permu tac i ones

12/6/2014 PERMUTACIONES

http://colposfesz.galeon.com/est501/probabi/teo/cap304/cap304.htm 1/7

PERMUTACIONES

En esta seccin, usaremos el Principio de la Multiplicacin para hallar frmulas generales que permitan calcular el nmero depermutaciones con y sin repeticin de n elementos tomando todos a la vez o parte de ellos de cada vez; para ello partiremos deejemplos y obtendremos las frmulas para cada caso.

PERMUTACIONES SIN REPETICIN DE n ELEMENTOS TOMADOS TODOS ALA VEZ

Ejemplo 4: De cuntas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra IMPUREZA?

Solucin: Puesto que tenemos 8 letras diferentes y las vamos a ordenar en diferentes formas, tendremos 8 posibilidades de

escoger la primera letra para nuestro arreglo, una vez usada una, nos quedan 7 posibilidades de escoger una segunda letra, yuna vez que hayamos usado dos, nos quedan 6, as sucesivamente hasta agotarlas, en total tenemos:

8 7 6 5 4 3 2 1 = 40320

Analizando el ejemplo anterior podemos definir las permutaciones u ordenaciones sin repeticin de n elementos tomados todosa la vez, de la siguiente forma :

PERMUTACIONES SIN REPETICIN DE n ELEMENTOS TOMADOS TODOS A LA VEZ

"Las ordenaciones o permutaciones sin repeticin de n elementos tomados todos a la vez es n!

y se denotan con el smbolo:

Usuario:

Dominios

Ejemplo 5: De cuntas formas se pueden colocar 5 libros diferentes en un anaquel?

Solucin: 5!



PERMUTACIONES CIRCULARES

Ahora estudiaremos algunos ejemplos de arreglos circulares, sabemos que si queremos sentar a cuatro personas una al lado dela otra en fila, el nmero de arreglos que podemos hacer es 4!; ahora bien, si las queremos sentar al rededor de una mesacircular, de cuntas formas lo podemos hacer?

Observemos los siguientes arreglos:

Por cada una de las permutaciones o arreglos circulares tenemos 4 de ellos diferentes en fila; esto es, el arreglo circular 1 puedeleerse en sentido contrario a las agujas del reloj de las siguientes formas: ABCD, BCDA, CDAB, y DABC, que son 4 arreglosdiferentes si fueran en filas; pero es un solo arreglo circular. Entonces, en lugar de tener 4! que es el nmero de arreglos en fila,

tenemos solamente . En consecuencia se puede establecer

PERMUTACIONES CIRCULARES

"El nmero de permutaciones circulares de n elementos tomados todos a la vez es (n - 1) !" y lodenotaremos por

Pcir,n = (n - 1)!

Usuario:

Dominios

Ejemplo 6: De cuntas formas se pueden sentar 3 parejas de casados alrededor de una mesa circular, si no debe haber dos

mujeres juntas ni dos hombres juntos?

Solucin: 2! 3! = 2 6 = 12



El nmero de formas en que podemos sentar a los 3 mujeres alrededor de una mesa circular, dejando un lugar en medio es 2!.

Obsrvese que el primer rengln de crculos, los seis arreglos diferentes tienen a M M M siempre en la misma posicin; y

en el segundo rengln, los seis arreglos tienen a M M M siempre en la misma posicin; por ello son slo dos arreglos delas tres mujeres, dejando un lugar en medio. Hay 3! = 6 formas de sentar a los tres hombres por cada uno de los dos arreglos demujeres; quedando as en forma alternada.

PERMUTACIONES SIN REPETICIN DE n ELEMENTOS TOMADOS DE r EN r,

donde (r n)

Ejemplo 7: De cuntas formas diferentes se pueden sentar seis alumnos en un saln de clases con 25 pupitres?

Solucin: El primer estudiante puede elegir entre 25 lugares, el segundo tendr 24 lugares a escoger, el tercero 23, as

sucesivamente; por lo tanto el nmero de arreglos sin repeticin de 25 elementos tomados de 6 en 6 es:

Esto se simboliza por =

Ejemplo 8: Cuntos nmeros se 2 cifras sin repeticin se pueden formar con los dgitos 8, 2, 5, 4, 7?

Solucin: = 5 4 = 20

Observemos que: = 6 5 4 3 = 360

= 8 7 6

Regresando al ejemplo 3.7, donde =

Para que aparezca 25!, tenemos que multiplicar por 19! pero para que la igualdad no se altere tendremos que dividir por 19!, porlo tanto:

=



Pero, 19! = (25 - 6)! , de donde =

En general en la frmula: = n (n - 1) (n - 2) (n - r + 1) para que aparezca n! en el numerador, necesitamos multiplicar por (n -

r) (n - r - 1) (3) (2) (1) y para que no se altere la igualdad debemos dividir entre (n - r)(n - r - 1) (3) (2) (1) = (n - r)! de modoque

= n (n - 1) (n - 2) (n - r + 1) =

PERMUTACIONES SIN REPETICIN DE n ELEMENTOS TOMADOS DE r EN r, donde (r

n).

"Las permutaciones sin repeticin de n elementos tomados de r en r, denotadas por , soniguales a:

= n (n - 1) (n - 2) (n - r + 1) = "

Usuario:

Dominios

PERMUTACIONES CON REPETICIN DE n ELEMENTOS TOMADOS DE r EN r,donde (r < n , r > n, r = n)

Veamos otra aplicacin del principio de la multiplicacin. Supongamos que tenemos 20 nios de un grupo de

Preescolar y 10 sabores de helados disponibles. De cuntas formas diferentes podemos servir un helado a 20

nios?

Al primer nio le podemos servir uno de los 10 sabores, al segundo nio tambin le podemos servir los 10

sabores, al tercero tambin, y as sucesivamente. A cada uno de los 20 nios le podemos servir de los 10

sabores, por lo que

= nr

Observe que r es el nmero de veces que se repiten los n elementos.



PERMUTACIONES CON REPETICIN DE n ELEMENTOS TOMADOS DE r EN r, donde

(r n r > n).

el nmero de permutaciones con repeticin de n elementos tomados de r en r (r n r > n) es

nr, y las denotaremos por

Usuario:

Dominios

Ejemplo 9: De cuntas formas podemos contestar un examen de 12 preguntas de opcin mltiple, si cada pregunta tiene 5

alternativas de respuesta; pero no sabemos cual es la combinacin correcta, cul es el nmero mximo de intentos quepodemos realizar antes de encontrar las doce preguntas correctas?

Solucin: Para responder cada una de las preguntas del examen, tenemos 5 alternativas, y son 12 preguntas, por lo que

5 5 5 5 ( doce veces el 5)

=

Este es el nmero total de formas de contestar el examen, sin embargo una de ellas es la que tendra las doce respuestas

acertadas, de tal forma que hay 512 -1 formas de responder el examen donde hay al menos una incorrecta.

Ejemplo 10: Cuntos nmeros de tres cifras con repeticin se pueden formar usando todos los siguientes dgitos 7, 4, 8, 5, 3?

Solucin: Como se pueden repetir los dgitos y son 5 de ellos, podemos colocar en la posicin de las centenas cualquiera de

los cinco y en la posicin de las decenas tambin 5 dgitos al igual que en la posicin de las unidades, por lo tanto, el resultado

es 53

Ejemplo 11: Queremos abrir un candado de combinacin de 4 anillos, cada uno marcado con los dgitos 1, 2, 3, 4, 5; pero no

sabemos cual es la combinacin correcta,

Solucin: En cada uno de los 4 anillos pueden ponerse los 5 dgitos. As que n=5 y r=4, por lo que el nmero total de

posiciones es = 625. Pero como una de estas 625 es la correcta, el nmero mximo de incorrectos es 624.

PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS DE LOS CUALES p1 SON DE UN TIPO, p2



SON DE OTRO TIPO, , pk SON DE OTRO TIPO, DONDE p1+p2+...+pk=n

Ejemplo 12: Cuntas seales diferentes se pueden hacer con 5 banderas de las cuales 2 son amarillas y 3 son rojas?

Solucin: Si las 5 banderas fueran todas diferentes tendramos 5! = 120 seales distintas, pero como 2 son de un color y 3 son

de otro, entonces tendremos un nmero X de arreglos que ser menor que 5!. Ahora bien, si las 2 amarillas fueran diferentes,tendramos 2! formas de colocarlas y por el principio de la multiplicacin los X arreglos deberan multiplicarse por 2! para tener

un total de X 2!. Asimismo, si las 3 rojas fuesen diferentes tendramos 3! formas de acomodarlas, y en total habra X 2! 3!

seales con todas las banderas diferentes y de este nmero debera ser igual a 5! es decir, X 2! 3! = 5!. Despejando

= 10

Las 10 seales son: AARRR, ARARR, ARRAR, ARRRA, RAARR, RARAR, RARRA, RRAAR, RRARA, RRRAA.

Veamos esto en un diagrama de rbol:

De esta manera:

PERMUTACIONES DE n ELEMENTOS DE LOS CUALES p1 SON DE UN TIPO,p2 SON DE

OTRO TIPO, , pk SON DE OTRO TIPO, DONDE p1 + p2 + +pk = n

"Las permutaciones de n elementos de los cuales p1 son de un tipo, p2 son de otro tipo, , pkde otro tipo; donde p1 + p2 + + pk = n se denota por:

Usuario:

Dominios

Ejemplo13: Doce estudiantes van a ir a Veracruz en tres carros, 3 estudiantes en un carro, 4 estudiantes en el segundo carro, y



5 en el tercer carro. De cuntas formas se pueden acomodar, si cualquiera puede conducir?

Solucin: Aqu, n = 12, = 3, = 4, = 5, por consiguiente,

RESUMEN DE LAS PERMUTACIONES

DESCRIPCIN FRMULA

Permutaciones sin repeticin de n

elementos tomados todos a la vez

Permutaciones circulares de n elementos !

Permutaciones sin repeticin de n

elementos tomados de r en r, donde r n

Permutaciones con repeticin de n

elementos tomados de r en r

Permutaciones de n elementos de los cuales

p1 son de un tipo, p2 son de otro tipo, ,

pk de otro tipo, donde p1 + p2 + +pk =

n.

1999 Jose 3

Texto: M. en C. Mara Jos Marques Dos SantosHome Page: M. en C. Jos Luis Garca Cu / M. en C. Jos Antonio Santizo Rincn

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