiempo.
En esta seccin se van a discutir los dos principales mtodos de discretizacin del
espacio de velocidades (SRT y MRT). Se utilizar la notacin DDQq para designar
el modelo de discretizacin, siendo la segunda D el nmero de dimensiones y q la
cantidad de velocidades discretas.
2.2.1. Single Relaxation Time (SRT)
El modelo con un nico parmetro de relajacin o SRT, se basa en la utilizacin de
la Ecuacin de Boltzmann (2.10) con el trmino de colisin BGK (2.18), y suponiendo5Para resolver las integrales es de utilidad hacer el cambio de variable x = y utili-
zar los siguientes resultados para las integrales impropias:
exdx =
pi,
xexdx = 0 y
x2exdx = 12
pi3
.
35
-
que el tiempo de relajacin es constante. Las deducciones que se hacen en este
apartado para construir los diferentes modelos se basan en el trabajo de Li-Shi Luo
expuesto en [8], quien es el primero en obtener las ecuaciones del LBM a partir de
la Ecuacin continua de Boltzmann.
En este apartado se va a deducir el modelo D2Q9, el cual es el ms utilizado para
el caso bidimensional. Para el caso tridimensional se utiliza con mucha frecuencia el
modelo D3Q19.
Se parte de la ecuacin continua de Boltzmann (2.10), sin trmino de fuerzas
externas y utilizando el trmino de colisin BGK (2.18), y se transforma en una
ecuacin diferencial ordinaria (EDO) utilizando la derivada a lo largo de la lnea
caracterstica : ddt t + .
df
dt+
1
f =
1
g (2.48)
Seguidamente, se integra la Ecuacin (2.48) entre 0 y t. Se queda con los trminos
de hasta el orden 1 en t y de esta manera se obtiene la ecuacin de evolucin de la
funcin de distribucin en tiempo discreto.
f (r + t, , t+ t) f(r, , t) = 1
(f(r, , t) g(r, , t)) +O (t2) (2.49)Para evaluar g es necesario calcular las propiedades macroscpicas evaluando
los momentos de la funcin de distribucin , u y e de forma exacta utilizando
mtodos de cuadratura. Para ello se desarrolla en series de Taylor6 la Funcin de
Distribucin de Equilibrio (2.47), y se queda con los trminos de hasta orden 2 de
|u|.f (eq) =
m (2piRT )D/2e||22RT
{1 +
uRT
+( u)22 (RT )2
|u|2
2RT
}(2.50)
La aproximacin anterior limita el nmero de Mach y hace imposible realizar simu-
laciones con nmeros de Mach altos.
De esta forma, el objetivo de la discretizacin del espacio de velocidades es poder6Teniendo en cuenta que | u|2 = ||2 + |u|2 2 u
36
-
evaluar fcilmente y de manera exacta los momentos de la funcin de distribucin:
(r, t) =
q1=0
Wf(eq)(r, , t) =
q1=0
f (eq) (r, t) (2.51a)
(r, t)u (r, t) =
q1=0
Wf(eq)(r, , t) =
q1=0
f(eq) (r, t) (2.51b)
(r, t) e (r, t) =
q1=0
| u|2Wf (eq)(r, , t) =q1=0
| u|2 f (eq) (r, t) (2.51c)
A continuacin se van a deducir las ecuaciones que rigen el modelo de discretiza-
cin D2Q9. Para ello se define la expresin general del momento respecto la funcin
de distribucin de equilibrio I =
() f (eq)d2 y, teniendo en cuenta que la fun-
cin puede ser de forma m,n () = mx ny , se obtiene el siguiente resultado para el
momento:
Im,n =
2piRT
mx ny e ||2
2RT
{1 +
uRT
+( u)22 (RT )2
|u|2
2RT
}d2 (2.52)
Introduciendo el cambio de variable = 2RT
, y definiendo Im =
me2d, la
Ecuacin (2.52) se escribe como:
Im,n =
2piRT
(2RT
)m+n{(1 |u|
2
2RT
)ImIn +
22RT
(uIm+1In + vImIn+1) +
+1
RT
(u2Im+2In + v
2ImIn+2 + 2uvIm+1In+1)}(2.53)
La cuadratura de Hermite de orden 3 es la ms adecuada para evaluar de forma
exacta la integral Im:
Im =
me2d =
3k=1
kmk (2.54)
siendo k y k el peso y la abscisa de la cuadratura recogidas en la siguiente tabla:
k 1 2 3
kpi
62pi
3
pi
6
k
32 0
32
Tabla 2.1: Cuadratura de Hermite de orden 3.
37
-
Introduciendo la Ecuacin (2.54) en la Ecuacin (2.53) y agrupando trminos, se
obtiene la siguiente ecuacin:
Im,n =
3k=1
3l=1
piklm,n;k,l
{1 |u|
2
2RT+
(k,l u
)RT
+
(k,l u
)22 (RT )2
}(2.55)
siendo m,n;k,l = mx,kny,l y k,l = (x,k, y,l). Para simplificar la notacin en vez
de utilizar un doble sumatorio se reduce a un nico sumatorio de nueve elementos
coincidentes con la cantidad de velocidades discretas:
Im,n =8
=0
pim,n;w
{1 |u|
2
2RT+
( u)RT
+( u)22 (RT )2
}(2.56)
siendo las velocidades discretas representadas en la Tabla (2.2) y w los pesos
asociados.
w =klpi
=
49 k = l = 2 = 019 k = 1, l = 2; k = 2, l = 1; ... = 1, 2, 3, 4136 k = l = 1; k = l = 3; ... = 5, 6, 7, 8
(2.57)
0 1 2 3 4 5 6 7 8
,x 0
3RT 0 3RT 0 3RT 3RT 3RT 3RT,y 0 0
3RT 0 3RT 3RT 3RT 3RT 3RT
Tabla 2.2: Representacin de los componentes de las velocidades discretas del modelo D2Q9.
En la Figura (2.2) se representan las velocidades discretas.
Figura 2.2: Representacin del modelo de discretizacin D2Q9 del espacio de velocidades.Se representan los vectores de velocidad discretos.
38
-
A continuacin se define la velocidad de la luz como c xt , que en este caso valec =
3RT . Por otro lado, se define la velocidad del sonido7 cs = p =RT .
Identificando trminos de la Ecuacin (2.56) e introduciendo la definicin de la
velocidad de la luz se obtiene la distribucin de equilibrio discretizada (en la cual se
hace un cambio de notacin para indicar las velocidades discretas e):
f (eq) = w
{1 +
3 (e u)c2
+9 (e u)2
2c4 3 |u|
2
2c2
}(2.58)
A continuacin se resumen las ecuaciones del modelo SRT para el modelo D2Q9:
f (r + et, t+ t) f(r, t) = 1
(f(r, t) f (eq) (r, t)
)(2.59a)
f (eq) = w
{1 +
3 (e u)c2
+9 (e u)2
2c4 3 |u|
2
2c2
}(2.59b)
(r, t) =
8=0
f(r, t) (2.59c)
(r, t)u (r, t) =
8=0
ef(r, t) (2.59d)
Expansin multiescala de Chapman-Enskog
Llegados a este punto queda an una pregunta importante sin responder: cmo
se sabe que las Ecuaciones (2.59) son equivalentes a las ecuaciones de Navier Stokes?
Para responder a esta pregunta se utilizar la expansin multiescala de Chapman-
Enskog que, bsicamente, relaciona el tiempo de relajacin del trmino de colisin
BGK con las propiedades macroscpicas del fluido. La idea bsica de la expansin
de Chapman-Enskog es separar la funcin de distribucin y sus derivadas respecto7Suponiendo la validez de la ecuacin del gas ideal (p = RT ) y suponiendo que el gas es
isentrpico ( p
= cte.) se obtiene cs = p =RT , mientras que si se supone que el gas es
isotrmico (T = cte.) se obtiene cs = p =RT
39
-
el tiempo y el espacio en diferentes escalas caracterizadas por su orden de magnitud.
f =n=0
nf (n) (2.60)
t=
n=1
n
t(n)(2.61)
rj=n=1
n
r(n)j
(2.62)
siendo un parmetro adimensional para caracterizar el orden de magnitud del
trmino. El primer trmino f (0) es por definicin el estado de equilibrio f(eq) y, como
consecuencia, el resto de trminos caracterizan el estado de no equilibrio. Respecto a
las derivadas, en vez de coger infinitos trminos, es lgico pensar que en el dominio
del espacio hace falta considerar nicamente una escala, mientras que en el dominio
del tiempo s que hace faltar tener en cuenta ms escalas para diferenciar las escalas
rpidas de las lentas. Finalmente se escogen una escala en el dominio del espacio y
dos escalas en el dominio del tiempo quedando las derivadas de la siguiente manera:
t=
t(1)+ 2
t(2)(2.63)
rj=
r(1)j
(2.64)
Para empezar, se desarrolla en serie de Taylor el trmino f (r + t, t+ t) y se
desprecian los trminos superiores o iguales a t3:
f (r + et, t+ t) = f (r, t) + t
(
t+ e r
)f (r, t) +
+(t)2
2
(
t+ e r
)2f (r, t) +O
(t3)
(2.65)
Sustituyendo la Ecuacin (2.65) en la Ecuacin (2.59a) y dividiendo por t se obtiene:(
t+ e r
)f (r, t) +
t
2
(
t+ e r
)2f (r, t) =
= 1t
(f(r, t) f (eq) (r, t)
)+O
(t2)
(2.66)
A continuacin se sustituyen las derivadas aproximadas y los infinitos trminos de
la funcin de distribucin en la Ecuacin (2.66), y se separan las diferentes escalas
asociadas a , 2, :
:
(
t(1)+ e r(1)
)f (0) =
1
tf (1) +O
(t2)
(2.67)
40
-
2 :f
(0)
t(2)+
(
t(1)+ e r(1)
)f (1) +
+t
2
(
t(1)+ e r(1)
)2f (0) =
1
tf (2) +O
(t2)
(2.68)
Combinando las Ecuaciones (2.67) y (2.68) se obtiene:
f(0)
t(2)+
(1 1
2
)(
t(1)+ e r(1)
)f (1) =
1
tf (2) +O
(t2)
(2.69)
Antes de proceder a determinar los momentos de las ecuaciones anteriores se va a
deducir una propiedad importante que ser de utilidad. La densidad se puede escribir
como sigue:
=8
=0
f =8
=0
n=0
nf (n) = f(0) +
8=0
n=1
nf (n) (2.70)
Teniendo en cuenta la propiedad (2.21) y que f (0) = f(eq) , se obtiene el siguiente
resultado:8
=0
f (n) = 0 n 1 (2.71)
La Ecuacin (2.71) quiere decir que el momento de orden 0 de la parte de no equilibrio
de la funcin de distribucin vale 0. De forma anloga se puede deducir para los
momentos de orden 1 y 2. A continuacin, se evala el momento de orden 0 (8
=0)
de las las Ecuaciones (2.67) y (2.69):
t(1)+r(1) (u) = O
(t2)
(2.72a)
t(2)= O
(t2)
(2.72b)
Multiplicando la Ecuacin (2.72a) por , y sumndolo a la Ecuacin (2.72b) multi-
plicada por 2, se obtiene la ecuacin de conservacin de masa (salvo por el error de
orden O(t2)):
t+r (u) = O
(t2)
(2.73)
A continuacin se evala el momento de orden 1 (8
=0 e) de las Ecuaciones (2.67)
y (2.69) obteniendo el siguiente resultado:
(u)
t(1)+r(1)(0) = O
(t2)
(2.74a)
(u)
t(2)+
(1 1
2
)r(1)(1) = O
(t2)
(2.74b)
41
-
siendo (n)ij =8
=0 e,ie,jf(n) el tensor de momento de segundo orden de la fun-
cin de distribucin f (n) . Tambin se define el tensor de momento de tercer orden
Q(n)ijk =
8=0 e,ie,je,kf
(n) . Teniendo en cuenta la configuracin de las velocidades
discretas del modelo D2Q9 y la funcin de equilibrio (2.59b) se demuestra que:
(0)ij =
1
3c2ij + uiuj (2.75a)
Q(0)ijk =
1
3c2 (ukij + ujik + uijk) (2.75b)
(1)ij = t
(
(0)ij
t(1)+
r(1)k
Q(n)ijk)
= tc2s(uj
x(1)i
+ui
x(1)j
)+O
(Ma3
)(2.75c)
Identificando trminos, se obtiene la siguiente expresin que relaciona la frecuen-
cia de relajacin adimensional con la viscosidad cinemtica :
=x2
3t
(1
1
2
)(2.76)
Para que la viscosidad cinemtica sea positiva, la frecuencia de relajacin debe ser
inferior a 2, o dicho de otra manera, el tiempo de relajacin debe ser superior a 0, 5.
Como se ver ms adelante, cuando la frecuencia de relajacin se acerca a 2 ocurren
inestabilidades.
Modelo incompresible
Como se ha visto anteriormente el modelo SRT D2Q9 con la funcin de distri-
bucin de equilibrio (2.59b) simula las ecuaciones compresibles de Navier-Stokes.
Sin embargo, el nmero de Mach debe ser pequeo para respetar la validez de las
ecuaciones obtenidas.
A continuacin se va a obtener un modelo para los flujos incompresibles. Ideal-
mente, cuando se habla de la incompresibilidad se refiere a que la densidad es cons-
tante. Sin embargo, en el modelo obtenido es prcticamente imposible mantener la
densidad exactamente constante. Esta imposibilidad proviene bsicamente del hecho
de que la densidad y la presin no son dos variables independientes en los modelos
LBM. La relacin que se establece entre la presin y la densidad es la ecuacin de
estado de los gases ideales. Evidentemente esto implica que siempre se cometer un
error a la hora de simular las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes. Por ello,
lo que se hace es proponer una modificacin del modelo SRT D2Q9 para minimizar
42
-
los efectos de compresibilidad y, de esta manera, aproximar mejor las ecuaciones de
Navier-Stokes incompresibles. Se basar en el mtodo propuesto en [16]. El procedi-
miento se basa en separar la densidad en una parte constante (ref ) y en una parte
fluctuante () que se demuestra que es de orden O(Ma2). Despreciando el error de-
bido a los trminos iguales o superiores a O(Ma3) se obtiene el modelo incompresible.
f (r + et, t+ t) f(r, t) = 1
(f(r, t) f (eq) (r, t)
)(2.77a)
f (eq) = w
{+ ref
(3 (e u)
c2+
9 (e u)22c4
3 |u|2
2c2
)}(2.77b)
(r, t) = ref + =
8=0
f(r, t) (2.77c)
refu (r, t) =
8=0
ef(r, t) (2.77d)
Normalmente se toma valor unitario para ref .
Modelo trmico
Para poder simular problemas de conveccin natural es necesario incorporar el
clculo de la temperatura y tambin un termino adicional de fuerza de flotacin en
la ecuacin de momentum. En [22] se proponen tres maneras de incorporar la fuerza
adicional. De las tres, se ha escogido la que aade simplemente un trmino extra Fa la funcin de equilibrio f (eq) :
F = wF e 1c2s
(2.78)
siendo F la fuerza que se calcula de la siguiente manera: F = g (T T0), siendoT la temperatura y T0 una temperatura caracterstica del problema (ver apartado
de adimensionalizacin).
Por otro lado, para calcular el campo de la temperatura, se introduce otra funcin
de distribucin g (no confundir con la funcin de distribucin de equilibrio). El
modelo utilizado para la funcin de distribucin g es tambin D2Q9.
43
-
Resumiendo, se tiene las siguientes ecuaciones:
f (r + et, t+ t) f(r, t) = f(f(r, t) f (eq) (r, t)
)(2.79a)
g (r + et, t+ t) g(r, t) = g(g(r, t) g(eq) (r, t)
)(2.79b)
f (eq) = w
{1 +
3 (e u)c2
+9 (e u)2
2c4 3 |u|
2
2c2
}+ F (2.79c)
g(eq) = wT
{1 +
3 (e u)c2
+9 (e u)2
2c4 3 |u|
2
2c2
}(2.79d)
(r, t) =8
=0
f(r, t) (2.79e)
(r, t)u (r, t) =8
=0
ef(r, t) (2.79f)
T (r, t) =8
=0
g(r, t) (2.79g)
(2.79h)
Antes se tena nicamente una frecuencia de relajacin adimensional para la funcin
de distribucin f , en cambio, ahora se tienen dos, una para la funcin de distribucin
f y la otra para g:
f =1
3 + 0, 5(2.80a)
g =1
3a+ 0, 5(2.80b)
siendo a la difusividad trmica definida anteriormente y que est relacionada con el
nmero de Prandtl y la viscosidad cinemtica (ver apartado de adimensionalizacin).
2.2.2. Multiple Relaxation Time (MRT)
Debido a su simplicidad, el modelo SRT con el operador de colisin BGK, tambin
llamado LBGK, se ha convertido en el mtodo ms popular en LBM a pesar de
presentar problemas de estabilidad cuando el nmero de Reynolds es alto. El modelo
MRT LBE es la generalizacin del modelo LBGK que a diferencia del otro tiene ms
de un parmetro de relajacin, y adems se ha demostrado su superioridad en el
aspecto de estabilidad [14].
Al igual que el modelo LBGK, MRT LBE tiene un conjunto de velocidades discre-
tas {e0, e1, . . . , eq1, } y un conjunto de funciones de distribucin para cada velocidad
44
-
discreta {f0, f1, . . . , fq1, }. La diferencia est en la manera de tratar el proceso decolisin. En MRT LBE el proceso de colisin se realiza a travs de la matriz de coli-
sin S de dimensin q q. De esta manera la ecuacin de evolucin de las funcionesde distribucin en el tiempo discreto es:
f0 (r + e0t, t+ t) f0 (r, t)f1 (r + e1t, t+ t) f1 (r, t)
...
fq1 (r + eq1t, t+ t) fq1 (r, t)
= (2.81)
=
S11 S1q...
. . ....
Sq1 Sqq
f0 (r, t) f (eq)0 (r, t)f1 (r, t) f (eq)1 (r, t)
...
fq1 (r, t) f (eq)q1 (r, t)
que escrito en forma vectorial adquiere un aspecto ms compacto:
f (r + et, t+ t) f (r, t) = S(f (r, t) f (eq) (r, t)
)(2.82)
Las frecuencias de relajacin son los valores propios de la matriz de colisin S.
En el caso de tener todos los valores propios iguales, la matriz de colisin adquiere
la forma S = I (siendo I la matriz identidad) y se recupera el modelo LBGK.
En modelos MRT habrn q momentos m que son combinaciones lineales de las
funciones de distribucin y, por tanto, se pueden representar como una transforma-
cin lineal mediante una matriz M de dimensin q q:
m (r, t) = Mf (r, t) (2.83)
Si se escoge de manera adecuada la matriz S se puede simplificar la Ecuacin (2.82):
f (r + et, t+ t) f (r, t) = M1S(m (r, t)m(eq) (r, t)
)(2.84)
siendo S = MSM1 una matriz diagonal: S = diag (s0, s1, . . . , sq1). Los q mo-
mentos se pueden dividir en dos grupos: los momentos hidrodinmicos (conservados)
y los momentos cinticos (no conservados). El primer grupo consiste en momentos
localmente conservados en el proceso de colisin, es decir, m (r, t) = m(eq) (r, t). El
segundo grupo consiste en momentos no conservados en el proceso de colisin, es
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-
decir,m (r, t) 6= m(eq) (r, t). Para las simulaciones de flujos isotrmicos, los momen-tos conservados son la densidad de masa y la densidad de momentum j = u.
Los valores s correspondientes a los momentos conservados valen 0 mientras que
los otros son parmetros de ajuste de la simulacin. La descripcin ms detallada de
los modelos MRT en 2D se puede encontrar en [15], mientras que para los modelos
MRT en 3D en [14].
2.3. Aspectos de implementacin
En el apartado anterior se han introducido los diferentes modelos de LBM. En
particular, se ha presentado con mucho detalle la deduccin de la Ecuacin de Boltz-
mann discretizada y las funciones de equilibrio para el modelo D2Q9 SRT. A partir
de ahora se centra en el modelo D2Q9 SRT ya que, como ya se ha dicho anterior-
mente, es el modelo ms utilizado. En este apartado se van a discutir las diferentes
maneras de implementar el LBM incluyendo el tratamiento de las condiciones de
contorno.
En el apartado anterior se ha discretizado la Ecuacin de Boltzmann en el espacio
de fases (de velocidades microscpicas) y tambin en el dominio de tiempo, y se ha
obtenido la siguiente ecuacin:
f (r + et, t+ t) = f (r, t) (f (r, t) f (eq) (r, t)
)(2.85)
Para discretizar en el dominio del espacio de manera uniforme basta con modificar
el vector de posicin de la siguiente manera:
r rij = ixex + jyey (2.86)
siendo ex y ey los vectores ortonormales que definen la base en el espacio, x y y
las distancias entre dos nodos consecutivos en las dos direcciones del espacio y por
ltimo, i y j nmeros enteros que permiten apuntar el vector posicin a cualquier
nodo en el espacio. A partir de ahora se entender que el vector posicin r es la
versin discretizada rij . Para cada nodo ubicado en r habrn q valores de la funcin
de distribucin llamados f, donde va de 0 a 8, y que caracterizan el estado local
del nodo.
En la Figura (2.3) se representa un ejemplo de discretizacin con el modelo D2Q9.
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Figura 2.3: Discretizacin de un dominio cuadrado mediante el modelo D2Q9. Los nodosamarillos representan el dominio de fluido, mientras que los nodos gris definen el contorno.Las flechas representan los vectores de velocidad microscpica para cada nodo e.
Normalmente, para inicializar los valores f para cada nodo se supone que el
estado inicial es el correspondiente al de equilibrio con una cierta velocidad y densidad
dadas, y por tanto se inicializa tal y como se muestra a continuacin:
f (r, t = 0) = f(eq)
u=u0=0
(2.87)
Una vez se tienen todos los valores f para cada nodo que forma el dominio
fsico en el tiempo t (incluido la inicial t = 0), se quieren calcular los valores de
f para cada nodo en el siguiente instante de tiempo t + t. Es evidente que se
tiene que aplicar la Ecuacin (2.85), sin embargo, aplicar dicha ecuacin de forma
directa no es posible ya que los nodos que forman la condicin de contorno deben
recibir un tratamiento especial. Por este motivo, se separa la Ecuacin (2.85) en dos
etapas llamadas de propagacin (streaming) y de colisin. Durante la primera etapa
se produce una propagacin de las funciones de distribucin segn las direcciones
microscpicas a los nodos vecinos. Si se utilizan dos matrices (una correspondiente
al estado de prepropagacin y otra correspondiente al estado postpropagacin) se
puede realizar la etapa de propagacin con un nico ciclo barriendo todos los nodos
y propagando (push) o bien recibiendo (pull) las funciones de distribucin. Dichos
mtodos se representan en las Figuras (2.4) y (2.5).
Si se decide utilizar una nica matriz, entonces se debe hacer ms de un reco-
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Figura 2.4: Representacin del mtodo push. A la izquierda y a la derecha se representan elestado pre y postpropagacin para un nodo, respectivamente.
Figura 2.5: Representacin del mtodo pull. A la izquierda y a la derecha se representan elestado pre y postpropagacin para un nodo, respectivamente.
rrido por todos los nodos con el fin de realizar la etapa de propagacin sin perder
informacin. Dicho mtodo se representa en la Figura (2.6).
En ambos casos, utilizando una nica matriz o bien dos matrices, en el estado
de postpropagacin habrn direcciones en los nodos del contorno en las que no se
conocer el valor de la funcin de distribucin. Dichas direcciones se ilustran con
flechas grises en la Figura (2.7).
El papel de las condiciones de contorno es, conociendo las propiedades macros-
cpicas en el contorno, determinar las funciones de distribucin que no han quedado
definidas despus del proceso de propagacin. El tratamiento de las condiciones de
contorno se discutir en los siguientes apartados.
En funcin de si primero se realiza la etapa de propagacin y posteriormente la
de colisin o viceversa, se obtienen dos esquemas diferentes de implementacin:
Esquema propagacin-colisin
1. El ciclo empieza para el instante t propagando las funciones de distribucin se-
gn las direcciones microscpicas a los nodos vecinos. Matemticamente, dicho
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-
(a)
b
(b)
b
(c)
b
(d)
b
(e)
b
(f)
b
(g)
b
(h)
b
Figura 2.6: En el caso de utilizar una nica matriz, el sentido de barrido difiere segn ladireccin. Las flechas negras indican los valores de la funcin de distribucin propagadosdespus de la etapa de propagacin para cada direccin.
Figura 2.7: Una vez realizada la etapa de propagacin hay ciertas direcciones (flechas grises)en las que se desconoce el valor de la funcin de distribucin.
proceso se escribe de la siguiente manera:
fpost (r + et, t) = f (r, t) (2.88)
siendo fpost el estado postpropagacin en el instante t.
2. Se aplican las condiciones de contorno con el fin de determinar los valores de
fpost (r, t), para r perteneciente al contorno, que no han quedado definidos
despus de la etapa de propagacin.
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-
3. Una vez calculados todos las valores fpost se procede a calcular las propiedades
macroscpicas para las funciones de distribucin fpost para todos los nodos:
(r, t) =
fpost (2.89)
u (r, t) =1
(r, t)
(e ex) fpost (2.90)
v (r, t) =1
(r, t)
(e ey) fpost (2.91)
4. A continuacin se calculan las funciones de distribucin de equilibrio f (eq) (r, t)
utilizando las propiedades macroscpicas ya calculadas.
5. Por ltimo, se realiza la etapa de colisin en la que se actualizan todos los
valores de f para el siguiente instante de tiempo t+ t, y por tanto se cierra
el ciclo:
f (r, t+ t) = fpost (r, t)
(fpost (r, t) f (eq) (r, t)
)(2.92)
Esquema colisin-propagacin
1. El ciclo empieza para el instante t calculando las propiedades macroscpicas
para las funciones de distribucin f para todos los nodos:
(r, t) =
f (2.93)
u (r, t) =1
(r, t)
(e ex) f (2.94)
v (r, t) =1
(r, t)
(e ey) f (2.95)
2. A continuacin se calculan las funciones de distribucin de equilibrio f (eq) (r, t)
utilizando las propiedades macroscpicas ya calculadas.
3. Se realiza la etapa de colisin en la que se actualizan todos los valores de f y
de esta manera se llega al estado de postcolisin fpost :
fpost (r, t) = f (r, t) (f (r, t) f (eq) (r, t)
)(2.96)
4. Se realiza la etapa de propagacin:
f (r + et, t+ t) = fpost (r, t) (2.97)
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-
5. Por ltimo, se aplican las condiciones de contorno con el fin de determinar los
valores de f (r, t+ t) para r perteneciente al contorno, y que no han quedado
definidas despus de la etapa de propagacin.
2.3.1. Tratamiento de las condiciones de contorno
Cada modelo LBM puede llegar a tener un tratamiento diferente de las condicio-
nes de contorno. Dependiendo de si se trata de un caso bidimensional o tridimensio-
nal, y tambin dependiendo de la cantidad de velocidades discretas, el tratamiento de
las condiciones de contorno es diferente. Aun fijando un modelo LBM, la dimensin
del problema y la cantidad de velocidades discretas, existen varios tratamientos de
las condiciones de contorno propuestas por diferentes autores. Debido a tal diver-
sidad, en este apartado se centrar nicamente sobre el modelo LBGK D2Q9 y se
discutirn algunos de los tratamientos ms conocidos.
Antes de entrar en la discusin de los diferentes mtodos de tratamiento de las
condiciones de contorno, se introduce un concepto importante respecto a la clasi-
ficacin del tipo de nodo. Los nodos pueden ser clasificados como wet (mojado) o
dry (seco). Un nodo dry es aquel que se encuentra infinitamente cerca de la pared
y forma parte de la condicin de contorno, o bien est dentro de un cuerpo y no
forma parte de la condicin de contorno. Por tanto un nodo dry no forma parte del
dominio fluido y no se ejecuta la etapa de colisin tradicional (en el sentido de un
proceso de relajacin de las funciones de distribucin). Por otro lado, un nodo wet s
que se encuentra en el dominio fluido y puede o no formar parte de la condicin de
contorno. Por tanto en un nodo wet s que se ejecuta la etapa de colisin tradicional.
Bounce-Back
Bounce-Back (BB) es la condicin de contorno de pared ms famosa en LBM.
Se basa en la idea intuitiva de que las funciones de distribucin que se dirigen a
la pared rebotan al tocarla y vuelven al dominio fluido. Hay dos tipos diferentes:
BB Half-Way y BB Full-Way. En el caso de BB Half-Way se debe utilizar el orden
propagacin-colisin en el que despus de la etapa de propagacin tradicional se
produce la sustitucin de las funciones de distribucin desconocidas mediante un
proceso de inversin para los nodos del contorno. Por el contrario, en el caso de
BB Full-Way se debe utilizar el orden colisin-propagacin en el que se produce la
inversin en todas las direcciones sin importar la orientacin de la pared durante la
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etapa de colisin. En BB Half-Way, el nodo de contorno es de tipo wet mientras que
en BB Full-Way, es de tipo dry. A continuacin se representa la expresin que rige
la condicin de contorno de tipo BB Half-Way:
fpost (r, t) = fpost (r, t) (2.98)
siendo fpost el estado postpropagacin y la direccin inversa de (e = e).Hay que especificar que r apunta a los nodos de contorno y son las direcciones en
las que se da el rebote, y que dependen de la orientacin de la pared.
La ecuacin que rige la condicin de contorno de tipo BB Full-Way es:
f (r, t+ t) = f (r, t) (2.99)
para todos los valores de .
Las Ecuaciones (2.98-2.99) son para condicin de contorno de velocidad nula.
Para imponer una cierta velocidad uw se aade un trmino extra 2w euwc2s a laderecha de la Ecuacin (2.99) [13].
Zou & He
En este mtodo los nodos que forman parte