PENSAMIENTO NUMERICO Y VARIACIONAL

SISTEMAS NUMERICOS

LOS NUMEROS NATURALES N

Los números natu ra les se u t i l i zan para contar los elementos

de un con junto (número card inal ) . O para expresar la pos ición u

orden que ocupa un elemento en un conjunto (ord inal ) .

Propiedades de la suma

1. In terna : a + b

2. Asociat iva : (a + b ) + c = a + (b + c)

3. Conmutat iva : a + b = b + a

4. E lemento neutro : a + 0 = a

Propiedades de la res ta

1. No es una operac ión in terna : 2 − 5

2. No es Conmutat iva : 5 − 2 ≠ 2 − 5

Prop iedades de la mul t ip l icación

1. In terna : a · b

2. Asociat iva : (a · b ) · c = a · (b · c)

3. Conmutat iva : a · b = b · a

4. E lemento neutro : a · 1 = a

5. D ist r ibu t iva : a · (b + c) = a · b + a · c

6. Sacar factor común : a · b + a · c = a · (b + c)

Propiedades de la d iv isión

1. D iv is ión exacta : D = d · c

2. D iv is ión entera: D = d · c + r

3. No es una operac ión in terna : 2: 6

4. No es Conmutat ivo : 6: 2 ≠ 2 : 6

5. Cero d iv id ido ent re cualqu ier número da cero . 0: 5 =0

6. No se puede d iv id i r por 0.

Propiedades de las potencias

1. a 0 = 1

2. a 1 = a

3. P roducto de potencias con la misma base : a m · a n = am + n

4. Cociente de potencias con la misma base : am : a n = am - n

5. Potencia de una potencia : (am ) n = am · n

6. P roducto de potencias con e l mismo exponente :

an · b n = (a · b) n

7. Cociente de potencias con el mismo exponente :

an : b n = (a : b ) n

Prop iedades de las raíces

1. Raíz exacta : Radicando= (Raíz) 2

2. Raíz entera : Radicando= (Raíz) 2 + Resto

Prior idades en las operaciones

1º .Efectuar las operaciones ent re paréntesis, corchetes y

l laves.

2º .Calcu lar las potencias y raíces .

3º .Efectuar los productos y cocientes .

4º .Real izar las sumas y restas .

LOS NUMEROS ENTEROS Z

Los números enteros son del t ipo :

= { . . .−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5. . . }

Es dec ir , los naturales , sus opuestos (negat ivos) y e l cero.

Valor absolu to

El valor absolu to de un número entero es e l número natural

que resul ta al supr imir su signo .

Cri ter ios para conocer e l o rden de los números ente ros.

1. Todo número negat ivo es menor que cero.

2. Todo número posi t ivo es mayor que cero.

3. De dos enteros negat ivos es mayor e l que t iene menor va lor

absolu to.

4. De los enteros pos i t ivos, es mayor e l que t iene mayor va lor

absolu to.

Suma de números enteros

1. S i los sumandos son del mismo signo, se suman los valores

absolu tos y a l resul tado se le pone el s igno común.

2. S i los comandos son de d ist into s igno, se res tan los va lores

absolu tos (al mayor le restamos el menor) y a l resu l tado se le pone

el s igno de l número de mayor valor absolu to.

Propiedades

1. Interna:

a + b

2. Asocia t iva:

(a + b) + c = a + (b + c) ·

3. Conmutat iva:

a + b = b + a

4. E lemento neut ro:

a + 0 = a

5. E lemento opuesto

a + ( -a) = 0

Diferencia de números enteros

La resta de los números enteros se obt iene sumando al

minuendo e l opuesto del sust raendo .

a - b = a + (-b)

Propiedades

1. Interna:

a − b

2. No es Conmutat iva:

Mult ip l icación de números enteros

El producto de var ios números enteros es otro número

entero , que t iene como va lor absolu to e l producto de los valores

absolu tos y, como signo , el que se obt iene de la apl icación de la

regla de los signos .

Regla de los s ignos

Propiedades

1. In terna:

a · b

2. Asociat iva:

(a · b) · c = a · (b · c)

3. Conmutat i va:

a · b = b · a

4. Elemento neut ro:

a · 1 = a

5. Dis tr ibut iva :

a · (b + c) = a · b + a · c

6. Sacar factor común:

Es e l proceso inverso a la propiedad dis t r ibut iva.

a · b + a · c = a · (b + c)

Cociente de números enteros

El cociente de dos números enteros es ot ro número

entero , que t iene como valor abso lu to el cociente de los

valores abso lutos y, como signo , e l que se obt iene de la

apl icac ión de la reg la de los s ignos .

Propiedades

1. No es una operación interna

2. No es Conmutat ivo :

Potencias con exponen te natural

La po tencia de exponente natural de un número entero es

o t ro número entero , cuyo va lor absolu to es e l valor abso luto

de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la apl icación

de las s igu ientes reglas :

·

Prop iedades

1 . a0 = 1 ·

2. a1 = a

3. Producto de potenc ias con la misma base:

a m · a n = a m + n

4. Div i sión de potencias con la misma base:

a m : a n = a m - n

5. Potenc ia de una potencia:

(a m ) n=am · n

6. Producto de potenc ias con el mismo exponente:

a n · b n = (a · b) n

7. Cociente de potenc ias con el mismo exponente:

a n : b n = (a : b) n

Potencias de exponente entero negat ivo

La operación de raíz cuadrada

La raíz cuadrada es la operación inversa a elevar al

cuadrado y cons is te en aver iguar el número cuando se conoce

su cuadrado.

Raíz cuadrada exacta

La raíz cuadrada es exacta , s iempre que e l radicando sea

un cuadrado perfecto .

Raíz cuadrada entera

La raíz cuadrada es entera, s iempre que e l radicando no

es un cuadrado perfecto.

Operaciones combinadas

Pr ior idades

1º. Efectuar las operaciones ent re paréntes is, corchetes y

l laves.

2º. Calcular las potenc ias y ra íces.

3º. Efectuar los productos y cocientes.

4º. Real izar las sumas y res tas .

NUMEROS RACIONALES Q

Fracción

Una f racción es e l cociente de dos números enteros a y b ,

que representamos de la s iguiente forma:

b, DE NO M IN ADO R , indica e l número de partes en que se ha

div id ido la unidad.

a, NU M ER ADO R , indica e l número de unidades f raccionarias

e leg idas.

Tipos de f racciones

Fracciones prop ias

Son aquel las cuyo numerador es menor que el

denominador.

Fracciones impropias

Son aquel las cuyo numerador es mayor que e l denominador.

Número mixto es e l que está compuesto de par te entera y

f raccionar ia.

Para pasar de número mixto a f racción , se deja e l mismo

denominador y e l numerador es la suma del p roducto del entero

por e l denominador más e l numerador , del número mixto.

Para pasar una f racción impropia a número mixto , se d ivide

el numerador por e l denominador. El coc iente es el entero del

número mix to y e l res to e l numerador de la f racción , s iendo el

denominador e l mismo.

Fracciones un i tar ias

Son aquel las cuyo numerador es igual al denominador .

Fracciones decimales

Son aquel las cuyo denominador es una potencia de 10 .

Fracciones equivalen tes

Dos f racciones son equivalen tes cuando el producto de

ext remos es igual a l p roducto de medios.

a y d son los extremos; b y c , los medios.

S i se mult ip l ica o d iv ide e l numerador y denominador de

una f racción por un número entero , d is t into de cero, se obt iene

otra f racción equivalen te a la dada.

A l pr imer caso le l l amamos ampl iar o ampl i f icar .

A l segundo caso le l lamamos simpl i f icar .

Fracciones i r reducib les

Son aquel las que no se pueden s impl i f icar .

Reducción de f racciones a común denominador

Reduci r var ias f racc iones a común denominador consiste en

conver t i r las en ot ras equ iva lentes que tengan e l mismo

denominador . Para e l lo:

1º Se determina el denominador común , que será el mínimo

común múlt ip lo de los denominadores .

2º Este denominador, común, se d iv ide por cada uno de los

denominadores, mul t ip l icándose el cocien te obtenido por el

numerador cor respondiente.

Comparación de f racciones

Fracciones con igual denominador

De dos f racciones que t ienen el mismo denominador es

menor el que t iene menor numerador .

Fracciones con igual numerador

De dos f racciones que t ienen el mismo numerador es menor

e l que t iene mayor denominador.

Con numeradores y denominadores dist in tos

En pr imer lugar las tenemos que poner a común

denominador .

Es menor la que t iene menor numerador.

NUMEROS RACIONALES Q

Se l lama número racional a todo número que puede

representarse como el cociente de dos enteros, con denominador

d ist in to de cero . Se representa por .

Suma y d i ferencia de números raciona les

Con el mismo denominador

Se suman los numeradores y se mant iene el denominad or.

Con d ist in to denominador

En pr imer lugar se reducen los denominadores a común

denominador , y se suman o se restan los numeradores de las

f racciones equ ivalentes obten idas .

Propiedades

1. In terna :

E l resul tado de sumar dos números racionales es o t ro

número rac ional .

a + b

2. Asociat iva :

E l modo de agrupar los sumandos no var ía e l resul tado.

(a + b) + c = a + (b + c) ·

3. Conmutat iva :

E l orden de los sumandos no var ía la suma.

a + b = b + a

4. E lemento neutro :

E l 0 es e l elemento neut ro de la suma porque todo número

sumado con él da el mismo número.

a + 0 = a

5. E lemento opuesto

Dos números son opuestos s i a l sumarlos ob tenemos c omo

resul tado e l cero .

a + ( -a) = 0

E l opuesto del opuesto de un número es igual al mismo

número.

Como consecuencia de estas propiedades, la di ferenc ia de

dos números racionales se def ine como la suma del minuendo

más el opuesto del sust raendo .

a − b = a + (−b)

Producto de números racionales

El producto de dos números raciona les es ot ro número

racional que t iene:

Por numerador e l producto de los numeradores .

Por denominador el p roducto de los denominadores .

Propiedades

1. In terna :

a · b

2. Asociat iva:

(a · b ) · c = a · (b · c)

3. Conmutat iva :

a · b = b · a

4. Elemento neutro :

a · 1 = a

5. Elemento inverso :

6. D ist r ibu t iva :

a · (b + c) = a · b + a · c

7. Sacar factor común:

a · b + a · c = a · (b + c)

Cociente de números racionales

El cociente de números racionales es ot ro número racional

que t iene:

Por numerador e l producto de los extremos .

Por denominador el p roducto de los medios .

Potencia de fracciones

Propiedades

1.

2.

3. P roducto de potencias con la misma base :

4. D iv is ión de potencias con la misma base :

5. Potencia de una potencia :

6. P roducto de potencias con e l mismo exponente :

7. Cociente de potencias con el mismo exponente :

Operaciones combinadas

1º .Efectuar las operaciones ent re paréntesis, corchetes y

l laves.

2º .Calcu lar las potencias y raíces .

3º .Efectuar los productos y cocientes .

4º .Pasar a f racción los números mixtos y decimales .

5º .Real izar las sumas y restas .

LOS NÚMEROS IRRACIONALES I

Un número es i r racional s i posee inf in i tas c i f ras decimales no

per iódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de f racc ión.

LOS NÚMEROS REALES R

El conjun to fo rmado por los números racionales e

i r raciona les es e l con junto de los números reales, se designa por

.

Con los números reales podemos real izar todas las

operaciones, excep to la rad icación de índ ice par y rad icando

negat ivo y la d iv isión por cero .

Los intervalos están determinados por dos números que se

l laman ext remos. En un in tervalo se encuent ran todos los números

comprendidos entre ambos y también pueden estar los extremos.

In tervalos

In tervalo abier to

(a, b ) = {x / a < x < b }

In tervalo cer rado

[a, b ] = {x / a ≤ x ≤ b }

In tervalo semiabier to por la i zqu ierda

(a, b ] = {x / a < x ≤ b }

In tervalo semiabier to por la derecha

[a, b ) = {x / a ≤ x < b }

Semirrec tas

x > a

(a, +∞ ) = {x / a < x < +∞ }

x ≥ a

[a, +∞ ) = {x / a ≤ x < +∞ }

x < a

( -∞ , a) = {x / -∞ < x < a}

x ≤ a

( -∞ , a] = {x / -∞ < x ≤ a }

Valor absolu to

Propiedades

|a | = | −a |

|a · b | = |a | · |b |

|a + b | ≤ |a| + |b |

Distanc ia

d(a, b) = |b − a|

Potencias

Con exponente entero

Con exponente racional

Propiedades

1.a 0 = 1 · 7.an : b n = (a : b ) n

2.a 1 = a

3.a m · a n = a m + n

4.a m : a n = a m - n

5. (a m ) n =am · n

6.a n · b n = (a · b) n

Radicales

Un radical es una expresión de la forma , en la que n

y a ; con tal que cuando a sea negat ivo, n ha de ser

impar.

Se puede expresar un rad ical en forma de potencia:

Radiales equivalentes

Simpl i f icación de radicales

S i existe un número natural que d iv ida al índ ice y a l

exponente (o los exponentes) del rad icando, se obt i ene un

radical simpl i f icado.

Reducción de rad ica les a índ ice común

1Hal lamos el mínimo común múl t ip lo de los índ ices , que

será el común índice

2Div id imos el común índ ice por cada uno de los índ i ces y

cada resul tado obtenido se mul t ip l ica por sus exponen tes

cor respondientes.

Extracción de fac tores fuera del signo rad ical

Se descompone el radicando en fac tores . Si :

Un exponente es menor que e l índice, el fac tor

cor respondiente se deja en el radicando .

Un exponente es igua l al índice, e l factor correspondiente

sa le fuera del rad icando .

Un exponente es mayor que el índice , se div ide d icho

exponente por e l índice . El cociente obten ido es el exponente del

facto r fuera del rad icando y e l res to es e l exponente del factor

den tro del radicando.

In t roducción de factores dent ro de l signo radical

Se int roducen los factores elevados al índ ice

correspond iente del radical .

Operaciones con radicales

Suma de rad icales

So lamente pueden sumarse (o restarse) dos rad icales

cuando son rad icales semejan tes, es deci r , si son r ad icales con

el mismo índ ice e igual radicando.

Producto de rad icales

Radicales del mismo índ ice

Radicales de dist in to índ ice

Primero se reducen a índ ice común y luego se mult ip l ican.

Cociente de radicales

Radicales del mismo índ ice

Radicales de dist in to índ ice

Primero se reducen a índ ice común y luego se d iv ide n.

Potencia de radicales

Raíz de un radical

Racional izar

Cons iste en qu i tar los rad icales del denominador , lo que

permi te faci l i tar e l cálculo de operac iones como la suma de

f racciones.

Podemos dist ingui r t res casos.

1Del t ipo

Se mult ip l ica e l numerador y e l denominador por .

2Del t ipo

Se mult ip l ica numerador y denominador por .

3Del t ipo , y en general cuando el denominador sea

un b inomio con al menos un rad ical .

Se mult ip l ica el numerador y denominador por e l

conjugado del denominador.

MAGNITUDES Magnitud

Una magni tud es cualqu ier prop iedad que se puede me dir

numér icamente.

Razón

Razón es el coc iente ent re dos números o dos can tid ades

comparab les entre s í , expresado como f racción.

Proporc ión

Proporc ión es una igualdad en tre dos razones.

En una proporción del producto de los medios es igu al al

p roducto de los ext remos.

En una proporción o en una ser ie de razones iguales , la

suma de los antecedentes d ivid ida ent re la suma de los

consecuentes es igual a una cualqu iera de las razon es.

Si en una proporc ión cambian ent re sí los medios o

ext remos la proporción no var ía.

Cuarto proporc iona l

Es uno cualquiera de los términos de una proporción .

Para calcular lo se d iv ide por e l opuesto, e l producto de los

ot ros dos términos.

Medio proporcional

Una proporción es con tinua si t iene los dos medios

iguales . Para calcu lar e l medio proporcional de una proporción

cont inua se extrae la raíz cuadrada del producto de los extremos.

Tercero proporcional

En una proporción cont inua, se denomina tercero proporcional

a cada uno de los términos des iguales.

Un tercero proporcional es igual al cuadrado de los términos

iguales, d ivid ido por e l término desigual .

Magnitudes di rectamente p roporcionales

Dos magni tudes son d i rectamente proporcionales cuando,

a l mult ip l icar o d iv id i r una de e l las por un número cua lqu iera, la

o tra queda mul t ip l icada o d iv id ida por e l mismo número.

Regla de t res s imple y d i recta

Consis te en que dadas dos cant idades correspondientes a

magni tudes di rectamente proporcionales , calcular la cant idad de

una de estas magni tudes correspondiente a una cant idad dada de

la ot ra magni tud.

Repartos d i rectamente proporcionales

Consis te en dadas unas magni tudes de un mismo t ipo y una

magni tud to ta l , calcular la parte cor respondiente a cada una de

las magni tudes dadas.

Porcenta jes

Un porcentaje es un t ipo de regla de t res d i recta e n el que

una de las cant idades es 100.

Magn itudes inversamente proporciona les

Dos magn i tudes son inversamente proporcionales cuan do,

a l mul t ip l icar o d iv id i r una de el las por un número cualqu iera,

la ot ra queda div id ida o mul t ip l icada por e l mismo número.

Reg la de t res s imple inversa

Cons iste en que dadas dos cant idades cor respondient es a

magni tudes inversamente proporcionales , calcu lar la cant idad

de una de estas magni tudes correspondiente a una ca nt idad

dada de la ot ra magni tud.

Repartos inversamente proporc ionales

Dadas unas magni tudes de un mismo t ipo y una magni t ud

tota l , debemos hacer un reparto d i rectamente propor cional a

las inversas de las magni tudes.

Proporcional idad compuesta

Una magni tud se re laciona proporcionalmente con o t r as,

ya sea de modo d irecto o inverso.

Regla de t res compuesta

Se emplea para resolver prob lemas de p roporcional id ad

compuesta.

FUNCIONES

Funciones constantes

y = n

La pendiente es 0.

La gráf ica es una rec ta ho rizontal parale la a a l e je de

abscisas .

Rectas vert icales

Las rectas parale las a l e je de ordenadas no son funciones, ya

que un valor de x t iene inf ini tas imágenes y para que sea función

só lo puede tener una. Son del t ipo:

x = K

Función l ineal

y = mx

m es la pend iente, que es la incl inación de la rect a con

respecto al eje de abscisas.

Su gráf ica es una l ínea recta que pasa por e l or igen de

coordenadas.

Función iden tidad

f (x) = x

Su gráf i ca es la b isect r iz del pr imer y tercer cuadrante .

Función af ín

y = mx + n

m es la pend iente. Dos rectas parale las t ienen la m isma

pendien te.

n es la ordenada en e l o r igen y nos ind ica el punto de cor te

de la recta con el e je de ordenadas.

Función cuadrát ica

Son funciones pol inómicas es de segundo grado, s iendo su

gráf ica una parábola.

f (x) = ax² + bx +c

Representación gráf ica de la parábo la

1 . Vért ice

Por este punto pasa el e je de s imetr ía de la parábola.

La ecuación del eje de s imetría es:

2. Puntos de cor te con e l e je X.

En el e je de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo

que tendremos:

ax² + bx +c = 0

Resolv iendo la ecuación podemos obtener :

Dos puntos de corte: (x 1 , 0) y (x 2 , 0) si b ² - 4ac > 0

Un punto de corte : (x 1 , 0) s i b ² - 4ac = 0

Ningún pun to de corte s i b² - 4ac < 0

3. Punto de cor te con el e je Y.

En el eje de ordenadas la pr imera coordenada es cero, por lo

que tendremos:

f (0)=a· 0² + b · 0 +c = c (0,c)

Funciones racionales

El cr i ter io v iene dado por un cociente ent re po l inomios:

El dominio lo fo rman todos los números reales excep to los

valo res de x que anulan el denominador.

Dentro de este t ipo tenemos las funciones de

proporcional idad inversa de ecuac ión:

.

Funciones radicales

E l cr i te r io viene dado por la var iable x bajo e l si gno

radica l .

Funciones def in idas a t rozos

Son funciones def in idas por d ist intos cr i ter ios , se gún los

in tervalos que se consideren.

Funciones en va lor abso lu to

Las funciones en valor abso lu to se t ransforman en

funciones a t rozos , s iguiendo los s iguientes pasos:

1. Se igua la a cero l a función, s in el valor absolu to, y se

calcu lan sus raíces .

2. Se forman in tervalos con las raíces y se evalúa el signo

de cada in tervalo.

3. Def inimos la func ión a t rozos, teniendo en cuenta que en

los intervalos donde la x es negat iva se cambia e l s igno de la

función .

4 Representamos la función resul tante.

Función exponencia l

Sea a un número real posi t ivo . La func ión que a cad a

número rea l x le hace co rresponder la potencia a x se l lama

función exponencia l de base a y exponente x .

Funciones logarí tmicas

La func ión logarí tmica en base a es la func ión inversa de la

exponenc ial en base a .

Funciones t r igonométr icas

Funcion seno

f (x) = sen x

Función coseno

f (x) = cosen x

Función tangente

f (x) = tg x

Función cotangen te

f (x) = cotg x

Función secante

f (x) = sec x

Función cosecante

f (x) = cosec x